Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{3} a t^{2}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

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Etapa 1.1

Como $a t^{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $x^{3} a t^{2}$ em relação a $x$ é $a t^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$a t^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$a t^{2} (3 x^{2})$

Etapa 1.3

Reordene.

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Etapa 1.3.1

Mova $3$ para a esquerda de $a t^{2}$ .

$3 \cdot (a t^{2}) x^{2}$

Etapa 1.3.2

Reordene os fatores de $3 a t^{2} x^{2}$ .

$3 t^{2} x^{2} a$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 2.1

Como $3 t^{2} a$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 t^{2} x^{2} a$ em relação a $x$ é $3 t^{2} a \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 3 t^{2} a \frac{d}{d x} (x^{2})$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = 3 t^{2} a (2 x)$

Etapa 2.3

Multiplique $2$ por $3$ .

$f'' (x) = 6 t^{2} a x$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$3 t^{2} x^{2} a = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 4.1.1

Como $a t^{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $x^{3} a t^{2}$ em relação a $x$ é $a t^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$a t^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 4.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$a t^{2} (3 x^{2})$

Etapa 4.1.3

Reordene.

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Etapa 4.1.3.1

Mova $3$ para a esquerda de $a t^{2}$ .

$3 \cdot (a t^{2}) x^{2}$

Etapa 4.1.3.2

Reordene os fatores de $3 a t^{2} x^{2}$ .

$f' (x) = 3 t^{2} x^{2} a$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $3 t^{2} x^{2} a$ .

$3 t^{2} x^{2} a$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $3 t^{2} x^{2} a = 0$ .

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Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$3 t^{2} x^{2} a = 0$

Etapa 5.2

Divida cada termo em $3 t^{2} x^{2} a = 0$ por $3 t^{2} a$ e simplifique.

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Etapa 5.2.1

Divida cada termo em $3 t^{2} x^{2} a = 0$ por $3 t^{2} a$ .

$\frac{3 t^{2} x^{2} a}{3 t^{2} a} = \frac{0}{3 t^{2} a}$

Etapa 5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 5.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 t^{2} x^{2} a}{3 t^{2} a} = \frac{0}{3 t^{2} a}$

Etapa 5.2.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{t^{2} x^{2} a}{t^{2} a} = \frac{0}{3 t^{2} a}$

Etapa 5.2.2.2

Cancele o fator comum de $t^{2}$ .

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Etapa 5.2.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{t^{2} x^{2} a}{t^{2} a} = \frac{0}{3 t^{2} a}$

Etapa 5.2.2.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{x^{2} a}{a} = \frac{0}{3 t^{2} a}$

Etapa 5.2.2.3

Cancele o fator comum de $a$ .

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Etapa 5.2.2.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x^{2} a}{a} = \frac{0}{3 t^{2} a}$

Etapa 5.2.2.3.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{0}{3 t^{2} a}$

Etapa 5.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.2.3.1

Cancele o fator comum de $0$ e $3$ .

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Etapa 5.2.3.1.1

Fatore $3$ de $0$ .

$x^{2} = \frac{3 (0)}{3 t^{2} a}$

Etapa 5.2.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.2.3.1.2.1

Fatore $3$ de $3 t^{2} a$ .

$x^{2} = \frac{3 (0)}{3 (t^{2} a)}$

Etapa 5.2.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$x^{2} = \frac{3 \cdot 0}{3 (t^{2} a)}$

Etapa 5.2.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$x^{2} = \frac{0}{t^{2} a}$

Etapa 5.2.3.2

Divida $0$ por $t^{2} a$ .

$x^{2} = 0$

Etapa 5.3

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{0}$

Etapa 5.4

Simplifique $\pm \sqrt{0}$ .

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Etapa 5.4.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Etapa 5.4.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 0$

Etapa 5.4.3

Mais ou menos $0$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 6.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = 0$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = 0$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$6 t^{2} a (0)$

Etapa 9

Multiplique $6 t^{2} a (0)$ .

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Etapa 9.1

Multiplique $0$ por $6$ .

$0 t^{2} a$

Etapa 9.2

Multiplique $0$ por $t^{2}$ .

$0 a$

Etapa 9.3

Multiplique $0$ por $a$ .

$0$

Etapa 10

Como o teste da primeira derivada falhou, não há um extremo local.

Nenhum extremo local

Etapa 11