Cálculo Exemplos

$f (x) = 5 x^{\frac{7}{4}} - 70 x + 15$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 x^{\frac{7}{4}} - 70 x + 15$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [5 x^{\frac{7}{4}}] + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [15]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{\frac{7}{4}}] + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [5 x^{\frac{7}{4}}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x^{\frac{7}{4}}$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{4}}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{4}}] + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{7}{4}$ .

$5 (\frac{7}{4} x^{\frac{7}{4} - 1}) + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Etapa 1.2.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$5 (\frac{7}{4} x^{\frac{7}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}}) + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Etapa 1.2.4

Combine $- 1$ e $\frac{4}{4}$ .

$5 (\frac{7}{4} x^{\frac{7}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}}) + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Etapa 1.2.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$5 (\frac{7}{4} x^{\frac{7 - 1 \cdot 4}{4}}) + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Etapa 1.2.6

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.1

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$5 (\frac{7}{4} x^{\frac{7 - 4}{4}}) + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Etapa 1.2.6.2

Subtraia $4$ de $7$ .

$5 (\frac{7}{4} x^{\frac{3}{4}}) + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Etapa 1.2.7

Combine $\frac{7}{4}$ e $x^{\frac{3}{4}}$ .

$5 \frac{7 x^{\frac{3}{4}}}{4} + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Etapa 1.2.8

Combine $5$ e $\frac{7 x^{\frac{3}{4}}}{4}$ .

$\frac{5 (7 x^{\frac{3}{4}})}{4} + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Etapa 1.2.9

Multiplique $7$ por $5$ .

$\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4} + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 70 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Como $- 70$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 70 x$ em relação a $x$ é $- 70 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4} - 70 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [15]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4} - 70 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [15]$

Etapa 1.3.3

Multiplique $- 70$ por $1$ .

$\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4} - 70 + \frac{d}{d x} [15]$

Etapa 1.4

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Como $15$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $15$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4} - 70 + 0$

Etapa 1.4.2

Some $\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4} - 70$ e $0$ .

$\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4} - 70$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4} - 70$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4}] + \frac{d}{d x} [- 70]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4}) + \frac{d}{d x} (- 70)$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Como $\frac{35}{4}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4}$ em relação a $x$ é $\frac{35}{4} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{4}}]$ .

$f'' (x) = \frac{35}{4} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{3}{4}}) + \frac{d}{d x} (- 70)$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{3}{4}$ .

$f'' (x) = \frac{35}{4} \cdot (\frac{3}{4} x^{\frac{3}{4} - 1}) + \frac{d}{d x} (- 70)$

Etapa 2.2.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$f'' (x) = \frac{35}{4} \cdot (\frac{3}{4} x^{\frac{3}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}}) + \frac{d}{d x} (- 70)$

Etapa 2.2.4

Combine $- 1$ e $\frac{4}{4}$ .

$f'' (x) = \frac{35}{4} \cdot (\frac{3}{4} x^{\frac{3}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}}) + \frac{d}{d x} (- 70)$

Etapa 2.2.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = \frac{35}{4} \cdot (\frac{3}{4} x^{\frac{3 - 1 \cdot 4}{4}}) + \frac{d}{d x} (- 70)$

Etapa 2.2.6

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.6.1

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$f'' (x) = \frac{35}{4} \cdot (\frac{3}{4} x^{\frac{3 - 4}{4}}) + \frac{d}{d x} (- 70)$

Etapa 2.2.6.2

Subtraia $4$ de $3$ .

$f'' (x) = \frac{35}{4} \cdot (\frac{3}{4} x^{\frac{- 1}{4}}) + \frac{d}{d x} (- 70)$

Etapa 2.2.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = \frac{35}{4} \cdot (\frac{3}{4} x^{- \frac{1}{4}}) + \frac{d}{d x} (- 70)$

Etapa 2.2.8

Combine $\frac{3}{4}$ e $x^{- \frac{1}{4}}$ .

$f'' (x) = \frac{35}{4} \cdot \frac{3 x^{- \frac{1}{4}}}{4} + \frac{d}{d x} (- 70)$

Etapa 2.2.9

Multiplique $\frac{35}{4}$ por $\frac{3 x^{- \frac{1}{4}}}{4}$ .

$f'' (x) = \frac{35 (3 x^{- \frac{1}{4}})}{4 \cdot 4} + \frac{d}{d x} (- 70)$

Etapa 2.2.10

Multiplique $3$ por $35$ .

$f'' (x) = \frac{105 x^{- \frac{1}{4}}}{4 \cdot 4} + \frac{d}{d x} (- 70)$

Etapa 2.2.11

Multiplique $4$ por $4$ .

$f'' (x) = \frac{105 x^{- \frac{1}{4}}}{16} + \frac{d}{d x} (- 70)$

Etapa 2.2.12

Mova $x^{- \frac{1}{4}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{105}{16 x^{\frac{1}{4}}} + \frac{d}{d x} (- 70)$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 2.3.1

Como $- 70$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 70$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = \frac{105}{16 x^{\frac{1}{4}}} + 0$

Etapa 2.3.2

Some $\frac{105}{16 x^{\frac{1}{4}}}$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{105}{16 x^{\frac{1}{4}}}$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4} - 70 = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 x^{\frac{7}{4}} - 70 x + 15$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [5 x^{\frac{7}{4}}] + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [15]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{\frac{7}{4}}] + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Etapa 4.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [5 x^{\frac{7}{4}}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x^{\frac{7}{4}}$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{4}}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{4}}] + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Etapa 4.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{7}{4}$ .

$5 (\frac{7}{4} x^{\frac{7}{4} - 1}) + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Etapa 4.1.2.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$5 (\frac{7}{4} x^{\frac{7}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}}) + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Etapa 4.1.2.4

Combine $- 1$ e $\frac{4}{4}$ .

$5 (\frac{7}{4} x^{\frac{7}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}}) + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Etapa 4.1.2.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$5 (\frac{7}{4} x^{\frac{7 - 1 \cdot 4}{4}}) + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Etapa 4.1.2.6

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.6.1

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$5 (\frac{7}{4} x^{\frac{7 - 4}{4}}) + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Etapa 4.1.2.6.2

Subtraia $4$ de $7$ .

$5 (\frac{7}{4} x^{\frac{3}{4}}) + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Etapa 4.1.2.7

Combine $\frac{7}{4}$ e $x^{\frac{3}{4}}$ .

$5 \frac{7 x^{\frac{3}{4}}}{4} + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Etapa 4.1.2.8

Combine $5$ e $\frac{7 x^{\frac{3}{4}}}{4}$ .

$\frac{5 (7 x^{\frac{3}{4}})}{4} + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Etapa 4.1.2.9

Multiplique $7$ por $5$ .

$\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4} + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Etapa 4.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 70 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.1

Como $- 70$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 70 x$ em relação a $x$ é $- 70 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4} - 70 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [15]$

Etapa 4.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4} - 70 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [15]$

Etapa 4.1.3.3

Multiplique $- 70$ por $1$ .

$\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4} - 70 + \frac{d}{d x} [15]$

Etapa 4.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.4.1

Como $15$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $15$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4} - 70 + 0$

Etapa 4.1.4.2

Some $\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4} - 70$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4} - 70$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4} - 70$ .

$\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4} - 70$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4} - 70 = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4} - 70 = 0$

Etapa 5.2

Some $70$ aos dois lados da equação.

$\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4} = 70$

Etapa 5.3

Multiplique os dois lados da equação por $\frac{4}{35}$ .

$\frac{4}{35} \cdot \frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4} = \frac{4}{35} \cdot 70$

Etapa 5.4

Simplifique os dois lados da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1.1

Simplifique $\frac{4}{35} \cdot \frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1.1.1

Combine.

$\frac{4 (35 x^{\frac{3}{4}})}{35 \cdot 4} = \frac{4}{35} \cdot 70$

Etapa 5.4.1.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{4 (35 x^{\frac{3}{4}})}{35 \cdot 4} = \frac{4}{35} \cdot 70$

Etapa 5.4.1.1.3

Reescreva a expressão.

$\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{35} = \frac{4}{35} \cdot 70$

Etapa 5.4.1.1.4

Cancele o fator comum.

$\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{35} = \frac{4}{35} \cdot 70$

Etapa 5.4.1.1.5

Divida $x^{\frac{3}{4}}$ por $1$ .

$x^{\frac{3}{4}} = \frac{4}{35} \cdot 70$

Etapa 5.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.1

Simplifique $\frac{4}{35} \cdot 70$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.1.1

Cancele o fator comum de $35$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.1.1.1

Fatore $35$ de $70$ .

$x^{\frac{3}{4}} = \frac{4}{35} \cdot (35 (2))$

Etapa 5.4.2.1.1.2

Cancele o fator comum.

$x^{\frac{3}{4}} = \frac{4}{35} \cdot (35 \cdot 2)$

Etapa 5.4.2.1.1.3

Reescreva a expressão.

$x^{\frac{3}{4}} = 4 \cdot 2$

Etapa 5.4.2.1.2

Multiplique $4$ por $2$ .

$x^{\frac{3}{4}} = 8$

Etapa 5.5

Eleve cada lado da equação à potência de $\frac{4}{3}$ para eliminar o expoente fracionário no lado esquerdo.

${(x^{\frac{3}{4}})}^{\frac{4}{3}} = 8^{\frac{4}{3}}$

Etapa 5.6

Simplifique o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.1.1

Simplifique ${(x^{\frac{3}{4}})}^{\frac{4}{3}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.1.1.1

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{3}{4}})}^{\frac{4}{3}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.1.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3}} = 8^{\frac{4}{3}}$

Etapa 5.6.1.1.1.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.1.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$x^{\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3}} = 8^{\frac{4}{3}}$

Etapa 5.6.1.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$x^{\frac{1}{4} \cdot 4} = 8^{\frac{4}{3}}$

Etapa 5.6.1.1.1.3

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.1.1.1.3.1

Cancele o fator comum.

$x^{\frac{1}{4} \cdot 4} = 8^{\frac{4}{3}}$

Etapa 5.6.1.1.1.3.2

Reescreva a expressão.

$x^{1} = 8^{\frac{4}{3}}$

Etapa 5.6.1.1.2

Simplifique.

$x = 8^{\frac{4}{3}}$

Etapa 5.6.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.2.1

Simplifique $8^{\frac{4}{3}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.2.1.1

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.2.1.1.1

Reescreva $8$ como $2^{3}$ .

$x = {(2^{3})}^{\frac{4}{3}}$

Etapa 5.6.2.1.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = 2^{3 (\frac{4}{3})}$

Etapa 5.6.2.1.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.2.1.2.1

Cancele o fator comum.

$x = 2^{3 (\frac{4}{3})}$

Etapa 5.6.2.1.2.2

Reescreva a expressão.

$x = 2^{4}$

Etapa 5.6.2.1.3

Eleve $2$ à potência de $4$ .

$x = 16$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Aplique a regra $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescrever a exponenciação como um radical.

$\frac{35 \sqrt[4]{x^{3}}}{4} - 70$

Etapa 6.2

Defina o radicando em $\sqrt[4]{x^{3}}$ como menor do que $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x^{3} < 0$

Etapa 6.3

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da desigualdade para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$\sqrt[3]{x^{3}} < \sqrt[3]{0}$

Etapa 6.3.2

Simplifique a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1.1

Elimine os termos abaixo do radical.

$x < \sqrt[3]{0}$

Etapa 6.3.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.2.1

Simplifique $\sqrt[3]{0}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.2.1.1

Reescreva $0$ como $0^{3}$ .

$x < \sqrt[3]{0^{3}}$

Etapa 6.3.2.2.1.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$x < 0$

Etapa 6.4

A equação é indefinida quando o denominador é igual a $0$ , o argumento de uma raiz quadrada é menor do que $0$ ou o argumento de um logaritmo é menor do que ou igual a $0$ .

$x < 0$

$(- \infty, 0)$

$x < 0$

$(- \infty, 0)$

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = 16$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = 16$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$\frac{105}{16 {(16)}^{\frac{1}{4}}}$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Multiplique $16$ por ${(16)}^{\frac{1}{4}}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1

Multiplique $16$ por ${(16)}^{\frac{1}{4}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1.1

Eleve $16$ à potência de $1$ .

$\frac{105}{16^{1} {(16)}^{\frac{1}{4}}}$

Etapa 9.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{105}{16^{1 + \frac{1}{4}}}$

Etapa 9.1.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{105}{16^{\frac{4}{4} + \frac{1}{4}}}$

Etapa 9.1.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{105}{16^{\frac{4 + 1}{4}}}$

Etapa 9.1.4

Some $4$ e $1$ .

$\frac{105}{16^{\frac{5}{4}}}$

Etapa 9.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1

Reescreva $16$ como $2^{4}$ .

$\frac{105}{{(2^{4})}^{\frac{5}{4}}}$

Etapa 9.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{105}{2^{4 (\frac{5}{4})}}$

Etapa 9.2.3

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{105}{2^{4 (\frac{5}{4})}}$

Etapa 9.2.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{105}{2^{5}}$

Etapa 9.2.4

Eleve $2$ à potência de $5$ .

$\frac{105}{32}$

Etapa 10

$x = 16$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 16$ é um mínimo local

Etapa 11

Encontre o valor y quando $x = 16$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Substitua a variável $x$ por $16$ na expressão.

$f (16) = 5 {(16)}^{\frac{7}{4}} - 70 \cdot 16 + 15$

Etapa 11.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.1

Reescreva $16$ como $2^{4}$ .

$f (16) = 5 {(2^{4})}^{\frac{7}{4}} - 70 \cdot 16 + 15$

Etapa 11.2.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (16) = 5 \cdot 2^{4 (\frac{7}{4})} - 70 \cdot 16 + 15$

Etapa 11.2.1.3

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.3.1

Cancele o fator comum.

$f (16) = 5 \cdot 2^{4 (\frac{7}{4})} - 70 \cdot 16 + 15$

Etapa 11.2.1.3.2

Reescreva a expressão.

$f (16) = 5 \cdot 2^{7} - 70 \cdot 16 + 15$

Etapa 11.2.1.4

Eleve $2$ à potência de $7$ .

$f (16) = 5 \cdot 128 - 70 \cdot 16 + 15$

Etapa 11.2.1.5

Multiplique $5$ por $128$ .

$f (16) = 640 - 70 \cdot 16 + 15$

Etapa 11.2.1.6

Multiplique $- 70$ por $16$ .

$f (16) = 640 - 1120 + 15$

Etapa 11.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.2.1

Subtraia $1120$ de $640$ .

$f (16) = - 480 + 15$

Etapa 11.2.2.2

Some $- 480$ e $15$ .

$f (16) = - 465$

Etapa 11.2.3

A resposta final é $- 465$ .

$y = - 465$

Etapa 12

Esses são os extremos locais para $f (x) = 5 x^{\frac{7}{4}} - 70 x + 15$ .

$(16, - 465)$ é um mínimo local

Etapa 13