Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{2 x}{{(x + 4)}^{2}}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{2 x}{{(x + 4)}^{2}}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x + 4)}^{2}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x + 4)}^{2}}]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = {(x + 4)}^{2}$ .

$2 \frac{{(x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{2}]}{{({(x + 4)}^{2})}^{2}}$

Etapa 1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Multiplique os expoentes em ${({(x + 4)}^{2})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \frac{{(x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{2}]}{{(x + 4)}^{2 \cdot 2}}$

Etapa 1.3.1.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$2 \frac{{(x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{2}]}{{(x + 4)}^{4}}$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \frac{{(x + 4)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{2}]}{{(x + 4)}^{4}}$

Etapa 1.3.3

Multiplique ${(x + 4)}^{2}$ por $1$ .

$2 \frac{{(x + 4)}^{2} - x \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{2}]}{{(x + 4)}^{4}}$

Etapa 1.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x + 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x + 4$ .

$2 \frac{{(x + 4)}^{2} - x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x + 4])}{{(x + 4)}^{4}}$

Etapa 1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 \frac{{(x + 4)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} [x + 4])}{{(x + 4)}^{4}}$

Etapa 1.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + 4$ .

$2 \frac{{(x + 4)}^{2} - x (2 (x + 4) \frac{d}{d x} [x + 4])}{{(x + 4)}^{4}}$

Etapa 1.5

Simplifique com fatoração.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$2 \frac{{(x + 4)}^{2} - 2 x ((x + 4) \frac{d}{d x} [x + 4])}{{(x + 4)}^{4}}$

Etapa 1.5.2

Fatore $x + 4$ de ${(x + 4)}^{2} - 2 x ((x + 4) \frac{d}{d x} [x + 4])$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.2.1

Fatore $x + 4$ de ${(x + 4)}^{2}$ .

$2 \frac{(x + 4) (x + 4) - 2 x ((x + 4) \frac{d}{d x} [x + 4])}{{(x + 4)}^{4}}$

Etapa 1.5.2.2

Fatore $x + 4$ de $- 2 x ((x + 4) \frac{d}{d x} [x + 4])$ .

$2 \frac{(x + 4) (x + 4) + (x + 4) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x + 4]))}{{(x + 4)}^{4}}$

Etapa 1.5.2.3

Fatore $x + 4$ de $(x + 4) (x + 4) + (x + 4) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x + 4]))$ .

$2 \frac{(x + 4) (x + 4 - 2 x (\frac{d}{d x} [x + 4]))}{{(x + 4)}^{4}}$

Etapa 1.6

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.1

Fatore $x + 4$ de ${(x + 4)}^{4}$ .

$2 \frac{(x + 4) (x + 4 - 2 x (\frac{d}{d x} [x + 4]))}{(x + 4) {(x + 4)}^{3}}$

Etapa 1.6.2

Cancele o fator comum.

$2 \frac{(x + 4) (x + 4 - 2 x (\frac{d}{d x} [x + 4]))}{(x + 4) {(x + 4)}^{3}}$

Etapa 1.6.3

Reescreva a expressão.

$2 \frac{x + 4 - 2 x (\frac{d}{d x} [x + 4])}{{(x + 4)}^{3}}$

Etapa 1.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$2 \frac{x + 4 - 2 x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])}{{(x + 4)}^{3}}$

Etapa 1.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \frac{x + 4 - 2 x (1 + \frac{d}{d x} [4])}{{(x + 4)}^{3}}$

Etapa 1.9

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 \frac{x + 4 - 2 x (1 + 0)}{{(x + 4)}^{3}}$

Etapa 1.10

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.10.1

Some $1$ e $0$ .

$2 \frac{x + 4 - 2 x \cdot 1}{{(x + 4)}^{3}}$

Etapa 1.10.2

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$2 \frac{x + 4 - 2 x}{{(x + 4)}^{3}}$

Etapa 1.10.3

Subtraia $2 x$ de $x$ .

$2 \frac{- x + 4}{{(x + 4)}^{3}}$

Etapa 1.10.4

Combine $2$ e $\frac{- x + 4}{{(x + 4)}^{3}}$ .

$\frac{2 (- x + 4)}{{(x + 4)}^{3}}$

Etapa 1.11

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.11.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 (- x) + 2 \cdot 4}{{(x + 4)}^{3}}$

Etapa 1.11.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.11.2.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{- 2 x + 2 \cdot 4}{{(x + 4)}^{3}}$

Etapa 1.11.2.2

Multiplique $2$ por $4$ .

$\frac{- 2 x + 8}{{(x + 4)}^{3}}$

Etapa 1.11.3

Fatore $2$ de $- 2 x + 8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.11.3.1

Fatore $2$ de $- 2 x$ .

$\frac{2 (- x) + 8}{{(x + 4)}^{3}}$

Etapa 1.11.3.2

Fatore $2$ de $8$ .

$\frac{2 (- x) + 2 (4)}{{(x + 4)}^{3}}$

Etapa 1.11.3.3

Fatore $2$ de $2 (- x) + 2 (4)$ .

$\frac{2 (- x + 4)}{{(x + 4)}^{3}}$

Etapa 1.11.4

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$\frac{2 (- (x) + 4)}{{(x + 4)}^{3}}$

Etapa 1.11.5

Reescreva $4$ como $- 1 (- 4)$ .

$\frac{2 (- (x) - 1 (- 4))}{{(x + 4)}^{3}}$

Etapa 1.11.6

Fatore $- 1$ de $- (x) - 1 (- 4)$ .

$\frac{2 (- (x - 4))}{{(x + 4)}^{3}}$

Etapa 1.11.7

Reescreva $- (x - 4)$ como $- 1 (x - 4)$ .

$\frac{2 (- 1 (x - 4))}{{(x + 4)}^{3}}$

Etapa 1.11.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{2 (x - 4)}{{(x + 4)}^{3}}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{2 (x - 4)}{{(x + 4)}^{3}}$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{x - 4}{{(x + 4)}^{3}}]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} \frac{x - 4}{{(x + 4)}^{3}}$

Etapa 2.2

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x - 4) - (x - 4) \frac{d}{d x} {(x + 4)}^{3}}{{({(x + 4)}^{3})}^{2}}$

Etapa 2.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Multiplique os expoentes em ${({(x + 4)}^{3})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x - 4) - (x - 4) \frac{d}{d x} {(x + 4)}^{3}}{{(x + 4)}^{3 \cdot 2}}$

Etapa 2.3.1.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x - 4) - (x - 4) \frac{d}{d x} {(x + 4)}^{3}}{{(x + 4)}^{6}}$

Etapa 2.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x + 4)}^{3} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4)) - (x - 4) \frac{d}{d x} {(x + 4)}^{3}}{{(x + 4)}^{6}}$

Etapa 2.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x + 4)}^{3} (1 + \frac{d}{d x} (- 4)) - (x - 4) \frac{d}{d x} {(x + 4)}^{3}}{{(x + 4)}^{6}}$

Etapa 2.3.4

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x + 4)}^{3} (1 + 0) - (x - 4) \frac{d}{d x} {(x + 4)}^{3}}{{(x + 4)}^{6}}$

Etapa 2.3.5

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.1

Some $1$ e $0$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x + 4)}^{3} \cdot 1 - (x - 4) \frac{d}{d x} {(x + 4)}^{3}}{{(x + 4)}^{6}}$

Etapa 2.3.5.2

Multiplique ${(x + 4)}^{3}$ por $1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x + 4)}^{3} - (x - 4) \frac{d}{d x} {(x + 4)}^{3}}{{(x + 4)}^{6}}$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = x + 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x + 4$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x + 4)}^{3} - (x - 4) (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (x + 4))}{{(x + 4)}^{6}}$

Etapa 2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x + 4)}^{3} - (x - 4) (3 u^{2} \frac{d}{d x} (x + 4))}{{(x + 4)}^{6}}$

Etapa 2.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + 4$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x + 4)}^{3} - (x - 4) (3 {(x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} (x + 4))}{{(x + 4)}^{6}}$

Etapa 2.5

Simplifique com fatoração.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x + 4)}^{3} - 3 (x - 4) ({(x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} (x + 4))}{{(x + 4)}^{6}}$

Etapa 2.5.2

Fatore ${(x + 4)}^{2}$ de ${(x + 4)}^{3} - 3 (x - 4) ({(x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 4])$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.1

Fatore ${(x + 4)}^{2}$ de ${(x + 4)}^{3}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x + 4)}^{2} (x + 4) - 3 (x - 4) ({(x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} (x + 4))}{{(x + 4)}^{6}}$

Etapa 2.5.2.2

Fatore ${(x + 4)}^{2}$ de $- 3 (x - 4) ({(x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 4])$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x + 4)}^{2} (x + 4) + {(x + 4)}^{2} (- 3 (x - 4) (\frac{d}{d x} (x + 4)))}{{(x + 4)}^{6}}$

Etapa 2.5.2.3

Fatore ${(x + 4)}^{2}$ de ${(x + 4)}^{2} (x + 4) + {(x + 4)}^{2} (- 3 (x - 4) (\frac{d}{d x} [x + 4]))$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x + 4)}^{2} (x + 4 - 3 (x - 4) (\frac{d}{d x} (x + 4)))}{{(x + 4)}^{6}}$

Etapa 2.6

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.1

Fatore ${(x + 4)}^{2}$ de ${(x + 4)}^{6}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x + 4)}^{2} (x + 4 - 3 (x - 4) (\frac{d}{d x} (x + 4)))}{{(x + 4)}^{2} {(x + 4)}^{4}}$

Etapa 2.6.2

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x + 4)}^{2} (x + 4 - 3 (x - 4) (\frac{d}{d x} (x + 4)))}{{(x + 4)}^{2} {(x + 4)}^{4}}$

Etapa 2.6.3

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = - 2 \frac{x + 4 - 3 (x - 4) (\frac{d}{d x} (x + 4))}{{(x + 4)}^{4}}$

Etapa 2.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{x + 4 - 3 (x - 4) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (4))}{{(x + 4)}^{4}}$

Etapa 2.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{x + 4 - 3 (x - 4) (1 + \frac{d}{d x} (4))}{{(x + 4)}^{4}}$

Etapa 2.9

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{x + 4 - 3 (x - 4) (1 + 0)}{{(x + 4)}^{4}}$

Etapa 2.10

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.10.1

Some $1$ e $0$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{x + 4 - 3 (x - 4) \cdot 1}{{(x + 4)}^{4}}$

Etapa 2.10.2

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{x + 4 - 3 (x - 4)}{{(x + 4)}^{4}}$

Etapa 2.10.3

Combine $- 2$ e $\frac{x + 4 - 3 (x - 4)}{{(x + 4)}^{4}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x + 4 - 3 (x - 4))}{{(x + 4)}^{4}}$

Etapa 2.10.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = - \frac{2 (x + 4 - 3 (x - 4))}{{(x + 4)}^{4}}$

Etapa 2.11

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.11.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - \frac{2 (x + 4 - 3 x - 3 \cdot - 4)}{{(x + 4)}^{4}}$

Etapa 2.11.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - \frac{2 x + 2 \cdot 4 + 2 (- 3 x) + 2 (- 3 \cdot - 4)}{{(x + 4)}^{4}}$

Etapa 2.11.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.11.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.11.3.1.1

Multiplique $2$ por $4$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x + 8 + 2 (- 3 x) + 2 (- 3 \cdot - 4)}{{(x + 4)}^{4}}$

Etapa 2.11.3.1.2

Multiplique $- 3$ por $2$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x + 8 - 6 x + 2 (- 3 \cdot - 4)}{{(x + 4)}^{4}}$

Etapa 2.11.3.1.3

Multiplique $2 (- 3 \cdot - 4)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.11.3.1.3.1

Multiplique $- 3$ por $- 4$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x + 8 - 6 x + 2 \cdot 12}{{(x + 4)}^{4}}$

Etapa 2.11.3.1.3.2

Multiplique $2$ por $12$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x + 8 - 6 x + 24}{{(x + 4)}^{4}}$

Etapa 2.11.3.2

Subtraia $6 x$ de $2 x$ .

$f'' (x) = - \frac{- 4 x + 8 + 24}{{(x + 4)}^{4}}$

Etapa 2.11.3.3

Some $8$ e $24$ .

$f'' (x) = - \frac{- 4 x + 32}{{(x + 4)}^{4}}$

Etapa 2.11.4

Fatore $4$ de $- 4 x + 32$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.11.4.1

Fatore $4$ de $- 4 x$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (- x) + 32}{{(x + 4)}^{4}}$

Etapa 2.11.4.2

Fatore $4$ de $32$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (- x) + 4 (8)}{{(x + 4)}^{4}}$

Etapa 2.11.4.3

Fatore $4$ de $4 (- x) + 4 (8)$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (- x + 8)}{{(x + 4)}^{4}}$

Etapa 2.11.5

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (- (x) + 8)}{{(x + 4)}^{4}}$

Etapa 2.11.6

Reescreva $8$ como $- 1 (- 8)$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (- (x) - 1 \cdot - 8)}{{(x + 4)}^{4}}$

Etapa 2.11.7

Fatore $- 1$ de $- (x) - 1 (- 8)$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (- (x - 8))}{{(x + 4)}^{4}}$

Etapa 2.11.8

Reescreva $- (x - 8)$ como $- 1 (x - 8)$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (- 1 (x - 8))}{{(x + 4)}^{4}}$

Etapa 2.11.9

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = \frac{4 (x - 8)}{{(x + 4)}^{4}}$

Etapa 2.11.10

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{4 (x - 8)}{{(x + 4)}^{4}})$

Etapa 2.11.11

Multiplique $\frac{4 (x - 8)}{{(x + 4)}^{4}}$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{4 (x - 8)}{{(x + 4)}^{4}}$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$- \frac{2 (x - 4)}{{(x + 4)}^{3}} = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{2 x}{{(x + 4)}^{2}}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x + 4)}^{2}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x + 4)}^{2}}]$

Etapa 4.1.2

$2 \frac{{(x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{2}]}{{({(x + 4)}^{2})}^{2}}$

Etapa 4.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.1

Multiplique os expoentes em ${({(x + 4)}^{2})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \frac{{(x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{2}]}{{(x + 4)}^{2 \cdot 2}}$

Etapa 4.1.3.1.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$2 \frac{{(x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{2}]}{{(x + 4)}^{4}}$

Etapa 4.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \frac{{(x + 4)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{2}]}{{(x + 4)}^{4}}$

Etapa 4.1.3.3

Multiplique ${(x + 4)}^{2}$ por $1$ .

$2 \frac{{(x + 4)}^{2} - x \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{2}]}{{(x + 4)}^{4}}$

Etapa 4.1.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x + 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x + 4$ .

$2 \frac{{(x + 4)}^{2} - x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x + 4])}{{(x + 4)}^{4}}$

Etapa 4.1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 \frac{{(x + 4)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} [x + 4])}{{(x + 4)}^{4}}$

Etapa 4.1.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + 4$ .

$2 \frac{{(x + 4)}^{2} - x (2 (x + 4) \frac{d}{d x} [x + 4])}{{(x + 4)}^{4}}$

Etapa 4.1.5

Simplifique com fatoração.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.5.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$2 \frac{{(x + 4)}^{2} - 2 x ((x + 4) \frac{d}{d x} [x + 4])}{{(x + 4)}^{4}}$

Etapa 4.1.5.2

Fatore $x + 4$ de ${(x + 4)}^{2} - 2 x ((x + 4) \frac{d}{d x} [x + 4])$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.5.2.1

Fatore $x + 4$ de ${(x + 4)}^{2}$ .

$2 \frac{(x + 4) (x + 4) - 2 x ((x + 4) \frac{d}{d x} [x + 4])}{{(x + 4)}^{4}}$

Etapa 4.1.5.2.2

Fatore $x + 4$ de $- 2 x ((x + 4) \frac{d}{d x} [x + 4])$ .

$2 \frac{(x + 4) (x + 4) + (x + 4) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x + 4]))}{{(x + 4)}^{4}}$

Etapa 4.1.5.2.3

Fatore $x + 4$ de $(x + 4) (x + 4) + (x + 4) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x + 4]))$ .

$2 \frac{(x + 4) (x + 4 - 2 x (\frac{d}{d x} [x + 4]))}{{(x + 4)}^{4}}$

Etapa 4.1.6

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.6.1

Fatore $x + 4$ de ${(x + 4)}^{4}$ .

$2 \frac{(x + 4) (x + 4 - 2 x (\frac{d}{d x} [x + 4]))}{(x + 4) {(x + 4)}^{3}}$

Etapa 4.1.6.2

Cancele o fator comum.

$2 \frac{(x + 4) (x + 4 - 2 x (\frac{d}{d x} [x + 4]))}{(x + 4) {(x + 4)}^{3}}$

Etapa 4.1.6.3

Reescreva a expressão.

$2 \frac{x + 4 - 2 x (\frac{d}{d x} [x + 4])}{{(x + 4)}^{3}}$

Etapa 4.1.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$2 \frac{x + 4 - 2 x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])}{{(x + 4)}^{3}}$

Etapa 4.1.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \frac{x + 4 - 2 x (1 + \frac{d}{d x} [4])}{{(x + 4)}^{3}}$

Etapa 4.1.9

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 \frac{x + 4 - 2 x (1 + 0)}{{(x + 4)}^{3}}$

Etapa 4.1.10

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.10.1

Some $1$ e $0$ .

$2 \frac{x + 4 - 2 x \cdot 1}{{(x + 4)}^{3}}$

Etapa 4.1.10.2

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$2 \frac{x + 4 - 2 x}{{(x + 4)}^{3}}$

Etapa 4.1.10.3

Subtraia $2 x$ de $x$ .

$2 \frac{- x + 4}{{(x + 4)}^{3}}$

Etapa 4.1.10.4

Combine $2$ e $\frac{- x + 4}{{(x + 4)}^{3}}$ .

$\frac{2 (- x + 4)}{{(x + 4)}^{3}}$

Etapa 4.1.11

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.11.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 (- x) + 2 \cdot 4}{{(x + 4)}^{3}}$

Etapa 4.1.11.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.11.2.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{- 2 x + 2 \cdot 4}{{(x + 4)}^{3}}$

Etapa 4.1.11.2.2

Multiplique $2$ por $4$ .

$\frac{- 2 x + 8}{{(x + 4)}^{3}}$

Etapa 4.1.11.3

Fatore $2$ de $- 2 x + 8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.11.3.1

Fatore $2$ de $- 2 x$ .

$\frac{2 (- x) + 8}{{(x + 4)}^{3}}$

Etapa 4.1.11.3.2

Fatore $2$ de $8$ .

$\frac{2 (- x) + 2 (4)}{{(x + 4)}^{3}}$

Etapa 4.1.11.3.3

Fatore $2$ de $2 (- x) + 2 (4)$ .

$\frac{2 (- x + 4)}{{(x + 4)}^{3}}$

Etapa 4.1.11.4

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$\frac{2 (- (x) + 4)}{{(x + 4)}^{3}}$

Etapa 4.1.11.5

Reescreva $4$ como $- 1 (- 4)$ .

$\frac{2 (- (x) - 1 (- 4))}{{(x + 4)}^{3}}$

Etapa 4.1.11.6

Fatore $- 1$ de $- (x) - 1 (- 4)$ .

$\frac{2 (- (x - 4))}{{(x + 4)}^{3}}$

Etapa 4.1.11.7

Reescreva $- (x - 4)$ como $- 1 (x - 4)$ .

$\frac{2 (- 1 (x - 4))}{{(x + 4)}^{3}}$

Etapa 4.1.11.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = - \frac{2 (x - 4)}{{(x + 4)}^{3}}$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- \frac{2 (x - 4)}{{(x + 4)}^{3}}$ .

$- \frac{2 (x - 4)}{{(x + 4)}^{3}}$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- \frac{2 (x - 4)}{{(x + 4)}^{3}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- \frac{2 (x - 4)}{{(x + 4)}^{3}} = 0$

Etapa 5.2

Defina o numerador como igual a zero.

$2 (x - 4) = 0$

Etapa 5.3

Resolva a equação para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Divida cada termo em $2 (x - 4) = 0$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1.1

Divida cada termo em $2 (x - 4) = 0$ por $2$ .

$\frac{2 (x - 4)}{2} = \frac{0}{2}$

Etapa 5.3.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (x - 4)}{2} = \frac{0}{2}$

Etapa 5.3.1.2.1.2

Divida $x - 4$ por $1$ .

$x - 4 = \frac{0}{2}$

Etapa 5.3.1.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1.3.1

Divida $0$ por $2$ .

$x - 4 = 0$

Etapa 5.3.2

Some $4$ aos dois lados da equação.

$x = 4$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Defina o denominador em $\frac{2 (x - 4)}{{(x + 4)}^{3}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

${(x + 4)}^{3} = 0$

Etapa 6.2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Defina $x + 4$ como igual a $0$ .

$x + 4 = 0$

Etapa 6.2.2

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$x = - 4$

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = 4$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = 4$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$\frac{4 ((4) - 8)}{{((4) + 4)}^{4}}$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Subtraia $8$ de $4$ .

$\frac{4 \cdot - 4}{{(4 + 4)}^{4}}$

Etapa 9.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1

Some $4$ e $4$ .

$\frac{4 \cdot - 4}{8^{4}}$

Etapa 9.2.2

Eleve $8$ à potência de $4$ .

$\frac{4 \cdot - 4}{4096}$

Etapa 9.3

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.1

Multiplique $4$ por $- 4$ .

$\frac{- 16}{4096}$

Etapa 9.3.2

Cancele o fator comum de $- 16$ e $4096$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.2.1

Fatore $16$ de $- 16$ .

$\frac{16 (- 1)}{4096}$

Etapa 9.3.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.2.2.1

Fatore $16$ de $4096$ .

$\frac{16 \cdot - 1}{16 \cdot 256}$

Etapa 9.3.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{16 \cdot - 1}{16 \cdot 256}$

Etapa 9.3.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- 1}{256}$

Etapa 9.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{256}$

Etapa 10

$x = 4$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 4$ é um máximo local

Etapa 11

Encontre o valor y quando $x = 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Substitua a variável $x$ por $4$ na expressão.

$f (4) = \frac{2 (4)}{{((4) + 4)}^{2}}$

Etapa 11.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1

Multiplique $2$ por $4$ .

$f (4) = \frac{8}{{(4 + 4)}^{2}}$

Etapa 11.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.2.1

Some $4$ e $4$ .

$f (4) = \frac{8}{8^{2}}$

Etapa 11.2.2.2

Eleve $8$ à potência de $2$ .

$f (4) = \frac{8}{64}$

Etapa 11.2.3

Cancele o fator comum de $8$ e $64$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.3.1

Fatore $8$ de $8$ .

$f (4) = \frac{8 (1)}{64}$

Etapa 11.2.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.3.2.1

Fatore $8$ de $64$ .

$f (4) = \frac{8 \cdot 1}{8 \cdot 8}$

Etapa 11.2.3.2.2

Cancele o fator comum.

$f (4) = \frac{8 \cdot 1}{8 \cdot 8}$

Etapa 11.2.3.2.3

Reescreva a expressão.

$f (4) = \frac{1}{8}$

Etapa 11.2.4

A resposta final é $\frac{1}{8}$ .

$y = \frac{1}{8}$

Etapa 12

Esses são os extremos locais para $f (x) = \frac{2 x}{{(x + 4)}^{2}}$ .

$(4, \frac{1}{8})$ é um máximo local

Etapa 13