Cálculo Exemplos

$f (x) = 188 {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 1}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

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Etapa 1.1

Como $188$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $188 {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 1}$ em relação a $x$ é $188 \frac{d}{d x} [{(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 1}]$ .

$188 \frac{d}{d x} [{(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 1}]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = \frac{200}{x} + \frac{x}{15}$ .

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Etapa 1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\frac{200}{x} + \frac{x}{15}$ .

$188 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [\frac{200}{x} + \frac{x}{15}])$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$188 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [\frac{200}{x} + \frac{x}{15}])$

Etapa 1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{200}{x} + \frac{x}{15}$ .

$188 (- {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2} \frac{d}{d x} [\frac{200}{x} + \frac{x}{15}])$

Etapa 1.3

Diferencie.

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Etapa 1.3.1

Multiplique $- 1$ por $188$ .

$- 188 ({(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2} \frac{d}{d x} [\frac{200}{x} + \frac{x}{15}])$

Etapa 1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{200}{x} + \frac{x}{15}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{200}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{15}]$ .

$- 188 {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2} (\frac{d}{d x} [\frac{200}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{15}])$

Etapa 1.3.3

Como $200$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{200}{x}$ em relação a $x$ é $200 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$- 188 {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2} (200 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{15}])$

Etapa 1.3.4

Reescreva $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$- 188 {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2} (200 \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{15}])$

Etapa 1.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$- 188 {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2} (200 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [\frac{x}{15}])$

Etapa 1.3.6

Multiplique $- 1$ por $200$ .

$- 188 {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2} (- 200 x^{- 2} + \frac{d}{d x} [\frac{x}{15}])$

Etapa 1.3.7

Como $\frac{1}{15}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{x}{15}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{15} \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 188 {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2} (- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.3.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 188 {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2} (- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15} \cdot 1)$

Etapa 1.3.9

Multiplique $\frac{1}{15}$ por $1$ .

$- 188 {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2} (- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15})$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 2.1

Como $- 188$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 188 {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2} (- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15})$ em relação a $x$ é $- 188 \frac{d}{d x} [{(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2} (- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15})]$ .

$f'' (x) = - 188 \frac{d}{d x} ({(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2} (- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15}))$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2}$ e $g (x) = - 200 x^{- 2} + \frac{1}{15}$ .

$f'' (x) = - 188 ({(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2} \frac{d}{d x} (- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15}) + (- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15}) \frac{d}{d x} ({(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2}))$

Etapa 2.3

Diferencie.

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Etapa 2.3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 200 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{15}]$ .

$f'' (x) = - 188 ({(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2} (\frac{d}{d x} (- 200 x^{- 2}) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{15})) + (- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15}) \frac{d}{d x} ({(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2}))$

Etapa 2.3.2

Como $- 200$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 200 x^{- 2}$ em relação a $x$ é $- 200 \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$ .

$f'' (x) = - 188 ({(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2} (- 200 \frac{d}{d x} x^{- 2} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{15})) + (- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15}) \frac{d}{d x} ({(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2}))$

Etapa 2.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 2$ .

$f'' (x) = - 188 ({(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2} (- 200 (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{15})) + (- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15}) \frac{d}{d x} ({(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2}))$

Etapa 2.3.4

Multiplique $- 2$ por $- 200$ .

$f'' (x) = - 188 ({(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2} (400 x^{- 3} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{15})) + (- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15}) \frac{d}{d x} ({(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2}))$

Etapa 2.3.5

Como $\frac{1}{15}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{1}{15}$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = - 188 ({(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2} (400 x^{- 3} + 0) + (- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15}) \frac{d}{d x} ({(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2}))$

Etapa 2.3.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.3.6.1

Some $400 x^{- 3}$ e $0$ .

$f'' (x) = - 188 ({(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2} (400 x^{- 3}) + (- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15}) \frac{d}{d x} ({(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2}))$

Etapa 2.3.6.2

Mova $400$ para a esquerda de ${(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2}$ .

$f'' (x) = - 188 (400 \cdot ({(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2} x^{- 3}) + (- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15}) \frac{d}{d x} ({(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2}))$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 2}$ e $g (x) = \frac{200}{x} + \frac{x}{15}$ .

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Etapa 2.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\frac{200}{x} + \frac{x}{15}$ .

$f'' (x) = - 188 (400 {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2} x^{- 3} + (- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15}) (\frac{d}{d u} (u^{- 2}) \frac{d}{d x} (\frac{200}{x} + \frac{x}{15})))$

Etapa 2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 2$ .

$f'' (x) = - 188 (400 {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2} x^{- 3} + (- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15}) (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} (\frac{200}{x} + \frac{x}{15})))$

Etapa 2.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{200}{x} + \frac{x}{15}$ .

$f'' (x) = - 188 (400 {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2} x^{- 3} + (- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15}) (- 2 {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3} \frac{d}{d x} (\frac{200}{x} + \frac{x}{15})))$

Etapa 2.5

Diferencie.

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Etapa 2.5.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{200}{x} + \frac{x}{15}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{200}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{15}]$ .

$f'' (x) = - 188 (400 {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2} x^{- 3} + (- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15}) (- 2 {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3} (\frac{d}{d x} (\frac{200}{x}) + \frac{d}{d x} (\frac{x}{15}))))$

Etapa 2.5.2

Como $200$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{200}{x}$ em relação a $x$ é $200 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$f'' (x) = - 188 (400 {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2} x^{- 3} + (- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15}) (- 2 {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3} (200 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x}) + \frac{d}{d x} (\frac{x}{15}))))$

Etapa 2.5.3

Reescreva $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$f'' (x) = - 188 (400 {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2} x^{- 3} + (- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15}) (- 2 {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3} (200 \frac{d}{d x} (x^{- 1}) + \frac{d}{d x} (\frac{x}{15}))))$

Etapa 2.5.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$f'' (x) = - 188 (400 {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2} x^{- 3} + (- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15}) (- 2 {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3} (200 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} (\frac{x}{15}))))$

Etapa 2.5.5

Multiplique $- 1$ por $200$ .

$f'' (x) = - 188 (400 {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2} x^{- 3} + (- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15}) (- 2 {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3} (- 200 x^{- 2} + \frac{d}{d x} (\frac{x}{15}))))$

Etapa 2.5.6

Como $\frac{1}{15}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{x}{15}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{15} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 188 (400 {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2} x^{- 3} + (- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15}) (- 2 {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3} (- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15} \cdot \frac{d}{d x} (x))))$

Etapa 2.5.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = - 188 (400 {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2} x^{- 3} + (- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15}) (- 2 {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3} (- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15} \cdot 1)))$

Etapa 2.5.8

Multiplique $\frac{1}{15}$ por $1$ .

$f'' (x) = - 188 (400 {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2} x^{- 3} + (- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15}) (- 2 {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3} (- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15})))$

Etapa 2.6

Eleve $- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15}$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = - 188 (400 {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2} x^{- 3} - 2 {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3} ((- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15}) (- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15})))$

Etapa 2.7

Eleve $- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15}$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = - 188 (400 {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2} x^{- 3} - 2 {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3} ((- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15}) (- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15})))$

Etapa 2.8

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = - 188 (400 {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2} x^{- 3} - 2 {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3} {(- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15})}^{1 + 1})$

Etapa 2.9

Some $1$ e $1$ .

$f'' (x) = - 188 (400 {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2} x^{- 3} - 2 {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3} {(- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15})}^{2})$

Etapa 2.10

Simplifique.

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Etapa 2.10.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - 188 (400 {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2} x^{- 3}) - 188 (- 2 {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3} {(- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15})}^{2})$

Etapa 2.10.2

Combine os termos.

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Etapa 2.10.2.1

Multiplique $400$ por $- 188$ .

$f'' (x) = - 75200 ({(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2} x^{- 3}) - 188 (- 2 {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3} {(- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15})}^{2})$

Etapa 2.10.2.2

Multiplique $- 2$ por $- 188$ .

$f'' (x) = - 75200 {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2} x^{- 3} + 376 {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3} {(- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15})}^{2}$

Etapa 2.10.3

Reordene os termos.

$f'' (x) = - 75200 x^{- 3} {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2} + 376 {(- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15})}^{2} {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Etapa 2.10.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.10.4.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - 75200 \frac{1}{x^{3}} \cdot {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2} + 376 {(- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15})}^{2} {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Etapa 2.10.4.2

Combine $- 75200$ e $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 75200}{x^{3}} \cdot {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2} + 376 {(- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15})}^{2} {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Etapa 2.10.4.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = - \frac{75200}{x^{3}} \cdot {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2} + 376 {(- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15})}^{2} {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Etapa 2.10.4.4

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{75200}{x^{3}} \cdot \frac{1}{{(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{2}} + 376 {(- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15})}^{2} {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Etapa 2.10.4.5

Simplifique o denominador.

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Etapa 2.10.4.5.1

Para escrever $\frac{200}{x}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{15}{15}$ .

$f'' (x) = - \frac{75200}{x^{3}} \cdot \frac{1}{{(\frac{200}{x} \cdot \frac{15}{15} + \frac{x}{15})}^{2}} + 376 {(- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15})}^{2} {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Etapa 2.10.4.5.2

Para escrever $\frac{x}{15}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x}{x}$ .

$f'' (x) = - \frac{75200}{x^{3}} \cdot \frac{1}{{(\frac{200}{x} \cdot \frac{15}{15} + \frac{x}{15} \cdot \frac{x}{x})}^{2}} + 376 {(- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15})}^{2} {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Etapa 2.10.4.5.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $x \cdot 15$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 2.10.4.5.3.1

Multiplique $\frac{200}{x}$ por $\frac{15}{15}$ .

$f'' (x) = - \frac{75200}{x^{3}} \cdot \frac{1}{{(\frac{200 \cdot 15}{x \cdot 15} + \frac{x}{15} \cdot \frac{x}{x})}^{2}} + 376 {(- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15})}^{2} {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Etapa 2.10.4.5.3.2

Multiplique $\frac{x}{15}$ por $\frac{x}{x}$ .

$f'' (x) = - \frac{75200}{x^{3}} \cdot \frac{1}{{(\frac{200 \cdot 15}{x \cdot 15} + \frac{x \cdot x}{15 x})}^{2}} + 376 {(- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15})}^{2} {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Etapa 2.10.4.5.3.3

Reordene os fatores de $x \cdot 15$ .

$f'' (x) = - \frac{75200}{x^{3}} \cdot \frac{1}{{(\frac{200 \cdot 15}{15 x} + \frac{x \cdot x}{15 x})}^{2}} + 376 {(- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15})}^{2} {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Etapa 2.10.4.5.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = - \frac{75200}{x^{3}} \cdot \frac{1}{{(\frac{200 \cdot 15 + x \cdot x}{15 x})}^{2}} + 376 {(- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15})}^{2} {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Etapa 2.10.4.5.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.10.4.5.5.1

Multiplique $200$ por $15$ .

$f'' (x) = - \frac{75200}{x^{3}} \cdot \frac{1}{{(\frac{3000 + x \cdot x}{15 x})}^{2}} + 376 {(- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15})}^{2} {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Etapa 2.10.4.5.5.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$f'' (x) = - \frac{75200}{x^{3}} \cdot \frac{1}{{(\frac{3000 + x^{2}}{15 x})}^{2}} + 376 {(- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15})}^{2} {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Etapa 2.10.4.5.6

Aplique a regra do produto a $\frac{3000 + x^{2}}{15 x}$ .

$f'' (x) = - \frac{75200}{x^{3}} \cdot \frac{1}{\frac{{(3000 + x^{2})}^{2}}{{(15 x)}^{2}}} + 376 {(- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15})}^{2} {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Etapa 2.10.4.5.7

Aplique a regra do produto a $15 x$ .

$f'' (x) = - \frac{75200}{x^{3}} \cdot \frac{1}{\frac{{(3000 + x^{2})}^{2}}{15^{2} x^{2}}} + 376 {(- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15})}^{2} {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Etapa 2.10.4.5.8

Eleve $15$ à potência de $2$ .

$f'' (x) = - \frac{75200}{x^{3}} \cdot \frac{1}{\frac{{(3000 + x^{2})}^{2}}{225 x^{2}}} + 376 {(- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15})}^{2} {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Etapa 2.10.4.6

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$f'' (x) = - \frac{75200}{x^{3}} \cdot (1 (\frac{225 x^{2}}{{(3000 + x^{2})}^{2}})) + 376 {(- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15})}^{2} {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Etapa 2.10.4.7

Multiplique $\frac{225 x^{2}}{{(3000 + x^{2})}^{2}}$ por $1$ .

$f'' (x) = - \frac{75200}{x^{3}} \cdot \frac{225 x^{2}}{{(3000 + x^{2})}^{2}} + 376 {(- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15})}^{2} {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Etapa 2.10.4.8

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.10.4.8.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{75200}{x^{3}}$ para o numerador.

$f'' (x) = \frac{- 75200}{x^{3}} \cdot \frac{225 x^{2}}{{(3000 + x^{2})}^{2}} + 376 {(- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15})}^{2} {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Etapa 2.10.4.8.2

Fatore $x^{2}$ de $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 75200}{x^{2} x} \cdot \frac{225 x^{2}}{{(3000 + x^{2})}^{2}} + 376 {(- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15})}^{2} {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Etapa 2.10.4.8.3

Fatore $x^{2}$ de $225 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 75200}{x^{2} x} \cdot \frac{x^{2} \cdot 225}{{(3000 + x^{2})}^{2}} + 376 {(- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15})}^{2} {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Etapa 2.10.4.8.4

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = \frac{- 75200}{x^{2} x} \cdot \frac{x^{2} \cdot 225}{{(3000 + x^{2})}^{2}} + 376 {(- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15})}^{2} {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Etapa 2.10.4.8.5

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = \frac{- 75200}{x} \cdot \frac{225}{{(3000 + x^{2})}^{2}} + 376 {(- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15})}^{2} {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Etapa 2.10.4.9

Multiplique $\frac{- 75200}{x}$ por $\frac{225}{{(3000 + x^{2})}^{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 75200 \cdot 225}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + 376 {(- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15})}^{2} {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Etapa 2.10.4.10

Multiplique $- 75200$ por $225$ .

$f'' (x) = \frac{- 16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + 376 {(- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15})}^{2} {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Etapa 2.10.4.11

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + 376 {(- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15})}^{2} {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Etapa 2.10.4.12

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.10.4.12.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + 376 {(- 200 \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{15})}^{2} {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Etapa 2.10.4.12.2

Combine $- 200$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + 376 {(\frac{- 200}{x^{2}} + \frac{1}{15})}^{2} {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Etapa 2.10.4.12.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + 376 {(- \frac{200}{x^{2}} + \frac{1}{15})}^{2} {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Etapa 2.10.4.13

Reescreva ${(- \frac{200}{x^{2}} + \frac{1}{15})}^{2}$ como $(- \frac{200}{x^{2}} + \frac{1}{15}) (- \frac{200}{x^{2}} + \frac{1}{15})$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + 376 ((- \frac{200}{x^{2}} + \frac{1}{15}) (- \frac{200}{x^{2}} + \frac{1}{15})) {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Etapa 2.10.4.14

Expanda $(- \frac{200}{x^{2}} + \frac{1}{15}) (- \frac{200}{x^{2}} + \frac{1}{15})$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.10.4.14.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + 376 (- \frac{200}{x^{2}} \cdot (- \frac{200}{x^{2}} + \frac{1}{15}) + \frac{1}{15} \cdot (- \frac{200}{x^{2}} + \frac{1}{15})) {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Etapa 2.10.4.14.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + 376 (- \frac{200}{x^{2}} \cdot (- \frac{200}{x^{2}}) - \frac{200}{x^{2}} \cdot \frac{1}{15} + \frac{1}{15} \cdot (- \frac{200}{x^{2}} + \frac{1}{15})) {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Etapa 2.10.4.14.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + 376 (- \frac{200}{x^{2}} \cdot (- \frac{200}{x^{2}}) - \frac{200}{x^{2}} \cdot \frac{1}{15} + \frac{1}{15} \cdot (- \frac{200}{x^{2}}) + \frac{1}{15} \cdot \frac{1}{15}) {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Etapa 2.10.4.15

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.10.4.15.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.10.4.15.1.1

Multiplique $- \frac{200}{x^{2}} (- \frac{200}{x^{2}})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.10.4.15.1.1.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + 376 (1 (\frac{200}{x^{2}}) \cdot \frac{200}{x^{2}} - \frac{200}{x^{2}} \cdot \frac{1}{15} + \frac{1}{15} \cdot (- \frac{200}{x^{2}}) + \frac{1}{15} \cdot \frac{1}{15}) {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Etapa 2.10.4.15.1.1.2

Multiplique $\frac{200}{x^{2}}$ por $1$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + 376 (\frac{200}{x^{2}} \cdot \frac{200}{x^{2}} - \frac{200}{x^{2}} \cdot \frac{1}{15} + \frac{1}{15} \cdot (- \frac{200}{x^{2}}) + \frac{1}{15} \cdot \frac{1}{15}) {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Etapa 2.10.4.15.1.1.3

Multiplique $\frac{200}{x^{2}}$ por $\frac{200}{x^{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + 376 (\frac{200 \cdot 200}{x^{2} x^{2}} - \frac{200}{x^{2}} \cdot \frac{1}{15} + \frac{1}{15} \cdot (- \frac{200}{x^{2}}) + \frac{1}{15} \cdot \frac{1}{15}) {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Etapa 2.10.4.15.1.1.4

Multiplique $200$ por $200$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + 376 (\frac{40000}{x^{2} x^{2}} - \frac{200}{x^{2}} \cdot \frac{1}{15} + \frac{1}{15} \cdot (- \frac{200}{x^{2}}) + \frac{1}{15} \cdot \frac{1}{15}) {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Etapa 2.10.4.15.1.1.5

Multiplique $x^{2}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.10.4.15.1.1.5.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + 376 (\frac{40000}{x^{2 + 2}} - \frac{200}{x^{2}} \cdot \frac{1}{15} + \frac{1}{15} \cdot (- \frac{200}{x^{2}}) + \frac{1}{15} \cdot \frac{1}{15}) {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Etapa 2.10.4.15.1.1.5.2

Some $2$ e $2$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + 376 (\frac{40000}{x^{4}} - \frac{200}{x^{2}} \cdot \frac{1}{15} + \frac{1}{15} \cdot (- \frac{200}{x^{2}}) + \frac{1}{15} \cdot \frac{1}{15}) {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Etapa 2.10.4.15.1.2

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.10.4.15.1.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{200}{x^{2}}$ para o numerador.

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + 376 (\frac{40000}{x^{4}} + \frac{- 200}{x^{2}} \cdot \frac{1}{15} + \frac{1}{15} \cdot (- \frac{200}{x^{2}}) + \frac{1}{15} \cdot \frac{1}{15}) {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Etapa 2.10.4.15.1.2.2

Fatore $5$ de $- 200$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + 376 (\frac{40000}{x^{4}} + \frac{5 (- 40)}{x^{2}} \cdot \frac{1}{15} + \frac{1}{15} \cdot (- \frac{200}{x^{2}}) + \frac{1}{15} \cdot \frac{1}{15}) {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Etapa 2.10.4.15.1.2.3

Fatore $5$ de $15$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + 376 (\frac{40000}{x^{4}} + \frac{5 \cdot - 40}{x^{2}} \cdot \frac{1}{5 \cdot 3} + \frac{1}{15} \cdot (- \frac{200}{x^{2}}) + \frac{1}{15} \cdot \frac{1}{15}) {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Etapa 2.10.4.15.1.2.4

Cancele o fator comum.

Etapa 2.10.4.15.1.2.5

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + 376 (\frac{40000}{x^{4}} + \frac{- 40}{x^{2}} \cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{15} \cdot (- \frac{200}{x^{2}}) + \frac{1}{15} \cdot \frac{1}{15}) {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Etapa 2.10.4.15.1.3

Multiplique $\frac{- 40}{x^{2}}$ por $\frac{1}{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + 376 (\frac{40000}{x^{4}} + \frac{- 40}{x^{2} \cdot 3} + \frac{1}{15} \cdot (- \frac{200}{x^{2}}) + \frac{1}{15} \cdot \frac{1}{15}) {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Etapa 2.10.4.15.1.4

Mova $3$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + 376 (\frac{40000}{x^{4}} + \frac{- 40}{3 \cdot x^{2}} + \frac{1}{15} \cdot (- \frac{200}{x^{2}}) + \frac{1}{15} \cdot \frac{1}{15}) {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Etapa 2.10.4.15.1.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + 376 (\frac{40000}{x^{4}} - \frac{40}{3 \cdot x^{2}} + \frac{1}{15} \cdot (- \frac{200}{x^{2}}) + \frac{1}{15} \cdot \frac{1}{15}) {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Etapa 2.10.4.15.1.6

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.10.4.15.1.6.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{200}{x^{2}}$ para o numerador.

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + 376 (\frac{40000}{x^{4}} - \frac{40}{3 x^{2}} + \frac{1}{15} \cdot \frac{- 200}{x^{2}} + \frac{1}{15} \cdot \frac{1}{15}) {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Etapa 2.10.4.15.1.6.2

Fatore $5$ de $15$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + 376 (\frac{40000}{x^{4}} - \frac{40}{3 x^{2}} + \frac{1}{5 (3)} \cdot \frac{- 200}{x^{2}} + \frac{1}{15} \cdot \frac{1}{15}) {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Etapa 2.10.4.15.1.6.3

Fatore $5$ de $- 200$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + 376 (\frac{40000}{x^{4}} - \frac{40}{3 x^{2}} + \frac{1}{5 \cdot 3} \cdot \frac{5 \cdot - 40}{x^{2}} + \frac{1}{15} \cdot \frac{1}{15}) {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Etapa 2.10.4.15.1.6.4

Cancele o fator comum.

Etapa 2.10.4.15.1.6.5

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + 376 (\frac{40000}{x^{4}} - \frac{40}{3 x^{2}} + \frac{1}{3} \cdot \frac{- 40}{x^{2}} + \frac{1}{15} \cdot \frac{1}{15}) {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Etapa 2.10.4.15.1.7

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $\frac{- 40}{x^{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + 376 (\frac{40000}{x^{4}} - \frac{40}{3 x^{2}} + \frac{- 40}{3 x^{2}} + \frac{1}{15} \cdot \frac{1}{15}) {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Etapa 2.10.4.15.1.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + 376 (\frac{40000}{x^{4}} - \frac{40}{3 x^{2}} - \frac{40}{3 x^{2}} + \frac{1}{15} \cdot \frac{1}{15}) {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Etapa 2.10.4.15.1.9

Multiplique $\frac{1}{15} \cdot \frac{1}{15}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.10.4.15.1.9.1

Multiplique $\frac{1}{15}$ por $\frac{1}{15}$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + 376 (\frac{40000}{x^{4}} - \frac{40}{3 x^{2}} - \frac{40}{3 x^{2}} + \frac{1}{15 \cdot 15}) {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Etapa 2.10.4.15.1.9.2

Multiplique $15$ por $15$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + 376 (\frac{40000}{x^{4}} - \frac{40}{3 x^{2}} - \frac{40}{3 x^{2}} + \frac{1}{225}) {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Etapa 2.10.4.15.2

Subtraia $\frac{40}{3 x^{2}}$ de $- \frac{40}{3 x^{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + 376 (\frac{40000}{x^{4}} - 2 \frac{40}{3 x^{2}} + \frac{1}{225}) {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Etapa 2.10.4.16

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.10.4.16.1

Multiplique $- 2 \frac{40}{3 x^{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.10.4.16.1.1

Combine $- 2$ e $\frac{40}{3 x^{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + 376 (\frac{40000}{x^{4}} + \frac{- 2 \cdot 40}{3 x^{2}} + \frac{1}{225}) {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Etapa 2.10.4.16.1.2

Multiplique $- 2$ por $40$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + 376 (\frac{40000}{x^{4}} + \frac{- 80}{3 x^{2}} + \frac{1}{225}) {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Etapa 2.10.4.16.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + 376 (\frac{40000}{x^{4}} - \frac{80}{3 x^{2}} + \frac{1}{225}) {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Etapa 2.10.4.17

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + (376 (\frac{40000}{x^{4}}) + 376 (- \frac{80}{3 x^{2}}) + 376 (\frac{1}{225})) {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Etapa 2.10.4.18

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.10.4.18.1

Multiplique $376 \frac{40000}{x^{4}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.10.4.18.1.1

Combine $376$ e $\frac{40000}{x^{4}}$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + (\frac{376 \cdot 40000}{x^{4}} + 376 (- \frac{80}{3 x^{2}}) + 376 (\frac{1}{225})) {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Etapa 2.10.4.18.1.2

Multiplique $376$ por $40000$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + (\frac{15040000}{x^{4}} + 376 (- \frac{80}{3 x^{2}}) + 376 (\frac{1}{225})) {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Etapa 2.10.4.18.2

Multiplique $376 (- \frac{80}{3 x^{2}})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.10.4.18.2.1

Multiplique $- 1$ por $376$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + (\frac{15040000}{x^{4}} - 376 \frac{80}{3 x^{2}} + 376 (\frac{1}{225})) {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Etapa 2.10.4.18.2.2

Combine $- 376$ e $\frac{80}{3 x^{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + (\frac{15040000}{x^{4}} + \frac{- 376 \cdot 80}{3 x^{2}} + 376 (\frac{1}{225})) {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Etapa 2.10.4.18.2.3

Multiplique $- 376$ por $80$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + (\frac{15040000}{x^{4}} + \frac{- 30080}{3 x^{2}} + 376 (\frac{1}{225})) {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Etapa 2.10.4.18.3

Combine $376$ e $\frac{1}{225}$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + (\frac{15040000}{x^{4}} + \frac{- 30080}{3 x^{2}} + \frac{376}{225}) {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Etapa 2.10.4.19

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + (\frac{15040000}{x^{4}} - \frac{30080}{3 x^{2}} + \frac{376}{225}) {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Etapa 2.10.4.20

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + (\frac{15040000}{x^{4}} - \frac{30080}{3 x^{2}} + \frac{376}{225}) (\frac{1}{{(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{3}})$

Etapa 2.10.4.21

Simplifique o denominador.

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Etapa 2.10.4.21.1

Para escrever $\frac{200}{x}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{15}{15}$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + (\frac{15040000}{x^{4}} - \frac{30080}{3 x^{2}} + \frac{376}{225}) (\frac{1}{{(\frac{200}{x} \cdot \frac{15}{15} + \frac{x}{15})}^{3}})$

Etapa 2.10.4.21.2

Para escrever $\frac{x}{15}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x}{x}$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + (\frac{15040000}{x^{4}} - \frac{30080}{3 x^{2}} + \frac{376}{225}) (\frac{1}{{(\frac{200}{x} \cdot \frac{15}{15} + \frac{x}{15} \cdot \frac{x}{x})}^{3}})$

Etapa 2.10.4.21.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $x \cdot 15$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 2.10.4.21.3.1

Multiplique $\frac{200}{x}$ por $\frac{15}{15}$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + (\frac{15040000}{x^{4}} - \frac{30080}{3 x^{2}} + \frac{376}{225}) (\frac{1}{{(\frac{200 \cdot 15}{x \cdot 15} + \frac{x}{15} \cdot \frac{x}{x})}^{3}})$

Etapa 2.10.4.21.3.2

Multiplique $\frac{x}{15}$ por $\frac{x}{x}$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + (\frac{15040000}{x^{4}} - \frac{30080}{3 x^{2}} + \frac{376}{225}) (\frac{1}{{(\frac{200 \cdot 15}{x \cdot 15} + \frac{x \cdot x}{15 x})}^{3}})$

Etapa 2.10.4.21.3.3

Reordene os fatores de $x \cdot 15$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + (\frac{15040000}{x^{4}} - \frac{30080}{3 x^{2}} + \frac{376}{225}) (\frac{1}{{(\frac{200 \cdot 15}{15 x} + \frac{x \cdot x}{15 x})}^{3}})$

Etapa 2.10.4.21.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + (\frac{15040000}{x^{4}} - \frac{30080}{3 x^{2}} + \frac{376}{225}) (\frac{1}{{(\frac{200 \cdot 15 + x \cdot x}{15 x})}^{3}})$

Etapa 2.10.4.21.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.10.4.21.5.1

Multiplique $200$ por $15$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + (\frac{15040000}{x^{4}} - \frac{30080}{3 x^{2}} + \frac{376}{225}) (\frac{1}{{(\frac{3000 + x \cdot x}{15 x})}^{3}})$

Etapa 2.10.4.21.5.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + (\frac{15040000}{x^{4}} - \frac{30080}{3 x^{2}} + \frac{376}{225}) (\frac{1}{{(\frac{3000 + x^{2}}{15 x})}^{3}})$

Etapa 2.10.4.21.6

Aplique a regra do produto a $\frac{3000 + x^{2}}{15 x}$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + (\frac{15040000}{x^{4}} - \frac{30080}{3 x^{2}} + \frac{376}{225}) (\frac{1}{\frac{{(3000 + x^{2})}^{3}}{{(15 x)}^{3}}})$

Etapa 2.10.4.21.7

Aplique a regra do produto a $15 x$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + (\frac{15040000}{x^{4}} - \frac{30080}{3 x^{2}} + \frac{376}{225}) (\frac{1}{\frac{{(3000 + x^{2})}^{3}}{15^{3} x^{3}}})$

Etapa 2.10.4.21.8

Eleve $15$ à potência de $3$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + (\frac{15040000}{x^{4}} - \frac{30080}{3 x^{2}} + \frac{376}{225}) (\frac{1}{\frac{{(3000 + x^{2})}^{3}}{3375 x^{3}}})$

Etapa 2.10.4.22

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + (\frac{15040000}{x^{4}} - \frac{30080}{3 x^{2}} + \frac{376}{225}) (1 (\frac{3375 x^{3}}{{(3000 + x^{2})}^{3}}))$

Etapa 2.10.4.23

Multiplique $\frac{3375 x^{3}}{{(3000 + x^{2})}^{3}}$ por $1$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + (\frac{15040000}{x^{4}} - \frac{30080}{3 x^{2}} + \frac{376}{225}) (\frac{3375 x^{3}}{{(3000 + x^{2})}^{3}})$

Etapa 2.10.4.24

Multiplique $\frac{15040000}{x^{4}} - \frac{30080}{3 x^{2}} + \frac{376}{225}$ por $\frac{3375 x^{3}}{{(3000 + x^{2})}^{3}}$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + \frac{(\frac{15040000}{x^{4}} - \frac{30080}{3 x^{2}} + \frac{376}{225}) (3375 x^{3})}{{(3000 + x^{2})}^{3}}$

Etapa 2.10.4.25

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.10.4.25.1

Reordene os termos.

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + \frac{(- \frac{30080}{3 x^{2}} + \frac{15040000}{x^{4}} + \frac{376}{225}) \cdot (3375 x^{3})}{{(3000 + x^{2})}^{3}}$

Etapa 2.10.4.25.2

Para escrever $- \frac{30080}{3 x^{2}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + \frac{(- \frac{30080}{3 x^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{15040000}{x^{4}} + \frac{376}{225}) \cdot (3375 x^{3})}{{(3000 + x^{2})}^{3}}$

Etapa 2.10.4.25.3

Para escrever $\frac{15040000}{x^{4}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + \frac{(- \frac{30080}{3 x^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{15040000}{x^{4}} \cdot \frac{3}{3} + \frac{376}{225}) \cdot (3375 x^{3})}{{(3000 + x^{2})}^{3}}$

Etapa 2.10.4.25.4

Escreva cada expressão com um denominador comum de $3 x^{4}$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 2.10.4.25.4.1

Multiplique $\frac{30080}{3 x^{2}}$ por $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + \frac{(- \frac{30080 x^{2}}{3 x^{2} x^{2}} + \frac{15040000}{x^{4}} \cdot \frac{3}{3} + \frac{376}{225}) \cdot (3375 x^{3})}{{(3000 + x^{2})}^{3}}$

Etapa 2.10.4.25.4.2

Multiplique $x^{2}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.10.4.25.4.2.1

Mova $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + \frac{(- \frac{30080 x^{2}}{3 (x^{2} x^{2})} + \frac{15040000}{x^{4}} \cdot \frac{3}{3} + \frac{376}{225}) \cdot (3375 x^{3})}{{(3000 + x^{2})}^{3}}$

Etapa 2.10.4.25.4.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + \frac{(- \frac{30080 x^{2}}{3 x^{2 + 2}} + \frac{15040000}{x^{4}} \cdot \frac{3}{3} + \frac{376}{225}) \cdot (3375 x^{3})}{{(3000 + x^{2})}^{3}}$

Etapa 2.10.4.25.4.2.3

Some $2$ e $2$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + \frac{(- \frac{30080 x^{2}}{3 x^{4}} + \frac{15040000}{x^{4}} \cdot \frac{3}{3} + \frac{376}{225}) \cdot (3375 x^{3})}{{(3000 + x^{2})}^{3}}$

Etapa 2.10.4.25.4.3

Multiplique $\frac{15040000}{x^{4}}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + \frac{(- \frac{30080 x^{2}}{3 x^{4}} + \frac{15040000 \cdot 3}{x^{4} \cdot 3} + \frac{376}{225}) \cdot (3375 x^{3})}{{(3000 + x^{2})}^{3}}$

Etapa 2.10.4.25.4.4

Reordene os fatores de $x^{4} \cdot 3$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + \frac{(- \frac{30080 x^{2}}{3 x^{4}} + \frac{15040000 \cdot 3}{3 x^{4}} + \frac{376}{225}) \cdot (3375 x^{3})}{{(3000 + x^{2})}^{3}}$

Etapa 2.10.4.25.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + \frac{(\frac{- 30080 x^{2} + 15040000 \cdot 3}{3 x^{4}} + \frac{376}{225}) \cdot (3375 x^{3})}{{(3000 + x^{2})}^{3}}$

Etapa 2.10.4.25.6

Multiplique $15040000$ por $3$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + \frac{(\frac{- 30080 x^{2} + 45120000}{3 x^{4}} + \frac{376}{225}) \cdot (3375 x^{3})}{{(3000 + x^{2})}^{3}}$

Etapa 2.10.4.25.7

Fatore $30080$ de $- 30080 x^{2} + 45120000$ .

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Etapa 2.10.4.25.7.1

Fatore $30080$ de $- 30080 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + \frac{(\frac{30080 (- x^{2}) + 45120000}{3 x^{4}} + \frac{376}{225}) \cdot (3375 x^{3})}{{(3000 + x^{2})}^{3}}$

Etapa 2.10.4.25.7.2

Fatore $30080$ de $45120000$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + \frac{(\frac{30080 (- x^{2}) + 30080 (1500)}{3 x^{4}} + \frac{376}{225}) \cdot (3375 x^{3})}{{(3000 + x^{2})}^{3}}$

Etapa 2.10.4.25.7.3

Fatore $30080$ de $30080 (- x^{2}) + 30080 (1500)$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + \frac{(\frac{30080 (- x^{2} + 1500)}{3 x^{4}} + \frac{376}{225}) \cdot (3375 x^{3})}{{(3000 + x^{2})}^{3}}$

Etapa 2.10.4.25.8

Para escrever $\frac{30080 (- x^{2} + 1500)}{3 x^{4}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{75}{75}$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + \frac{(\frac{30080 (- x^{2} + 1500)}{3 x^{4}} \cdot \frac{75}{75} + \frac{376}{225}) \cdot (3375 x^{3})}{{(3000 + x^{2})}^{3}}$

Etapa 2.10.4.25.9

Para escrever $\frac{376}{225}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x^{4}}{x^{4}}$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + \frac{(\frac{30080 (- x^{2} + 1500)}{3 x^{4}} \cdot \frac{75}{75} + \frac{376}{225} \cdot \frac{x^{4}}{x^{4}}) \cdot (3375 x^{3})}{{(3000 + x^{2})}^{3}}$

Etapa 2.10.4.25.10

Escreva cada expressão com um denominador comum de $225 x^{4}$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 2.10.4.25.10.1

Multiplique $\frac{30080 (- x^{2} + 1500)}{3 x^{4}}$ por $\frac{75}{75}$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + \frac{(\frac{30080 (- x^{2} + 1500) \cdot 75}{3 x^{4} \cdot 75} + \frac{376}{225} \cdot \frac{x^{4}}{x^{4}}) \cdot (3375 x^{3})}{{(3000 + x^{2})}^{3}}$

Etapa 2.10.4.25.10.2

Multiplique $75$ por $3$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + \frac{(\frac{30080 (- x^{2} + 1500) \cdot 75}{225 x^{4}} + \frac{376}{225} \cdot \frac{x^{4}}{x^{4}}) \cdot (3375 x^{3})}{{(3000 + x^{2})}^{3}}$

Etapa 2.10.4.25.10.3

Multiplique $\frac{376}{225}$ por $\frac{x^{4}}{x^{4}}$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + \frac{(\frac{30080 (- x^{2} + 1500) \cdot 75}{225 x^{4}} + \frac{376 x^{4}}{225 x^{4}}) \cdot (3375 x^{3})}{{(3000 + x^{2})}^{3}}$

Etapa 2.10.4.25.11

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + \frac{\frac{30080 (- x^{2} + 1500) \cdot 75 + 376 x^{4}}{225 x^{4}} \cdot (3375 x^{3})}{{(3000 + x^{2})}^{3}}$

Etapa 2.10.4.25.12

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.10.4.25.12.1

Fatore $376$ de $30080 (- x^{2} + 1500) \cdot 75 + 376 x^{4}$ .

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Etapa 2.10.4.25.12.1.1

Fatore $376$ de $30080 (- x^{2} + 1500) \cdot 75$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + \frac{\frac{376 (80 (- x^{2} + 1500) \cdot 75) + 376 x^{4}}{225 x^{4}} \cdot (3375 x^{3})}{{(3000 + x^{2})}^{3}}$

Etapa 2.10.4.25.12.1.2

Fatore $376$ de $376 x^{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + \frac{\frac{376 (80 (- x^{2} + 1500) \cdot 75) + 376 (x^{4})}{225 x^{4}} \cdot (3375 x^{3})}{{(3000 + x^{2})}^{3}}$

Etapa 2.10.4.25.12.1.3

Fatore $376$ de $376 (80 (- x^{2} + 1500) \cdot 75) + 376 (x^{4})$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + \frac{\frac{376 (80 (- x^{2} + 1500) \cdot 75 + x^{4})}{225 x^{4}} \cdot (3375 x^{3})}{{(3000 + x^{2})}^{3}}$

Etapa 2.10.4.25.12.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + \frac{\frac{376 ((80 (- x^{2}) + 80 \cdot 1500) \cdot 75 + x^{4})}{225 x^{4}} \cdot (3375 x^{3})}{{(3000 + x^{2})}^{3}}$

Etapa 2.10.4.25.12.3

Multiplique $- 1$ por $80$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + \frac{\frac{376 ((- 80 x^{2} + 80 \cdot 1500) \cdot 75 + x^{4})}{225 x^{4}} \cdot (3375 x^{3})}{{(3000 + x^{2})}^{3}}$

Etapa 2.10.4.25.12.4

Multiplique $80$ por $1500$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + \frac{\frac{376 ((- 80 x^{2} + 120000) \cdot 75 + x^{4})}{225 x^{4}} \cdot (3375 x^{3})}{{(3000 + x^{2})}^{3}}$

Etapa 2.10.4.25.12.5

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + \frac{\frac{376 (- 80 x^{2} \cdot 75 + 120000 \cdot 75 + x^{4})}{225 x^{4}} \cdot (3375 x^{3})}{{(3000 + x^{2})}^{3}}$

Etapa 2.10.4.25.12.6

Multiplique $75$ por $- 80$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + \frac{\frac{376 (- 6000 x^{2} + 120000 \cdot 75 + x^{4})}{225 x^{4}} \cdot (3375 x^{3})}{{(3000 + x^{2})}^{3}}$

Etapa 2.10.4.25.12.7

Multiplique $120000$ por $75$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + \frac{\frac{376 (- 6000 x^{2} + 9000000 + x^{4})}{225 x^{4}} \cdot (3375 x^{3})}{{(3000 + x^{2})}^{3}}$

Etapa 2.10.4.25.12.8

Reordene os termos.

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + \frac{\frac{376 (x^{4} - 6000 x^{2} + 9000000)}{225 x^{4}} \cdot (3375 x^{3})}{{(3000 + x^{2})}^{3}}$

Etapa 2.10.4.25.12.9

Reescreva $x^{4} - 6000 x^{2} + 9000000$ em uma forma fatorada.

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Etapa 2.10.4.25.12.9.1

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + \frac{\frac{376 ({(x^{2})}^{2} - 6000 x^{2} + 9000000)}{225 x^{4}} \cdot (3375 x^{3})}{{(3000 + x^{2})}^{3}}$

Etapa 2.10.4.25.12.9.2

Deixe $u = x^{2}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + \frac{\frac{376 (u^{2} - 6000 u + 9000000)}{225 x^{4}} \cdot (3375 x^{3})}{{(3000 + x^{2})}^{3}}$

Etapa 2.10.4.25.12.9.3

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.10.4.25.12.9.3.1

Reescreva $9000000$ como $3000^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + \frac{\frac{376 (u^{2} - 6000 u + 3000^{2})}{225 x^{4}} \cdot (3375 x^{3})}{{(3000 + x^{2})}^{3}}$

Etapa 2.10.4.25.12.9.3.2

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$6000 u = 2 \cdot u \cdot 3000$

Etapa 2.10.4.25.12.9.3.3

Reescreva o polinômio.

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + \frac{\frac{376 (u^{2} - 2 \cdot u \cdot 3000 + 3000^{2})}{225 x^{4}} \cdot (3375 x^{3})}{{(3000 + x^{2})}^{3}}$

Etapa 2.10.4.25.12.9.3.4

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , em que $a = u$ e $b = 3000$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + \frac{\frac{376 {(u - 3000)}^{2}}{225 x^{4}} \cdot (3375 x^{3})}{{(3000 + x^{2})}^{3}}$

Etapa 2.10.4.25.12.9.4

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + \frac{\frac{376 {(x^{2} - 3000)}^{2}}{225 x^{4}} \cdot (3375 x^{3})}{{(3000 + x^{2})}^{3}}$

Etapa 2.10.4.25.13

Combine expoentes.

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Etapa 2.10.4.25.13.1

Combine $\frac{376 {(x^{2} - 3000)}^{2}}{225 x^{4}}$ e $3375$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + \frac{\frac{376 {(x^{2} - 3000)}^{2} \cdot 3375}{225 x^{4}} \cdot x^{3}}{{(3000 + x^{2})}^{3}}$

Etapa 2.10.4.25.13.2

Multiplique $3375$ por $376$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + \frac{\frac{1269000 {(x^{2} - 3000)}^{2}}{225 x^{4}} \cdot x^{3}}{{(3000 + x^{2})}^{3}}$

Etapa 2.10.4.25.13.3

Combine $\frac{1269000 {(x^{2} - 3000)}^{2}}{225 x^{4}}$ e $x^{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + \frac{\frac{1269000 {(x^{2} - 3000)}^{2} x^{3}}{225 x^{4}}}{{(3000 + x^{2})}^{3}}$

Etapa 2.10.4.25.14

Reduza a expressão $\frac{1269000 {(x^{2} - 3000)}^{2} x^{3}}{225 x^{4}}$ cancelando os fatores comuns.

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Etapa 2.10.4.25.14.1

Fatore $225$ de $1269000 {(x^{2} - 3000)}^{2} x^{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + \frac{\frac{225 (5640 {(x^{2} - 3000)}^{2} x^{3})}{225 x^{4}}}{{(3000 + x^{2})}^{3}}$

Etapa 2.10.4.25.14.2

Fatore $225$ de $225 x^{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + \frac{\frac{225 (5640 {(x^{2} - 3000)}^{2} x^{3})}{225 (x^{4})}}{{(3000 + x^{2})}^{3}}$

Etapa 2.10.4.25.14.3

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + \frac{\frac{225 (5640 {(x^{2} - 3000)}^{2} x^{3})}{225 x^{4}}}{{(3000 + x^{2})}^{3}}$

Etapa 2.10.4.25.14.4

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + \frac{\frac{5640 {(x^{2} - 3000)}^{2} x^{3}}{x^{4}}}{{(3000 + x^{2})}^{3}}$

Etapa 2.10.4.25.15

Cancele o fator comum de $x^{3}$ e $x^{4}$ .

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Etapa 2.10.4.25.15.1

Fatore $x^{3}$ de $5640 {(x^{2} - 3000)}^{2} x^{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + \frac{\frac{x^{3} (5640 {(x^{2} - 3000)}^{2})}{x^{4}}}{{(3000 + x^{2})}^{3}}$

Etapa 2.10.4.25.15.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.10.4.25.15.2.1

Fatore $x^{3}$ de $x^{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + \frac{\frac{x^{3} (5640 {(x^{2} - 3000)}^{2})}{x^{3} x}}{{(3000 + x^{2})}^{3}}$

Etapa 2.10.4.25.15.2.2

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + \frac{\frac{x^{3} (5640 {(x^{2} - 3000)}^{2})}{x^{3} x}}{{(3000 + x^{2})}^{3}}$

Etapa 2.10.4.25.15.2.3

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + \frac{\frac{5640 {(x^{2} - 3000)}^{2}}{x}}{{(3000 + x^{2})}^{3}}$

Etapa 2.10.4.26

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + \frac{5640 {(x^{2} - 3000)}^{2}}{x} \cdot \frac{1}{{(3000 + x^{2})}^{3}}$

Etapa 2.10.4.27

Combine.

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + \frac{5640 {(x^{2} - 3000)}^{2} \cdot 1}{x {(3000 + x^{2})}^{3}}$

Etapa 2.10.4.28

Multiplique $5640$ por $1$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + \frac{5640 {(x^{2} - 3000)}^{2}}{x {(3000 + x^{2})}^{3}}$

Etapa 2.10.5

Para escrever $- \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3000 + x^{2}}{3000 + x^{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} \cdot \frac{3000 + x^{2}}{3000 + x^{2}} + \frac{5640 {(x^{2} - 3000)}^{2}}{x {(3000 + x^{2})}^{3}}$

Etapa 2.10.6

Escreva cada expressão com um denominador comum de $x {(3000 + x^{2})}^{3}$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 2.10.6.1

Multiplique $\frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}}$ por $\frac{3000 + x^{2}}{3000 + x^{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000 (3000 + x^{2})}{x {(3000 + x^{2})}^{2} (3000 + x^{2})} + \frac{5640 {(x^{2} - 3000)}^{2}}{x {(3000 + x^{2})}^{3}}$

Etapa 2.10.6.2

Eleve $3000 + x^{2}$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000 (3000 + x^{2})}{x ((3000 + x^{2}) {(3000 + x^{2})}^{2})} + \frac{5640 {(x^{2} - 3000)}^{2}}{x {(3000 + x^{2})}^{3}}$

Etapa 2.10.6.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = - \frac{16920000 (3000 + x^{2})}{x {(3000 + x^{2})}^{1 + 2}} + \frac{5640 {(x^{2} - 3000)}^{2}}{x {(3000 + x^{2})}^{3}}$

Etapa 2.10.6.4

Some $1$ e $2$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000 (3000 + x^{2})}{x {(3000 + x^{2})}^{3}} + \frac{5640 {(x^{2} - 3000)}^{2}}{x {(3000 + x^{2})}^{3}}$

Etapa 2.10.7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = \frac{- 16920000 (3000 + x^{2}) + 5640 {(x^{2} - 3000)}^{2}}{x {(3000 + x^{2})}^{3}}$

Etapa 2.10.8

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.10.8.1

Fatore $5640$ de $- 16920000 (3000 + x^{2}) + 5640 {(x^{2} - 3000)}^{2}$ .

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Etapa 2.10.8.1.1

Fatore $5640$ de $- 16920000 (3000 + x^{2})$ .

$f'' (x) = \frac{5640 (- 3000 (3000 + x^{2})) + 5640 {(x^{2} - 3000)}^{2}}{x {(3000 + x^{2})}^{3}}$

Etapa 2.10.8.1.2

Fatore $5640$ de $5640 {(x^{2} - 3000)}^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{5640 (- 3000 (3000 + x^{2})) + 5640 ({(x^{2} - 3000)}^{2})}{x {(3000 + x^{2})}^{3}}$

Etapa 2.10.8.1.3

Fatore $5640$ de $5640 (- 3000 (3000 + x^{2})) + 5640 ({(x^{2} - 3000)}^{2})$ .

$f'' (x) = \frac{5640 (- 3000 (3000 + x^{2}) + {(x^{2} - 3000)}^{2})}{x {(3000 + x^{2})}^{3}}$

Etapa 2.10.8.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{5640 (- 3000 \cdot 3000 - 3000 x^{2} + {(x^{2} - 3000)}^{2})}{x {(3000 + x^{2})}^{3}}$

Etapa 2.10.8.3

Multiplique $- 3000$ por $3000$ .

$f'' (x) = \frac{5640 (- 9000000 - 3000 x^{2} + {(x^{2} - 3000)}^{2})}{x {(3000 + x^{2})}^{3}}$

Etapa 2.10.8.4

Reescreva ${(x^{2} - 3000)}^{2}$ como $(x^{2} - 3000) (x^{2} - 3000)$ .

$f'' (x) = \frac{5640 (- 9000000 - 3000 x^{2} + (x^{2} - 3000) (x^{2} - 3000))}{x {(3000 + x^{2})}^{3}}$

Etapa 2.10.8.5

Expanda $(x^{2} - 3000) (x^{2} - 3000)$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.10.8.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{5640 (- 9000000 - 3000 x^{2} + x^{2} (x^{2} - 3000) - 3000 (x^{2} - 3000))}{x {(3000 + x^{2})}^{3}}$

Etapa 2.10.8.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{5640 (- 9000000 - 3000 x^{2} + x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 3000 - 3000 (x^{2} - 3000))}{x {(3000 + x^{2})}^{3}}$

Etapa 2.10.8.5.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{5640 (- 9000000 - 3000 x^{2} + x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 3000 - 3000 x^{2} - 3000 \cdot - 3000)}{x {(3000 + x^{2})}^{3}}$

Etapa 2.10.8.6

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 2.10.8.6.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.10.8.6.1.1

Multiplique $x^{2}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.10.8.6.1.1.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{5640 (- 9000000 - 3000 x^{2} + x^{2 + 2} + x^{2} \cdot - 3000 - 3000 x^{2} - 3000 \cdot - 3000)}{x {(3000 + x^{2})}^{3}}$

Etapa 2.10.8.6.1.1.2

Some $2$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{5640 (- 9000000 - 3000 x^{2} + x^{4} + x^{2} \cdot - 3000 - 3000 x^{2} - 3000 \cdot - 3000)}{x {(3000 + x^{2})}^{3}}$

Etapa 2.10.8.6.1.2

Mova $- 3000$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{5640 (- 9000000 - 3000 x^{2} + x^{4} - 3000 \cdot x^{2} - 3000 x^{2} - 3000 \cdot - 3000)}{x {(3000 + x^{2})}^{3}}$

Etapa 2.10.8.6.1.3

Multiplique $- 3000$ por $- 3000$ .

$f'' (x) = \frac{5640 (- 9000000 - 3000 x^{2} + x^{4} - 3000 x^{2} - 3000 x^{2} + 9000000)}{x {(3000 + x^{2})}^{3}}$

Etapa 2.10.8.6.2

Subtraia $3000 x^{2}$ de $- 3000 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{5640 (- 9000000 - 3000 x^{2} + x^{4} - 6000 x^{2} + 9000000)}{x {(3000 + x^{2})}^{3}}$

Etapa 2.10.8.7

Some $- 9000000$ e $9000000$ .

$f'' (x) = \frac{5640 (- 3000 x^{2} + x^{4} - 6000 x^{2} + 0)}{x {(3000 + x^{2})}^{3}}$

Etapa 2.10.8.8

Some $- 3000 x^{2} + x^{4} - 6000 x^{2}$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{5640 (- 3000 x^{2} + x^{4} - 6000 x^{2})}{x {(3000 + x^{2})}^{3}}$

Etapa 2.10.8.9

Subtraia $6000 x^{2}$ de $- 3000 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{5640 (x^{4} - 9000 x^{2})}{x {(3000 + x^{2})}^{3}}$

Etapa 2.10.8.10

Fatore $x^{2}$ de $x^{4} - 9000 x^{2}$ .

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Etapa 2.10.8.10.1

Fatore $x^{2}$ de $x^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{5640 (x^{2} x^{2} - 9000 x^{2})}{x {(3000 + x^{2})}^{3}}$

Etapa 2.10.8.10.2

Fatore $x^{2}$ de $- 9000 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{5640 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 9000)}{x {(3000 + x^{2})}^{3}}$

Etapa 2.10.8.10.3

Fatore $x^{2}$ de $x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 9000$ .

$f'' (x) = \frac{5640 (x^{2} (x^{2} - 9000))}{x {(3000 + x^{2})}^{3}}$

$f'' (x) = \frac{5640 x^{2} (x^{2} - 9000)}{x {(3000 + x^{2})}^{3}}$

Etapa 2.10.9

Cancele o fator comum de $x^{2}$ e $x$ .

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Etapa 2.10.9.1

Fatore $x$ de $5640 x^{2} (x^{2} - 9000)$ .

$f'' (x) = \frac{x (5640 x (x^{2} - 9000))}{x {(3000 + x^{2})}^{3}}$

Etapa 2.10.9.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.10.9.2.1

Fatore $x$ de $x {(3000 + x^{2})}^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{x (5640 x (x^{2} - 9000))}{x ({(3000 + x^{2})}^{3})}$

Etapa 2.10.9.2.2

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = \frac{x (5640 x (x^{2} - 9000))}{x {(3000 + x^{2})}^{3}}$

Etapa 2.10.9.2.3

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = \frac{5640 x (x^{2} - 9000)}{{(3000 + x^{2})}^{3}}$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$- 188 {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2} (- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15}) = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 4.1.1

Como $188$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $188 {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 1}$ em relação a $x$ é $188 \frac{d}{d x} [{(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 1}]$ .

$188 \frac{d}{d x} [{(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 1}]$

Etapa 4.1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = \frac{200}{x} + \frac{x}{15}$ .

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Etapa 4.1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\frac{200}{x} + \frac{x}{15}$ .

$188 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [\frac{200}{x} + \frac{x}{15}])$

Etapa 4.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$188 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [\frac{200}{x} + \frac{x}{15}])$

Etapa 4.1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{200}{x} + \frac{x}{15}$ .

$188 (- {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2} \frac{d}{d x} [\frac{200}{x} + \frac{x}{15}])$

Etapa 4.1.3

Diferencie.

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Etapa 4.1.3.1

Multiplique $- 1$ por $188$ .

$- 188 ({(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2} \frac{d}{d x} [\frac{200}{x} + \frac{x}{15}])$

Etapa 4.1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{200}{x} + \frac{x}{15}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{200}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{15}]$ .

$- 188 {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2} (\frac{d}{d x} [\frac{200}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{15}])$

Etapa 4.1.3.3

Como $200$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{200}{x}$ em relação a $x$ é $200 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$- 188 {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2} (200 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{15}])$

Etapa 4.1.3.4

Reescreva $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$- 188 {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2} (200 \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{15}])$

Etapa 4.1.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$- 188 {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2} (200 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [\frac{x}{15}])$

Etapa 4.1.3.6

Multiplique $- 1$ por $200$ .

$- 188 {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2} (- 200 x^{- 2} + \frac{d}{d x} [\frac{x}{15}])$

Etapa 4.1.3.7

Como $\frac{1}{15}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{x}{15}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{15} \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 188 {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2} (- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.1.3.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 188 {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2} (- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15} \cdot 1)$

Etapa 4.1.3.9

Multiplique $\frac{1}{15}$ por $1$ .

$f' (x) = - 188 {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2} (- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15})$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- 188 {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2} (- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15})$ .

$- 188 {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2} (- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15})$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- 188 {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2} (- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15}) = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- 188 {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2} (- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15}) = 0$

Etapa 5.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

${(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2} = 0$

$- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15} = 0$

Etapa 5.3

Defina ${(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Defina ${(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2}$ como igual a $0$ .

${(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2} = 0$

Etapa 5.3.2

Resolva ${(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2} = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1

Simplifique ${(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{{(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{2}} = 0$

Etapa 5.3.2.1.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1.2.1

Para escrever $\frac{200}{x}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{15}{15}$ .

$\frac{1}{{(\frac{200}{x} \cdot \frac{15}{15} + \frac{x}{15})}^{2}} = 0$

Etapa 5.3.2.1.2.2

Para escrever $\frac{x}{15}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{1}{{(\frac{200}{x} \cdot \frac{15}{15} + \frac{x}{15} \cdot \frac{x}{x})}^{2}} = 0$

Etapa 5.3.2.1.2.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $x \cdot 15$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1.2.3.1

Multiplique $\frac{200}{x}$ por $\frac{15}{15}$ .

$\frac{1}{{(\frac{200 \cdot 15}{x \cdot 15} + \frac{x}{15} \cdot \frac{x}{x})}^{2}} = 0$

Etapa 5.3.2.1.2.3.2

Multiplique $\frac{x}{15}$ por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{1}{{(\frac{200 \cdot 15}{x \cdot 15} + \frac{x \cdot x}{15 x})}^{2}} = 0$

Etapa 5.3.2.1.2.3.3

Reordene os fatores de $x \cdot 15$ .

$\frac{1}{{(\frac{200 \cdot 15}{15 x} + \frac{x \cdot x}{15 x})}^{2}} = 0$

Etapa 5.3.2.1.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{{(\frac{200 \cdot 15 + x \cdot x}{15 x})}^{2}} = 0$

Etapa 5.3.2.1.2.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1.2.5.1

Multiplique $200$ por $15$ .

$\frac{1}{{(\frac{3000 + x \cdot x}{15 x})}^{2}} = 0$

Etapa 5.3.2.1.2.5.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{1}{{(\frac{3000 + x^{2}}{15 x})}^{2}} = 0$

Etapa 5.3.2.1.2.6

Aplique a regra do produto a $\frac{3000 + x^{2}}{15 x}$ .

$\frac{1}{\frac{{(3000 + x^{2})}^{2}}{{(15 x)}^{2}}} = 0$

Etapa 5.3.2.1.2.7

Aplique a regra do produto a $15 x$ .

$\frac{1}{\frac{{(3000 + x^{2})}^{2}}{15^{2} x^{2}}} = 0$

Etapa 5.3.2.1.2.8

Eleve $15$ à potência de $2$ .

$\frac{1}{\frac{{(3000 + x^{2})}^{2}}{225 x^{2}}} = 0$

Etapa 5.3.2.1.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$1 \frac{225 x^{2}}{{(3000 + x^{2})}^{2}} = 0$

Etapa 5.3.2.1.4

Multiplique $\frac{225 x^{2}}{{(3000 + x^{2})}^{2}}$ por $1$ .

$\frac{225 x^{2}}{{(3000 + x^{2})}^{2}} = 0$

Etapa 5.3.2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$225 x^{2} = 0$

Etapa 5.3.2.3

Resolva a equação para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.3.1

Divida cada termo em $225 x^{2} = 0$ por $225$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.3.1.1

Divida cada termo em $225 x^{2} = 0$ por $225$ .

$\frac{225 x^{2}}{225} = \frac{0}{225}$

Etapa 5.3.2.3.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.3.1.2.1

Cancele o fator comum de $225$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.3.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{225 x^{2}}{225} = \frac{0}{225}$

Etapa 5.3.2.3.1.2.1.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{0}{225}$

Etapa 5.3.2.3.1.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.3.1.3.1

Divida $0$ por $225$ .

$x^{2} = 0$

Etapa 5.3.2.3.2

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{0}$

Etapa 5.3.2.3.3

Simplifique $\pm \sqrt{0}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.3.3.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Etapa 5.3.2.3.3.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 0$

Etapa 5.3.2.3.3.3

Mais ou menos $0$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 5.4

Defina $- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1

Defina $- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15}$ como igual a $0$ .

$- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15} = 0$

Etapa 5.4.2

Resolva $- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15} = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.1.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 200 \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{15} = 0$

Etapa 5.4.2.1.2

Combine $- 200$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{- 200}{x^{2}} + \frac{1}{15} = 0$

Etapa 5.4.2.1.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{200}{x^{2}} + \frac{1}{15} = 0$

Etapa 5.4.2.2

Subtraia $\frac{1}{15}$ dos dois lados da equação.

$- \frac{200}{x^{2}} = - \frac{1}{15}$

Etapa 5.4.2.3

Encontre o MMC dos termos na equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.3.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$x^{2}, 15$

Etapa 5.4.2.3.2

Como $x^{2}, 15$ contém números e variáveis, há duas etapas para encontrar o MMC. Encontre o MMC da parte numérica $x^{2}, 15$ 1) e, depois, o da parte variável $x^{2}, 15$ .

Etapa 5.4.2.3.3

O MMC é o menor número positivo pelo qual todos os números se dividem uniformemente.

1. Liste os fatores primos de cada número.

2. Multiplique cada fator pelo maior número de vezes em que ele ocorre em cada número.

Etapa 5.4.2.3.4

O número $1$ não é primo porque tem apenas um fator positivo, que é ele mesmo.

Não é primo

Etapa 5.4.2.3.5

$15$ tem fatores de $3$ e $5$ .

$3 \cdot 5$

Etapa 5.4.2.3.6

Multiplique $3$ por $5$ .

$15$

Etapa 5.4.2.3.7

Os fatores para $x^{2}$ são $x \cdot x$ , que é $x$ multiplicado um pelo outro $2$ vezes.

$x^{2} = x \cdot x$

$x$ ocorre $2$ vezes.

Etapa 5.4.2.3.8

O MMC de $x^{2}$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores primos pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos termos.

$x \cdot x$

Etapa 5.4.2.3.9

Multiplique $x$ por $x$ .

$x^{2}$

Etapa 5.4.2.3.10

O MMC de $x^{2}, 15$ é a parte numérica $15$ multiplicada pela parte variável.

$15 x^{2}$

Etapa 5.4.2.4

Multiplique cada termo em $- \frac{200}{x^{2}} = - \frac{1}{15}$ por $15 x^{2}$ para eliminar as frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.4.1

Multiplique cada termo em $- \frac{200}{x^{2}} = - \frac{1}{15}$ por $15 x^{2}$ .

$- \frac{200}{x^{2}} (15 x^{2}) = - \frac{1}{15} (15 x^{2})$

Etapa 5.4.2.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.4.2.1

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.4.2.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{200}{x^{2}}$ para o numerador.

$\frac{- 200}{x^{2}} (15 x^{2}) = - \frac{1}{15} (15 x^{2})$

Etapa 5.4.2.4.2.1.2

Fatore $x^{2}$ de $15 x^{2}$ .

$\frac{- 200}{x^{2}} (x^{2} \cdot 15) = - \frac{1}{15} (15 x^{2})$

Etapa 5.4.2.4.2.1.3

Cancele o fator comum.

$\frac{- 200}{x^{2}} (x^{2} \cdot 15) = - \frac{1}{15} (15 x^{2})$

Etapa 5.4.2.4.2.1.4

Reescreva a expressão.

$- 200 \cdot 15 = - \frac{1}{15} (15 x^{2})$

Etapa 5.4.2.4.2.2

Multiplique $- 200$ por $15$ .

$- 3000 = - \frac{1}{15} (15 x^{2})$

Etapa 5.4.2.4.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.4.3.1

Cancele o fator comum de $15$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.4.3.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{15}$ para o numerador.

$- 3000 = \frac{- 1}{15} (15 x^{2})$

Etapa 5.4.2.4.3.1.2

Fatore $15$ de $15 x^{2}$ .

$- 3000 = \frac{- 1}{15} (15 (x^{2}))$

Etapa 5.4.2.4.3.1.3

Cancele o fator comum.

$- 3000 = \frac{- 1}{15} (15 x^{2})$

Etapa 5.4.2.4.3.1.4

Reescreva a expressão.

$- 3000 = - x^{2}$

Etapa 5.4.2.5

Resolva a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.5.1

Reescreva a equação como $- x^{2} = - 3000$ .

$- x^{2} = - 3000$

Etapa 5.4.2.5.2

Divida cada termo em $- x^{2} = - 3000$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.5.2.1

Divida cada termo em $- x^{2} = - 3000$ por $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 3000}{- 1}$

Etapa 5.4.2.5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.5.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 3000}{- 1}$

Etapa 5.4.2.5.2.2.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{- 3000}{- 1}$

Etapa 5.4.2.5.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.5.2.3.1

Divida $- 3000$ por $- 1$ .

$x^{2} = 3000$

Etapa 5.4.2.5.3

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{3000}$

Etapa 5.4.2.5.4

Simplifique $\pm \sqrt{3000}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.5.4.1

Reescreva $3000$ como $10^{2} \cdot 30$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.5.4.1.1

Fatore $100$ de $3000$ .

$x = \pm \sqrt{100 (30)}$

Etapa 5.4.2.5.4.1.2

Reescreva $100$ como $10^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{10^{2} \cdot 30}$

Etapa 5.4.2.5.4.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \pm 10 \sqrt{30}$

Etapa 5.4.2.5.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.5.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 10 \sqrt{30}$

Etapa 5.4.2.5.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 10 \sqrt{30}$

Etapa 5.4.2.5.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 10 \sqrt{30}, - 10 \sqrt{30}$

Etapa 5.5

A solução final são todos os valores que tornam $- 188 {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2} (- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15}) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, 10 \sqrt{30}, - 10 \sqrt{30}$

Etapa 5.6

Exclua as soluções que não tornam $- 188 {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2} (- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15}) = 0$ verdadeira.

$x = 10 \sqrt{30}, - 10 \sqrt{30}$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Defina o denominador em $\frac{200}{x}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x = 0$

Etapa 6.2

Defina a base em ${(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$\frac{200}{x} + \frac{x}{15} = 0$

Etapa 6.3

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Encontre o MMC dos termos na equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$x, 15, 1$

Etapa 6.3.1.2

Como $x, 15, 1$ contém números e variáveis, há duas etapas para encontrar o MMC. Encontre o MMC da parte numérica $x, 15, 1$ 1) e, depois, o da parte variável $x, 15, 1$ .

Etapa 6.3.1.3

O MMC é o menor número positivo pelo qual todos os números se dividem uniformemente.

1. Liste os fatores primos de cada número.

2. Multiplique cada fator pelo maior número de vezes em que ele ocorre em cada número.

Etapa 6.3.1.4

O número $1$ não é primo porque tem apenas um fator positivo, que é ele mesmo.

Não é primo

Etapa 6.3.1.5

$15$ tem fatores de $3$ e $5$ .

$3 \cdot 5$

Etapa 6.3.1.6

O número $1$ não é primo porque tem apenas um fator positivo, que é ele mesmo.

Não é primo

Etapa 6.3.1.7

O MMC de $1, 15, 1$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores primos pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos números.

$3 \cdot 5$

Etapa 6.3.1.8

Multiplique $3$ por $5$ .

$15$

Etapa 6.3.1.9

O fator de $x^{1}$ é o próprio $x$ .

$x^{1} = x$

$x$ ocorre $1$ vez.

Etapa 6.3.1.10

O MMC de $x^{1}$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores primos pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos termos.

$x$

Etapa 6.3.1.11

O MMC de $x, 15, 1$ é a parte numérica $15$ multiplicada pela parte variável.

$15 x$

Etapa 6.3.2

Multiplique cada termo em $\frac{200}{x} + \frac{x}{15} = 0$ por $15 x$ para eliminar as frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1

Multiplique cada termo em $\frac{200}{x} + \frac{x}{15} = 0$ por $15 x$ .

$\frac{200}{x} (15 x) + \frac{x}{15} (15 x) = 0 (15 x)$

Etapa 6.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.2.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$15 \frac{200}{x} x + \frac{x}{15} (15 x) = 0 (15 x)$

Etapa 6.3.2.2.1.2

Multiplique $15 \frac{200}{x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.2.1.2.1

Combine $15$ e $\frac{200}{x}$ .

$\frac{15 \cdot 200}{x} x + \frac{x}{15} (15 x) = 0 (15 x)$

Etapa 6.3.2.2.1.2.2

Multiplique $15$ por $200$ .

$\frac{3000}{x} x + \frac{x}{15} (15 x) = 0 (15 x)$

Etapa 6.3.2.2.1.3

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.2.1.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3000}{x} x + \frac{x}{15} (15 x) = 0 (15 x)$

Etapa 6.3.2.2.1.3.2

Reescreva a expressão.

$3000 + \frac{x}{15} (15 x) = 0 (15 x)$

Etapa 6.3.2.2.1.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$3000 + 15 \frac{x}{15} x = 0 (15 x)$

Etapa 6.3.2.2.1.5

Cancele o fator comum de $15$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.2.1.5.1

Cancele o fator comum.

$3000 + 15 \frac{x}{15} x = 0 (15 x)$

Etapa 6.3.2.2.1.5.2

Reescreva a expressão.

$3000 + x \cdot x = 0 (15 x)$

Etapa 6.3.2.2.1.6

Multiplique $x$ por $x$ .

$3000 + x^{2} = 0 (15 x)$

Etapa 6.3.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.3.1

Multiplique $0 (15 x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.3.1.1

Multiplique $15$ por $0$ .

$3000 + x^{2} = 0 x$

Etapa 6.3.2.3.1.2

Multiplique $0$ por $x$ .

$3000 + x^{2} = 0$

Etapa 6.3.3

Resolva a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.1

Subtraia $3000$ dos dois lados da equação.

$x^{2} = - 3000$

Etapa 6.3.3.2

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{- 3000}$

Etapa 6.3.3.3

Simplifique $\pm \sqrt{- 3000}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.3.1

Reescreva $- 3000$ como $- 1 (3000)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (3000)}$

Etapa 6.3.3.3.2

Reescreva $\sqrt{- 1 (3000)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3000}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3000}$

Etapa 6.3.3.3.3

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{3000}$

Etapa 6.3.3.3.4

Reescreva $3000$ como $10^{2} \cdot 30$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.3.4.1

Fatore $100$ de $3000$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{100 (30)}$

Etapa 6.3.3.3.4.2

Reescreva $100$ como $10^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{10^{2} \cdot 30}$

Etapa 6.3.3.3.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \pm i \cdot (10 \sqrt{30})$

Etapa 6.3.3.3.6

Mova $10$ para a esquerda de $i$ .

$x = \pm 10 i \sqrt{30}$

Etapa 6.3.3.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 10 i \sqrt{30}$

Etapa 6.3.3.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 10 i \sqrt{30}$

Etapa 6.3.3.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 10 i \sqrt{30}, - 10 i \sqrt{30}$

Etapa 6.4

A equação é indefinida quando o denominador é igual a $0$ , o argumento de uma raiz quadrada é menor do que $0$ ou o argumento de um logaritmo é menor do que ou igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = 10 \sqrt{30}, - 10 \sqrt{30}$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = 10 \sqrt{30}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$\frac{5640 (10 \sqrt{30}) ({(10 \sqrt{30})}^{2} - 9000)}{{(3000 + {(10 \sqrt{30})}^{2})}^{3}}$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Multiplique $5640$ por $10$ .

$\frac{56400 \sqrt{30} ({(10 \sqrt{30})}^{2} - 9000)}{{(3000 + {(10 \sqrt{30})}^{2})}^{3}}$

Etapa 9.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1

Aplique a regra do produto a $10 \sqrt{30}$ .

$\frac{56400 \sqrt{30} ({(10 \sqrt{30})}^{2} - 9000)}{{(3000 + 10^{2} {\sqrt{30}}^{2})}^{3}}$

Etapa 9.2.2

Eleve $10$ à potência de $2$ .

$\frac{56400 \sqrt{30} ({(10 \sqrt{30})}^{2} - 9000)}{{(3000 + 100 {\sqrt{30}}^{2})}^{3}}$

Etapa 9.2.3

Reescreva ${\sqrt{30}}^{2}$ como $30$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{30}$ como $30^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{56400 \sqrt{30} ({(10 \sqrt{30})}^{2} - 9000)}{{(3000 + 100 {(30^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{3}}$

Etapa 9.2.3.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{56400 \sqrt{30} ({(10 \sqrt{30})}^{2} - 9000)}{{(3000 + 100 \cdot 30^{\frac{1}{2} \cdot 2})}^{3}}$

Etapa 9.2.3.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{56400 \sqrt{30} ({(10 \sqrt{30})}^{2} - 9000)}{{(3000 + 100 \cdot 30^{\frac{2}{2}})}^{3}}$

Etapa 9.2.3.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.3.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{56400 \sqrt{30} ({(10 \sqrt{30})}^{2} - 9000)}{{(3000 + 100 \cdot 30^{\frac{2}{2}})}^{3}}$

Etapa 9.2.3.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{56400 \sqrt{30} ({(10 \sqrt{30})}^{2} - 9000)}{{(3000 + 100 \cdot 30^{1})}^{3}}$

Etapa 9.2.3.5

Avalie o expoente.

$\frac{56400 \sqrt{30} ({(10 \sqrt{30})}^{2} - 9000)}{{(3000 + 100 \cdot 30)}^{3}}$

Etapa 9.2.4

Multiplique $100$ por $30$ .

$\frac{56400 \sqrt{30} ({(10 \sqrt{30})}^{2} - 9000)}{{(3000 + 3000)}^{3}}$

Etapa 9.2.5

Some $3000$ e $3000$ .

$\frac{56400 \sqrt{30} ({(10 \sqrt{30})}^{2} - 9000)}{6000^{3}}$

Etapa 9.2.6

Eleve $6000$ à potência de $3$ .

$\frac{56400 \sqrt{30} ({(10 \sqrt{30})}^{2} - 9000)}{216000000000}$

Etapa 9.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.1

Aplique a regra do produto a $10 \sqrt{30}$ .

$\frac{56400 \sqrt{30} (10^{2} {\sqrt{30}}^{2} - 9000)}{216000000000}$

Etapa 9.3.2

Eleve $10$ à potência de $2$ .

$\frac{56400 \sqrt{30} (100 {\sqrt{30}}^{2} - 9000)}{216000000000}$

Etapa 9.3.3

Reescreva ${\sqrt{30}}^{2}$ como $30$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{30}$ como $30^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{56400 \sqrt{30} (100 {(30^{\frac{1}{2}})}^{2} - 9000)}{216000000000}$

Etapa 9.3.3.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{56400 \sqrt{30} (100 \cdot 30^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 9000)}{216000000000}$

Etapa 9.3.3.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{56400 \sqrt{30} (100 \cdot 30^{\frac{2}{2}} - 9000)}{216000000000}$

Etapa 9.3.3.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.3.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{56400 \sqrt{30} (100 \cdot 30^{\frac{2}{2}} - 9000)}{216000000000}$

Etapa 9.3.3.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{56400 \sqrt{30} (100 \cdot 30^{1} - 9000)}{216000000000}$

Etapa 9.3.3.5

Avalie o expoente.

$\frac{56400 \sqrt{30} (100 \cdot 30 - 9000)}{216000000000}$

Etapa 9.3.4

Multiplique $100$ por $30$ .

$\frac{56400 \sqrt{30} (3000 - 9000)}{216000000000}$

Etapa 9.3.5

Subtraia $9000$ de $3000$ .

$\frac{56400 \sqrt{30} \cdot - 6000}{216000000000}$

Etapa 9.3.6

Multiplique $- 6000$ por $56400$ .

$\frac{- 338400000 \sqrt{30}}{216000000000}$

Etapa 9.4

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.4.1

Cancele o fator comum de $- 338400000$ e $216000000000$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.4.1.1

Fatore $7200000$ de $- 338400000 \sqrt{30}$ .

$\frac{7200000 (- 47 \sqrt{30})}{216000000000}$

Etapa 9.4.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.4.1.2.1

Fatore $7200000$ de $216000000000$ .

$\frac{7200000 (- 47 \sqrt{30})}{7200000 (30000)}$

Etapa 9.4.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{7200000 (- 47 \sqrt{30})}{7200000 \cdot 30000}$

Etapa 9.4.1.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- 47 \sqrt{30}}{30000}$

Etapa 9.4.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{47 \sqrt{30}}{30000}$

Etapa 10

$x = 10 \sqrt{30}$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 10 \sqrt{30}$ é um máximo local

Etapa 11

Encontre o valor y quando $x = 10 \sqrt{30}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Substitua a variável $x$ por $10 \sqrt{30}$ na expressão.

$f (10 \sqrt{30}) = 188 {(\frac{200}{10 \sqrt{30}} + \frac{10 \sqrt{30}}{15})}^{- 1}$

Etapa 11.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.1

Cancele o fator comum de $200$ e $10$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.1.1

Fatore $10$ de $200$ .

$f (10 \sqrt{30}) = 188 {(\frac{10 \cdot 20}{10 \sqrt{30}} + \frac{10 \sqrt{30}}{15})}^{- 1}$

Etapa 11.2.1.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.1.2.1

Fatore $10$ de $10 \sqrt{30}$ .

$f (10 \sqrt{30}) = 188 {(\frac{10 \cdot 20}{10 (\sqrt{30})} + \frac{10 \sqrt{30}}{15})}^{- 1}$

Etapa 11.2.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$f (10 \sqrt{30}) = 188 {(\frac{10 \cdot 20}{10 \sqrt{30}} + \frac{10 \sqrt{30}}{15})}^{- 1}$

Etapa 11.2.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$f (10 \sqrt{30}) = 188 {(\frac{20}{\sqrt{30}} + \frac{10 \sqrt{30}}{15})}^{- 1}$

Etapa 11.2.1.2

Multiplique $\frac{20}{\sqrt{30}}$ por $\frac{\sqrt{30}}{\sqrt{30}}$ .

$f (10 \sqrt{30}) = 188 {(\frac{20}{\sqrt{30}} \cdot \frac{\sqrt{30}}{\sqrt{30}} + \frac{10 \sqrt{30}}{15})}^{- 1}$

Etapa 11.2.1.3

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.3.1

Multiplique $\frac{20}{\sqrt{30}}$ por $\frac{\sqrt{30}}{\sqrt{30}}$ .

$f (10 \sqrt{30}) = 188 {(\frac{20 \sqrt{30}}{\sqrt{30} \sqrt{30}} + \frac{10 \sqrt{30}}{15})}^{- 1}$

Etapa 11.2.1.3.2

Eleve $\sqrt{30}$ à potência de $1$ .

$f (10 \sqrt{30}) = 188 {(\frac{20 \sqrt{30}}{\sqrt{30} \sqrt{30}} + \frac{10 \sqrt{30}}{15})}^{- 1}$

Etapa 11.2.1.3.3

Eleve $\sqrt{30}$ à potência de $1$ .

$f (10 \sqrt{30}) = 188 {(\frac{20 \sqrt{30}}{\sqrt{30} \sqrt{30}} + \frac{10 \sqrt{30}}{15})}^{- 1}$

Etapa 11.2.1.3.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f (10 \sqrt{30}) = 188 {(\frac{20 \sqrt{30}}{{\sqrt{30}}^{1 + 1}} + \frac{10 \sqrt{30}}{15})}^{- 1}$

Etapa 11.2.1.3.5

Some $1$ e $1$ .

$f (10 \sqrt{30}) = 188 {(\frac{20 \sqrt{30}}{{\sqrt{30}}^{2}} + \frac{10 \sqrt{30}}{15})}^{- 1}$

Etapa 11.2.1.3.6

Reescreva ${\sqrt{30}}^{2}$ como $30$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.3.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{30}$ como $30^{\frac{1}{2}}$ .

$f (10 \sqrt{30}) = 188 {(\frac{20 \sqrt{30}}{{(30^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{10 \sqrt{30}}{15})}^{- 1}$

Etapa 11.2.1.3.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (10 \sqrt{30}) = 188 {(\frac{20 \sqrt{30}}{30^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + \frac{10 \sqrt{30}}{15})}^{- 1}$

Etapa 11.2.1.3.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (10 \sqrt{30}) = 188 {(\frac{20 \sqrt{30}}{30^{\frac{2}{2}}} + \frac{10 \sqrt{30}}{15})}^{- 1}$

Etapa 11.2.1.3.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.3.6.4.1

Cancele o fator comum.

$f (10 \sqrt{30}) = 188 {(\frac{20 \sqrt{30}}{30^{\frac{2}{2}}} + \frac{10 \sqrt{30}}{15})}^{- 1}$

Etapa 11.2.1.3.6.4.2

Reescreva a expressão.

$f (10 \sqrt{30}) = 188 {(\frac{20 \sqrt{30}}{30} + \frac{10 \sqrt{30}}{15})}^{- 1}$

Etapa 11.2.1.3.6.5

Avalie o expoente.

$f (10 \sqrt{30}) = 188 {(\frac{20 \sqrt{30}}{30} + \frac{10 \sqrt{30}}{15})}^{- 1}$

Etapa 11.2.1.4

Cancele o fator comum de $20$ e $30$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.4.1

Fatore $10$ de $20 \sqrt{30}$ .

$f (10 \sqrt{30}) = 188 {(\frac{10 (2 \sqrt{30})}{30} + \frac{10 \sqrt{30}}{15})}^{- 1}$

Etapa 11.2.1.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.4.2.1

Fatore $10$ de $30$ .

$f (10 \sqrt{30}) = 188 {(\frac{10 (2 \sqrt{30})}{10 (3)} + \frac{10 \sqrt{30}}{15})}^{- 1}$

Etapa 11.2.1.4.2.2

Cancele o fator comum.

$f (10 \sqrt{30}) = 188 {(\frac{10 (2 \sqrt{30})}{10 \cdot 3} + \frac{10 \sqrt{30}}{15})}^{- 1}$

Etapa 11.2.1.4.2.3

Reescreva a expressão.

$f (10 \sqrt{30}) = 188 {(\frac{2 \sqrt{30}}{3} + \frac{10 \sqrt{30}}{15})}^{- 1}$

Etapa 11.2.1.5

Cancele o fator comum de $10$ e $15$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.5.1

Fatore $5$ de $10 \sqrt{30}$ .

$f (10 \sqrt{30}) = 188 {(\frac{2 \sqrt{30}}{3} + \frac{5 (2 \sqrt{30})}{15})}^{- 1}$

Etapa 11.2.1.5.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.5.2.1

Fatore $5$ de $15$ .

$f (10 \sqrt{30}) = 188 {(\frac{2 \sqrt{30}}{3} + \frac{5 (2 \sqrt{30})}{5 (3)})}^{- 1}$

Etapa 11.2.1.5.2.2

Cancele o fator comum.

$f (10 \sqrt{30}) = 188 {(\frac{2 \sqrt{30}}{3} + \frac{5 (2 \sqrt{30})}{5 \cdot 3})}^{- 1}$

Etapa 11.2.1.5.2.3

Reescreva a expressão.

$f (10 \sqrt{30}) = 188 {(\frac{2 \sqrt{30}}{3} + \frac{2 \sqrt{30}}{3})}^{- 1}$

Etapa 11.2.2

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (10 \sqrt{30}) = 188 {(\frac{2 \sqrt{30} + 2 \sqrt{30}}{3})}^{- 1}$

Etapa 11.2.2.2

Some $2 \sqrt{30}$ e $2 \sqrt{30}$ .

$f (10 \sqrt{30}) = 188 {(\frac{4 \sqrt{30}}{3})}^{- 1}$

Etapa 11.2.3

Altere o sinal do expoente reescrevendo a base como seu inverso.

$f (10 \sqrt{30}) = 188 (\frac{3}{4 \sqrt{30}})$

Etapa 11.2.4

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.4.1

Fatore $4$ de $188$ .

$f (10 \sqrt{30}) = 4 (47) (\frac{3}{4 \sqrt{30}})$

Etapa 11.2.4.2

Fatore $4$ de $4 \sqrt{30}$ .

$f (10 \sqrt{30}) = 4 (47) (\frac{3}{4 (\sqrt{30})})$

Etapa 11.2.4.3

Cancele o fator comum.

$f (10 \sqrt{30}) = 4 \cdot (47 (\frac{3}{4 \sqrt{30}}))$

Etapa 11.2.4.4

Reescreva a expressão.

$f (10 \sqrt{30}) = 47 (\frac{3}{\sqrt{30}})$

Etapa 11.2.5

Combine $47$ e $\frac{3}{\sqrt{30}}$ .

$f (10 \sqrt{30}) = \frac{47 \cdot 3}{\sqrt{30}}$

Etapa 11.2.6

Multiplique $47$ por $3$ .

$f (10 \sqrt{30}) = \frac{141}{\sqrt{30}}$

Etapa 11.2.7

Multiplique $\frac{141}{\sqrt{30}}$ por $\frac{\sqrt{30}}{\sqrt{30}}$ .

$f (10 \sqrt{30}) = \frac{141}{\sqrt{30}} \cdot \frac{\sqrt{30}}{\sqrt{30}}$

Etapa 11.2.8

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.8.1

Multiplique $\frac{141}{\sqrt{30}}$ por $\frac{\sqrt{30}}{\sqrt{30}}$ .

$f (10 \sqrt{30}) = \frac{141 \sqrt{30}}{\sqrt{30} \sqrt{30}}$

Etapa 11.2.8.2

Eleve $\sqrt{30}$ à potência de $1$ .

$f (10 \sqrt{30}) = \frac{141 \sqrt{30}}{\sqrt{30} \sqrt{30}}$

Etapa 11.2.8.3

Eleve $\sqrt{30}$ à potência de $1$ .

$f (10 \sqrt{30}) = \frac{141 \sqrt{30}}{\sqrt{30} \sqrt{30}}$

Etapa 11.2.8.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f (10 \sqrt{30}) = \frac{141 \sqrt{30}}{{\sqrt{30}}^{1 + 1}}$

Etapa 11.2.8.5

Some $1$ e $1$ .

$f (10 \sqrt{30}) = \frac{141 \sqrt{30}}{{\sqrt{30}}^{2}}$

Etapa 11.2.8.6

Reescreva ${\sqrt{30}}^{2}$ como $30$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.8.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{30}$ como $30^{\frac{1}{2}}$ .

$f (10 \sqrt{30}) = \frac{141 \sqrt{30}}{{(30^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 11.2.8.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (10 \sqrt{30}) = \frac{141 \sqrt{30}}{30^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 11.2.8.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (10 \sqrt{30}) = \frac{141 \sqrt{30}}{30^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 11.2.8.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.8.6.4.1

Cancele o fator comum.

$f (10 \sqrt{30}) = \frac{141 \sqrt{30}}{30^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 11.2.8.6.4.2

Reescreva a expressão.

$f (10 \sqrt{30}) = \frac{141 \sqrt{30}}{30}$

Etapa 11.2.8.6.5

Avalie o expoente.

$f (10 \sqrt{30}) = \frac{141 \sqrt{30}}{30}$

Etapa 11.2.9

Cancele o fator comum de $141$ e $30$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.9.1

Fatore $3$ de $141 \sqrt{30}$ .

$f (10 \sqrt{30}) = \frac{3 (47 \sqrt{30})}{30}$

Etapa 11.2.9.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.9.2.1

Fatore $3$ de $30$ .

$f (10 \sqrt{30}) = \frac{3 (47 \sqrt{30})}{3 (10)}$

Etapa 11.2.9.2.2

Cancele o fator comum.

$f (10 \sqrt{30}) = \frac{3 (47 \sqrt{30})}{3 \cdot 10}$

Etapa 11.2.9.2.3

Reescreva a expressão.

$f (10 \sqrt{30}) = \frac{47 \sqrt{30}}{10}$

Etapa 11.2.10

A resposta final é $\frac{47 \sqrt{30}}{10}$ .

$y = \frac{47 \sqrt{30}}{10}$

Etapa 12

Avalie a segunda derivada em $x = - 10 \sqrt{30}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$\frac{5640 (- 10 \sqrt{30}) ({(- 10 \sqrt{30})}^{2} - 9000)}{{(3000 + {(- 10 \sqrt{30})}^{2})}^{3}}$

Etapa 13

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1

Multiplique $- 10$ por $5640$ .

$\frac{- 56400 \sqrt{30} ({(- 10 \sqrt{30})}^{2} - 9000)}{{(3000 + {(- 10 \sqrt{30})}^{2})}^{3}}$

Etapa 13.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.1

Aplique a regra do produto a $- 10 \sqrt{30}$ .

$\frac{- 56400 \sqrt{30} ({(- 10 \sqrt{30})}^{2} - 9000)}{{(3000 + {(- 10)}^{2} {\sqrt{30}}^{2})}^{3}}$

Etapa 13.2.2

Eleve $- 10$ à potência de $2$ .

$\frac{- 56400 \sqrt{30} ({(- 10 \sqrt{30})}^{2} - 9000)}{{(3000 + 100 {\sqrt{30}}^{2})}^{3}}$

Etapa 13.2.3

Reescreva ${\sqrt{30}}^{2}$ como $30$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{30}$ como $30^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- 56400 \sqrt{30} ({(- 10 \sqrt{30})}^{2} - 9000)}{{(3000 + 100 {(30^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{3}}$

Etapa 13.2.3.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- 56400 \sqrt{30} ({(- 10 \sqrt{30})}^{2} - 9000)}{{(3000 + 100 \cdot 30^{\frac{1}{2} \cdot 2})}^{3}}$

Etapa 13.2.3.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{- 56400 \sqrt{30} ({(- 10 \sqrt{30})}^{2} - 9000)}{{(3000 + 100 \cdot 30^{\frac{2}{2}})}^{3}}$

Etapa 13.2.3.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.3.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 56400 \sqrt{30} ({(- 10 \sqrt{30})}^{2} - 9000)}{{(3000 + 100 \cdot 30^{\frac{2}{2}})}^{3}}$

Etapa 13.2.3.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{- 56400 \sqrt{30} ({(- 10 \sqrt{30})}^{2} - 9000)}{{(3000 + 100 \cdot 30^{1})}^{3}}$

Etapa 13.2.3.5

Avalie o expoente.

$\frac{- 56400 \sqrt{30} ({(- 10 \sqrt{30})}^{2} - 9000)}{{(3000 + 100 \cdot 30)}^{3}}$

Etapa 13.2.4

Multiplique $100$ por $30$ .

$\frac{- 56400 \sqrt{30} ({(- 10 \sqrt{30})}^{2} - 9000)}{{(3000 + 3000)}^{3}}$

Etapa 13.2.5

Some $3000$ e $3000$ .

$\frac{- 56400 \sqrt{30} ({(- 10 \sqrt{30})}^{2} - 9000)}{6000^{3}}$

Etapa 13.2.6

Eleve $6000$ à potência de $3$ .

$\frac{- 56400 \sqrt{30} ({(- 10 \sqrt{30})}^{2} - 9000)}{216000000000}$

Etapa 13.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.3.1

Aplique a regra do produto a $- 10 \sqrt{30}$ .

$\frac{- 56400 \sqrt{30} ({(- 10)}^{2} {\sqrt{30}}^{2} - 9000)}{216000000000}$

Etapa 13.3.2

Eleve $- 10$ à potência de $2$ .

$\frac{- 56400 \sqrt{30} (100 {\sqrt{30}}^{2} - 9000)}{216000000000}$

Etapa 13.3.3

Reescreva ${\sqrt{30}}^{2}$ como $30$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.3.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{30}$ como $30^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- 56400 \sqrt{30} (100 {(30^{\frac{1}{2}})}^{2} - 9000)}{216000000000}$

Etapa 13.3.3.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- 56400 \sqrt{30} (100 \cdot 30^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 9000)}{216000000000}$

Etapa 13.3.3.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{- 56400 \sqrt{30} (100 \cdot 30^{\frac{2}{2}} - 9000)}{216000000000}$

Etapa 13.3.3.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.3.3.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 56400 \sqrt{30} (100 \cdot 30^{\frac{2}{2}} - 9000)}{216000000000}$

Etapa 13.3.3.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{- 56400 \sqrt{30} (100 \cdot 30^{1} - 9000)}{216000000000}$

Etapa 13.3.3.5

Avalie o expoente.

$\frac{- 56400 \sqrt{30} (100 \cdot 30 - 9000)}{216000000000}$

Etapa 13.3.4

Multiplique $100$ por $30$ .

$\frac{- 56400 \sqrt{30} (3000 - 9000)}{216000000000}$

Etapa 13.3.5

Subtraia $9000$ de $3000$ .

$\frac{- 56400 \sqrt{30} \cdot - 6000}{216000000000}$

Etapa 13.3.6

Multiplique $- 6000$ por $- 56400$ .

$\frac{338400000 \sqrt{30}}{216000000000}$

Etapa 13.4

Cancele o fator comum de $338400000$ e $216000000000$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.4.1

Fatore $7200000$ de $338400000 \sqrt{30}$ .

$\frac{7200000 (47 \sqrt{30})}{216000000000}$

Etapa 13.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.4.2.1

Fatore $7200000$ de $216000000000$ .

$\frac{7200000 (47 \sqrt{30})}{7200000 (30000)}$

Etapa 13.4.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{7200000 (47 \sqrt{30})}{7200000 \cdot 30000}$

Etapa 13.4.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{47 \sqrt{30}}{30000}$

Etapa 14

$x = - 10 \sqrt{30}$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = - 10 \sqrt{30}$ é um mínimo local

Etapa 15

Encontre o valor y quando $x = - 10 \sqrt{30}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.1

Substitua a variável $x$ por $- 10 \sqrt{30}$ na expressão.

$f (- 10 \sqrt{30}) = 188 {(\frac{200}{- 10 \sqrt{30}} + \frac{- 10 \sqrt{30}}{15})}^{- 1}$

Etapa 15.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.1

Cancele o fator comum de $200$ e $- 10$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.1.1

Fatore $10$ de $200$ .

$f (- 10 \sqrt{30}) = 188 {(\frac{10 (20)}{- 10 \sqrt{30}} + \frac{- 10 \sqrt{30}}{15})}^{- 1}$

Etapa 15.2.1.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.1.2.1

Fatore $10$ de $- 10 \sqrt{30}$ .

$f (- 10 \sqrt{30}) = 188 {(\frac{10 (20)}{10 (- \sqrt{30})} + \frac{- 10 \sqrt{30}}{15})}^{- 1}$

Etapa 15.2.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$f (- 10 \sqrt{30}) = 188 {(\frac{10 \cdot 20}{10 (- \sqrt{30})} + \frac{- 10 \sqrt{30}}{15})}^{- 1}$

Etapa 15.2.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$f (- 10 \sqrt{30}) = 188 {(\frac{20}{- \sqrt{30}} + \frac{- 10 \sqrt{30}}{15})}^{- 1}$

Etapa 15.2.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (- 10 \sqrt{30}) = 188 {(- \frac{20}{\sqrt{30}} + \frac{- 10 \sqrt{30}}{15})}^{- 1}$

Etapa 15.2.1.3

Multiplique $\frac{20}{\sqrt{30}}$ por $\frac{\sqrt{30}}{\sqrt{30}}$ .

$f (- 10 \sqrt{30}) = 188 {(- (\frac{20}{\sqrt{30}} \cdot \frac{\sqrt{30}}{\sqrt{30}}) + \frac{- 10 \sqrt{30}}{15})}^{- 1}$

Etapa 15.2.1.4

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.4.1

Multiplique $\frac{20}{\sqrt{30}}$ por $\frac{\sqrt{30}}{\sqrt{30}}$ .

$f (- 10 \sqrt{30}) = 188 {(- \frac{20 \sqrt{30}}{\sqrt{30} \sqrt{30}} + \frac{- 10 \sqrt{30}}{15})}^{- 1}$

Etapa 15.2.1.4.2

Eleve $\sqrt{30}$ à potência de $1$ .

$f (- 10 \sqrt{30}) = 188 {(- \frac{20 \sqrt{30}}{\sqrt{30} \sqrt{30}} + \frac{- 10 \sqrt{30}}{15})}^{- 1}$

Etapa 15.2.1.4.3

Eleve $\sqrt{30}$ à potência de $1$ .

$f (- 10 \sqrt{30}) = 188 {(- \frac{20 \sqrt{30}}{\sqrt{30} \sqrt{30}} + \frac{- 10 \sqrt{30}}{15})}^{- 1}$

Etapa 15.2.1.4.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f (- 10 \sqrt{30}) = 188 {(- \frac{20 \sqrt{30}}{{\sqrt{30}}^{1 + 1}} + \frac{- 10 \sqrt{30}}{15})}^{- 1}$

Etapa 15.2.1.4.5

Some $1$ e $1$ .

$f (- 10 \sqrt{30}) = 188 {(- \frac{20 \sqrt{30}}{{\sqrt{30}}^{2}} + \frac{- 10 \sqrt{30}}{15})}^{- 1}$

Etapa 15.2.1.4.6

Reescreva ${\sqrt{30}}^{2}$ como $30$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.4.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{30}$ como $30^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- 10 \sqrt{30}) = 188 {(- \frac{20 \sqrt{30}}{{(30^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{- 10 \sqrt{30}}{15})}^{- 1}$

Etapa 15.2.1.4.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- 10 \sqrt{30}) = 188 {(- \frac{20 \sqrt{30}}{30^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + \frac{- 10 \sqrt{30}}{15})}^{- 1}$

Etapa 15.2.1.4.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (- 10 \sqrt{30}) = 188 {(- \frac{20 \sqrt{30}}{30^{\frac{2}{2}}} + \frac{- 10 \sqrt{30}}{15})}^{- 1}$

Etapa 15.2.1.4.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.4.6.4.1

Cancele o fator comum.

$f (- 10 \sqrt{30}) = 188 {(- \frac{20 \sqrt{30}}{30^{\frac{2}{2}}} + \frac{- 10 \sqrt{30}}{15})}^{- 1}$

Etapa 15.2.1.4.6.4.2

Reescreva a expressão.

$f (- 10 \sqrt{30}) = 188 {(- \frac{20 \sqrt{30}}{30} + \frac{- 10 \sqrt{30}}{15})}^{- 1}$

Etapa 15.2.1.4.6.5

Avalie o expoente.

$f (- 10 \sqrt{30}) = 188 {(- \frac{20 \sqrt{30}}{30} + \frac{- 10 \sqrt{30}}{15})}^{- 1}$

Etapa 15.2.1.5

Cancele o fator comum de $20$ e $30$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.5.1

Fatore $10$ de $20 \sqrt{30}$ .

$f (- 10 \sqrt{30}) = 188 {(- \frac{10 (2 \sqrt{30})}{30} + \frac{- 10 \sqrt{30}}{15})}^{- 1}$

Etapa 15.2.1.5.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.5.2.1

Fatore $10$ de $30$ .

$f (- 10 \sqrt{30}) = 188 {(- \frac{10 (2 \sqrt{30})}{10 (3)} + \frac{- 10 \sqrt{30}}{15})}^{- 1}$

Etapa 15.2.1.5.2.2

Cancele o fator comum.

$f (- 10 \sqrt{30}) = 188 {(- \frac{10 (2 \sqrt{30})}{10 \cdot 3} + \frac{- 10 \sqrt{30}}{15})}^{- 1}$

Etapa 15.2.1.5.2.3

Reescreva a expressão.

$f (- 10 \sqrt{30}) = 188 {(- \frac{2 \sqrt{30}}{3} + \frac{- 10 \sqrt{30}}{15})}^{- 1}$

Etapa 15.2.1.6

Cancele o fator comum de $- 10$ e $15$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.6.1

Fatore $5$ de $- 10 \sqrt{30}$ .

$f (- 10 \sqrt{30}) = 188 {(- \frac{2 \sqrt{30}}{3} + \frac{5 (- 2 \sqrt{30})}{15})}^{- 1}$

Etapa 15.2.1.6.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.6.2.1

Fatore $5$ de $15$ .

$f (- 10 \sqrt{30}) = 188 {(- \frac{2 \sqrt{30}}{3} + \frac{5 (- 2 \sqrt{30})}{5 (3)})}^{- 1}$

Etapa 15.2.1.6.2.2

Cancele o fator comum.

$f (- 10 \sqrt{30}) = 188 {(- \frac{2 \sqrt{30}}{3} + \frac{5 (- 2 \sqrt{30})}{5 \cdot 3})}^{- 1}$

Etapa 15.2.1.6.2.3

Reescreva a expressão.

$f (- 10 \sqrt{30}) = 188 {(- \frac{2 \sqrt{30}}{3} + \frac{- 2 \sqrt{30}}{3})}^{- 1}$

Etapa 15.2.1.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (- 10 \sqrt{30}) = 188 {(- \frac{2 \sqrt{30}}{3} - \frac{2 \sqrt{30}}{3})}^{- 1}$

Etapa 15.2.2

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (- 10 \sqrt{30}) = 188 {(\frac{- 2 \sqrt{30} - 2 \sqrt{30}}{3})}^{- 1}$

Etapa 15.2.2.2

Subtraia $2 \sqrt{30}$ de $- 2 \sqrt{30}$ .

$f (- 10 \sqrt{30}) = 188 {(\frac{- 4 \sqrt{30}}{3})}^{- 1}$

Etapa 15.2.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (- 10 \sqrt{30}) = 188 {(- \frac{4 \sqrt{30}}{3})}^{- 1}$

Etapa 15.2.3

Altere o sinal do expoente reescrevendo a base como seu inverso.

$f (- 10 \sqrt{30}) = 188 (- \frac{3}{4 \sqrt{30}})$

Etapa 15.2.4

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.4.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{3}{4 \sqrt{30}}$ para o numerador.

$f (- 10 \sqrt{30}) = 188 (\frac{- 3}{4 \sqrt{30}})$

Etapa 15.2.4.2

Fatore $4$ de $188$ .

$f (- 10 \sqrt{30}) = 4 (47) (\frac{- 3}{4 \sqrt{30}})$

Etapa 15.2.4.3

Fatore $4$ de $4 \sqrt{30}$ .

$f (- 10 \sqrt{30}) = 4 (47) (\frac{- 3}{4 (\sqrt{30})})$

Etapa 15.2.4.4

Cancele o fator comum.

$f (- 10 \sqrt{30}) = 4 \cdot (47 (\frac{- 3}{4 \sqrt{30}}))$

Etapa 15.2.4.5

Reescreva a expressão.

$f (- 10 \sqrt{30}) = 47 (\frac{- 3}{\sqrt{30}})$

Etapa 15.2.5

Combine $47$ e $\frac{- 3}{\sqrt{30}}$ .

$f (- 10 \sqrt{30}) = \frac{47 \cdot - 3}{\sqrt{30}}$

Etapa 15.2.6

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.6.1

Multiplique $47$ por $- 3$ .

$f (- 10 \sqrt{30}) = \frac{- 141}{\sqrt{30}}$

Etapa 15.2.6.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (- 10 \sqrt{30}) = - \frac{141}{\sqrt{30}}$

Etapa 15.2.7

Multiplique $\frac{141}{\sqrt{30}}$ por $\frac{\sqrt{30}}{\sqrt{30}}$ .

$f (- 10 \sqrt{30}) = - (\frac{141}{\sqrt{30}} \cdot \frac{\sqrt{30}}{\sqrt{30}})$

Etapa 15.2.8

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.8.1

Multiplique $\frac{141}{\sqrt{30}}$ por $\frac{\sqrt{30}}{\sqrt{30}}$ .

$f (- 10 \sqrt{30}) = - \frac{141 \sqrt{30}}{\sqrt{30} \sqrt{30}}$

Etapa 15.2.8.2

Eleve $\sqrt{30}$ à potência de $1$ .

$f (- 10 \sqrt{30}) = - \frac{141 \sqrt{30}}{\sqrt{30} \sqrt{30}}$

Etapa 15.2.8.3

Eleve $\sqrt{30}$ à potência de $1$ .

$f (- 10 \sqrt{30}) = - \frac{141 \sqrt{30}}{\sqrt{30} \sqrt{30}}$

Etapa 15.2.8.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f (- 10 \sqrt{30}) = - \frac{141 \sqrt{30}}{{\sqrt{30}}^{1 + 1}}$

Etapa 15.2.8.5

Some $1$ e $1$ .

$f (- 10 \sqrt{30}) = - \frac{141 \sqrt{30}}{{\sqrt{30}}^{2}}$

Etapa 15.2.8.6

Reescreva ${\sqrt{30}}^{2}$ como $30$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.8.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{30}$ como $30^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- 10 \sqrt{30}) = - \frac{141 \sqrt{30}}{{(30^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 15.2.8.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- 10 \sqrt{30}) = - \frac{141 \sqrt{30}}{30^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 15.2.8.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (- 10 \sqrt{30}) = - \frac{141 \sqrt{30}}{30^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 15.2.8.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.8.6.4.1

Cancele o fator comum.

$f (- 10 \sqrt{30}) = - \frac{141 \sqrt{30}}{30^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 15.2.8.6.4.2

Reescreva a expressão.

$f (- 10 \sqrt{30}) = - \frac{141 \sqrt{30}}{30}$

Etapa 15.2.8.6.5

Avalie o expoente.

$f (- 10 \sqrt{30}) = - \frac{141 \sqrt{30}}{30}$

Etapa 15.2.9

Cancele o fator comum de $141$ e $30$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.9.1

Fatore $3$ de $141 \sqrt{30}$ .

$f (- 10 \sqrt{30}) = - \frac{3 (47 \sqrt{30})}{30}$

Etapa 15.2.9.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.9.2.1

Fatore $3$ de $30$ .

$f (- 10 \sqrt{30}) = - \frac{3 (47 \sqrt{30})}{3 (10)}$

Etapa 15.2.9.2.2

Cancele o fator comum.

$f (- 10 \sqrt{30}) = - \frac{3 (47 \sqrt{30})}{3 \cdot 10}$

Etapa 15.2.9.2.3

Reescreva a expressão.

$f (- 10 \sqrt{30}) = - \frac{47 \sqrt{30}}{10}$

Etapa 15.2.10

A resposta final é $- \frac{47 \sqrt{30}}{10}$ .

$y = - \frac{47 \sqrt{30}}{10}$

Etapa 16

Esses são os extremos locais para $f (x) = 188 {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 1}$ .

$(10 \sqrt{30}, \frac{47 \sqrt{30}}{10})$ é um máximo local

$(- 10 \sqrt{30}, - \frac{47 \sqrt{30}}{10})$ é um mínimo local

Etapa 17