Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{4} - 3 x^{3} + 3 x^{2} - x$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{4} - 3 x^{3} + 3 x^{2} - x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$ .

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Etapa 1.2.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x^{3}$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 x^{3} - 3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$4 x^{3} - 3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 1.2.3

Multiplique $3$ por $- 3$ .

$4 x^{3} - 9 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Etapa 1.3.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{2}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 9 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$4 x^{3} - 9 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 1.3.3

Multiplique $2$ por $3$ .

$4 x^{3} - 9 x^{2} + 6 x + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 1.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Etapa 1.4.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x^{3} - 9 x^{2} + 6 x - \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 x^{3} - 9 x^{2} + 6 x - 1 \cdot 1$

Etapa 1.4.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$4 x^{3} - 9 x^{2} + 6 x - 1$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x^{3} - 9 x^{2} + 6 x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x^{3}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 2.2.3

Multiplique $3$ por $4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $- 9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 9 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 9 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 9 (2 x) + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 2.3.3

Multiplique $2$ por $- 9$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 18 x + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 2.4

Avalie $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

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Etapa 2.4.1

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 x$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 18 x + 6 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 18 x + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 2.4.3

Multiplique $6$ por $1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 18 x + 6 + \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 2.5

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 2.5.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 18 x + 6 + 0$

Etapa 2.5.2

Some $12 x^{2} - 18 x + 6$ e $0$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 18 x + 6$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$4 x^{3} - 9 x^{2} + 6 x - 1 = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 4.1.1

Diferencie.

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Etapa 4.1.1.1

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 4.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 4.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$ .

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Etapa 4.1.2.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x^{3}$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 x^{3} - 3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 4.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$4 x^{3} - 3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 4.1.2.3

Multiplique $3$ por $- 3$ .

$4 x^{3} - 9 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 4.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Etapa 4.1.3.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{2}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 9 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 4.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$4 x^{3} - 9 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 4.1.3.3

Multiplique $2$ por $3$ .

$4 x^{3} - 9 x^{2} + 6 x + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 4.1.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Etapa 4.1.4.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x^{3} - 9 x^{2} + 6 x - \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 x^{3} - 9 x^{2} + 6 x - 1 \cdot 1$

Etapa 4.1.4.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 9 x^{2} + 6 x - 1$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $4 x^{3} - 9 x^{2} + 6 x - 1$ .

$4 x^{3} - 9 x^{2} + 6 x - 1$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $4 x^{3} - 9 x^{2} + 6 x - 1 = 0$ .

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Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$4 x^{3} - 9 x^{2} + 6 x - 1 = 0$

Etapa 5.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 5.2.1

Fatore $4 x^{3} - 9 x^{2} + 6 x - 1$ usando o teste das raízes racionais.

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Etapa 5.2.1.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1$

$q = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

Etapa 5.2.1.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 0.25, \pm 0.5$

Etapa 5.2.1.3

Substitua $1$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $1$ é uma raiz do polinômio.

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Etapa 5.2.1.3.1

Substitua $1$ no polinômio.

$4 \cdot 1^{3} - 9 \cdot 1^{2} + 6 \cdot 1 - 1$

Etapa 5.2.1.3.2

Eleve $1$ à potência de $3$ .

$4 \cdot 1 - 9 \cdot 1^{2} + 6 \cdot 1 - 1$

Etapa 5.2.1.3.3

Multiplique $4$ por $1$ .

$4 - 9 \cdot 1^{2} + 6 \cdot 1 - 1$

Etapa 5.2.1.3.4

Eleve $1$ à potência de $2$ .

$4 - 9 \cdot 1 + 6 \cdot 1 - 1$

Etapa 5.2.1.3.5

Multiplique $- 9$ por $1$ .

$4 - 9 + 6 \cdot 1 - 1$

Etapa 5.2.1.3.6

Subtraia $9$ de $4$ .

$- 5 + 6 \cdot 1 - 1$

Etapa 5.2.1.3.7

Multiplique $6$ por $1$ .

$- 5 + 6 - 1$

Etapa 5.2.1.3.8

Some $- 5$ e $6$ .

$1 - 1$

Etapa 5.2.1.3.9

Subtraia $1$ de $1$ .

$0$

Etapa 5.2.1.4

Como $1$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x - 1$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{4 x^{3} - 9 x^{2} + 6 x - 1}{x - 1}$

Etapa 5.2.1.5

Divida $4 x^{3} - 9 x^{2} + 6 x - 1$ por $x - 1$ .

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Etapa 5.2.1.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$1$

$4 x^{3}$

$9 x^{2}$

$6 x$

$1$

Etapa 5.2.1.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $4 x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

					$4 x^{2}$
	$x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$

Etapa 5.2.1.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$4 x^{2}$
$x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$
			+	$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$

Etapa 5.2.1.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $4 x^{3} - 4 x^{2}$ .

				$4 x^{2}$
$x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$
			-	$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$

Etapa 5.2.1.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$4 x^{2}$
$x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$
			-	$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$

Etapa 5.2.1.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$4 x^{2}$
$x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$
			-	$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$6 x$

Etapa 5.2.1.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 5 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$4 x^{2}$	-	$5 x$
$x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$
			-	$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$6 x$

Etapa 5.2.1.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$4 x^{2}$	-	$5 x$
$x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$
			-	$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$6 x$
					-	$5 x^{2}$	+	$5 x$

Etapa 5.2.1.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 5 x^{2} + 5 x$ .

				$4 x^{2}$	-	$5 x$
$x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$
			-	$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$5 x^{2}$	-	$5 x$

Etapa 5.2.1.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$4 x^{2}$	-	$5 x$
$x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$
			-	$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$5 x^{2}$	-	$5 x$
							+	$x$

Etapa 5.2.1.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$4 x^{2}$	-	$5 x$
$x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$
			-	$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$5 x^{2}$	-	$5 x$
							+	$x$	-	$1$

Etapa 5.2.1.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$4 x^{2}$	-	$5 x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$
			-	$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$5 x^{2}$	-	$5 x$
							+	$x$	-	$1$

Etapa 5.2.1.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$4 x^{2}$	-	$5 x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$
			-	$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$5 x^{2}$	-	$5 x$
							+	$x$	-	$1$
							+	$x$	-	$1$

Etapa 5.2.1.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x - 1$ .

				$4 x^{2}$	-	$5 x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$
			-	$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$5 x^{2}$	-	$5 x$
							+	$x$	-	$1$
							-	$x$	+	$1$

Etapa 5.2.1.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$4 x^{2}$	-	$5 x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$
			-	$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$5 x^{2}$	-	$5 x$
							+	$x$	-	$1$
							-	$x$	+	$1$
										$0$

Etapa 5.2.1.5.16

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$4 x^{2} - 5 x + 1$

Etapa 5.2.1.6

Escreva $4 x^{3} - 9 x^{2} + 6 x - 1$ como um conjunto de fatores.

$(x - 1) (4 x^{2} - 5 x + 1) = 0$

Etapa 5.2.2

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 4 \cdot 1 = 4$ e cuja soma é $b = - 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1.1.1

Fatore $- 5$ de $- 5 x$ .

$(x - 1) (4 x^{2} - 5 x + 1) = 0$

Etapa 5.2.2.1.1.2

Reescreva $- 5$ como $- 1$ mais $- 4$

$(x - 1) (4 x^{2} + (- 1 - 4) x + 1) = 0$

Etapa 5.2.2.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$(x - 1) (4 x^{2} - 1 x - 4 x + 1) = 0$

Etapa 5.2.2.1.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 5.2.2.1.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(x - 1) ((4 x^{2} - 1 x) - 4 x + 1) = 0$

Etapa 5.2.2.1.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$(x - 1) (x (4 x - 1) - (4 x - 1)) = 0$

Etapa 5.2.2.1.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $4 x - 1$ .

$(x - 1) ((4 x - 1) (x - 1)) = 0$

Etapa 5.2.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(x - 1) (4 x - 1) (x - 1) = 0$

Etapa 5.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

$4 x - 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Etapa 5.4

Defina $x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1

Defina $x - 1$ como igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Etapa 5.4.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 5.5

Defina $4 x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1

Defina $4 x - 1$ como igual a $0$ .

$4 x - 1 = 0$

Etapa 5.5.2

Resolva $4 x - 1 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$4 x = 1$

Etapa 5.5.2.2

Divida cada termo em $4 x = 1$ por $4$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.2.1

Divida cada termo em $4 x = 1$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

Etapa 5.5.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

Etapa 5.5.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{4}$

Etapa 5.6

A solução final são todos os valores que tornam $(x - 1) (4 x - 1) (x - 1) = 0$ verdadeiro.

$x = 1, \frac{1}{4}$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 6.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = 1, \frac{1}{4}$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = 1$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$12 {(1)}^{2} - 18 \cdot 1 + 6$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 9.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 9.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$12 \cdot 1 - 18 \cdot 1 + 6$

Etapa 9.1.2

Multiplique $12$ por $1$ .

$12 - 18 \cdot 1 + 6$

Etapa 9.1.3

Multiplique $- 18$ por $1$ .

$12 - 18 + 6$

Etapa 9.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 9.2.1

Subtraia $18$ de $12$ .

$- 6 + 6$

Etapa 9.2.2

Some $- 6$ e $6$ .

$0$

Etapa 10

Como há pelo menos um ponto com $0$ ou segunda derivada indefinida, aplique o teste da primeira derivada.

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Etapa 10.1

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a primeira derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, \frac{1}{4}) \cup (\frac{1}{4}, 1) \cup (1, \infty)$

Etapa 10.2

Substitua qualquer número, como $0$ , do intervalo $(- \infty, \frac{1}{4})$ na primeira derivada $4 x^{3} - 9 x^{2} + 6 x - 1$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

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Etapa 10.2.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f' (0) = 4 {(0)}^{3} - 9 {(0)}^{2} + 6 (0) - 1$

Etapa 10.2.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 10.2.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 10.2.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f' (0) = 4 \cdot 0 - 9 {(0)}^{2} + 6 (0) - 1$

Etapa 10.2.2.1.2

Multiplique $4$ por $0$ .

$f' (0) = 0 - 9 {(0)}^{2} + 6 (0) - 1$

Etapa 10.2.2.1.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f' (0) = 0 - 9 \cdot 0 + 6 (0) - 1$

Etapa 10.2.2.1.4

Multiplique $- 9$ por $0$ .

$f' (0) = 0 + 0 + 6 (0) - 1$

Etapa 10.2.2.1.5

Multiplique $6$ por $0$ .

$f' (0) = 0 + 0 + 0 - 1$

Etapa 10.2.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.2.2.1

Some $0$ e $0$ .

$f' (0) = 0 + 0 - 1$

Etapa 10.2.2.2.2

Some $0$ e $0$ .

$f' (0) = 0 - 1$

Etapa 10.2.2.2.3

Subtraia $1$ de $0$ .

$f' (0) = - 1$

Etapa 10.2.2.3

A resposta final é $- 1$ .

$- 1$

Etapa 10.3

Substitua qualquer número, como $0.62$ , do intervalo $(\frac{1}{4}, 1)$ na primeira derivada $4 x^{3} - 9 x^{2} + 6 x - 1$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

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Etapa 10.3.1

Substitua a variável $x$ por $0.62$ na expressão.

$f' (0.62) = 4 {(0.62)}^{3} - 9 {(0.62)}^{2} + 6 (0.62) - 1$

Etapa 10.3.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 10.3.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 10.3.2.1.1

Eleve $0.62$ à potência de $3$ .

$f' (0.62) = 4 \cdot 0.238328 - 9 {(0.62)}^{2} + 6 (0.62) - 1$

Etapa 10.3.2.1.2

Multiplique $4$ por $0.238328$ .

$f' (0.62) = 0.953312 - 9 {(0.62)}^{2} + 6 (0.62) - 1$

Etapa 10.3.2.1.3

Eleve $0.62$ à potência de $2$ .

$f' (0.62) = 0.953312 - 9 \cdot 0.3844 + 6 (0.62) - 1$

Etapa 10.3.2.1.4

Multiplique $- 9$ por $0.3844$ .

$f' (0.62) = 0.953312 - 3.4596 + 6 (0.62) - 1$

Etapa 10.3.2.1.5

Multiplique $6$ por $0.62$ .

$f' (0.62) = 0.953312 - 3.4596 + 3.72 - 1$

Etapa 10.3.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 10.3.2.2.1

Subtraia $3.4596$ de $0.953312$ .

$f' (0.62) = - 2.506288 + 3.72 - 1$

Etapa 10.3.2.2.2

Some $- 2.506288$ e $3.72$ .

$f' (0.62) = 1.213712 - 1$

Etapa 10.3.2.2.3

Subtraia $1$ de $1.213712$ .

$f' (0.62) = 0.213712$

Etapa 10.3.2.3

A resposta final é $0.213712$ .

$0.213712$

Etapa 10.4

Substitua qualquer número, como $4$ , do intervalo $(1, \infty)$ na primeira derivada $4 x^{3} - 9 x^{2} + 6 x - 1$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

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Etapa 10.4.1

Substitua a variável $x$ por $4$ na expressão.

$f' (4) = 4 {(4)}^{3} - 9 {(4)}^{2} + 6 (4) - 1$

Etapa 10.4.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 10.4.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 10.4.2.1.1

Multiplique $4$ por ${(4)}^{3}$ somando os expoentes.

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Etapa 10.4.2.1.1.1

Multiplique $4$ por ${(4)}^{3}$ .

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Etapa 10.4.2.1.1.1.1

Eleve $4$ à potência de $1$ .

$f' (4) = 4 {(4)}^{3} - 9 {(4)}^{2} + 6 (4) - 1$

Etapa 10.4.2.1.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (4) = 4^{1 + 3} - 9 {(4)}^{2} + 6 (4) - 1$

Etapa 10.4.2.1.1.2

Some $1$ e $3$ .

$f' (4) = 4^{4} - 9 {(4)}^{2} + 6 (4) - 1$

Etapa 10.4.2.1.2

Eleve $4$ à potência de $4$ .

$f' (4) = 256 - 9 {(4)}^{2} + 6 (4) - 1$

Etapa 10.4.2.1.3

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$f' (4) = 256 - 9 \cdot 16 + 6 (4) - 1$

Etapa 10.4.2.1.4

Multiplique $- 9$ por $16$ .

$f' (4) = 256 - 144 + 6 (4) - 1$

Etapa 10.4.2.1.5

Multiplique $6$ por $4$ .

$f' (4) = 256 - 144 + 24 - 1$

Etapa 10.4.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 10.4.2.2.1

Subtraia $144$ de $256$ .

$f' (4) = 112 + 24 - 1$

Etapa 10.4.2.2.2

Some $112$ e $24$ .

$f' (4) = 136 - 1$

Etapa 10.4.2.2.3

Subtraia $1$ de $136$ .

$f' (4) = 135$

Etapa 10.4.2.3

A resposta final é $135$ .

$135$

Etapa 10.5

Como a primeira derivada mudou os sinais de negativo para positivo em torno de $x = \frac{1}{4}$ , então $x = \frac{1}{4}$ é um mínimo local.

$x = \frac{1}{4}$ é um mínimo local

Etapa 10.6

Como a primeira derivada não mudou os sinais em torno de $x = 1$ , este não é um máximo local nem um mínimo local.

Não é um máximo nem um mínimo local

Etapa 10.7

Esses são os extremos locais para $f (x) = x^{4} - 3 x^{3} + 3 x^{2} - x$ .

$x = \frac{1}{4}$ é um mínimo local

Etapa 11