Cálculo Exemplos

$f (x) = 5 {(x + 2)}^{4} - 2 {(x + 2)}^{2} + 8$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Reescreva ${(x + 2)}^{2}$ como $(x + 2) (x + 2)$ .

$\frac{d}{d x} [5 {(x + 2)}^{4} - 2 ((x + 2) (x + 2)) + 8]$

Etapa 1.2

Expanda $(x + 2) (x + 2)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d}{d x} [5 {(x + 2)}^{4} - 2 (x (x + 2) + 2 (x + 2)) + 8]$

Etapa 1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d}{d x} [5 {(x + 2)}^{4} - 2 (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2)) + 8]$

Etapa 1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d}{d x} [5 {(x + 2)}^{4} - 2 (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2) + 8]$

Etapa 1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{d}{d x} [5 {(x + 2)}^{4} - 2 (x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2) + 8]$

Etapa 1.3.1.2

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{d}{d x} [5 {(x + 2)}^{4} - 2 (x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2) + 8]$

Etapa 1.3.1.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{d}{d x} [5 {(x + 2)}^{4} - 2 (x^{2} + 2 x + 2 x + 4) + 8]$

Etapa 1.3.2

Some $2 x$ e $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [5 {(x + 2)}^{4} - 2 (x^{2} + 4 x + 4) + 8]$

Etapa 1.4

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 {(x + 2)}^{4} - 2 (x^{2} + 4 x + 4) + 8$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [5 {(x + 2)}^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} + 4 x + 4)] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$\frac{d}{d x} [5 {(x + 2)}^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} + 4 x + 4)] + \frac{d}{d x} [8]$

Etapa 1.5

Avalie $\frac{d}{d x} [5 {(x + 2)}^{4}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 {(x + 2)}^{4}$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{4}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} + 4 x + 4)] + \frac{d}{d x} [8]$

Etapa 1.5.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = x + 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x + 2$ .

$5 (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [x + 2]) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} + 4 x + 4)] + \frac{d}{d x} [8]$

Etapa 1.5.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$5 (4 u^{3} \frac{d}{d x} [x + 2]) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} + 4 x + 4)] + \frac{d}{d x} [8]$

Etapa 1.5.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + 2$ .

$5 (4 {(x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x + 2]) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} + 4 x + 4)] + \frac{d}{d x} [8]$

Etapa 1.5.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$5 (4 {(x + 2)}^{3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} + 4 x + 4)] + \frac{d}{d x} [8]$

Etapa 1.5.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$5 (4 {(x + 2)}^{3} (1 + \frac{d}{d x} [2])) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} + 4 x + 4)] + \frac{d}{d x} [8]$

Etapa 1.5.5

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$5 (4 {(x + 2)}^{3} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} + 4 x + 4)] + \frac{d}{d x} [8]$

Etapa 1.5.6

Some $1$ e $0$ .

$5 (4 {(x + 2)}^{3} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} + 4 x + 4)] + \frac{d}{d x} [8]$

Etapa 1.5.7

Multiplique $4$ por $1$ .

$5 (4 {(x + 2)}^{3}) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} + 4 x + 4)] + \frac{d}{d x} [8]$

Etapa 1.5.8

Multiplique $4$ por $5$ .

$20 {(x + 2)}^{3} + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} + 4 x + 4)] + \frac{d}{d x} [8]$

Etapa 1.6

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} + 4 x + 4)]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 (x^{2} + 4 x + 4)$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 4]$ .

$20 {(x + 2)}^{3} - 2 \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 4] + \frac{d}{d x} [8]$

Etapa 1.6.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 4 x + 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$20 {(x + 2)}^{3} - 2 (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]) + \frac{d}{d x} [8]$

Etapa 1.6.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$20 {(x + 2)}^{3} - 2 (2 x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]) + \frac{d}{d x} [8]$

Etapa 1.6.4

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$20 {(x + 2)}^{3} - 2 (2 x + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]) + \frac{d}{d x} [8]$

Etapa 1.6.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$20 {(x + 2)}^{3} - 2 (2 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]) + \frac{d}{d x} [8]$

Etapa 1.6.6

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$20 {(x + 2)}^{3} - 2 (2 x + 4 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [8]$

Etapa 1.6.7

Multiplique $4$ por $1$ .

$20 {(x + 2)}^{3} - 2 (2 x + 4 + 0) + \frac{d}{d x} [8]$

Etapa 1.6.8

Some $2 x + 4$ e $0$ .

$20 {(x + 2)}^{3} - 2 (2 x + 4) + \frac{d}{d x} [8]$

Etapa 1.7

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8$ em relação a $x$ é $0$ .

$20 {(x + 2)}^{3} - 2 (2 x + 4) + 0$

Etapa 1.8

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.8.1

Aplique a propriedade distributiva.

$20 {(x + 2)}^{3} - 2 (2 x) - 2 \cdot 4 + 0$

Etapa 1.8.2

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.8.2.1

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$20 {(x + 2)}^{3} - 4 x - 2 \cdot 4 + 0$

Etapa 1.8.2.2

Multiplique $- 2$ por $4$ .

$20 {(x + 2)}^{3} - 4 x - 8 + 0$

Etapa 1.8.2.3

Some $20 {(x + 2)}^{3} - 4 x - 8$ e $0$ .

$20 {(x + 2)}^{3} - 4 x - 8$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $20 {(x + 2)}^{3} - 4 x - 8$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [20 {(x + 2)}^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (20 {(x + 2)}^{3}) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (- 8)$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [20 {(x + 2)}^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Como $20$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $20 {(x + 2)}^{3}$ em relação a $x$ é $20 \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{3}]$ .

$f'' (x) = 20 \frac{d}{d x} ({(x + 2)}^{3}) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (- 8)$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = x + 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x + 2$ .

$f'' (x) = 20 (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (x + 2)) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (- 8)$

Etapa 2.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f'' (x) = 20 (3 u^{2} \frac{d}{d x} (x + 2)) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (- 8)$

Etapa 2.2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + 2$ .

$f'' (x) = 20 (3 {(x + 2)}^{2} \frac{d}{d x} (x + 2)) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (- 8)$

Etapa 2.2.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$f'' (x) = 20 (3 {(x + 2)}^{2} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (2))) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (- 8)$

Etapa 2.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 20 (3 {(x + 2)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} (2))) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (- 8)$

Etapa 2.2.5

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 20 (3 {(x + 2)}^{2} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (- 8)$

Etapa 2.2.6

Some $1$ e $0$ .

$f'' (x) = 20 (3 {(x + 2)}^{2} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (- 8)$

Etapa 2.2.7

Multiplique $3$ por $1$ .

$f'' (x) = 20 (3 {(x + 2)}^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (- 8)$

Etapa 2.2.8

Multiplique $3$ por $20$ .

$f'' (x) = 60 {(x + 2)}^{2} + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (- 8)$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4 x$ em relação a $x$ é $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 60 {(x + 2)}^{2} - 4 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 8)$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 60 {(x + 2)}^{2} - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 8)$

Etapa 2.3.3

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$f'' (x) = 60 {(x + 2)}^{2} - 4 + \frac{d}{d x} (- 8)$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Como $- 8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 8$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 60 {(x + 2)}^{2} - 4 + 0$

Etapa 2.4.2

Some $60 {(x + 2)}^{2} - 4$ e $0$ .

$f'' (x) = 60 {(x + 2)}^{2} - 4$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$20 {(x + 2)}^{3} - 4 x - 8 = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Reescreva ${(x + 2)}^{2}$ como $(x + 2) (x + 2)$ .

$\frac{d}{d x} [5 {(x + 2)}^{4} - 2 ((x + 2) (x + 2)) + 8]$

Etapa 4.1.2

Expanda $(x + 2) (x + 2)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d}{d x} [5 {(x + 2)}^{4} - 2 (x (x + 2) + 2 (x + 2)) + 8]$

Etapa 4.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d}{d x} [5 {(x + 2)}^{4} - 2 (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2)) + 8]$

Etapa 4.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d}{d x} [5 {(x + 2)}^{4} - 2 (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2) + 8]$

Etapa 4.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{d}{d x} [5 {(x + 2)}^{4} - 2 (x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2) + 8]$

Etapa 4.1.3.1.2

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{d}{d x} [5 {(x + 2)}^{4} - 2 (x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2) + 8]$

Etapa 4.1.3.1.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{d}{d x} [5 {(x + 2)}^{4} - 2 (x^{2} + 2 x + 2 x + 4) + 8]$

Etapa 4.1.3.2

Some $2 x$ e $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [5 {(x + 2)}^{4} - 2 (x^{2} + 4 x + 4) + 8]$

Etapa 4.1.4

$\frac{d}{d x} [5 {(x + 2)}^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} + 4 x + 4)] + \frac{d}{d x} [8]$

Etapa 4.1.5

Avalie $\frac{d}{d x} [5 {(x + 2)}^{4}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.5.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 {(x + 2)}^{4}$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{4}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} + 4 x + 4)] + \frac{d}{d x} [8]$

Etapa 4.1.5.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = x + 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.5.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x + 2$ .

$5 (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [x + 2]) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} + 4 x + 4)] + \frac{d}{d x} [8]$

Etapa 4.1.5.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$5 (4 u^{3} \frac{d}{d x} [x + 2]) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} + 4 x + 4)] + \frac{d}{d x} [8]$

Etapa 4.1.5.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + 2$ .

$5 (4 {(x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x + 2]) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} + 4 x + 4)] + \frac{d}{d x} [8]$

Etapa 4.1.5.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$5 (4 {(x + 2)}^{3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} + 4 x + 4)] + \frac{d}{d x} [8]$

Etapa 4.1.5.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$5 (4 {(x + 2)}^{3} (1 + \frac{d}{d x} [2])) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} + 4 x + 4)] + \frac{d}{d x} [8]$

Etapa 4.1.5.5

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$5 (4 {(x + 2)}^{3} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} + 4 x + 4)] + \frac{d}{d x} [8]$

Etapa 4.1.5.6

Some $1$ e $0$ .

$5 (4 {(x + 2)}^{3} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} + 4 x + 4)] + \frac{d}{d x} [8]$

Etapa 4.1.5.7

Multiplique $4$ por $1$ .

$5 (4 {(x + 2)}^{3}) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} + 4 x + 4)] + \frac{d}{d x} [8]$

Etapa 4.1.5.8

Multiplique $4$ por $5$ .

$20 {(x + 2)}^{3} + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} + 4 x + 4)] + \frac{d}{d x} [8]$

Etapa 4.1.6

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} + 4 x + 4)]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.6.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 (x^{2} + 4 x + 4)$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 4]$ .

$20 {(x + 2)}^{3} - 2 \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 4] + \frac{d}{d x} [8]$

Etapa 4.1.6.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 4 x + 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$20 {(x + 2)}^{3} - 2 (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]) + \frac{d}{d x} [8]$

Etapa 4.1.6.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$20 {(x + 2)}^{3} - 2 (2 x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]) + \frac{d}{d x} [8]$

Etapa 4.1.6.4

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$20 {(x + 2)}^{3} - 2 (2 x + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]) + \frac{d}{d x} [8]$

Etapa 4.1.6.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$20 {(x + 2)}^{3} - 2 (2 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]) + \frac{d}{d x} [8]$

Etapa 4.1.6.6

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$20 {(x + 2)}^{3} - 2 (2 x + 4 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [8]$

Etapa 4.1.6.7

Multiplique $4$ por $1$ .

$20 {(x + 2)}^{3} - 2 (2 x + 4 + 0) + \frac{d}{d x} [8]$

Etapa 4.1.6.8

Some $2 x + 4$ e $0$ .

$20 {(x + 2)}^{3} - 2 (2 x + 4) + \frac{d}{d x} [8]$

Etapa 4.1.7

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8$ em relação a $x$ é $0$ .

$20 {(x + 2)}^{3} - 2 (2 x + 4) + 0$

Etapa 4.1.8

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.8.1

Aplique a propriedade distributiva.

$20 {(x + 2)}^{3} - 2 (2 x) - 2 \cdot 4 + 0$

Etapa 4.1.8.2

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.8.2.1

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$20 {(x + 2)}^{3} - 4 x - 2 \cdot 4 + 0$

Etapa 4.1.8.2.2

Multiplique $- 2$ por $4$ .

$20 {(x + 2)}^{3} - 4 x - 8 + 0$

Etapa 4.1.8.2.3

Some $20 {(x + 2)}^{3} - 4 x - 8$ e $0$ .

$f' (x) = 20 {(x + 2)}^{3} - 4 x - 8$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $20 {(x + 2)}^{3} - 4 x - 8$ .

$20 {(x + 2)}^{3} - 4 x - 8$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $20 {(x + 2)}^{3} - 4 x - 8 = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$20 {(x + 2)}^{3} - 4 x - 8 = 0$

Etapa 5.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 5.2.1

Fatore $4$ de $20 {(x + 2)}^{3} - 4 x - 8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Fatore $4$ de $20 {(x + 2)}^{3}$ .

$4 (5 {(x + 2)}^{3}) - 4 x - 8 = 0$

Etapa 5.2.1.2

Fatore $4$ de $- 4 x$ .

$4 (5 {(x + 2)}^{3}) + 4 (- x) - 8 = 0$

Etapa 5.2.1.3

Fatore $4$ de $- 8$ .

$4 (5 {(x + 2)}^{3}) + 4 (- x) + 4 (- 2) = 0$

Etapa 5.2.1.4

Fatore $4$ de $4 (5 {(x + 2)}^{3}) + 4 (- x)$ .

$4 (5 {(x + 2)}^{3} - x) + 4 (- 2) = 0$

Etapa 5.2.1.5

Fatore $4$ de $4 (5 {(x + 2)}^{3} - x) + 4 (- 2)$ .

$4 (5 {(x + 2)}^{3} - x - 2) = 0$

Etapa 5.2.2

Use o teorema binomial.

$4 (5 (x^{3} + 3 x^{2} \cdot 2 + 3 x \cdot 2^{2} + 2^{3}) - x - 2) = 0$

Etapa 5.2.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.3.1

Multiplique $2$ por $3$ .

$4 (5 (x^{3} + 6 x^{2} + 3 x \cdot 2^{2} + 2^{3}) - x - 2) = 0$

Etapa 5.2.3.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$4 (5 (x^{3} + 6 x^{2} + 3 x \cdot 4 + 2^{3}) - x - 2) = 0$

Etapa 5.2.3.3

Multiplique $4$ por $3$ .

$4 (5 (x^{3} + 6 x^{2} + 12 x + 2^{3}) - x - 2) = 0$

Etapa 5.2.3.4

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$4 (5 (x^{3} + 6 x^{2} + 12 x + 8) - x - 2) = 0$

Etapa 5.2.4

Aplique a propriedade distributiva.

$4 (5 x^{3} + 5 (6 x^{2}) + 5 (12 x) + 5 \cdot 8 - x - 2) = 0$

Etapa 5.2.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.5.1

Multiplique $6$ por $5$ .

$4 (5 x^{3} + 30 x^{2} + 5 (12 x) + 5 \cdot 8 - x - 2) = 0$

Etapa 5.2.5.2

Multiplique $12$ por $5$ .

$4 (5 x^{3} + 30 x^{2} + 60 x + 5 \cdot 8 - x - 2) = 0$

Etapa 5.2.5.3

Multiplique $5$ por $8$ .

$4 (5 x^{3} + 30 x^{2} + 60 x + 40 - x - 2) = 0$

Etapa 5.2.6

Subtraia $x$ de $60 x$ .

$4 (5 x^{3} + 30 x^{2} + 59 x + 40 - 2) = 0$

Etapa 5.2.7

Subtraia $2$ de $40$ .

$4 (5 x^{3} + 30 x^{2} + 59 x + 38) = 0$

Etapa 5.2.8

Fatore.

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Etapa 5.2.8.1

Fatore $5 x^{3} + 30 x^{2} + 59 x + 38$ usando o teste das raízes racionais.

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Etapa 5.2.8.1.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 38, \pm 2, \pm 19$

$q = \pm 1, \pm 5$

Etapa 5.2.8.1.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 0.2, \pm 38, \pm 7.6, \pm 2, \pm 0.4, \pm 19, \pm 3.8$

Etapa 5.2.8.1.3

Substitua $- 2$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $- 2$ é uma raiz do polinômio.

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Etapa 5.2.8.1.3.1

Substitua $- 2$ no polinômio.

$5 {(- 2)}^{3} + 30 {(- 2)}^{2} + 59 \cdot - 2 + 38$

Etapa 5.2.8.1.3.2

Eleve $- 2$ à potência de $3$ .

$5 \cdot - 8 + 30 {(- 2)}^{2} + 59 \cdot - 2 + 38$

Etapa 5.2.8.1.3.3

Multiplique $5$ por $- 8$ .

$- 40 + 30 {(- 2)}^{2} + 59 \cdot - 2 + 38$

Etapa 5.2.8.1.3.4

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$- 40 + 30 \cdot 4 + 59 \cdot - 2 + 38$

Etapa 5.2.8.1.3.5

Multiplique $30$ por $4$ .

$- 40 + 120 + 59 \cdot - 2 + 38$

Etapa 5.2.8.1.3.6

Some $- 40$ e $120$ .

$80 + 59 \cdot - 2 + 38$

Etapa 5.2.8.1.3.7

Multiplique $59$ por $- 2$ .

$80 - 118 + 38$

Etapa 5.2.8.1.3.8

Subtraia $118$ de $80$ .

$- 38 + 38$

Etapa 5.2.8.1.3.9

Some $- 38$ e $38$ .

$0$

Etapa 5.2.8.1.4

Como $- 2$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x + 2$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{5 x^{3} + 30 x^{2} + 59 x + 38}{x + 2}$

Etapa 5.2.8.1.5

Divida $5 x^{3} + 30 x^{2} + 59 x + 38$ por $x + 2$ .

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Etapa 5.2.8.1.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$2$

$5 x^{3}$

$30 x^{2}$

$59 x$

$38$

Etapa 5.2.8.1.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $5 x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

					$5 x^{2}$
	$x$	+	$2$		$5 x^{3}$	+	$30 x^{2}$	+	$59 x$	+	$38$

Etapa 5.2.8.1.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$5 x^{2}$
$x$	+	$2$		$5 x^{3}$	+	$30 x^{2}$	+	$59 x$	+	$38$
			+	$5 x^{3}$	+	$10 x^{2}$

Etapa 5.2.8.1.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $5 x^{3} + 10 x^{2}$ .

				$5 x^{2}$
$x$	+	$2$		$5 x^{3}$	+	$30 x^{2}$	+	$59 x$	+	$38$
			-	$5 x^{3}$	-	$10 x^{2}$

Etapa 5.2.8.1.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$5 x^{2}$
$x$	+	$2$		$5 x^{3}$	+	$30 x^{2}$	+	$59 x$	+	$38$
			-	$5 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$20 x^{2}$

Etapa 5.2.8.1.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$5 x^{2}$
$x$	+	$2$		$5 x^{3}$	+	$30 x^{2}$	+	$59 x$	+	$38$
			-	$5 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$20 x^{2}$	+	$59 x$

Etapa 5.2.8.1.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $20 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$5 x^{2}$	+	$20 x$
$x$	+	$2$		$5 x^{3}$	+	$30 x^{2}$	+	$59 x$	+	$38$
			-	$5 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$20 x^{2}$	+	$59 x$

Etapa 5.2.8.1.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$5 x^{2}$	+	$20 x$
$x$	+	$2$		$5 x^{3}$	+	$30 x^{2}$	+	$59 x$	+	$38$
			-	$5 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$20 x^{2}$	+	$59 x$
					+	$20 x^{2}$	+	$40 x$

Etapa 5.2.8.1.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $20 x^{2} + 40 x$ .

				$5 x^{2}$	+	$20 x$
$x$	+	$2$		$5 x^{3}$	+	$30 x^{2}$	+	$59 x$	+	$38$
			-	$5 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$20 x^{2}$	+	$59 x$
					-	$20 x^{2}$	-	$40 x$

Etapa 5.2.8.1.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$5 x^{2}$	+	$20 x$
$x$	+	$2$		$5 x^{3}$	+	$30 x^{2}$	+	$59 x$	+	$38$
			-	$5 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$20 x^{2}$	+	$59 x$
					-	$20 x^{2}$	-	$40 x$
							+	$19 x$

Etapa 5.2.8.1.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$5 x^{2}$	+	$20 x$
$x$	+	$2$		$5 x^{3}$	+	$30 x^{2}$	+	$59 x$	+	$38$
			-	$5 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$20 x^{2}$	+	$59 x$
					-	$20 x^{2}$	-	$40 x$
							+	$19 x$	+	$38$

Etapa 5.2.8.1.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $19 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$5 x^{2}$	+	$20 x$	+	$19$
$x$	+	$2$		$5 x^{3}$	+	$30 x^{2}$	+	$59 x$	+	$38$
			-	$5 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$20 x^{2}$	+	$59 x$
					-	$20 x^{2}$	-	$40 x$
							+	$19 x$	+	$38$

Etapa 5.2.8.1.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$5 x^{2}$	+	$20 x$	+	$19$
$x$	+	$2$		$5 x^{3}$	+	$30 x^{2}$	+	$59 x$	+	$38$
			-	$5 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$20 x^{2}$	+	$59 x$
					-	$20 x^{2}$	-	$40 x$
							+	$19 x$	+	$38$
							+	$19 x$	+	$38$

Etapa 5.2.8.1.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $19 x + 38$ .

				$5 x^{2}$	+	$20 x$	+	$19$
$x$	+	$2$		$5 x^{3}$	+	$30 x^{2}$	+	$59 x$	+	$38$
			-	$5 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$20 x^{2}$	+	$59 x$
					-	$20 x^{2}$	-	$40 x$
							+	$19 x$	+	$38$
							-	$19 x$	-	$38$

Etapa 5.2.8.1.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$5 x^{2}$	+	$20 x$	+	$19$
$x$	+	$2$		$5 x^{3}$	+	$30 x^{2}$	+	$59 x$	+	$38$
			-	$5 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$20 x^{2}$	+	$59 x$
					-	$20 x^{2}$	-	$40 x$
							+	$19 x$	+	$38$
							-	$19 x$	-	$38$
										$0$

Etapa 5.2.8.1.5.16

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$5 x^{2} + 20 x + 19$

Etapa 5.2.8.1.6

Escreva $5 x^{3} + 30 x^{2} + 59 x + 38$ como um conjunto de fatores.

$4 ((x + 2) (5 x^{2} + 20 x + 19)) = 0$

Etapa 5.2.8.2

Remova os parênteses desnecessários.

$4 (x + 2) (5 x^{2} + 20 x + 19) = 0$

Etapa 5.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

$5 x^{2} + 20 x + 19 = 0$

Etapa 5.4

Defina $x + 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1

Defina $x + 2$ como igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Etapa 5.4.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$x = - 2$

Etapa 5.5

Defina $5 x^{2} + 20 x + 19$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1

Defina $5 x^{2} + 20 x + 19$ como igual a $0$ .

$5 x^{2} + 20 x + 19 = 0$

Etapa 5.5.2

Resolva $5 x^{2} + 20 x + 19 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.1

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 5.5.2.2

Substitua os valores $a = 5$ , $b = 20$ e $c = 19$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{- 20 \pm \sqrt{20^{2} - 4 \cdot (5 \cdot 19)}}{2 \cdot 5}$

Etapa 5.5.2.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.3.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.3.1.1

Eleve $20$ à potência de $2$ .

$x = \frac{- 20 \pm \sqrt{400 - 4 \cdot 5 \cdot 19}}{2 \cdot 5}$

Etapa 5.5.2.3.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 5 \cdot 19$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.3.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $5$ .

$x = \frac{- 20 \pm \sqrt{400 - 20 \cdot 19}}{2 \cdot 5}$

Etapa 5.5.2.3.1.2.2

Multiplique $- 20$ por $19$ .

$x = \frac{- 20 \pm \sqrt{400 - 380}}{2 \cdot 5}$

Etapa 5.5.2.3.1.3

Subtraia $380$ de $400$ .

$x = \frac{- 20 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 5}$

Etapa 5.5.2.3.1.4

Reescreva $20$ como $2^{2} \cdot 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.3.1.4.1

Fatore $4$ de $20$ .

$x = \frac{- 20 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 5}$

Etapa 5.5.2.3.1.4.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{- 20 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 5}$

Etapa 5.5.2.3.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{- 20 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 5}$

Etapa 5.5.2.3.2

Multiplique $2$ por $5$ .

$x = \frac{- 20 \pm 2 \sqrt{5}}{10}$

Etapa 5.5.2.3.3

Simplifique $\frac{- 20 \pm 2 \sqrt{5}}{10}$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{5}}{5}$

Etapa 5.5.2.4

Simplifique a expressão para resolver a parte $+$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.4.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.4.1.1

Eleve $20$ à potência de $2$ .

$x = \frac{- 20 \pm \sqrt{400 - 4 \cdot 5 \cdot 19}}{2 \cdot 5}$

Etapa 5.5.2.4.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 5 \cdot 19$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.4.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $5$ .

$x = \frac{- 20 \pm \sqrt{400 - 20 \cdot 19}}{2 \cdot 5}$

Etapa 5.5.2.4.1.2.2

Multiplique $- 20$ por $19$ .

$x = \frac{- 20 \pm \sqrt{400 - 380}}{2 \cdot 5}$

Etapa 5.5.2.4.1.3

Subtraia $380$ de $400$ .

$x = \frac{- 20 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 5}$

Etapa 5.5.2.4.1.4

Reescreva $20$ como $2^{2} \cdot 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.4.1.4.1

Fatore $4$ de $20$ .

$x = \frac{- 20 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 5}$

Etapa 5.5.2.4.1.4.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{- 20 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 5}$

Etapa 5.5.2.4.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{- 20 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 5}$

Etapa 5.5.2.4.2

Multiplique $2$ por $5$ .

$x = \frac{- 20 \pm 2 \sqrt{5}}{10}$

Etapa 5.5.2.4.3

Simplifique $\frac{- 20 \pm 2 \sqrt{5}}{10}$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{5}}{5}$

Etapa 5.5.2.4.4

Altere $\pm$ para $+$ .

$x = \frac{- 10 + \sqrt{5}}{5}$

Etapa 5.5.2.4.5

Reescreva $- 10$ como $- 1 (10)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 10 + \sqrt{5}}{5}$

Etapa 5.5.2.4.6

Fatore $- 1$ de $\sqrt{5}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 10 - 1 (- \sqrt{5})}{5}$

Etapa 5.5.2.4.7

Fatore $- 1$ de $- 1 (10) - 1 (- \sqrt{5})$ .

$x = \frac{- 1 (10 - \sqrt{5})}{5}$

Etapa 5.5.2.4.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{10 - \sqrt{5}}{5}$

Etapa 5.5.2.5

Simplifique a expressão para resolver a parte $-$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.5.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.5.1.1

Eleve $20$ à potência de $2$ .

$x = \frac{- 20 \pm \sqrt{400 - 4 \cdot 5 \cdot 19}}{2 \cdot 5}$

Etapa 5.5.2.5.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 5 \cdot 19$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.5.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $5$ .

$x = \frac{- 20 \pm \sqrt{400 - 20 \cdot 19}}{2 \cdot 5}$

Etapa 5.5.2.5.1.2.2

Multiplique $- 20$ por $19$ .

$x = \frac{- 20 \pm \sqrt{400 - 380}}{2 \cdot 5}$

Etapa 5.5.2.5.1.3

Subtraia $380$ de $400$ .

$x = \frac{- 20 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 5}$

Etapa 5.5.2.5.1.4

Reescreva $20$ como $2^{2} \cdot 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.5.1.4.1

Fatore $4$ de $20$ .

$x = \frac{- 20 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 5}$

Etapa 5.5.2.5.1.4.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{- 20 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 5}$

Etapa 5.5.2.5.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{- 20 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 5}$

Etapa 5.5.2.5.2

Multiplique $2$ por $5$ .

$x = \frac{- 20 \pm 2 \sqrt{5}}{10}$

Etapa 5.5.2.5.3

Simplifique $\frac{- 20 \pm 2 \sqrt{5}}{10}$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{5}}{5}$

Etapa 5.5.2.5.4

Altere $\pm$ para $-$ .

$x = \frac{- 10 - \sqrt{5}}{5}$

Etapa 5.5.2.5.5

Reescreva $- 10$ como $- 1 (10)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 10 - \sqrt{5}}{5}$

Etapa 5.5.2.5.6

Fatore $- 1$ de $- \sqrt{5}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 10 - (\sqrt{5})}{5}$

Etapa 5.5.2.5.7

Fatore $- 1$ de $- 1 (10) - (\sqrt{5})$ .

$x = \frac{- 1 (10 + \sqrt{5})}{5}$

Etapa 5.5.2.5.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{10 + \sqrt{5}}{5}$

Etapa 5.5.2.6

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = - \frac{10 - \sqrt{5}}{5}, - \frac{10 + \sqrt{5}}{5}$

Etapa 5.6

A solução final são todos os valores que tornam $4 (x + 2) (5 x^{2} + 20 x + 19) = 0$ verdadeiro.

$x = - 2, - \frac{10 - \sqrt{5}}{5}, - \frac{10 + \sqrt{5}}{5}$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 6.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = - 2, - \frac{10 - \sqrt{5}}{5}, - \frac{10 + \sqrt{5}}{5}$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = - 2$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$60 {((- 2) + 2)}^{2} - 4$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1

Some $- 2$ e $2$ .

$60 \cdot 0^{2} - 4$

Etapa 9.1.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$60 \cdot 0 - 4$

Etapa 9.1.3

Multiplique $60$ por $0$ .

$0 - 4$

Etapa 9.2

Subtraia $4$ de $0$ .

$- 4$

Etapa 10

$x = - 2$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = - 2$ é um máximo local

Etapa 11

Encontre o valor y quando $x = - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Substitua a variável $x$ por $- 2$ na expressão.

$f (- 2) = 5 {((- 2) + 2)}^{4} - 2 {((- 2) + 2)}^{2} + 8$

Etapa 11.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.1

Some $- 2$ e $2$ .

$f (- 2) = 5 \cdot 0^{4} - 2 {((- 2) + 2)}^{2} + 8$

Etapa 11.2.1.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (- 2) = 5 \cdot 0 - 2 {((- 2) + 2)}^{2} + 8$

Etapa 11.2.1.3

Multiplique $5$ por $0$ .

$f (- 2) = 0 - 2 {((- 2) + 2)}^{2} + 8$

Etapa 11.2.1.4

Some $- 2$ e $2$ .

$f (- 2) = 0 - 2 \cdot 0^{2} + 8$

Etapa 11.2.1.5

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (- 2) = 0 - 2 \cdot 0 + 8$

Etapa 11.2.1.6

Multiplique $- 2$ por $0$ .

$f (- 2) = 0 + 0 + 8$

Etapa 11.2.2

Simplifique somando os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.2.1

Some $0$ e $0$ .

$f (- 2) = 0 + 8$

Etapa 11.2.2.2

Some $0$ e $8$ .

$f (- 2) = 8$

Etapa 11.2.3

A resposta final é $8$ .

$y = 8$

Etapa 12

Avalie a segunda derivada em $x = - \frac{10 - \sqrt{5}}{5}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$60 {((- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} - 4$

Etapa 13

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.1

Para escrever $2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{5}{5}$ .

$60 {(- \frac{10 - \sqrt{5}}{5} + 2 \cdot \frac{5}{5})}^{2} - 4$

Etapa 13.1.2

Combine $2$ e $\frac{5}{5}$ .

$60 {(- \frac{10 - \sqrt{5}}{5} + \frac{2 \cdot 5}{5})}^{2} - 4$

Etapa 13.1.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$60 {(\frac{- (10 - \sqrt{5}) + 2 \cdot 5}{5})}^{2} - 4$

Etapa 13.1.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$60 {(\frac{- 1 \cdot 10 - - \sqrt{5} + 2 \cdot 5}{5})}^{2} - 4$

Etapa 13.1.4.2

Multiplique $- 1$ por $10$ .

$60 {(\frac{- 10 - - \sqrt{5} + 2 \cdot 5}{5})}^{2} - 4$

Etapa 13.1.4.3

Multiplique $- - \sqrt{5}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.4.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$60 {(\frac{- 10 + 1 \sqrt{5} + 2 \cdot 5}{5})}^{2} - 4$

Etapa 13.1.4.3.2

Multiplique $\sqrt{5}$ por $1$ .

$60 {(\frac{- 10 + \sqrt{5} + 2 \cdot 5}{5})}^{2} - 4$

Etapa 13.1.4.4

Multiplique $2$ por $5$ .

$60 {(\frac{- 10 + \sqrt{5} + 10}{5})}^{2} - 4$

Etapa 13.1.4.5

Some $- 10$ e $10$ .

$60 {(\frac{0 + \sqrt{5}}{5})}^{2} - 4$

Etapa 13.1.4.6

Some $0$ e $\sqrt{5}$ .

$60 {(\frac{\sqrt{5}}{5})}^{2} - 4$

Etapa 13.1.5

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt{5}}{5}$ .

$60 \frac{{\sqrt{5}}^{2}}{5^{2}} - 4$

Etapa 13.1.6

Reescreva ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$60 \frac{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}{5^{2}} - 4$

Etapa 13.1.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$60 \frac{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{5^{2}} - 4$

Etapa 13.1.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$60 \frac{5^{\frac{2}{2}}}{5^{2}} - 4$

Etapa 13.1.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.6.4.1

Cancele o fator comum.

$60 \frac{5^{\frac{2}{2}}}{5^{2}} - 4$

Etapa 13.1.6.4.2

Reescreva a expressão.

$60 \frac{5^{1}}{5^{2}} - 4$

Etapa 13.1.6.5

Avalie o expoente.

$60 \frac{5}{5^{2}} - 4$

Etapa 13.1.7

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$60 (\frac{5}{25}) - 4$

Etapa 13.1.8

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.8.1

Fatore $5$ de $60$ .

$5 (12) \frac{5}{25} - 4$

Etapa 13.1.8.2

Fatore $5$ de $25$ .

$5 \cdot 12 \frac{5}{5 \cdot 5} - 4$

Etapa 13.1.8.3

Cancele o fator comum.

$5 \cdot 12 \frac{5}{5 \cdot 5} - 4$

Etapa 13.1.8.4

Reescreva a expressão.

$12 (\frac{5}{5}) - 4$

Etapa 13.1.9

Combine $12$ e $\frac{5}{5}$ .

$\frac{12 \cdot 5}{5} - 4$

Etapa 13.1.10

Multiplique $12$ por $5$ .

$\frac{60}{5} - 4$

Etapa 13.1.11

Divida $60$ por $5$ .

$12 - 4$

Etapa 13.2

Subtraia $4$ de $12$ .

$8$

Etapa 14

$x = - \frac{10 - \sqrt{5}}{5}$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = - \frac{10 - \sqrt{5}}{5}$ é um mínimo local

Etapa 15

Encontre o valor y quando $x = - \frac{10 - \sqrt{5}}{5}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.1

Substitua a variável $x$ por $- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}$ na expressão.

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = 5 {((- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{4} - 2 {((- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Etapa 15.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.1

Para escrever $2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{5}{5}$ .

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = 5 {(- \frac{10 - \sqrt{5}}{5} + 2 \cdot \frac{5}{5})}^{4} - 2 {((- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Etapa 15.2.1.2

Combine $2$ e $\frac{5}{5}$ .

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = 5 {(- \frac{10 - \sqrt{5}}{5} + \frac{2 \cdot 5}{5})}^{4} - 2 {((- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Etapa 15.2.1.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = 5 {(\frac{- (10 - \sqrt{5}) + 2 \cdot 5}{5})}^{4} - 2 {((- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Etapa 15.2.1.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = 5 {(\frac{- 1 \cdot 10 + \sqrt{5} + 2 \cdot 5}{5})}^{4} - 2 {((- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Etapa 15.2.1.4.2

Multiplique $- 1$ por $10$ .

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = 5 {(\frac{- 10 + \sqrt{5} + 2 \cdot 5}{5})}^{4} - 2 {((- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Etapa 15.2.1.4.3

Multiplique $- - \sqrt{5}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.4.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = 5 {(\frac{- 10 + 1 \sqrt{5} + 2 \cdot 5}{5})}^{4} - 2 {((- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Etapa 15.2.1.4.3.2

Multiplique $\sqrt{5}$ por $1$ .

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = 5 {(\frac{- 10 + \sqrt{5} + 2 \cdot 5}{5})}^{4} - 2 {((- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Etapa 15.2.1.4.4

Multiplique $2$ por $5$ .

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = 5 {(\frac{- 10 + \sqrt{5} + 10}{5})}^{4} - 2 {((- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Etapa 15.2.1.4.5

Some $- 10$ e $10$ .

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = 5 {(\frac{0 + \sqrt{5}}{5})}^{4} - 2 {((- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Etapa 15.2.1.4.6

Some $0$ e $\sqrt{5}$ .

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = 5 {(\frac{\sqrt{5}}{5})}^{4} - 2 {((- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Etapa 15.2.1.5

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt{5}}{5}$ .

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = 5 (\frac{{\sqrt{5}}^{4}}{5^{4}}) - 2 {((- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Etapa 15.2.1.6

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.6.1

Reescreva ${\sqrt{5}}^{4}$ como $5^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.6.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = 5 (\frac{{(5^{\frac{1}{2}})}^{4}}{5^{4}}) - 2 {((- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Etapa 15.2.1.6.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = 5 (\frac{5^{\frac{1}{2} \cdot 4}}{5^{4}}) - 2 {((- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Etapa 15.2.1.6.1.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $4$ .

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = 5 (\frac{5^{\frac{4}{2}}}{5^{4}}) - 2 {((- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Etapa 15.2.1.6.1.4

Cancele o fator comum de $4$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.6.1.4.1

Fatore $2$ de $4$ .

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = 5 (\frac{5^{\frac{2 \cdot 2}{2}}}{5^{4}}) - 2 {((- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Etapa 15.2.1.6.1.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.6.1.4.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = 5 (\frac{5^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}}{5^{4}}) - 2 {((- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Etapa 15.2.1.6.1.4.2.2

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = 5 (\frac{5^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}}{5^{4}}) - 2 {((- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Etapa 15.2.1.6.1.4.2.3

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = 5 (\frac{5^{\frac{2}{1}}}{5^{4}}) - 2 {((- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Etapa 15.2.1.6.1.4.2.4

Divida $2$ por $1$ .

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = 5 (\frac{5^{2}}{5^{4}}) - 2 {((- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Etapa 15.2.1.6.2

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = 5 (\frac{25}{5^{4}}) - 2 {((- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Etapa 15.2.1.7

Eleve $5$ à potência de $4$ .

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = 5 (\frac{25}{625}) - 2 {((- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Etapa 15.2.1.8

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.8.1

Fatore $5$ de $625$ .

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = 5 (\frac{25}{5 (125)}) - 2 {((- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Etapa 15.2.1.8.2

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = 5 (\frac{25}{5 \cdot 125}) - 2 {((- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Etapa 15.2.1.8.3

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = \frac{25}{125} - 2 {((- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Etapa 15.2.1.9

Cancele o fator comum de $25$ e $125$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.9.1

Fatore $25$ de $25$ .

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = \frac{25 (1)}{125} - 2 {((- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Etapa 15.2.1.9.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.9.2.1

Fatore $25$ de $125$ .

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = \frac{25 \cdot 1}{25 \cdot 5} - 2 {((- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Etapa 15.2.1.9.2.2

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = \frac{25 \cdot 1}{25 \cdot 5} - 2 {((- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Etapa 15.2.1.9.2.3

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - 2 {((- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Etapa 15.2.1.10

Para escrever $2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{5}{5}$ .

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - 2 {(- \frac{10 - \sqrt{5}}{5} + 2 \cdot \frac{5}{5})}^{2} + 8$

Etapa 15.2.1.11

Combine $2$ e $\frac{5}{5}$ .

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - 2 {(- \frac{10 - \sqrt{5}}{5} + \frac{2 \cdot 5}{5})}^{2} + 8$

Etapa 15.2.1.12

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - 2 {(\frac{- (10 - \sqrt{5}) + 2 \cdot 5}{5})}^{2} + 8$

Etapa 15.2.1.13

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.13.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - 2 {(\frac{- 1 \cdot 10 + \sqrt{5} + 2 \cdot 5}{5})}^{2} + 8$

Etapa 15.2.1.13.2

Multiplique $- 1$ por $10$ .

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - 2 {(\frac{- 10 + \sqrt{5} + 2 \cdot 5}{5})}^{2} + 8$

Etapa 15.2.1.13.3

Multiplique $- - \sqrt{5}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.13.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - 2 {(\frac{- 10 + 1 \sqrt{5} + 2 \cdot 5}{5})}^{2} + 8$

Etapa 15.2.1.13.3.2

Multiplique $\sqrt{5}$ por $1$ .

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - 2 {(\frac{- 10 + \sqrt{5} + 2 \cdot 5}{5})}^{2} + 8$

Etapa 15.2.1.13.4

Multiplique $2$ por $5$ .

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - 2 {(\frac{- 10 + \sqrt{5} + 10}{5})}^{2} + 8$

Etapa 15.2.1.13.5

Some $- 10$ e $10$ .

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - 2 {(\frac{0 + \sqrt{5}}{5})}^{2} + 8$

Etapa 15.2.1.13.6

Some $0$ e $\sqrt{5}$ .

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - 2 {(\frac{\sqrt{5}}{5})}^{2} + 8$

Etapa 15.2.1.14

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt{5}}{5}$ .

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - 2 \frac{{\sqrt{5}}^{2}}{5^{2}} + 8$

Etapa 15.2.1.15

Reescreva ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.15.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - 2 \frac{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}{5^{2}} + 8$

Etapa 15.2.1.15.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - 2 \frac{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{5^{2}} + 8$

Etapa 15.2.1.15.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - 2 \frac{5^{\frac{2}{2}}}{5^{2}} + 8$

Etapa 15.2.1.15.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.15.4.1

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - 2 \frac{5^{\frac{2}{2}}}{5^{2}} + 8$

Etapa 15.2.1.15.4.2

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - 2 \frac{5}{5^{2}} + 8$

Etapa 15.2.1.15.5

Avalie o expoente.

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - 2 \frac{5}{5^{2}} + 8$

Etapa 15.2.1.16

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - 2 (\frac{5}{25}) + 8$

Etapa 15.2.1.17

Cancele o fator comum de $5$ e $25$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.17.1

Fatore $5$ de $5$ .

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - 2 \frac{5 (1)}{25} + 8$

Etapa 15.2.1.17.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.17.2.1

Fatore $5$ de $25$ .

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - 2 \frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 5} + 8$

Etapa 15.2.1.17.2.2

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - 2 \frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 5} + 8$

Etapa 15.2.1.17.2.3

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - 2 (\frac{1}{5}) + 8$

Etapa 15.2.1.18

Combine $- 2$ e $\frac{1}{5}$ .

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} + \frac{- 2}{5} + 8$

Etapa 15.2.1.19

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - \frac{2}{5} + 8$

Etapa 15.2.2

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = 8 + \frac{1 - 2}{5}$

Etapa 15.2.2.2

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.2.2.1

Subtraia $2$ de $1$ .

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = 8 + \frac{- 1}{5}$

Etapa 15.2.2.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = 8 - \frac{1}{5}$

Etapa 15.2.3

Para escrever $8$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{5}{5}$ .

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = 8 \cdot \frac{5}{5} - \frac{1}{5}$

Etapa 15.2.4

Combine $8$ e $\frac{5}{5}$ .

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = \frac{8 \cdot 5}{5} - \frac{1}{5}$

Etapa 15.2.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = \frac{8 \cdot 5 - 1}{5}$

Etapa 15.2.6

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.6.1

Multiplique $8$ por $5$ .

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = \frac{40 - 1}{5}$

Etapa 15.2.6.2

Subtraia $1$ de $40$ .

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = \frac{39}{5}$

Etapa 15.2.7

A resposta final é $\frac{39}{5}$ .

$y = \frac{39}{5}$

Etapa 16

Avalie a segunda derivada em $x = - \frac{10 + \sqrt{5}}{5}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$60 {((- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} - 4$

Etapa 17

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.1.1

Para escrever $2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{5}{5}$ .

$60 {(- \frac{10 + \sqrt{5}}{5} + 2 \cdot \frac{5}{5})}^{2} - 4$

Etapa 17.1.2

Combine $2$ e $\frac{5}{5}$ .

$60 {(- \frac{10 + \sqrt{5}}{5} + \frac{2 \cdot 5}{5})}^{2} - 4$

Etapa 17.1.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$60 {(\frac{- (10 + \sqrt{5}) + 2 \cdot 5}{5})}^{2} - 4$

Etapa 17.1.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.1.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$60 {(\frac{- 1 \cdot 10 - \sqrt{5} + 2 \cdot 5}{5})}^{2} - 4$

Etapa 17.1.4.2

Multiplique $- 1$ por $10$ .

$60 {(\frac{- 10 - \sqrt{5} + 2 \cdot 5}{5})}^{2} - 4$

Etapa 17.1.4.3

Multiplique $2$ por $5$ .

$60 {(\frac{- 10 - \sqrt{5} + 10}{5})}^{2} - 4$

Etapa 17.1.4.4

Some $- 10$ e $10$ .

$60 {(\frac{0 - \sqrt{5}}{5})}^{2} - 4$

Etapa 17.1.4.5

Subtraia $\sqrt{5}$ de $0$ .

$60 {(\frac{- \sqrt{5}}{5})}^{2} - 4$

Etapa 17.1.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$60 {(- \frac{\sqrt{5}}{5})}^{2} - 4$

Etapa 17.1.6

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.1.6.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{\sqrt{5}}{5}$ .

$60 ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{5}}{5})}^{2}) - 4$

Etapa 17.1.6.2

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt{5}}{5}$ .

$60 ({(- 1)}^{2} \frac{{\sqrt{5}}^{2}}{5^{2}}) - 4$

Etapa 17.1.7

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$60 (1 \frac{{\sqrt{5}}^{2}}{5^{2}}) - 4$

Etapa 17.1.8

Multiplique $\frac{{\sqrt{5}}^{2}}{5^{2}}$ por $1$ .

$60 \frac{{\sqrt{5}}^{2}}{5^{2}} - 4$

Etapa 17.1.9

Reescreva ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.1.9.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$60 \frac{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}{5^{2}} - 4$

Etapa 17.1.9.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$60 \frac{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{5^{2}} - 4$

Etapa 17.1.9.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$60 \frac{5^{\frac{2}{2}}}{5^{2}} - 4$

Etapa 17.1.9.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.1.9.4.1

Cancele o fator comum.

$60 \frac{5^{\frac{2}{2}}}{5^{2}} - 4$

Etapa 17.1.9.4.2

Reescreva a expressão.

$60 \frac{5^{1}}{5^{2}} - 4$

Etapa 17.1.9.5

Avalie o expoente.

$60 \frac{5}{5^{2}} - 4$

Etapa 17.1.10

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$60 (\frac{5}{25}) - 4$

Etapa 17.1.11

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.1.11.1

Fatore $5$ de $60$ .

$5 (12) \frac{5}{25} - 4$

Etapa 17.1.11.2

Fatore $5$ de $25$ .

$5 \cdot 12 \frac{5}{5 \cdot 5} - 4$

Etapa 17.1.11.3

Cancele o fator comum.

$5 \cdot 12 \frac{5}{5 \cdot 5} - 4$

Etapa 17.1.11.4

Reescreva a expressão.

$12 (\frac{5}{5}) - 4$

Etapa 17.1.12

Combine $12$ e $\frac{5}{5}$ .

$\frac{12 \cdot 5}{5} - 4$

Etapa 17.1.13

Multiplique $12$ por $5$ .

$\frac{60}{5} - 4$

Etapa 17.1.14

Divida $60$ por $5$ .

$12 - 4$

Etapa 17.2

Subtraia $4$ de $12$ .

$8$

Etapa 18

$x = - \frac{10 + \sqrt{5}}{5}$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = - \frac{10 + \sqrt{5}}{5}$ é um mínimo local

Etapa 19

Encontre o valor y quando $x = - \frac{10 + \sqrt{5}}{5}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.1

Substitua a variável $x$ por $- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}$ na expressão.

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = 5 {((- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{4} - 2 {((- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Etapa 19.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.2.1.1

Para escrever $2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{5}{5}$ .

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = 5 {(- \frac{10 + \sqrt{5}}{5} + 2 \cdot \frac{5}{5})}^{4} - 2 {((- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Etapa 19.2.1.2

Combine $2$ e $\frac{5}{5}$ .

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = 5 {(- \frac{10 + \sqrt{5}}{5} + \frac{2 \cdot 5}{5})}^{4} - 2 {((- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Etapa 19.2.1.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = 5 {(\frac{- (10 + \sqrt{5}) + 2 \cdot 5}{5})}^{4} - 2 {((- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Etapa 19.2.1.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.2.1.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = 5 {(\frac{- 1 \cdot 10 - \sqrt{5} + 2 \cdot 5}{5})}^{4} - 2 {((- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Etapa 19.2.1.4.2

Multiplique $- 1$ por $10$ .

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = 5 {(\frac{- 10 - \sqrt{5} + 2 \cdot 5}{5})}^{4} - 2 {((- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Etapa 19.2.1.4.3

Multiplique $2$ por $5$ .

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = 5 {(\frac{- 10 - \sqrt{5} + 10}{5})}^{4} - 2 {((- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Etapa 19.2.1.4.4

Some $- 10$ e $10$ .

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = 5 {(\frac{0 - \sqrt{5}}{5})}^{4} - 2 {((- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Etapa 19.2.1.4.5

Subtraia $\sqrt{5}$ de $0$ .

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = 5 {(\frac{- \sqrt{5}}{5})}^{4} - 2 {((- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Etapa 19.2.1.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = 5 {(- \frac{\sqrt{5}}{5})}^{4} - 2 {((- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Etapa 19.2.1.6

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.2.1.6.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{\sqrt{5}}{5}$ .

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = 5 ({(- 1)}^{4} {(\frac{\sqrt{5}}{5})}^{4}) - 2 {((- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Etapa 19.2.1.6.2

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt{5}}{5}$ .

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = 5 ({(- 1)}^{4} (\frac{{\sqrt{5}}^{4}}{5^{4}})) - 2 {((- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Etapa 19.2.1.7

Eleve $- 1$ à potência de $4$ .

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = 5 (1 (\frac{{\sqrt{5}}^{4}}{5^{4}})) - 2 {((- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Etapa 19.2.1.8

Multiplique $\frac{{\sqrt{5}}^{4}}{5^{4}}$ por $1$ .

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = 5 (\frac{{\sqrt{5}}^{4}}{5^{4}}) - 2 {((- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Etapa 19.2.1.9

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.2.1.9.1

Reescreva ${\sqrt{5}}^{4}$ como $5^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.2.1.9.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = 5 (\frac{{(5^{\frac{1}{2}})}^{4}}{5^{4}}) - 2 {((- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Etapa 19.2.1.9.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = 5 (\frac{5^{\frac{1}{2} \cdot 4}}{5^{4}}) - 2 {((- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Etapa 19.2.1.9.1.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $4$ .

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = 5 (\frac{5^{\frac{4}{2}}}{5^{4}}) - 2 {((- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Etapa 19.2.1.9.1.4

Cancele o fator comum de $4$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.2.1.9.1.4.1

Fatore $2$ de $4$ .

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = 5 (\frac{5^{\frac{2 \cdot 2}{2}}}{5^{4}}) - 2 {((- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Etapa 19.2.1.9.1.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.2.1.9.1.4.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = 5 (\frac{5^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}}{5^{4}}) - 2 {((- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Etapa 19.2.1.9.1.4.2.2

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = 5 (\frac{5^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}}{5^{4}}) - 2 {((- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Etapa 19.2.1.9.1.4.2.3

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = 5 (\frac{5^{\frac{2}{1}}}{5^{4}}) - 2 {((- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Etapa 19.2.1.9.1.4.2.4

Divida $2$ por $1$ .

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = 5 (\frac{5^{2}}{5^{4}}) - 2 {((- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Etapa 19.2.1.9.2

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = 5 (\frac{25}{5^{4}}) - 2 {((- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Etapa 19.2.1.10

Eleve $5$ à potência de $4$ .

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = 5 (\frac{25}{625}) - 2 {((- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Etapa 19.2.1.11

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.2.1.11.1

Fatore $5$ de $625$ .

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = 5 (\frac{25}{5 (125)}) - 2 {((- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Etapa 19.2.1.11.2

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = 5 (\frac{25}{5 \cdot 125}) - 2 {((- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Etapa 19.2.1.11.3

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = \frac{25}{125} - 2 {((- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Etapa 19.2.1.12

Cancele o fator comum de $25$ e $125$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.2.1.12.1

Fatore $25$ de $25$ .

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = \frac{25 (1)}{125} - 2 {((- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Etapa 19.2.1.12.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.2.1.12.2.1

Fatore $25$ de $125$ .

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = \frac{25 \cdot 1}{25 \cdot 5} - 2 {((- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Etapa 19.2.1.12.2.2

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = \frac{25 \cdot 1}{25 \cdot 5} - 2 {((- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Etapa 19.2.1.12.2.3

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - 2 {((- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Etapa 19.2.1.13

Para escrever $2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{5}{5}$ .

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - 2 {(- \frac{10 + \sqrt{5}}{5} + 2 \cdot \frac{5}{5})}^{2} + 8$

Etapa 19.2.1.14

Combine $2$ e $\frac{5}{5}$ .

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - 2 {(- \frac{10 + \sqrt{5}}{5} + \frac{2 \cdot 5}{5})}^{2} + 8$

Etapa 19.2.1.15

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - 2 {(\frac{- (10 + \sqrt{5}) + 2 \cdot 5}{5})}^{2} + 8$

Etapa 19.2.1.16

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.2.1.16.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - 2 {(\frac{- 1 \cdot 10 - \sqrt{5} + 2 \cdot 5}{5})}^{2} + 8$

Etapa 19.2.1.16.2

Multiplique $- 1$ por $10$ .

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - 2 {(\frac{- 10 - \sqrt{5} + 2 \cdot 5}{5})}^{2} + 8$

Etapa 19.2.1.16.3

Multiplique $2$ por $5$ .

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - 2 {(\frac{- 10 - \sqrt{5} + 10}{5})}^{2} + 8$

Etapa 19.2.1.16.4

Some $- 10$ e $10$ .

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - 2 {(\frac{0 - \sqrt{5}}{5})}^{2} + 8$

Etapa 19.2.1.16.5

Subtraia $\sqrt{5}$ de $0$ .

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - 2 {(\frac{- \sqrt{5}}{5})}^{2} + 8$

Etapa 19.2.1.17

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - 2 {(- \frac{\sqrt{5}}{5})}^{2} + 8$

Etapa 19.2.1.18

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.2.1.18.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{\sqrt{5}}{5}$ .

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - 2 ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{5}}{5})}^{2}) + 8$

Etapa 19.2.1.18.2

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt{5}}{5}$ .

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - 2 ({(- 1)}^{2} (\frac{{\sqrt{5}}^{2}}{5^{2}})) + 8$

Etapa 19.2.1.19

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - 2 (1 (\frac{{\sqrt{5}}^{2}}{5^{2}})) + 8$

Etapa 19.2.1.20

Multiplique $\frac{{\sqrt{5}}^{2}}{5^{2}}$ por $1$ .

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - 2 \frac{{\sqrt{5}}^{2}}{5^{2}} + 8$

Etapa 19.2.1.21

Reescreva ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.2.1.21.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - 2 \frac{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}{5^{2}} + 8$

Etapa 19.2.1.21.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - 2 \frac{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{5^{2}} + 8$

Etapa 19.2.1.21.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - 2 \frac{5^{\frac{2}{2}}}{5^{2}} + 8$

Etapa 19.2.1.21.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.2.1.21.4.1

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - 2 \frac{5^{\frac{2}{2}}}{5^{2}} + 8$

Etapa 19.2.1.21.4.2

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - 2 \frac{5}{5^{2}} + 8$

Etapa 19.2.1.21.5

Avalie o expoente.

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - 2 \frac{5}{5^{2}} + 8$

Etapa 19.2.1.22

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - 2 (\frac{5}{25}) + 8$

Etapa 19.2.1.23

Cancele o fator comum de $5$ e $25$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.2.1.23.1

Fatore $5$ de $5$ .

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - 2 \frac{5 (1)}{25} + 8$

Etapa 19.2.1.23.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.2.1.23.2.1

Fatore $5$ de $25$ .

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - 2 \frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 5} + 8$

Etapa 19.2.1.23.2.2

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - 2 \frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 5} + 8$

Etapa 19.2.1.23.2.3

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - 2 (\frac{1}{5}) + 8$

Etapa 19.2.1.24

Combine $- 2$ e $\frac{1}{5}$ .

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} + \frac{- 2}{5} + 8$

Etapa 19.2.1.25

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - \frac{2}{5} + 8$

Etapa 19.2.2

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.2.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = 8 + \frac{1 - 2}{5}$

Etapa 19.2.2.2

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.2.2.2.1

Subtraia $2$ de $1$ .

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = 8 + \frac{- 1}{5}$

Etapa 19.2.2.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = 8 - \frac{1}{5}$

Etapa 19.2.3

Para escrever $8$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{5}{5}$ .

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = 8 \cdot \frac{5}{5} - \frac{1}{5}$

Etapa 19.2.4

Combine $8$ e $\frac{5}{5}$ .

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = \frac{8 \cdot 5}{5} - \frac{1}{5}$

Etapa 19.2.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = \frac{8 \cdot 5 - 1}{5}$

Etapa 19.2.6

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.2.6.1

Multiplique $8$ por $5$ .

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = \frac{40 - 1}{5}$

Etapa 19.2.6.2

Subtraia $1$ de $40$ .

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = \frac{39}{5}$

Etapa 19.2.7

A resposta final é $\frac{39}{5}$ .

$y = \frac{39}{5}$

Etapa 20

Esses são os extremos locais para $f (x) = 5 {(x + 2)}^{4} - 2 {(x + 2)}^{2} + 8$ .

$(- 2, 8)$ é um máximo local

$(- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}, \frac{39}{5})$ é um mínimo local

$(- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}, \frac{39}{5})$ é um mínimo local

Etapa 21