Cálculo Exemplos

$lim_{h \to 0} \frac{2 {(4 + h)}^{2} - 4 (4 + h) + 6 - 22}{h}$

Etapa 1

Subtraia $22$ de $6$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 {(4 + h)}^{2} - 4 (4 + h) - 16}{h}$

Etapa 2

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 2.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 2.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{h \to 0} 2 {(4 + h)}^{2} - 4 (4 + h) - 16}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 2.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 2.1.2.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{lim_{h \to 0} 2 {(4 + h)}^{2} - lim_{h \to 0} 4 (4 + h) - lim_{h \to 0} 16}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 2.1.2.2

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $h$ .

$\frac{2 lim_{h \to 0} {(4 + h)}^{2} - lim_{h \to 0} 4 (4 + h) - lim_{h \to 0} 16}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 2.1.2.3

Mova o expoente $2$ de ${(4 + h)}^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{2 {(lim_{h \to 0} 4 + h)}^{2} - lim_{h \to 0} 4 (4 + h) - lim_{h \to 0} 16}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 2.1.2.4

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{2 {(lim_{h \to 0} 4 + lim_{h \to 0} h)}^{2} - lim_{h \to 0} 4 (4 + h) - lim_{h \to 0} 16}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 2.1.2.5

Avalie o limite de $4$ , que é constante à medida que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{2 {(4 + lim_{h \to 0} h)}^{2} - lim_{h \to 0} 4 (4 + h) - lim_{h \to 0} 16}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 2.1.2.6

Mova o termo $4$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $h$ .

$\frac{2 {(4 + lim_{h \to 0} h)}^{2} - 4 lim_{h \to 0} 4 + h - lim_{h \to 0} 16}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 2.1.2.7

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{2 {(4 + lim_{h \to 0} h)}^{2} - 4 (lim_{h \to 0} 4 + lim_{h \to 0} h) - lim_{h \to 0} 16}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 2.1.2.8

Avalie o limite de $4$ , que é constante à medida que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{2 {(4 + lim_{h \to 0} h)}^{2} - 4 (4 + lim_{h \to 0} h) - lim_{h \to 0} 16}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 2.1.2.9

Avalie o limite de $16$ , que é constante à medida que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{2 {(4 + lim_{h \to 0} h)}^{2} - 4 (4 + lim_{h \to 0} h) - 1 \cdot 16}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 2.1.2.10

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $h$ .

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Etapa 2.1.2.10.1

Avalie o limite de $h$ substituindo $0$ por $h$ .

$\frac{2 {(4 + 0)}^{2} - 4 (4 + lim_{h \to 0} h) - 1 \cdot 16}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 2.1.2.10.2

Avalie o limite de $h$ substituindo $0$ por $h$ .

$\frac{2 {(4 + 0)}^{2} - 4 (4 + 0) - 1 \cdot 16}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 2.1.2.11

Simplifique a resposta.

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Etapa 2.1.2.11.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1.2.11.1.1

Some $4$ e $0$ .

$\frac{2 \cdot 4^{2} - 4 (4 + 0) - 1 \cdot 16}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 2.1.2.11.1.2

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$\frac{2 \cdot 16 - 4 (4 + 0) - 1 \cdot 16}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 2.1.2.11.1.3

Multiplique $2$ por $16$ .

$\frac{32 - 4 (4 + 0) - 1 \cdot 16}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 2.1.2.11.1.4

Some $4$ e $0$ .

$\frac{32 - 4 \cdot 4 - 1 \cdot 16}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 2.1.2.11.1.5

Multiplique $- 4$ por $4$ .

$\frac{32 - 16 - 1 \cdot 16}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 2.1.2.11.1.6

Multiplique $- 1$ por $16$ .

$\frac{32 - 16 - 16}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 2.1.2.11.2

Subtraia $16$ de $32$ .

$\frac{16 - 16}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 2.1.2.11.3

Subtraia $16$ de $16$ .

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 2.1.3

Avalie o limite de $h$ substituindo $0$ por $h$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 2.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 2.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{h \to 0} \frac{2 {(4 + h)}^{2} - 4 (4 + h) - 16}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [2 {(4 + h)}^{2} - 4 (4 + h) - 16]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 2.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 2.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [2 {(4 + h)}^{2} - 4 (4 + h) - 16]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 2.3.2

Reescreva ${(4 + h)}^{2}$ como $(4 + h) (4 + h)$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [2 ((4 + h) (4 + h)) - 4 (4 + h) - 16]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 2.3.3

Expanda $(4 + h) (4 + h)$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.3.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [2 (4 (4 + h) + h (4 + h)) - 4 (4 + h) - 16]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 2.3.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [2 (4 \cdot 4 + 4 h + h (4 + h)) - 4 (4 + h) - 16]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 2.3.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [2 (4 \cdot 4 + 4 h + h \cdot 4 + h \cdot h) - 4 (4 + h) - 16]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 2.3.4

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 2.3.4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.3.4.1.1

Multiplique $4$ por $4$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [2 (16 + 4 h + h \cdot 4 + h \cdot h) - 4 (4 + h) - 16]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 2.3.4.1.2

Mova $4$ para a esquerda de $h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [2 (16 + 4 h + 4 \cdot h + h \cdot h) - 4 (4 + h) - 16]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 2.3.4.1.3

Multiplique $h$ por $h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [2 (16 + 4 h + 4 h + h^{2}) - 4 (4 + h) - 16]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 2.3.4.2

Some $4 h$ e $4 h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [2 (16 + 8 h + h^{2}) - 4 (4 + h) - 16]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 2.3.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 (16 + 8 h + h^{2}) - 4 (4 + h) - 16$ com relação a $h$ é $\frac{d}{d h} [2 (16 + 8 h + h^{2})] + \frac{d}{d h} [- 4 (4 + h)] + \frac{d}{d h} [- 16]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [2 (16 + 8 h + h^{2})] + \frac{d}{d h} [- 4 (4 + h)] + \frac{d}{d h} [- 16]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 2.3.6

Avalie $\frac{d}{d h} [2 (16 + 8 h + h^{2})]$ .

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Etapa 2.3.6.1

Como $2$ é constante em relação a $h$ , a derivada de $2 (16 + 8 h + h^{2})$ em relação a $h$ é $2 \frac{d}{d h} [16 + 8 h + h^{2}]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 \frac{d}{d h} [16 + 8 h + h^{2}] + \frac{d}{d h} [- 4 (4 + h)] + \frac{d}{d h} [- 16]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 2.3.6.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $16 + 8 h + h^{2}$ com relação a $h$ é $\frac{d}{d h} [16] + \frac{d}{d h} [8 h] + \frac{d}{d h} [h^{2}]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 (\frac{d}{d h} [16] + \frac{d}{d h} [8 h] + \frac{d}{d h} [h^{2}]) + \frac{d}{d h} [- 4 (4 + h)] + \frac{d}{d h} [- 16]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 2.3.6.3

Como $16$ é constante em relação a $h$ , a derivada de $16$ em relação a $h$ é $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 (0 + \frac{d}{d h} [8 h] + \frac{d}{d h} [h^{2}]) + \frac{d}{d h} [- 4 (4 + h)] + \frac{d}{d h} [- 16]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 2.3.6.4

Como $8$ é constante em relação a $h$ , a derivada de $8 h$ em relação a $h$ é $8 \frac{d}{d h} [h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 (0 + 8 \frac{d}{d h} [h] + \frac{d}{d h} [h^{2}]) + \frac{d}{d h} [- 4 (4 + h)] + \frac{d}{d h} [- 16]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 2.3.6.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ é $n h^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 (0 + 8 \cdot 1 + \frac{d}{d h} [h^{2}]) + \frac{d}{d h} [- 4 (4 + h)] + \frac{d}{d h} [- 16]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 2.3.6.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ é $n h^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 (0 + 8 \cdot 1 + 2 h) + \frac{d}{d h} [- 4 (4 + h)] + \frac{d}{d h} [- 16]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 2.3.6.7

Multiplique $8$ por $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 (0 + 8 + 2 h) + \frac{d}{d h} [- 4 (4 + h)] + \frac{d}{d h} [- 16]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 2.3.6.8

Some $0$ e $8$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 (8 + 2 h) + \frac{d}{d h} [- 4 (4 + h)] + \frac{d}{d h} [- 16]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 2.3.7

Avalie $\frac{d}{d h} [- 4 (4 + h)]$ .

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Etapa 2.3.7.1

Como $- 4$ é constante em relação a $h$ , a derivada de $- 4 (4 + h)$ em relação a $h$ é $- 4 \frac{d}{d h} [4 + h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 (8 + 2 h) - 4 \frac{d}{d h} [4 + h] + \frac{d}{d h} [- 16]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 2.3.7.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 + h$ com relação a $h$ é $\frac{d}{d h} [4] + \frac{d}{d h} [h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 (8 + 2 h) - 4 (\frac{d}{d h} [4] + \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [- 16]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 2.3.7.3

Como $4$ é constante em relação a $h$ , a derivada de $4$ em relação a $h$ é $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 (8 + 2 h) - 4 (0 + \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [- 16]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 2.3.7.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ é $n h^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 (8 + 2 h) - 4 (0 + 1) + \frac{d}{d h} [- 16]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 2.3.7.5

Some $0$ e $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 (8 + 2 h) - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d h} [- 16]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 2.3.7.6

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 (8 + 2 h) - 4 + \frac{d}{d h} [- 16]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 2.3.8

Como $- 16$ é constante em relação a $h$ , a derivada de $- 16$ em relação a $h$ é $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 (8 + 2 h) - 4 + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 2.3.9

Simplifique.

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Etapa 2.3.9.1

Aplique a propriedade distributiva.

$lim_{h \to 0} \frac{2 \cdot 8 + 2 (2 h) - 4 + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 2.3.9.2

Combine os termos.

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Etapa 2.3.9.2.1

Multiplique $2$ por $8$ .

$lim_{h \to 0} \frac{16 + 2 (2 h) - 4 + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 2.3.9.2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$lim_{h \to 0} \frac{16 + 4 h - 4 + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 2.3.9.2.3

Subtraia $4$ de $16$ .

$lim_{h \to 0} \frac{4 h + 12 + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 2.3.9.2.4

Some $4 h + 12$ e $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{4 h + 12}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 2.3.10

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ é $n h^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{4 h + 12}{1}$

Etapa 2.4

Divida $4 h + 12$ por $1$ .

$lim_{h \to 0} 4 h + 12$

Etapa 3

Avalie o limite.

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Etapa 3.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $h$ se aproxima de $0$ .

$lim_{h \to 0} 4 h + lim_{h \to 0} 12$

Etapa 3.2

Mova o termo $4$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $h$ .

$4 lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 12$

Etapa 3.3

Avalie o limite de $12$ , que é constante à medida que $h$ se aproxima de $0$ .

$4 lim_{h \to 0} h + 12$

Etapa 4

Avalie o limite de $h$ substituindo $0$ por $h$ .

$4 \cdot 0 + 12$

Etapa 5

Simplifique a resposta.

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Etapa 5.1

Multiplique $4$ por $0$ .

$0 + 12$

Etapa 5.2

Some $0$ e $12$ .

$12$