Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{4} - 6 x^{3} + 12 x^{2} - 8 x$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{4} - 6 x^{3} + 12 x^{2} - 8 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x]$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 6 x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Como $- 6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 6 x^{3}$ em relação a $x$ é $- 6 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 x^{3} - 6 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$4 x^{3} - 6 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x]$

Etapa 1.2.3

Multiplique $3$ por $- 6$ .

$4 x^{3} - 18 x^{2} + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ .

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Etapa 1.3.1

Como $12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $12 x^{2}$ em relação a $x$ é $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 18 x^{2} + 12 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$4 x^{3} - 18 x^{2} + 12 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 8 x]$

Etapa 1.3.3

Multiplique $2$ por $12$ .

$4 x^{3} - 18 x^{2} + 24 x + \frac{d}{d x} [- 8 x]$

Etapa 1.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

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Etapa 1.4.1

Como $- 8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 8 x$ em relação a $x$ é $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x^{3} - 18 x^{2} + 24 x - 8 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 x^{3} - 18 x^{2} + 24 x - 8 \cdot 1$

Etapa 1.4.3

Multiplique $- 8$ por $1$ .

$4 x^{3} - 18 x^{2} + 24 x - 8$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x^{3} - 18 x^{2} + 24 x - 8$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 18 x^{2}) + \frac{d}{d x} (24 x) + \frac{d}{d x} (- 8)$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x^{3}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 18 x^{2}) + \frac{d}{d x} (24 x) + \frac{d}{d x} (- 8)$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 18 x^{2}) + \frac{d}{d x} (24 x) + \frac{d}{d x} (- 8)$

Etapa 2.2.3

Multiplique $3$ por $4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 18 x^{2}) + \frac{d}{d x} (24 x) + \frac{d}{d x} (- 8)$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 18 x^{2}]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $- 18$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 18 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 18 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 18 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (24 x) + \frac{d}{d x} (- 8)$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 18 (2 x) + \frac{d}{d x} (24 x) + \frac{d}{d x} (- 8)$

Etapa 2.3.3

Multiplique $2$ por $- 18$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 36 x + \frac{d}{d x} (24 x) + \frac{d}{d x} (- 8)$

Etapa 2.4

Avalie $\frac{d}{d x} [24 x]$ .

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Etapa 2.4.1

Como $24$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $24 x$ em relação a $x$ é $24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 36 x + 24 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 8)$

Etapa 2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 36 x + 24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 8)$

Etapa 2.4.3

Multiplique $24$ por $1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 36 x + 24 + \frac{d}{d x} (- 8)$

Etapa 2.5

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 2.5.1

Como $- 8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 8$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 36 x + 24 + 0$

Etapa 2.5.2

Some $12 x^{2} - 36 x + 24$ e $0$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 36 x + 24$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$4 x^{3} - 18 x^{2} + 24 x - 8 = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 4.1.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1.1

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x]$

Etapa 4.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x]$

Etapa 4.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 6 x^{3}]$ .

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Etapa 4.1.2.1

Como $- 6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 6 x^{3}$ em relação a $x$ é $- 6 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 x^{3} - 6 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x]$

Etapa 4.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$4 x^{3} - 6 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x]$

Etapa 4.1.2.3

Multiplique $3$ por $- 6$ .

$4 x^{3} - 18 x^{2} + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x]$

Etapa 4.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ .

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Etapa 4.1.3.1

Como $12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $12 x^{2}$ em relação a $x$ é $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 18 x^{2} + 12 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x]$

Etapa 4.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$4 x^{3} - 18 x^{2} + 12 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 8 x]$

Etapa 4.1.3.3

Multiplique $2$ por $12$ .

$4 x^{3} - 18 x^{2} + 24 x + \frac{d}{d x} [- 8 x]$

Etapa 4.1.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

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Etapa 4.1.4.1

Como $- 8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 8 x$ em relação a $x$ é $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x^{3} - 18 x^{2} + 24 x - 8 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 x^{3} - 18 x^{2} + 24 x - 8 \cdot 1$

Etapa 4.1.4.3

Multiplique $- 8$ por $1$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 18 x^{2} + 24 x - 8$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $4 x^{3} - 18 x^{2} + 24 x - 8$ .

$4 x^{3} - 18 x^{2} + 24 x - 8$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $4 x^{3} - 18 x^{2} + 24 x - 8 = 0$ .

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Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$4 x^{3} - 18 x^{2} + 24 x - 8 = 0$

Etapa 5.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 5.2.1

Fatore $2$ de $4 x^{3} - 18 x^{2} + 24 x - 8$ .

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Etapa 5.2.1.1

Fatore $2$ de $4 x^{3}$ .

$2 (2 x^{3}) - 18 x^{2} + 24 x - 8 = 0$

Etapa 5.2.1.2

Fatore $2$ de $- 18 x^{2}$ .

$2 (2 x^{3}) + 2 (- 9 x^{2}) + 24 x - 8 = 0$

Etapa 5.2.1.3

Fatore $2$ de $24 x$ .

$2 (2 x^{3}) + 2 (- 9 x^{2}) + 2 (12 x) - 8 = 0$

Etapa 5.2.1.4

Fatore $2$ de $- 8$ .

$2 (2 x^{3}) + 2 (- 9 x^{2}) + 2 (12 x) + 2 (- 4) = 0$

Etapa 5.2.1.5

Fatore $2$ de $2 (2 x^{3}) + 2 (- 9 x^{2})$ .

$2 (2 x^{3} - 9 x^{2}) + 2 (12 x) + 2 (- 4) = 0$

Etapa 5.2.1.6

Fatore $2$ de $2 (2 x^{3} - 9 x^{2}) + 2 (12 x)$ .

$2 (2 x^{3} - 9 x^{2} + 12 x) + 2 (- 4) = 0$

Etapa 5.2.1.7

Fatore $2$ de $2 (2 x^{3} - 9 x^{2} + 12 x) + 2 (- 4)$ .

$2 (2 x^{3} - 9 x^{2} + 12 x - 4) = 0$

Etapa 5.2.2

Fatore $2 x^{3} - 9 x^{2} + 12 x - 4$ usando o teste das raízes racionais.

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Etapa 5.2.2.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

$q = \pm 1, \pm 2$

Etapa 5.2.2.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 4, \pm 2$

Etapa 5.2.2.3

Substitua $0.5$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $0.5$ é uma raiz do polinômio.

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Etapa 5.2.2.3.1

Substitua $0.5$ no polinômio.

$2 \cdot {0.5}^{3} - 9 \cdot {0.5}^{2} + 12 \cdot 0.5 - 4$

Etapa 5.2.2.3.2

Eleve $0.5$ à potência de $3$ .

$2 \cdot 0.125 - 9 \cdot {0.5}^{2} + 12 \cdot 0.5 - 4$

Etapa 5.2.2.3.3

Multiplique $2$ por $0.125$ .

$0.25 - 9 \cdot {0.5}^{2} + 12 \cdot 0.5 - 4$

Etapa 5.2.2.3.4

Eleve $0.5$ à potência de $2$ .

$0.25 - 9 \cdot 0.25 + 12 \cdot 0.5 - 4$

Etapa 5.2.2.3.5

Multiplique $- 9$ por $0.25$ .

$0.25 - 2.25 + 12 \cdot 0.5 - 4$

Etapa 5.2.2.3.6

Subtraia $2.25$ de $0.25$ .

$- 2 + 12 \cdot 0.5 - 4$

Etapa 5.2.2.3.7

Multiplique $12$ por $0.5$ .

$- 2 + 6 - 4$

Etapa 5.2.2.3.8

Some $- 2$ e $6$ .

$4 - 4$

Etapa 5.2.2.3.9

Subtraia $4$ de $4$ .

$0$

Etapa 5.2.2.4

Como $0.5$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $2 x - 1$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{2 x^{3} - 9 x^{2} + 12 x - 4}{2 x - 1}$

Etapa 5.2.2.5

Divida $2 x^{3} - 9 x^{2} + 12 x - 4$ por $2 x - 1$ .

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Etapa 5.2.2.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$2 x$

$1$

$2 x^{3}$

$9 x^{2}$

$12 x$

$4$

Etapa 5.2.2.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $2 x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $2 x$ .

					$x^{2}$
	$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$12 x$	-	$4$

Etapa 5.2.2.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$12 x$	-	$4$
			+	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$

Etapa 5.2.2.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $2 x^{3} - x^{2}$ .

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$12 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$

Etapa 5.2.2.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$12 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$

Etapa 5.2.2.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$12 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$12 x$

Etapa 5.2.2.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 8 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $2 x$ .

				$x^{2}$	-	$4 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$12 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$12 x$

Etapa 5.2.2.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$12 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$12 x$
					-	$8 x^{2}$	+	$4 x$

Etapa 5.2.2.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 8 x^{2} + 4 x$ .

				$x^{2}$	-	$4 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$12 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$4 x$

Etapa 5.2.2.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$12 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$4 x$
							+	$8 x$

Etapa 5.2.2.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$12 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$4 x$
							+	$8 x$	-	$4$

Etapa 5.2.2.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $8 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $2 x$ .

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$12 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$4 x$
							+	$8 x$	-	$4$

Etapa 5.2.2.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$12 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$4 x$
							+	$8 x$	-	$4$
							+	$8 x$	-	$4$

Etapa 5.2.2.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $8 x - 4$ .

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$12 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$4 x$
							+	$8 x$	-	$4$
							-	$8 x$	+	$4$

Etapa 5.2.2.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$12 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$4 x$
							+	$8 x$	-	$4$
							-	$8 x$	+	$4$
										$0$

Etapa 5.2.2.5.16

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$x^{2} - 4 x + 4$

Etapa 5.2.2.6

Escreva $2 x^{3} - 9 x^{2} + 12 x - 4$ como um conjunto de fatores.

$2 ((2 x - 1) (x^{2} - 4 x + 4)) = 0$

Etapa 5.2.3

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$2 ((2 x - 1) (x^{2} - 4 x + 2^{2})) = 0$

Etapa 5.2.3.1.2

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Etapa 5.2.3.1.3

Reescreva o polinômio.

$2 ((2 x - 1) (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2})) = 0$

Etapa 5.2.3.1.4

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , em que $a = x$ e $b = 2$ .

$2 ((2 x - 1) {(x - 2)}^{2}) = 0$

Etapa 5.2.3.2

Remova os parênteses desnecessários.

$2 (2 x - 1) {(x - 2)}^{2} = 0$

Etapa 5.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$2 x - 1 = 0$

${(x - 2)}^{2} = 0$

Etapa 5.4

Defina $2 x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1

Defina $2 x - 1$ como igual a $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Etapa 5.4.2

Resolva $2 x - 1 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$2 x = 1$

Etapa 5.4.2.2

Divida cada termo em $2 x = 1$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.2.1

Divida cada termo em $2 x = 1$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 5.4.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 5.4.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Etapa 5.5

Defina ${(x - 2)}^{2}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1

Defina ${(x - 2)}^{2}$ como igual a $0$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

Etapa 5.5.2

Resolva ${(x - 2)}^{2} = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.1

Defina $x - 2$ como igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Etapa 5.5.2.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 5.6

A solução final são todos os valores que tornam $2 (2 x - 1) {(x - 2)}^{2} = 0$ verdadeiro.

$x = \frac{1}{2}, 2$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = \frac{1}{2}, 2$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = \frac{1}{2}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$12 {(\frac{1}{2})}^{2} - 36 (\frac{1}{2}) + 24$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{2}$ .

$12 \frac{1^{2}}{2^{2}} - 36 (\frac{1}{2}) + 24$

Etapa 9.1.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$12 \frac{1}{2^{2}} - 36 (\frac{1}{2}) + 24$

Etapa 9.1.3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$12 (\frac{1}{4}) - 36 (\frac{1}{2}) + 24$

Etapa 9.1.4

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.4.1

Fatore $4$ de $12$ .

$4 (3) \frac{1}{4} - 36 (\frac{1}{2}) + 24$

Etapa 9.1.4.2

Cancele o fator comum.

$4 \cdot 3 \frac{1}{4} - 36 (\frac{1}{2}) + 24$

Etapa 9.1.4.3

Reescreva a expressão.

$3 - 36 (\frac{1}{2}) + 24$

Etapa 9.1.5

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.5.1

Fatore $2$ de $- 36$ .

$3 + 2 (- 18) \frac{1}{2} + 24$

Etapa 9.1.5.2

Cancele o fator comum.

$3 + 2 \cdot - 18 \frac{1}{2} + 24$

Etapa 9.1.5.3

Reescreva a expressão.

$3 - 18 + 24$

Etapa 9.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1

Subtraia $18$ de $3$ .

$- 15 + 24$

Etapa 9.2.2

Some $- 15$ e $24$ .

$9$

Etapa 10

$x = \frac{1}{2}$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = \frac{1}{2}$ é um mínimo local

Etapa 11

Encontre o valor y quando $x = \frac{1}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{1}{2}$ na expressão.

$f (\frac{1}{2}) = {(\frac{1}{2})}^{4} - 6 {(\frac{1}{2})}^{3} + 12 {(\frac{1}{2})}^{2} - 8 (\frac{1}{2})$

Etapa 11.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1^{4}}{2^{4}} - 6 {(\frac{1}{2})}^{3} + 12 {(\frac{1}{2})}^{2} - 8 (\frac{1}{2})$

Etapa 11.2.1.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2^{4}} - 6 {(\frac{1}{2})}^{3} + 12 {(\frac{1}{2})}^{2} - 8 (\frac{1}{2})$

Etapa 11.2.1.3

Eleve $2$ à potência de $4$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{16} - 6 {(\frac{1}{2})}^{3} + 12 {(\frac{1}{2})}^{2} - 8 (\frac{1}{2})$

Etapa 11.2.1.4

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{16} - 6 \frac{1^{3}}{2^{3}} + 12 {(\frac{1}{2})}^{2} - 8 (\frac{1}{2})$

Etapa 11.2.1.5

Um elevado a qualquer potência é um.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{16} - 6 \frac{1}{2^{3}} + 12 {(\frac{1}{2})}^{2} - 8 (\frac{1}{2})$

Etapa 11.2.1.6

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{16} - 6 (\frac{1}{8}) + 12 {(\frac{1}{2})}^{2} - 8 (\frac{1}{2})$

Etapa 11.2.1.7

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.7.1

Fatore $2$ de $- 6$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{16} + 2 (- 3) (\frac{1}{8}) + 12 {(\frac{1}{2})}^{2} - 8 (\frac{1}{2})$

Etapa 11.2.1.7.2

Fatore $2$ de $8$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{16} + 2 \cdot (- 3 \frac{1}{2 \cdot 4}) + 12 {(\frac{1}{2})}^{2} - 8 (\frac{1}{2})$

Etapa 11.2.1.7.3

Cancele o fator comum.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{16} + 2 \cdot (- 3 \frac{1}{2 \cdot 4}) + 12 {(\frac{1}{2})}^{2} - 8 (\frac{1}{2})$

Etapa 11.2.1.7.4

Reescreva a expressão.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{16} - 3 (\frac{1}{4}) + 12 {(\frac{1}{2})}^{2} - 8 (\frac{1}{2})$

Etapa 11.2.1.8

Combine $- 3$ e $\frac{1}{4}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{16} + \frac{- 3}{4} + 12 {(\frac{1}{2})}^{2} - 8 (\frac{1}{2})$

Etapa 11.2.1.9

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{16} - \frac{3}{4} + 12 {(\frac{1}{2})}^{2} - 8 (\frac{1}{2})$

Etapa 11.2.1.10

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{16} - \frac{3}{4} + 12 (\frac{1^{2}}{2^{2}}) - 8 (\frac{1}{2})$

Etapa 11.2.1.11

Um elevado a qualquer potência é um.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{16} - \frac{3}{4} + 12 (\frac{1}{2^{2}}) - 8 (\frac{1}{2})$

Etapa 11.2.1.12

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{16} - \frac{3}{4} + 12 (\frac{1}{4}) - 8 (\frac{1}{2})$

Etapa 11.2.1.13

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.13.1

Fatore $4$ de $12$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{16} - \frac{3}{4} + 4 (3) (\frac{1}{4}) - 8 (\frac{1}{2})$

Etapa 11.2.1.13.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{16} - \frac{3}{4} + 4 \cdot (3 (\frac{1}{4})) - 8 (\frac{1}{2})$

Etapa 11.2.1.13.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{16} - \frac{3}{4} + 3 - 8 (\frac{1}{2})$

Etapa 11.2.1.14

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.14.1

Fatore $2$ de $- 8$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{16} - \frac{3}{4} + 3 + 2 (- 4) (\frac{1}{2})$

Etapa 11.2.1.14.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{16} - \frac{3}{4} + 3 + 2 \cdot (- 4 (\frac{1}{2}))$

Etapa 11.2.1.14.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{16} - \frac{3}{4} + 3 - 4$

Etapa 11.2.2

Encontre o denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.2.1

Multiplique $\frac{3}{4}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{16} - (\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{4}) + 3 - 4$

Etapa 11.2.2.2

Multiplique $\frac{3}{4}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{16} - \frac{3 \cdot 4}{4 \cdot 4} + 3 - 4$

Etapa 11.2.2.3

Escreva $3$ como uma fração com denominador $1$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{16} - \frac{3 \cdot 4}{4 \cdot 4} + \frac{3}{1} - 4$

Etapa 11.2.2.4

Multiplique $\frac{3}{1}$ por $\frac{16}{16}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{16} - \frac{3 \cdot 4}{4 \cdot 4} + \frac{3}{1} \cdot \frac{16}{16} - 4$

Etapa 11.2.2.5

Multiplique $\frac{3}{1}$ por $\frac{16}{16}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{16} - \frac{3 \cdot 4}{4 \cdot 4} + \frac{3 \cdot 16}{16} - 4$

Etapa 11.2.2.6

Escreva $- 4$ como uma fração com denominador $1$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{16} - \frac{3 \cdot 4}{4 \cdot 4} + \frac{3 \cdot 16}{16} + \frac{- 4}{1}$

Etapa 11.2.2.7

Multiplique $\frac{- 4}{1}$ por $\frac{16}{16}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{16} - \frac{3 \cdot 4}{4 \cdot 4} + \frac{3 \cdot 16}{16} + \frac{- 4}{1} \cdot \frac{16}{16}$

Etapa 11.2.2.8

Multiplique $\frac{- 4}{1}$ por $\frac{16}{16}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{16} - \frac{3 \cdot 4}{4 \cdot 4} + \frac{3 \cdot 16}{16} + \frac{- 4 \cdot 16}{16}$

Etapa 11.2.2.9

Multiplique $4$ por $4$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{16} - \frac{3 \cdot 4}{16} + \frac{3 \cdot 16}{16} + \frac{- 4 \cdot 16}{16}$

Etapa 11.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1 - 3 \cdot 4 + 3 \cdot 16 - 4 \cdot 16}{16}$

Etapa 11.2.4

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.4.1

Multiplique $- 3$ por $4$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1 - 12 + 3 \cdot 16 - 4 \cdot 16}{16}$

Etapa 11.2.4.2

Multiplique $3$ por $16$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1 - 12 + 48 - 4 \cdot 16}{16}$

Etapa 11.2.4.3

Multiplique $- 4$ por $16$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1 - 12 + 48 - 64}{16}$

Etapa 11.2.5

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.5.1

Subtraia $12$ de $1$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{- 11 + 48 - 64}{16}$

Etapa 11.2.5.2

Some $- 11$ e $48$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{37 - 64}{16}$

Etapa 11.2.5.3

Subtraia $64$ de $37$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{- 27}{16}$

Etapa 11.2.5.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (\frac{1}{2}) = - \frac{27}{16}$

Etapa 11.2.6

A resposta final é $- \frac{27}{16}$ .

$y = - \frac{27}{16}$

Etapa 12

Avalie a segunda derivada em $x = 2$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$12 {(2)}^{2} - 36 \cdot 2 + 24$

Etapa 13

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$12 \cdot 4 - 36 \cdot 2 + 24$

Etapa 13.1.2

Multiplique $12$ por $4$ .

$48 - 36 \cdot 2 + 24$

Etapa 13.1.3

Multiplique $- 36$ por $2$ .

$48 - 72 + 24$

Etapa 13.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.1

Subtraia $72$ de $48$ .

$- 24 + 24$

Etapa 13.2.2

Some $- 24$ e $24$ .

$0$

Etapa 14

Como há pelo menos um ponto com $0$ ou segunda derivada indefinida, aplique o teste da primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a primeira derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}, 2) \cup (2, \infty)$

Etapa 14.2

Substitua qualquer número, como $0$ , do intervalo $(- \infty, \frac{1}{2})$ na primeira derivada $4 x^{3} - 18 x^{2} + 24 x - 8$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.2.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f' (0) = 4 {(0)}^{3} - 18 {(0)}^{2} + 24 (0) - 8$

Etapa 14.2.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.2.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f' (0) = 4 \cdot 0 - 18 {(0)}^{2} + 24 (0) - 8$

Etapa 14.2.2.1.2

Multiplique $4$ por $0$ .

$f' (0) = 0 - 18 {(0)}^{2} + 24 (0) - 8$

Etapa 14.2.2.1.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f' (0) = 0 - 18 \cdot 0 + 24 (0) - 8$

Etapa 14.2.2.1.4

Multiplique $- 18$ por $0$ .

$f' (0) = 0 + 0 + 24 (0) - 8$

Etapa 14.2.2.1.5

Multiplique $24$ por $0$ .

$f' (0) = 0 + 0 + 0 - 8$

Etapa 14.2.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.2.2.2.1

Some $0$ e $0$ .

$f' (0) = 0 + 0 - 8$

Etapa 14.2.2.2.2

Some $0$ e $0$ .

$f' (0) = 0 - 8$

Etapa 14.2.2.2.3

Subtraia $8$ de $0$ .

$f' (0) = - 8$

Etapa 14.2.2.3

A resposta final é $- 8$ .

$- 8$

Etapa 14.3

Substitua qualquer número, como $1$ , do intervalo $(\frac{1}{2}, 2)$ na primeira derivada $4 x^{3} - 18 x^{2} + 24 x - 8$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.3.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f' (1) = 4 {(1)}^{3} - 18 {(1)}^{2} + 24 (1) - 8$

Etapa 14.3.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.3.2.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$f' (1) = 4 \cdot 1 - 18 {(1)}^{2} + 24 (1) - 8$

Etapa 14.3.2.1.2

Multiplique $4$ por $1$ .

$f' (1) = 4 - 18 {(1)}^{2} + 24 (1) - 8$

Etapa 14.3.2.1.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$f' (1) = 4 - 18 \cdot 1 + 24 (1) - 8$

Etapa 14.3.2.1.4

Multiplique $- 18$ por $1$ .

$f' (1) = 4 - 18 + 24 (1) - 8$

Etapa 14.3.2.1.5

Multiplique $24$ por $1$ .

$f' (1) = 4 - 18 + 24 - 8$

Etapa 14.3.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.3.2.2.1

Subtraia $18$ de $4$ .

$f' (1) = - 14 + 24 - 8$

Etapa 14.3.2.2.2

Some $- 14$ e $24$ .

$f' (1) = 10 - 8$

Etapa 14.3.2.2.3

Subtraia $8$ de $10$ .

$f' (1) = 2$

Etapa 14.3.2.3

A resposta final é $2$ .

$2$

Etapa 14.4

Substitua qualquer número, como $4$ , do intervalo $(2, \infty)$ na primeira derivada $4 x^{3} - 18 x^{2} + 24 x - 8$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.4.1

Substitua a variável $x$ por $4$ na expressão.

$f' (4) = 4 {(4)}^{3} - 18 {(4)}^{2} + 24 (4) - 8$

Etapa 14.4.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.4.2.1.1

Multiplique $4$ por ${(4)}^{3}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.4.2.1.1.1

Multiplique $4$ por ${(4)}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.4.2.1.1.1.1

Eleve $4$ à potência de $1$ .

$f' (4) = 4 {(4)}^{3} - 18 {(4)}^{2} + 24 (4) - 8$

Etapa 14.4.2.1.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (4) = 4^{1 + 3} - 18 {(4)}^{2} + 24 (4) - 8$

Etapa 14.4.2.1.1.2

Some $1$ e $3$ .

$f' (4) = 4^{4} - 18 {(4)}^{2} + 24 (4) - 8$

Etapa 14.4.2.1.2

Eleve $4$ à potência de $4$ .

$f' (4) = 256 - 18 {(4)}^{2} + 24 (4) - 8$

Etapa 14.4.2.1.3

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$f' (4) = 256 - 18 \cdot 16 + 24 (4) - 8$

Etapa 14.4.2.1.4

Multiplique $- 18$ por $16$ .

$f' (4) = 256 - 288 + 24 (4) - 8$

Etapa 14.4.2.1.5

Multiplique $24$ por $4$ .

$f' (4) = 256 - 288 + 96 - 8$

Etapa 14.4.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.4.2.2.1

Subtraia $288$ de $256$ .

$f' (4) = - 32 + 96 - 8$

Etapa 14.4.2.2.2

Some $- 32$ e $96$ .

$f' (4) = 64 - 8$

Etapa 14.4.2.2.3

Subtraia $8$ de $64$ .

$f' (4) = 56$

Etapa 14.4.2.3

A resposta final é $56$ .

$56$

Etapa 14.5

Como a primeira derivada mudou os sinais de negativo para positivo em torno de $x = \frac{1}{2}$ , então $x = \frac{1}{2}$ é um mínimo local.

$x = \frac{1}{2}$ é um mínimo local

Etapa 14.6

Como a primeira derivada não mudou os sinais em torno de $x = 2$ , este não é um máximo local nem um mínimo local.

Não é um máximo nem um mínimo local

Etapa 14.7

Esses são os extremos locais para $f (x) = x^{4} - 6 x^{3} + 12 x^{2} - 8 x$ .

$x = \frac{1}{2}$ é um mínimo local

Etapa 15