Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{4} + 6 x^{3} + 9 x^{2} + 1$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{4} + 6 x^{3} + 9 x^{2} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [6 x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 x^{3}$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 x^{3} + 6 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$4 x^{3} + 6 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.2.3

Multiplique $3$ por $6$ .

$4 x^{3} + 18 x^{2} + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [9 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Como $9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $9 x^{2}$ em relação a $x$ é $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} + 18 x^{2} + 9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$4 x^{3} + 18 x^{2} + 9 (2 x) + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.3.3

Multiplique $2$ por $9$ .

$4 x^{3} + 18 x^{2} + 18 x + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.4

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$4 x^{3} + 18 x^{2} + 18 x + 0$

Etapa 1.4.2

Some $4 x^{3} + 18 x^{2} + 18 x$ e $0$ .

$4 x^{3} + 18 x^{2} + 18 x$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x^{3} + 18 x^{2} + 18 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [18 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (18 x^{2}) + \frac{d}{d x} (18 x)$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x^{3}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (18 x^{2}) + \frac{d}{d x} (18 x)$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (18 x^{2}) + \frac{d}{d x} (18 x)$

Etapa 2.2.3

Multiplique $3$ por $4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (18 x^{2}) + \frac{d}{d x} (18 x)$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [18 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Como $18$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $18 x^{2}$ em relação a $x$ é $18 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 18 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (18 x)$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 18 (2 x) + \frac{d}{d x} (18 x)$

Etapa 2.3.3

Multiplique $2$ por $18$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 36 x + \frac{d}{d x} (18 x)$

Etapa 2.4

Avalie $\frac{d}{d x} [18 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Como $18$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $18 x$ em relação a $x$ é $18 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 36 x + 18 \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 36 x + 18 \cdot 1$

Etapa 2.4.3

Multiplique $18$ por $1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 36 x + 18$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$4 x^{3} + 18 x^{2} + 18 x = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{4} + 6 x^{3} + 9 x^{2} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 4.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 4.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [6 x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 x^{3}$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 x^{3} + 6 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 4.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$4 x^{3} + 6 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 4.1.2.3

Multiplique $3$ por $6$ .

$4 x^{3} + 18 x^{2} + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 4.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [9 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.1

Como $9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $9 x^{2}$ em relação a $x$ é $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} + 18 x^{2} + 9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 4.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$4 x^{3} + 18 x^{2} + 9 (2 x) + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 4.1.3.3

Multiplique $2$ por $9$ .

$4 x^{3} + 18 x^{2} + 18 x + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 4.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.4.1

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$4 x^{3} + 18 x^{2} + 18 x + 0$

Etapa 4.1.4.2

Some $4 x^{3} + 18 x^{2} + 18 x$ e $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + 18 x^{2} + 18 x$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $4 x^{3} + 18 x^{2} + 18 x$ .

$4 x^{3} + 18 x^{2} + 18 x$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $4 x^{3} + 18 x^{2} + 18 x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$4 x^{3} + 18 x^{2} + 18 x = 0$

Etapa 5.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Fatore $2 x$ de $4 x^{3} + 18 x^{2} + 18 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Fatore $2 x$ de $4 x^{3}$ .

$2 x (2 x^{2}) + 18 x^{2} + 18 x = 0$

Etapa 5.2.1.2

Fatore $2 x$ de $18 x^{2}$ .

$2 x (2 x^{2}) + 2 x (9 x) + 18 x = 0$

Etapa 5.2.1.3

Fatore $2 x$ de $18 x$ .

$2 x (2 x^{2}) + 2 x (9 x) + 2 x (9) = 0$

Etapa 5.2.1.4

Fatore $2 x$ de $2 x (2 x^{2}) + 2 x (9 x)$ .

$2 x (2 x^{2} + 9 x) + 2 x (9) = 0$

Etapa 5.2.1.5

Fatore $2 x$ de $2 x (2 x^{2} + 9 x) + 2 x (9)$ .

$2 x (2 x^{2} + 9 x + 9) = 0$

Etapa 5.2.2

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 2 \cdot 9 = 18$ e cuja soma é $b = 9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1.1.1

Fatore $9$ de $9 x$ .

$2 x (2 x^{2} + 9 (x) + 9) = 0$

Etapa 5.2.2.1.1.2

Reescreva $9$ como $3$ mais $6$

$2 x (2 x^{2} + (3 + 6) x + 9) = 0$

Etapa 5.2.2.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$2 x (2 x^{2} + 3 x + 6 x + 9) = 0$

Etapa 5.2.2.1.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$2 x ((2 x^{2} + 3 x) + 6 x + 9) = 0$

Etapa 5.2.2.1.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$2 x (x (2 x + 3) + 3 (2 x + 3)) = 0$

Etapa 5.2.2.1.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $2 x + 3$ .

$2 x ((2 x + 3) (x + 3)) = 0$

Etapa 5.2.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$2 x (2 x + 3) (x + 3) = 0$

Etapa 5.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$2 x + 3 = 0$

$x + 3 = 0$

Etapa 5.4

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 5.5

Defina $2 x + 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1

Defina $2 x + 3$ como igual a $0$ .

$2 x + 3 = 0$

Etapa 5.5.2

Resolva $2 x + 3 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.1

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$2 x = - 3$

Etapa 5.5.2.2

Divida cada termo em $2 x = - 3$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.2.1

Divida cada termo em $2 x = - 3$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Etapa 5.5.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Etapa 5.5.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 3}{2}$

Etapa 5.5.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{3}{2}$

Etapa 5.6

Defina $x + 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.1

Defina $x + 3$ como igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Etapa 5.6.2

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$x = - 3$

Etapa 5.7

A solução final são todos os valores que tornam $2 x (2 x + 3) (x + 3) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, - \frac{3}{2}, - 3$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = 0, - \frac{3}{2}, - 3$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = 0$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$12 {(0)}^{2} + 36 (0) + 18$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$12 \cdot 0 + 36 (0) + 18$

Etapa 9.1.2

Multiplique $12$ por $0$ .

$0 + 36 (0) + 18$

Etapa 9.1.3

Multiplique $36$ por $0$ .

$0 + 0 + 18$

Etapa 9.2

Simplifique somando os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1

Some $0$ e $0$ .

$0 + 18$

Etapa 9.2.2

Some $0$ e $18$ .

$18$

Etapa 10

$x = 0$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 0$ é um mínimo local

Etapa 11

Encontre o valor y quando $x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f (0) = {(0)}^{4} + 6 {(0)}^{3} + 9 {(0)}^{2} + 1$

Etapa 11.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = 0 + 6 {(0)}^{3} + 9 {(0)}^{2} + 1$

Etapa 11.2.1.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = 0 + 6 \cdot 0 + 9 {(0)}^{2} + 1$

Etapa 11.2.1.3

Multiplique $6$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 9 {(0)}^{2} + 1$

Etapa 11.2.1.4

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 9 \cdot 0 + 1$

Etapa 11.2.1.5

Multiplique $9$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 0 + 1$

Etapa 11.2.2

Simplifique somando os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.2.1

Some $0$ e $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 1$

Etapa 11.2.2.2

Some $0$ e $0$ .

$f (0) = 0 + 1$

Etapa 11.2.2.3

Some $0$ e $1$ .

$f (0) = 1$

Etapa 11.2.3

A resposta final é $1$ .

$y = 1$

Etapa 12

Avalie a segunda derivada em $x = - \frac{3}{2}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$12 {(- \frac{3}{2})}^{2} + 36 (- \frac{3}{2}) + 18$

Etapa 13

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.1

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.1.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{3}{2}$ .

$12 ({(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2}) + 36 (- \frac{3}{2}) + 18$

Etapa 13.1.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{3}{2}$ .

$12 ({(- 1)}^{2} \frac{3^{2}}{2^{2}}) + 36 (- \frac{3}{2}) + 18$

Etapa 13.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$12 (1 \frac{3^{2}}{2^{2}}) + 36 (- \frac{3}{2}) + 18$

Etapa 13.1.3

Multiplique $\frac{3^{2}}{2^{2}}$ por $1$ .

$12 \frac{3^{2}}{2^{2}} + 36 (- \frac{3}{2}) + 18$

Etapa 13.1.4

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$12 \frac{9}{2^{2}} + 36 (- \frac{3}{2}) + 18$

Etapa 13.1.5

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$12 (\frac{9}{4}) + 36 (- \frac{3}{2}) + 18$

Etapa 13.1.6

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.6.1

Fatore $4$ de $12$ .

$4 (3) \frac{9}{4} + 36 (- \frac{3}{2}) + 18$

Etapa 13.1.6.2

Cancele o fator comum.

$4 \cdot 3 \frac{9}{4} + 36 (- \frac{3}{2}) + 18$

Etapa 13.1.6.3

Reescreva a expressão.

$3 \cdot 9 + 36 (- \frac{3}{2}) + 18$

Etapa 13.1.7

Multiplique $3$ por $9$ .

$27 + 36 (- \frac{3}{2}) + 18$

Etapa 13.1.8

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.8.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{3}{2}$ para o numerador.

$27 + 36 (\frac{- 3}{2}) + 18$

Etapa 13.1.8.2

Fatore $2$ de $36$ .

$27 + 2 (18) \frac{- 3}{2} + 18$

Etapa 13.1.8.3

Cancele o fator comum.

$27 + 2 \cdot 18 \frac{- 3}{2} + 18$

Etapa 13.1.8.4

Reescreva a expressão.

$27 + 18 \cdot - 3 + 18$

Etapa 13.1.9

Multiplique $18$ por $- 3$ .

$27 - 54 + 18$

Etapa 13.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.1

Subtraia $54$ de $27$ .

$- 27 + 18$

Etapa 13.2.2

Some $- 27$ e $18$ .

$- 9$

Etapa 14

$x = - \frac{3}{2}$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = - \frac{3}{2}$ é um máximo local

Etapa 15

Encontre o valor y quando $x = - \frac{3}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.1

Substitua a variável $x$ por $- \frac{3}{2}$ na expressão.

$f (- \frac{3}{2}) = {(- \frac{3}{2})}^{4} + 6 {(- \frac{3}{2})}^{3} + 9 {(- \frac{3}{2})}^{2} + 1$

Etapa 15.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.1

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.1.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{3}{2}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = {(- 1)}^{4} {(\frac{3}{2})}^{4} + 6 {(- \frac{3}{2})}^{3} + 9 {(- \frac{3}{2})}^{2} + 1$

Etapa 15.2.1.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{3}{2}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = {(- 1)}^{4} (\frac{3^{4}}{2^{4}}) + 6 {(- \frac{3}{2})}^{3} + 9 {(- \frac{3}{2})}^{2} + 1$

Etapa 15.2.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $4$ .

$f (- \frac{3}{2}) = 1 (\frac{3^{4}}{2^{4}}) + 6 {(- \frac{3}{2})}^{3} + 9 {(- \frac{3}{2})}^{2} + 1$

Etapa 15.2.1.3

Multiplique $\frac{3^{4}}{2^{4}}$ por $1$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{3^{4}}{2^{4}} + 6 {(- \frac{3}{2})}^{3} + 9 {(- \frac{3}{2})}^{2} + 1$

Etapa 15.2.1.4

Eleve $3$ à potência de $4$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{2^{4}} + 6 {(- \frac{3}{2})}^{3} + 9 {(- \frac{3}{2})}^{2} + 1$

Etapa 15.2.1.5

Eleve $2$ à potência de $4$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{16} + 6 {(- \frac{3}{2})}^{3} + 9 {(- \frac{3}{2})}^{2} + 1$

Etapa 15.2.1.6

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.6.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{3}{2}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{16} + 6 ({(- 1)}^{3} {(\frac{3}{2})}^{3}) + 9 {(- \frac{3}{2})}^{2} + 1$

Etapa 15.2.1.6.2

Aplique a regra do produto a $\frac{3}{2}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{16} + 6 ({(- 1)}^{3} (\frac{3^{3}}{2^{3}})) + 9 {(- \frac{3}{2})}^{2} + 1$

Etapa 15.2.1.7

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{16} + 6 (- \frac{3^{3}}{2^{3}}) + 9 {(- \frac{3}{2})}^{2} + 1$

Etapa 15.2.1.8

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{16} + 6 (- \frac{27}{2^{3}}) + 9 {(- \frac{3}{2})}^{2} + 1$

Etapa 15.2.1.9

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{16} + 6 (- \frac{27}{8}) + 9 {(- \frac{3}{2})}^{2} + 1$

Etapa 15.2.1.10

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.10.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{27}{8}$ para o numerador.

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{16} + 6 (\frac{- 27}{8}) + 9 {(- \frac{3}{2})}^{2} + 1$

Etapa 15.2.1.10.2

Fatore $2$ de $6$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{16} + 2 (3) (\frac{- 27}{8}) + 9 {(- \frac{3}{2})}^{2} + 1$

Etapa 15.2.1.10.3

Fatore $2$ de $8$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{16} + 2 \cdot (3 (\frac{- 27}{2 \cdot 4})) + 9 {(- \frac{3}{2})}^{2} + 1$

Etapa 15.2.1.10.4

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{16} + 2 \cdot (3 (\frac{- 27}{2 \cdot 4})) + 9 {(- \frac{3}{2})}^{2} + 1$

Etapa 15.2.1.10.5

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{16} + 3 (\frac{- 27}{4}) + 9 {(- \frac{3}{2})}^{2} + 1$

Etapa 15.2.1.11

Combine $3$ e $\frac{- 27}{4}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{16} + \frac{3 \cdot - 27}{4} + 9 {(- \frac{3}{2})}^{2} + 1$

Etapa 15.2.1.12

Multiplique $3$ por $- 27$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{16} + \frac{- 81}{4} + 9 {(- \frac{3}{2})}^{2} + 1$

Etapa 15.2.1.13

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{16} - \frac{81}{4} + 9 {(- \frac{3}{2})}^{2} + 1$

Etapa 15.2.1.14

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.14.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{3}{2}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{16} - \frac{81}{4} + 9 ({(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2}) + 1$

Etapa 15.2.1.14.2

Aplique a regra do produto a $\frac{3}{2}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{16} - \frac{81}{4} + 9 ({(- 1)}^{2} (\frac{3^{2}}{2^{2}})) + 1$

Etapa 15.2.1.15

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{16} - \frac{81}{4} + 9 (1 (\frac{3^{2}}{2^{2}})) + 1$

Etapa 15.2.1.16

Multiplique $\frac{3^{2}}{2^{2}}$ por $1$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{16} - \frac{81}{4} + 9 (\frac{3^{2}}{2^{2}}) + 1$

Etapa 15.2.1.17

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{16} - \frac{81}{4} + 9 (\frac{9}{2^{2}}) + 1$

Etapa 15.2.1.18

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{16} - \frac{81}{4} + 9 (\frac{9}{4}) + 1$

Etapa 15.2.1.19

Multiplique $9 (\frac{9}{4})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.19.1

Combine $9$ e $\frac{9}{4}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{16} - \frac{81}{4} + \frac{9 \cdot 9}{4} + 1$

Etapa 15.2.1.19.2

Multiplique $9$ por $9$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{16} - \frac{81}{4} + \frac{81}{4} + 1$

Etapa 15.2.2

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (- \frac{3}{2}) = 1 + \frac{81}{16} + \frac{- 81 + 81}{4}$

Etapa 15.2.2.2

Some $- 81$ e $81$ .

$f (- \frac{3}{2}) = 1 + \frac{81}{16} + \frac{0}{4}$

Etapa 15.2.3

Encontre o denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.3.1

Escreva $1$ como uma fração com denominador $1$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{1}{1} + \frac{81}{16} + \frac{0}{4}$

Etapa 15.2.3.2

Multiplique $\frac{1}{1}$ por $\frac{16}{16}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{1}{1} \cdot \frac{16}{16} + \frac{81}{16} + \frac{0}{4}$

Etapa 15.2.3.3

Multiplique $\frac{1}{1}$ por $\frac{16}{16}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{16}{16} + \frac{81}{16} + \frac{0}{4}$

Etapa 15.2.3.4

Multiplique $\frac{0}{4}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{16}{16} + \frac{81}{16} + \frac{0}{4} \cdot \frac{4}{4}$

Etapa 15.2.3.5

Multiplique $\frac{0}{4}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{16}{16} + \frac{81}{16} + \frac{0 \cdot 4}{4 \cdot 4}$

Etapa 15.2.3.6

Multiplique $4$ por $4$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{16}{16} + \frac{81}{16} + \frac{0 \cdot 4}{16}$

Etapa 15.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{16 + 81 + 0 \cdot 4}{16}$

Etapa 15.2.5

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.5.1

Multiplique $0$ por $4$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{16 + 81 + 0}{16}$

Etapa 15.2.5.2

Some $16$ e $81$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{97 + 0}{16}$

Etapa 15.2.5.3

Some $97$ e $0$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{97}{16}$

Etapa 15.2.6

A resposta final é $\frac{97}{16}$ .

$y = \frac{97}{16}$

Etapa 16

Avalie a segunda derivada em $x = - 3$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$12 {(- 3)}^{2} + 36 (- 3) + 18$

Etapa 17

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.1.1

Eleve $- 3$ à potência de $2$ .

$12 \cdot 9 + 36 (- 3) + 18$

Etapa 17.1.2

Multiplique $12$ por $9$ .

$108 + 36 (- 3) + 18$

Etapa 17.1.3

Multiplique $36$ por $- 3$ .

$108 - 108 + 18$

Etapa 17.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.2.1

Subtraia $108$ de $108$ .

$0 + 18$

Etapa 17.2.2

Some $0$ e $18$ .

$18$

Etapa 18

$x = - 3$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = - 3$ é um mínimo local

Etapa 19

Encontre o valor y quando $x = - 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.1

Substitua a variável $x$ por $- 3$ na expressão.

$f (- 3) = {(- 3)}^{4} + 6 {(- 3)}^{3} + 9 {(- 3)}^{2} + 1$

Etapa 19.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.2.1.1

Eleve $- 3$ à potência de $4$ .

$f (- 3) = 81 + 6 {(- 3)}^{3} + 9 {(- 3)}^{2} + 1$

Etapa 19.2.1.2

Eleve $- 3$ à potência de $3$ .

$f (- 3) = 81 + 6 \cdot - 27 + 9 {(- 3)}^{2} + 1$

Etapa 19.2.1.3

Multiplique $6$ por $- 27$ .

$f (- 3) = 81 - 162 + 9 {(- 3)}^{2} + 1$

Etapa 19.2.1.4

Eleve $- 3$ à potência de $2$ .

$f (- 3) = 81 - 162 + 9 \cdot 9 + 1$

Etapa 19.2.1.5

Multiplique $9$ por $9$ .

$f (- 3) = 81 - 162 + 81 + 1$

Etapa 19.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.2.2.1

Subtraia $162$ de $81$ .

$f (- 3) = - 81 + 81 + 1$

Etapa 19.2.2.2

Some $- 81$ e $81$ .

$f (- 3) = 0 + 1$

Etapa 19.2.2.3

Some $0$ e $1$ .

$f (- 3) = 1$

Etapa 19.2.3

A resposta final é $1$ .

$y = 1$

Etapa 20

Esses são os extremos locais para $f (x) = x^{4} + 6 x^{3} + 9 x^{2} + 1$ .

$(0, 1)$ é um mínimo local

$(- \frac{3}{2}, \frac{97}{16})$ é um máximo local

$(- 3, 1)$ é um mínimo local

Etapa 21