Cálculo Exemplos

$f (x) = - \frac{2 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

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Etapa 1.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{2 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = {(x^{2} - 1)}^{2}$ .

$- 2 \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{2}]}{{({(x^{2} - 1)}^{2})}^{2}}$

Etapa 1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 1.3.1

Multiplique os expoentes em ${({(x^{2} - 1)}^{2})}^{2}$ .

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Etapa 1.3.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{2}]}{{(x^{2} - 1)}^{2 \cdot 2}}$

Etapa 1.3.1.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$- 2 \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{2}]}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 2 \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{2}]}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Etapa 1.3.3

Multiplique ${(x^{2} - 1)}^{2}$ por $1$ .

$- 2 \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{2}]}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Etapa 1.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x^{2} - 1$ .

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Etapa 1.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} - 1$ .

$- 2 \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} - x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Etapa 1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- 2 \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Etapa 1.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} - 1$ .

$- 2 \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} - x (2 (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Etapa 1.5

Simplifique com fatoração.

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Etapa 1.5.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- 2 \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} - 2 x ((x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Etapa 1.5.2

Fatore $x^{2} - 1$ de ${(x^{2} - 1)}^{2} - 2 x ((x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$ .

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Etapa 1.5.2.1

Fatore $x^{2} - 1$ de ${(x^{2} - 1)}^{2}$ .

$- 2 \frac{(x^{2} - 1) (x^{2} - 1) - 2 x ((x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Etapa 1.5.2.2

Fatore $x^{2} - 1$ de $- 2 x ((x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$ .

$- 2 \frac{(x^{2} - 1) (x^{2} - 1) + (x^{2} - 1) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]))}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Etapa 1.5.2.3

Fatore $x^{2} - 1$ de $(x^{2} - 1) (x^{2} - 1) + (x^{2} - 1) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]))$ .

$- 2 \frac{(x^{2} - 1) (x^{2} - 1 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]))}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Etapa 1.6

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.6.1

Fatore $x^{2} - 1$ de ${(x^{2} - 1)}^{4}$ .

$- 2 \frac{(x^{2} - 1) (x^{2} - 1 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]))}{(x^{2} - 1) {(x^{2} - 1)}^{3}}$

Etapa 1.6.2

Cancele o fator comum.

$- 2 \frac{(x^{2} - 1) (x^{2} - 1 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]))}{(x^{2} - 1) {(x^{2} - 1)}^{3}}$

Etapa 1.6.3

Reescreva a expressão.

$- 2 \frac{x^{2} - 1 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} - 1])}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Etapa 1.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$- 2 \frac{x^{2} - 1 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Etapa 1.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- 2 \frac{x^{2} - 1 - 2 x (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Etapa 1.9

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$- 2 \frac{x^{2} - 1 - 2 x (2 x + 0)}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Etapa 1.10

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.10.1

Some $2 x$ e $0$ .

$- 2 \frac{x^{2} - 1 - 2 x (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Etapa 1.10.2

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$- 2 \frac{x^{2} - 1 - 4 x \cdot x}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Etapa 1.11

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$- 2 \frac{x^{2} - 1 - 4 (x^{1} x)}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Etapa 1.12

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$- 2 \frac{x^{2} - 1 - 4 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Etapa 1.13

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- 2 \frac{x^{2} - 1 - 4 x^{1 + 1}}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Etapa 1.14

Some $1$ e $1$ .

$- 2 \frac{x^{2} - 1 - 4 x^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Etapa 1.15

Subtraia $4 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$- 2 \frac{- 3 x^{2} - 1}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Etapa 1.16

Combine $- 2$ e $\frac{- 3 x^{2} - 1}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$ .

$\frac{- 2 (- 3 x^{2} - 1)}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Etapa 1.17

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{2 (- 3 x^{2} - 1)}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Etapa 1.18

Simplifique.

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Etapa 1.18.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{2 (- 3 x^{2}) + 2 \cdot - 1}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Etapa 1.18.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.18.2.1

Multiplique $- 3$ por $2$ .

$- \frac{- 6 x^{2} + 2 \cdot - 1}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Etapa 1.18.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- \frac{- 6 x^{2} - 2}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = - 1$ e $g (x) = \frac{- 6 x^{2} - 2}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} \cdot \frac{- 6 x^{2} - 2}{{(x^{2} - 1)}^{3}} + \frac{- 6 x^{2} - 2}{{(x^{2} - 1)}^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 2.2

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (- 6 x^{2} - 2) - (- 6 x^{2} - 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{3}}{{({(x^{2} - 1)}^{3})}^{2}} + \frac{- 6 x^{2} - 2}{{(x^{2} - 1)}^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 2.3

Diferencie.

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Etapa 2.3.1

Multiplique os expoentes em ${({(x^{2} - 1)}^{3})}^{2}$ .

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Etapa 2.3.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (- 6 x^{2} - 2) - (- 6 x^{2} - 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{3}}{{(x^{2} - 1)}^{3 \cdot 2}} + \frac{- 6 x^{2} - 2}{{(x^{2} - 1)}^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 2.3.1.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (- 6 x^{2} - 2) - (- 6 x^{2} - 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{3}}{{(x^{2} - 1)}^{6}} + \frac{- 6 x^{2} - 2}{{(x^{2} - 1)}^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 2.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 6 x^{2} - 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} - 1)}^{3} (\frac{d}{d x} (- 6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2)) - (- 6 x^{2} - 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{3}}{{(x^{2} - 1)}^{6}} + \frac{- 6 x^{2} - 2}{{(x^{2} - 1)}^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 2.3.3

Como $- 6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 6 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} - 1)}^{3} (- 6 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 2)) - (- 6 x^{2} - 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{3}}{{(x^{2} - 1)}^{6}} + \frac{- 6 x^{2} - 2}{{(x^{2} - 1)}^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 2.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} - 1)}^{3} (- 6 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 2)) - (- 6 x^{2} - 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{3}}{{(x^{2} - 1)}^{6}} + \frac{- 6 x^{2} - 2}{{(x^{2} - 1)}^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 2.3.5

Multiplique $2$ por $- 6$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} - 1)}^{3} (- 12 x + \frac{d}{d x} (- 2)) - (- 6 x^{2} - 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{3}}{{(x^{2} - 1)}^{6}} + \frac{- 6 x^{2} - 2}{{(x^{2} - 1)}^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 2.3.6

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} - 1)}^{3} (- 12 x + 0) - (- 6 x^{2} - 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{3}}{{(x^{2} - 1)}^{6}} + \frac{- 6 x^{2} - 2}{{(x^{2} - 1)}^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 2.3.7

Some $- 12 x$ e $0$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} - 1)}^{3} (- 12 x) - (- 6 x^{2} - 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{3}}{{(x^{2} - 1)}^{6}} + \frac{- 6 x^{2} - 2}{{(x^{2} - 1)}^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = x^{2} - 1$ .

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Etapa 2.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} - 1$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} - 1)}^{3} (- 12 x) - (- 6 x^{2} - 2) (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))}{{(x^{2} - 1)}^{6}} + \frac{- 6 x^{2} - 2}{{(x^{2} - 1)}^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} - 1)}^{3} (- 12 x) - (- 6 x^{2} - 2) (3 u^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))}{{(x^{2} - 1)}^{6}} + \frac{- 6 x^{2} - 2}{{(x^{2} - 1)}^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 2.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} - 1$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} - 1)}^{3} (- 12 x) - (- 6 x^{2} - 2) (3 {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))}{{(x^{2} - 1)}^{6}} + \frac{- 6 x^{2} - 2}{{(x^{2} - 1)}^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 2.5

Diferencie.

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Etapa 2.5.1

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} - 1)}^{3} (- 12 x) - 3 (- 6 x^{2} - 2) ({(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))}{{(x^{2} - 1)}^{6}} + \frac{- 6 x^{2} - 2}{{(x^{2} - 1)}^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 2.5.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} - 1)}^{3} (- 12 x) - 3 (- 6 x^{2} - 2) ({(x^{2} - 1)}^{2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1)))}{{(x^{2} - 1)}^{6}} + \frac{- 6 x^{2} - 2}{{(x^{2} - 1)}^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 2.5.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} - 1)}^{3} (- 12 x) - 3 (- 6 x^{2} - 2) ({(x^{2} - 1)}^{2} (2 x + \frac{d}{d x} (- 1)))}{{(x^{2} - 1)}^{6}} + \frac{- 6 x^{2} - 2}{{(x^{2} - 1)}^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 2.5.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} - 1)}^{3} (- 12 x) - 3 (- 6 x^{2} - 2) ({(x^{2} - 1)}^{2} (2 x + 0))}{{(x^{2} - 1)}^{6}} + \frac{- 6 x^{2} - 2}{{(x^{2} - 1)}^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 2.5.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.5.5.1

Some $2 x$ e $0$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} - 1)}^{3} (- 12 x) - 3 (- 6 x^{2} - 2) ({(x^{2} - 1)}^{2} (2 x))}{{(x^{2} - 1)}^{6}} + \frac{- 6 x^{2} - 2}{{(x^{2} - 1)}^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 2.5.5.2

Mova $2$ para a esquerda de ${(x^{2} - 1)}^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} - 1)}^{3} (- 12 x) - 3 (- 6 x^{2} - 2) (2 \cdot ({(x^{2} - 1)}^{2} x))}{{(x^{2} - 1)}^{6}} + \frac{- 6 x^{2} - 2}{{(x^{2} - 1)}^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 2.5.5.3

Multiplique $2$ por $- 3$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} - 1)}^{3} (- 12 x) - 6 (- 6 x^{2} - 2) ({(x^{2} - 1)}^{2} x)}{{(x^{2} - 1)}^{6}} + \frac{- 6 x^{2} - 2}{{(x^{2} - 1)}^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 2.5.6

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} - 1)}^{3} (- 12 x) - 6 (- 6 x^{2} - 2) ({(x^{2} - 1)}^{2} x)}{{(x^{2} - 1)}^{6}} + \frac{- 6 x^{2} - 2}{{(x^{2} - 1)}^{3}} \cdot 0$

Etapa 2.5.7

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.5.7.1

Multiplique $\frac{- 6 x^{2} - 2}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$ por $0$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} - 1)}^{3} (- 12 x) - 6 (- 6 x^{2} - 2) ({(x^{2} - 1)}^{2} x)}{{(x^{2} - 1)}^{6}} + 0$

Etapa 2.5.7.2

Some $- \frac{{(x^{2} - 1)}^{3} (- 12 x) - 6 (- 6 x^{2} - 2) ({(x^{2} - 1)}^{2} x)}{{(x^{2} - 1)}^{6}}$ e $0$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} - 1)}^{3} (- 12 x) - 6 (- 6 x^{2} - 2) ({(x^{2} - 1)}^{2} x)}{{(x^{2} - 1)}^{6}}$

Etapa 2.6

Simplifique.

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Etapa 2.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} - 1)}^{3} (- 12 x) + (- 6 (- 6 x^{2}) - 6 \cdot - 2) ({(x^{2} - 1)}^{2} x)}{{(x^{2} - 1)}^{6}}$

Etapa 2.6.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.6.2.1

Fatore ${(x^{2} - 1)}^{2} x$ de ${(x^{2} - 1)}^{3} (- 12 x) + (- 6 (- 6 x^{2}) - 6 \cdot - 2) {(x^{2} - 1)}^{2} x$ .

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Etapa 2.6.2.1.1

Fatore ${(x^{2} - 1)}^{2} x$ de ${(x^{2} - 1)}^{3} (- 12 x)$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} x ((x^{2} - 1) \cdot (- 12)) + (- 6 (- 6 x^{2}) - 6 \cdot - 2) {(x^{2} - 1)}^{2} x}{{(x^{2} - 1)}^{6}}$

Etapa 2.6.2.1.2

Fatore ${(x^{2} - 1)}^{2} x$ de $(- 6 (- 6 x^{2}) - 6 \cdot - 2) {(x^{2} - 1)}^{2} x$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} x ((x^{2} - 1) \cdot (- 12)) + {(x^{2} - 1)}^{2} x (- 6 (- 6 x^{2}) - 6 \cdot - 2)}{{(x^{2} - 1)}^{6}}$

Etapa 2.6.2.1.3

Fatore ${(x^{2} - 1)}^{2} x$ de ${(x^{2} - 1)}^{2} x ((x^{2} - 1) \cdot (- 12)) + {(x^{2} - 1)}^{2} x (- 6 (- 6 x^{2}) - 6 \cdot - 2)$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} x ((x^{2} - 1) \cdot (- 12) - 6 (- 6 x^{2}) - 6 \cdot - 2)}{{(x^{2} - 1)}^{6}}$

Etapa 2.6.2.2

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} - 1^{2})}^{2} x ((x^{2} - 1) \cdot (- 12) - 6 (- 6 x^{2}) - 6 \cdot - 2)}{{(x^{2} - 1)}^{6}}$

Etapa 2.6.2.3

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{{((x + 1) (x - 1))}^{2} x ((x^{2} - 1) \cdot (- 12) - 6 (- 6 x^{2}) - 6 \cdot - 2)}{{(x^{2} - 1)}^{6}}$

Etapa 2.6.2.4

Aplique a regra do produto a $(x + 1) (x - 1)$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} x ((x^{2} - 1) \cdot (- 12) - 6 (- 6 x^{2}) - 6 \cdot - 2)}{{(x^{2} - 1)}^{6}}$

Etapa 2.6.2.5

Combine expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.2.5.1

Multiplique $- 6$ por $- 6$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} x ((x^{2} - 1) \cdot (- 12) + 36 x^{2} - 6 \cdot - 2)}{{(x^{2} - 1)}^{6}}$

Etapa 2.6.2.5.2

Multiplique $- 6$ por $- 2$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} x ((x^{2} - 1) \cdot (- 12) + 36 x^{2} + 12)}{{(x^{2} - 1)}^{6}}$

Etapa 2.6.2.6

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.6.2.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} x (x^{2} \cdot - 12 - 1 \cdot - 12 + 36 x^{2} + 12)}{{(x^{2} - 1)}^{6}}$

Etapa 2.6.2.6.2

Mova $- 12$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} x (- 12 \cdot x^{2} - 1 \cdot - 12 + 36 x^{2} + 12)}{{(x^{2} - 1)}^{6}}$

Etapa 2.6.2.6.3

Multiplique $- 1$ por $- 12$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} x (- 12 x^{2} + 12 + 36 x^{2} + 12)}{{(x^{2} - 1)}^{6}}$

Etapa 2.6.2.7

Some $- 12 x^{2}$ e $36 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} x (24 x^{2} + 12 + 12)}{{(x^{2} - 1)}^{6}}$

Etapa 2.6.2.8

Some $12$ e $12$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} x (24 x^{2} + 24)}{{(x^{2} - 1)}^{6}}$

Etapa 2.6.2.9

Fatore $24$ de $24 x^{2} + 24$ .

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Etapa 2.6.2.9.1

Fatore $24$ de $24 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} x (24 (x^{2}) + 24)}{{(x^{2} - 1)}^{6}}$

Etapa 2.6.2.9.2

Fatore $24$ de $24$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} x (24 (x^{2}) + 24 (1))}{{(x^{2} - 1)}^{6}}$

Etapa 2.6.2.9.3

Fatore $24$ de $24 (x^{2}) + 24 (1)$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} x (24 (x^{2} + 1))}{{(x^{2} - 1)}^{6}}$

$f'' (x) = - \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} x \cdot (24 (x^{2} + 1))}{{(x^{2} - 1)}^{6}}$

Etapa 2.6.3

Mova $24$ para a esquerda de ${(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} x$ .

$f'' (x) = - \frac{24 {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} x (x^{2} + 1)}{{(x^{2} - 1)}^{6}}$

Etapa 2.6.4

Simplifique o denominador.

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Etapa 2.6.4.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{24 {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} x (x^{2} + 1)}{{(x^{2} - 1^{2})}^{6}}$

Etapa 2.6.4.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{24 {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} x (x^{2} + 1)}{{((x + 1) (x - 1))}^{6}}$

Etapa 2.6.4.3

Aplique a regra do produto a $(x + 1) (x - 1)$ .

$f'' (x) = - \frac{24 {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} x (x^{2} + 1)}{{(x + 1)}^{6} {(x - 1)}^{6}}$

Etapa 2.6.5

Cancele o fator comum de ${(x + 1)}^{2}$ e ${(x + 1)}^{6}$ .

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Etapa 2.6.5.1

Fatore ${(x + 1)}^{2}$ de $24 {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} x (x^{2} + 1)$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x + 1)}^{2} (24 {(x - 1)}^{2} x (x^{2} + 1))}{{(x + 1)}^{6} {(x - 1)}^{6}}$

Etapa 2.6.5.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.6.5.2.1

Fatore ${(x + 1)}^{2}$ de ${(x + 1)}^{6} {(x - 1)}^{6}$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x + 1)}^{2} (24 {(x - 1)}^{2} x (x^{2} + 1))}{{(x + 1)}^{2} ({(x + 1)}^{4} {(x - 1)}^{6})}$

Etapa 2.6.5.2.2

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = - \frac{{(x + 1)}^{2} (24 {(x - 1)}^{2} x (x^{2} + 1))}{{(x + 1)}^{2} ({(x + 1)}^{4} {(x - 1)}^{6})}$

Etapa 2.6.5.2.3

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = - \frac{24 {(x - 1)}^{2} x (x^{2} + 1)}{{(x + 1)}^{4} {(x - 1)}^{6}}$

Etapa 2.6.6

Cancele o fator comum de ${(x - 1)}^{2}$ e ${(x - 1)}^{6}$ .

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Etapa 2.6.6.1

Fatore ${(x - 1)}^{2}$ de $24 {(x - 1)}^{2} x (x^{2} + 1)$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x - 1)}^{2} (24 x (x^{2} + 1))}{{(x + 1)}^{4} {(x - 1)}^{6}}$

Etapa 2.6.6.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.6.6.2.1

Fatore ${(x - 1)}^{2}$ de ${(x + 1)}^{4} {(x - 1)}^{6}$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x - 1)}^{2} (24 x (x^{2} + 1))}{{(x - 1)}^{2} ({(x + 1)}^{4} {(x - 1)}^{4})}$

Etapa 2.6.6.2.2

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = - \frac{{(x - 1)}^{2} (24 x (x^{2} + 1))}{{(x - 1)}^{2} ({(x + 1)}^{4} {(x - 1)}^{4})}$

Etapa 2.6.6.2.3

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = - \frac{24 x (x^{2} + 1)}{{(x + 1)}^{4} {(x - 1)}^{4}}$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$- \frac{- 6 x^{2} - 2}{{(x^{2} - 1)}^{3}} = 0$

Etapa 4

Visto que não há um valor de $x$ que torne a primeira derivada igual a $0$ , não há extremos locais.

Nenhum extremo local

Etapa 5

Nenhum extremo local

Etapa 6