Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{5000 x}{x^{2} + 3}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Como $5000$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{5000 x}{x^{2} + 3}$ em relação a $x$ é $5000 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + 3}]$ .

$5000 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + 3}]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = x^{2} + 3$ .

$5000 \frac{(x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 1.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$5000 \frac{(x^{2} + 3) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 1.3.2

Multiplique $x^{2} + 3$ por $1$ .

$5000 \frac{x^{2} + 3 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 1.3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$5000 \frac{x^{2} + 3 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 1.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$5000 \frac{x^{2} + 3 - x (2 x + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 1.3.5

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$5000 \frac{x^{2} + 3 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 1.3.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.3.6.1

Some $2 x$ e $0$ .

$5000 \frac{x^{2} + 3 - x (2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 1.3.6.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$5000 \frac{x^{2} + 3 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 1.4

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$5000 \frac{x^{2} + 3 - 2 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 1.5

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$5000 \frac{x^{2} + 3 - 2 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 1.6

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$5000 \frac{x^{2} + 3 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 1.7

Some $1$ e $1$ .

$5000 \frac{x^{2} + 3 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 1.8

Subtraia $2 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$5000 \frac{- x^{2} + 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 1.9

Combine $5000$ e $\frac{- x^{2} + 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$ .

$\frac{5000 (- x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 1.10

Simplifique.

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Etapa 1.10.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{5000 (- x^{2}) + 5000 \cdot 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 1.10.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.10.2.1

Multiplique $- 1$ por $5000$ .

$\frac{- 5000 x^{2} + 5000 \cdot 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 1.10.2.2

Multiplique $5000$ por $3$ .

$\frac{- 5000 x^{2} + 15000}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 1.10.3

Fatore $5000$ de $- 5000 x^{2} + 15000$ .

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Etapa 1.10.3.1

Fatore $5000$ de $- 5000 x^{2}$ .

$\frac{5000 (- x^{2}) + 15000}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 1.10.3.2

Fatore $5000$ de $15000$ .

$\frac{5000 (- x^{2}) + 5000 (3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 1.10.3.3

Fatore $5000$ de $5000 (- x^{2}) + 5000 (3)$ .

$\frac{5000 (- x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 1.10.4

Fatore $- 1$ de $- x^{2}$ .

$\frac{5000 (- (x^{2}) + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 1.10.5

Reescreva $3$ como $- 1 (- 3)$ .

$\frac{5000 (- (x^{2}) - 1 (- 3))}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 1.10.6

Fatore $- 1$ de $- (x^{2}) - 1 (- 3)$ .

$\frac{5000 (- (x^{2} - 3))}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 1.10.7

Reescreva $- (x^{2} - 3)$ como $- 1 (x^{2} - 3)$ .

$\frac{5000 (- 1 (x^{2} - 3))}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 1.10.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{5000 (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 2.1

Como $- 5000$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{5000 (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$ em relação a $x$ é $- 5000 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = - 5000 \frac{d}{d x} \frac{x^{2} - 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 2.2

$f'' (x) = - 5000 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 3) - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 3)}^{2}}{{({(x^{2} + 3)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.3

Diferencie.

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Etapa 2.3.1

Multiplique os expoentes em ${({(x^{2} + 3)}^{2})}^{2}$ .

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Etapa 2.3.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 5000 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 3) - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 3)}^{2}}{{(x^{2} + 3)}^{2 \cdot 2}}$

Etapa 2.3.1.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$f'' (x) = - 5000 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 3) - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 3)}^{2}}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$f'' (x) = - 5000 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 3)) - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 3)}^{2}}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = - 5000 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} (2 x + \frac{d}{d x} (- 3)) - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 3)}^{2}}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.3.4

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = - 5000 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} (2 x + 0) - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 3)}^{2}}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.3.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.3.5.1

Some $2 x$ e $0$ .

$f'' (x) = - 5000 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} (2 x) - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 3)}^{2}}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.3.5.2

Mova $2$ para a esquerda de ${(x^{2} + 3)}^{2}$ .

$f'' (x) = - 5000 \frac{2 \cdot ({(x^{2} + 3)}^{2} x) - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 3)}^{2}}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x^{2} + 3$ .

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Etapa 2.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} + 3$ .

$f'' (x) = - 5000 \frac{2 {(x^{2} + 3)}^{2} x - (x^{2} - 3) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 3))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = - 5000 \frac{2 {(x^{2} + 3)}^{2} x - (x^{2} - 3) (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} + 3))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} + 3$ .

$f'' (x) = - 5000 \frac{2 {(x^{2} + 3)}^{2} x - (x^{2} - 3) (2 (x^{2} + 3) \frac{d}{d x} (x^{2} + 3))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.5

Diferencie.

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Etapa 2.5.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - 5000 \frac{2 {(x^{2} + 3)}^{2} x - 2 (x^{2} - 3) ((x^{2} + 3) \frac{d}{d x} (x^{2} + 3))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.5.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$f'' (x) = - 5000 \frac{2 {(x^{2} + 3)}^{2} x - 2 (x^{2} - 3) ((x^{2} + 3) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (3)))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.5.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = - 5000 \frac{2 {(x^{2} + 3)}^{2} x - 2 (x^{2} - 3) ((x^{2} + 3) (2 x + \frac{d}{d x} (3)))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.5.4

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = - 5000 \frac{2 {(x^{2} + 3)}^{2} x - 2 (x^{2} - 3) ((x^{2} + 3) (2 x + 0))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.5.5

Combine frações.

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Etapa 2.5.5.1

Some $2 x$ e $0$ .

$f'' (x) = - 5000 \frac{2 {(x^{2} + 3)}^{2} x - 2 (x^{2} - 3) ((x^{2} + 3) (2 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.5.5.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.5.5.2.1

Mova $2$ para a esquerda de $x^{2} + 3$ .

$f'' (x) = - 5000 \frac{2 {(x^{2} + 3)}^{2} x - 2 (x^{2} - 3) (2 \cdot ((x^{2} + 3) x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.5.5.2.2

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$f'' (x) = - 5000 \frac{2 {(x^{2} + 3)}^{2} x - 4 (x^{2} - 3) ((x^{2} + 3) x)}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.5.5.3

Combine $- 5000$ e $\frac{2 {(x^{2} + 3)}^{2} x - 4 (x^{2} - 3) ((x^{2} + 3) x)}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 5000 (2 {(x^{2} + 3)}^{2} x - 4 (x^{2} - 3) ((x^{2} + 3) x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.5.5.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = - \frac{5000 (2 {(x^{2} + 3)}^{2} x - 4 (x^{2} - 3) ((x^{2} + 3) x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.6

Simplifique.

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Etapa 2.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - \frac{5000 (2 {(x^{2} + 3)}^{2} x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot - 3) ((x^{2} + 3) x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - \frac{5000 (2 {(x^{2} + 3)}^{2} x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot - 3) (x^{2} x + 3 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.6.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - \frac{5000 (2 {(x^{2} + 3)}^{2} x) + 5000 ((- 4 x^{2} - 4 \cdot - 3) (x^{2} x + 3 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.6.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.6.4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.6.4.1.1

Reescreva ${(x^{2} + 3)}^{2}$ como $(x^{2} + 3) (x^{2} + 3)$ .

$f'' (x) = - \frac{5000 (2 ((x^{2} + 3) (x^{2} + 3)) x) + 5000 ((- 4 x^{2} - 4 \cdot - 3) (x^{2} x + 3 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.6.4.1.2

Expanda $(x^{2} + 3) (x^{2} + 3)$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.6.4.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - \frac{5000 (2 (x^{2} (x^{2} + 3) + 3 (x^{2} + 3)) x) + 5000 ((- 4 x^{2} - 4 \cdot - 3) (x^{2} x + 3 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.6.4.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - \frac{5000 (2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 3 + 3 (x^{2} + 3)) x) + 5000 ((- 4 x^{2} - 4 \cdot - 3) (x^{2} x + 3 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.6.4.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - \frac{5000 (2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 3 + 3 x^{2} + 3 \cdot 3) x) + 5000 ((- 4 x^{2} - 4 \cdot - 3) (x^{2} x + 3 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.6.4.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.4.1.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.4.1.3.1.1

Multiplique $x^{2}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.6.4.1.3.1.1.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = - \frac{5000 (2 (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 3 + 3 x^{2} + 3 \cdot 3) x) + 5000 ((- 4 x^{2} - 4 \cdot - 3) (x^{2} x + 3 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.6.4.1.3.1.1.2

Some $2$ e $2$ .

$f'' (x) = - \frac{5000 (2 (x^{4} + x^{2} \cdot 3 + 3 x^{2} + 3 \cdot 3) x) + 5000 ((- 4 x^{2} - 4 \cdot - 3) (x^{2} x + 3 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.6.4.1.3.1.2

Mova $3$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{5000 (2 (x^{4} + 3 \cdot x^{2} + 3 x^{2} + 3 \cdot 3) x) + 5000 ((- 4 x^{2} - 4 \cdot - 3) (x^{2} x + 3 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.6.4.1.3.1.3

Multiplique $3$ por $3$ .

$f'' (x) = - \frac{5000 (2 (x^{4} + 3 x^{2} + 3 x^{2} + 9) x) + 5000 ((- 4 x^{2} - 4 \cdot - 3) (x^{2} x + 3 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.6.4.1.3.2

Some $3 x^{2}$ e $3 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{5000 (2 (x^{4} + 6 x^{2} + 9) x) + 5000 ((- 4 x^{2} - 4 \cdot - 3) (x^{2} x + 3 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.6.4.1.4

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - \frac{5000 ((2 x^{4} + 2 (6 x^{2}) + 2 \cdot 9) x) + 5000 ((- 4 x^{2} - 4 \cdot - 3) (x^{2} x + 3 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.6.4.1.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.4.1.5.1

Multiplique $6$ por $2$ .

$f'' (x) = - \frac{5000 ((2 x^{4} + 12 x^{2} + 2 \cdot 9) x) + 5000 ((- 4 x^{2} - 4 \cdot - 3) (x^{2} x + 3 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.6.4.1.5.2

Multiplique $2$ por $9$ .

$f'' (x) = - \frac{5000 ((2 x^{4} + 12 x^{2} + 18) x) + 5000 ((- 4 x^{2} - 4 \cdot - 3) (x^{2} x + 3 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.6.4.1.6

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - \frac{5000 (2 x^{4} x + 12 x^{2} x + 18 x) + 5000 ((- 4 x^{2} - 4 \cdot - 3) (x^{2} x + 3 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.6.4.1.7

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.4.1.7.1

Multiplique $x^{4}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.4.1.7.1.1

Mova $x$ .

$f'' (x) = - \frac{5000 (2 (x \cdot x^{4}) + 12 x^{2} x + 18 x) + 5000 ((- 4 x^{2} - 4 \cdot - 3) (x^{2} x + 3 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.6.4.1.7.1.2

Multiplique $x$ por $x^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.4.1.7.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = - \frac{5000 (2 (x \cdot x^{4}) + 12 x^{2} x + 18 x) + 5000 ((- 4 x^{2} - 4 \cdot - 3) (x^{2} x + 3 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.6.4.1.7.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = - \frac{5000 (2 x^{1 + 4} + 12 x^{2} x + 18 x) + 5000 ((- 4 x^{2} - 4 \cdot - 3) (x^{2} x + 3 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.6.4.1.7.1.3

Some $1$ e $4$ .

$f'' (x) = - \frac{5000 (2 x^{5} + 12 x^{2} x + 18 x) + 5000 ((- 4 x^{2} - 4 \cdot - 3) (x^{2} x + 3 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.6.4.1.7.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.4.1.7.2.1

Mova $x$ .

$f'' (x) = - \frac{5000 (2 x^{5} + 12 (x \cdot x^{2}) + 18 x) + 5000 ((- 4 x^{2} - 4 \cdot - 3) (x^{2} x + 3 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.6.4.1.7.2.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.4.1.7.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = - \frac{5000 (2 x^{5} + 12 (x \cdot x^{2}) + 18 x) + 5000 ((- 4 x^{2} - 4 \cdot - 3) (x^{2} x + 3 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.6.4.1.7.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = - \frac{5000 (2 x^{5} + 12 x^{1 + 2} + 18 x) + 5000 ((- 4 x^{2} - 4 \cdot - 3) (x^{2} x + 3 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.6.4.1.7.2.3

Some $1$ e $2$ .

$f'' (x) = - \frac{5000 (2 x^{5} + 12 x^{3} + 18 x) + 5000 ((- 4 x^{2} - 4 \cdot - 3) (x^{2} x + 3 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.6.4.1.8

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - \frac{5000 (2 x^{5}) + 5000 (12 x^{3}) + 5000 (18 x) + 5000 ((- 4 x^{2} - 4 \cdot - 3) (x^{2} x + 3 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.6.4.1.9

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.4.1.9.1

Multiplique $2$ por $5000$ .

$f'' (x) = - \frac{10000 x^{5} + 5000 (12 x^{3}) + 5000 (18 x) + 5000 ((- 4 x^{2} - 4 \cdot - 3) (x^{2} x + 3 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.6.4.1.9.2

Multiplique $12$ por $5000$ .

$f'' (x) = - \frac{10000 x^{5} + 60000 x^{3} + 5000 (18 x) + 5000 ((- 4 x^{2} - 4 \cdot - 3) (x^{2} x + 3 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.6.4.1.9.3

Multiplique $18$ por $5000$ .

$f'' (x) = - \frac{10000 x^{5} + 60000 x^{3} + 90000 x + 5000 ((- 4 x^{2} - 4 \cdot - 3) (x^{2} x + 3 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.6.4.1.10

Multiplique $- 4$ por $- 3$ .

$f'' (x) = - \frac{10000 x^{5} + 60000 x^{3} + 90000 x + 5000 ((- 4 x^{2} + 12) (x^{2} x + 3 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.6.4.1.11

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.4.1.11.1

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.4.1.11.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = - \frac{10000 x^{5} + 60000 x^{3} + 90000 x + 5000 ((- 4 x^{2} + 12) (x^{2} x + 3 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.6.4.1.11.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = - \frac{10000 x^{5} + 60000 x^{3} + 90000 x + 5000 ((- 4 x^{2} + 12) (x^{2 + 1} + 3 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.6.4.1.11.2

Some $2$ e $1$ .

$f'' (x) = - \frac{10000 x^{5} + 60000 x^{3} + 90000 x + 5000 ((- 4 x^{2} + 12) (x^{3} + 3 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.6.4.1.12

Expanda $(- 4 x^{2} + 12) (x^{3} + 3 x)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.4.1.12.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - \frac{10000 x^{5} + 60000 x^{3} + 90000 x + 5000 (- 4 x^{2} (x^{3} + 3 x) + 12 (x^{3} + 3 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.6.4.1.12.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - \frac{10000 x^{5} + 60000 x^{3} + 90000 x + 5000 (- 4 x^{2} x^{3} - 4 x^{2} (3 x) + 12 (x^{3} + 3 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.6.4.1.12.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - \frac{10000 x^{5} + 60000 x^{3} + 90000 x + 5000 (- 4 x^{2} x^{3} - 4 x^{2} (3 x) + 12 x^{3} + 12 (3 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.6.4.1.13

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.4.1.13.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.4.1.13.1.1

Multiplique $x^{2}$ por $x^{3}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.4.1.13.1.1.1

Mova $x^{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{10000 x^{5} + 60000 x^{3} + 90000 x + 5000 (- 4 (x^{3} x^{2}) - 4 x^{2} (3 x) + 12 x^{3} + 12 (3 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.6.4.1.13.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = - \frac{10000 x^{5} + 60000 x^{3} + 90000 x + 5000 (- 4 x^{3 + 2} - 4 x^{2} (3 x) + 12 x^{3} + 12 (3 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.6.4.1.13.1.1.3

Some $3$ e $2$ .

$f'' (x) = - \frac{10000 x^{5} + 60000 x^{3} + 90000 x + 5000 (- 4 x^{5} - 4 x^{2} (3 x) + 12 x^{3} + 12 (3 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.6.4.1.13.1.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f'' (x) = - \frac{10000 x^{5} + 60000 x^{3} + 90000 x + 5000 (- 4 x^{5} - 4 \cdot (3 x^{2} x) + 12 x^{3} + 12 (3 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.6.4.1.13.1.3

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.4.1.13.1.3.1

Mova $x$ .

$f'' (x) = - \frac{10000 x^{5} + 60000 x^{3} + 90000 x + 5000 (- 4 x^{5} - 4 \cdot (3 (x \cdot x^{2})) + 12 x^{3} + 12 (3 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.6.4.1.13.1.3.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.4.1.13.1.3.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = - \frac{10000 x^{5} + 60000 x^{3} + 90000 x + 5000 (- 4 x^{5} - 4 \cdot (3 (x \cdot x^{2})) + 12 x^{3} + 12 (3 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.6.4.1.13.1.3.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = - \frac{10000 x^{5} + 60000 x^{3} + 90000 x + 5000 (- 4 x^{5} - 4 \cdot (3 x^{1 + 2}) + 12 x^{3} + 12 (3 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.6.4.1.13.1.3.3

Some $1$ e $2$ .

$f'' (x) = - \frac{10000 x^{5} + 60000 x^{3} + 90000 x + 5000 (- 4 x^{5} - 4 \cdot (3 x^{3}) + 12 x^{3} + 12 (3 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.6.4.1.13.1.4

Multiplique $- 4$ por $3$ .

$f'' (x) = - \frac{10000 x^{5} + 60000 x^{3} + 90000 x + 5000 (- 4 x^{5} - 12 x^{3} + 12 x^{3} + 12 (3 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.6.4.1.13.1.5

Multiplique $3$ por $12$ .

$f'' (x) = - \frac{10000 x^{5} + 60000 x^{3} + 90000 x + 5000 (- 4 x^{5} - 12 x^{3} + 12 x^{3} + 36 x)}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.6.4.1.13.2

Some $- 12 x^{3}$ e $12 x^{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{10000 x^{5} + 60000 x^{3} + 90000 x + 5000 (- 4 x^{5} + 0 + 36 x)}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.6.4.1.13.3

Some $- 4 x^{5}$ e $0$ .

$f'' (x) = - \frac{10000 x^{5} + 60000 x^{3} + 90000 x + 5000 (- 4 x^{5} + 36 x)}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.6.4.1.14

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - \frac{10000 x^{5} + 60000 x^{3} + 90000 x + 5000 (- 4 x^{5}) + 5000 (36 x)}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.6.4.1.15

Multiplique $- 4$ por $5000$ .

$f'' (x) = - \frac{10000 x^{5} + 60000 x^{3} + 90000 x - 20000 x^{5} + 5000 (36 x)}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.6.4.1.16

Multiplique $36$ por $5000$ .

$f'' (x) = - \frac{10000 x^{5} + 60000 x^{3} + 90000 x - 20000 x^{5} + 180000 x}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.6.4.2

Subtraia $20000 x^{5}$ de $10000 x^{5}$ .

$f'' (x) = - \frac{- 10000 x^{5} + 60000 x^{3} + 90000 x + 180000 x}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.6.4.3

Some $90000 x$ e $180000 x$ .

$f'' (x) = - \frac{- 10000 x^{5} + 60000 x^{3} + 270000 x}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.6.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.5.1

Fatore $10000 x$ de $- 10000 x^{5} + 60000 x^{3} + 270000 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.5.1.1

Fatore $10000 x$ de $- 10000 x^{5}$ .

$f'' (x) = - \frac{10000 x (- x^{4}) + 60000 x^{3} + 270000 x}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.6.5.1.2

Fatore $10000 x$ de $60000 x^{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{10000 x (- x^{4}) + 10000 x (6 x^{2}) + 270000 x}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.6.5.1.3

Fatore $10000 x$ de $270000 x$ .

$f'' (x) = - \frac{10000 x (- x^{4}) + 10000 x (6 x^{2}) + 10000 x (27)}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.6.5.1.4

Fatore $10000 x$ de $10000 x (- x^{4}) + 10000 x (6 x^{2})$ .

$f'' (x) = - \frac{10000 x (- x^{4} + 6 x^{2}) + 10000 x (27)}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.6.5.1.5

Fatore $10000 x$ de $10000 x (- x^{4} + 6 x^{2}) + 10000 x (27)$ .

$f'' (x) = - \frac{10000 x (- x^{4} + 6 x^{2} + 27)}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.6.5.2

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{10000 x (- {(x^{2})}^{2} + 6 x^{2} + 27)}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.6.5.3

Deixe $u = x^{2}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{10000 x (- u^{2} + 6 u + 27)}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.6.5.4

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.5.4.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = - 1 \cdot 27 = - 27$ e cuja soma é $b = 6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.5.4.1.1

Fatore $6$ de $6 u$ .

$f'' (x) = - \frac{10000 x (- u^{2} + 6 (u) + 27)}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.6.5.4.1.2

Reescreva $6$ como $- 3$ mais $9$

$f'' (x) = - \frac{10000 x (- u^{2} + (- 3 + 9) u + 27)}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.6.5.4.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - \frac{10000 x (- u^{2} - 3 u + 9 u + 27)}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.6.5.4.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.5.4.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$f'' (x) = - \frac{10000 x ((- u^{2} - 3 u) + 9 u + 27)}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.6.5.4.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$f'' (x) = - \frac{10000 x (u (- u - 3) - 9 (- u - 3))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.6.5.4.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $- u - 3$ .

$f'' (x) = - \frac{10000 x ((- u - 3) (u - 9))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.6.5.5

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{10000 x ((- x^{2} - 3) (x^{2} - 9))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.6.5.6

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{10000 x ((- x^{2} - 3) (x^{2} - 3^{2}))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.6.5.7

Fatore.

$f'' (x) = - \frac{10000 x (- x^{2} - 3) (x + 3) (x - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.6.6

Cancele o fator comum de $- x^{2} - 3$ e ${(x^{2} + 3)}^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.6.1

Fatore $- 1$ de $- x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{10000 x (- (x^{2}) - 3) (x + 3) (x - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.6.6.2

Reescreva $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$f'' (x) = - \frac{10000 x (- (x^{2}) - 1 \cdot 3) (x + 3) (x - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.6.6.3

Fatore $- 1$ de $- (x^{2}) - 1 (3)$ .

$f'' (x) = - \frac{10000 x (- (x^{2} + 3)) (x + 3) (x - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.6.6.4

Reescreva $- (x^{2} + 3)$ como $- 1 (x^{2} + 3)$ .

$f'' (x) = - \frac{10000 x (- 1 (x^{2} + 3)) (x + 3) (x - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.6.6.5

Fatore $x^{2} + 3$ de $10000 x (- 1 (x^{2} + 3)) (x + 3) (x - 3)$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 3) ((10000 x \cdot ((- 1) (x + 3))) (x - 3))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.6.6.6

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.6.6.1

Fatore $x^{2} + 3$ de ${(x^{2} + 3)}^{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 3) ((10000 x \cdot ((- 1) (x + 3))) (x - 3))}{(x^{2} + 3) {(x^{2} + 3)}^{3}}$

Etapa 2.6.6.6.2

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 3) ((10000 x \cdot ((- 1) (x + 3))) (x - 3))}{(x^{2} + 3) {(x^{2} + 3)}^{3}}$

Etapa 2.6.6.6.3

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = - \frac{(10000 x \cdot ((- 1) (x + 3))) (x - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Etapa 2.6.7

Multiplique $- 1$ por $10000$ .

$f'' (x) = - \frac{- 10000 x (x + 3) (x - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Etapa 2.6.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = \frac{(10000 x (x + 3)) (x - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Etapa 2.6.9

Multiplique $- - \frac{10000 x (x + 3) (x - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.9.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{10000 x (x + 3) (x - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{3}})$

Etapa 2.6.9.2

Multiplique $\frac{10000 x (x + 3) (x - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{10000 x (x + 3) (x - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$- \frac{5000 (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}} = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Como $5000$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{5000 x}{x^{2} + 3}$ em relação a $x$ é $5000 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + 3}]$ .

$5000 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + 3}]$

Etapa 4.1.2

$5000 \frac{(x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 4.1.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$5000 \frac{(x^{2} + 3) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 4.1.3.2

Multiplique $x^{2} + 3$ por $1$ .

$5000 \frac{x^{2} + 3 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 4.1.3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$5000 \frac{x^{2} + 3 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 4.1.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$5000 \frac{x^{2} + 3 - x (2 x + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 4.1.3.5

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$5000 \frac{x^{2} + 3 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 4.1.3.6

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.6.1

Some $2 x$ e $0$ .

$5000 \frac{x^{2} + 3 - x (2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 4.1.3.6.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$5000 \frac{x^{2} + 3 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 4.1.4

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$5000 \frac{x^{2} + 3 - 2 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 4.1.5

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$5000 \frac{x^{2} + 3 - 2 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 4.1.6

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$5000 \frac{x^{2} + 3 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 4.1.7

Some $1$ e $1$ .

$5000 \frac{x^{2} + 3 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 4.1.8

Subtraia $2 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$5000 \frac{- x^{2} + 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 4.1.9

Combine $5000$ e $\frac{- x^{2} + 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$ .

$\frac{5000 (- x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 4.1.10

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.10.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{5000 (- x^{2}) + 5000 \cdot 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 4.1.10.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.10.2.1

Multiplique $- 1$ por $5000$ .

$\frac{- 5000 x^{2} + 5000 \cdot 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 4.1.10.2.2

Multiplique $5000$ por $3$ .

$\frac{- 5000 x^{2} + 15000}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 4.1.10.3

Fatore $5000$ de $- 5000 x^{2} + 15000$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.10.3.1

Fatore $5000$ de $- 5000 x^{2}$ .

$\frac{5000 (- x^{2}) + 15000}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 4.1.10.3.2

Fatore $5000$ de $15000$ .

$\frac{5000 (- x^{2}) + 5000 (3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 4.1.10.3.3

Fatore $5000$ de $5000 (- x^{2}) + 5000 (3)$ .

$\frac{5000 (- x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 4.1.10.4

Fatore $- 1$ de $- x^{2}$ .

$\frac{5000 (- (x^{2}) + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 4.1.10.5

Reescreva $3$ como $- 1 (- 3)$ .

$\frac{5000 (- (x^{2}) - 1 (- 3))}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 4.1.10.6

Fatore $- 1$ de $- (x^{2}) - 1 (- 3)$ .

$\frac{5000 (- (x^{2} - 3))}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 4.1.10.7

Reescreva $- (x^{2} - 3)$ como $- 1 (x^{2} - 3)$ .

$\frac{5000 (- 1 (x^{2} - 3))}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 4.1.10.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = - \frac{5000 (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- \frac{5000 (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$ .

$- \frac{5000 (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- \frac{5000 (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- \frac{5000 (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}} = 0$

Etapa 5.2

Defina o numerador como igual a zero.

$5000 (x^{2} - 3) = 0$

Etapa 5.3

Resolva a equação para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Divida cada termo em $5000 (x^{2} - 3) = 0$ por $5000$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1.1

Divida cada termo em $5000 (x^{2} - 3) = 0$ por $5000$ .

$\frac{5000 (x^{2} - 3)}{5000} = \frac{0}{5000}$

Etapa 5.3.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1.2.1

Cancele o fator comum de $5000$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{5000 (x^{2} - 3)}{5000} = \frac{0}{5000}$

Etapa 5.3.1.2.1.2

Divida $x^{2} - 3$ por $1$ .

$x^{2} - 3 = \frac{0}{5000}$

Etapa 5.3.1.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1.3.1

Divida $0$ por $5000$ .

$x^{2} - 3 = 0$

Etapa 5.3.2

Some $3$ aos dois lados da equação.

$x^{2} = 3$

Etapa 5.3.3

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{3}$

Etapa 5.3.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \sqrt{3}$

Etapa 5.3.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \sqrt{3}$

Etapa 5.3.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = \sqrt{3}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$\frac{10000 (\sqrt{3}) ((\sqrt{3}) + 3) ((\sqrt{3}) - 3)}{{({(\sqrt{3})}^{2} + 3)}^{3}}$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(10000 \sqrt{3} \sqrt{3} + 10000 \sqrt{3} \cdot 3) (\sqrt{3} - 3)}{{({\sqrt{3}}^{2} + 3)}^{3}}$

Etapa 9.1.2

Multiplique $10000 \sqrt{3} \sqrt{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.2.1

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$\frac{(10000 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}) + 10000 \sqrt{3} \cdot 3) (\sqrt{3} - 3)}{{({\sqrt{3}}^{2} + 3)}^{3}}$

Etapa 9.1.2.2

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$\frac{(10000 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}) + 10000 \sqrt{3} \cdot 3) (\sqrt{3} - 3)}{{({\sqrt{3}}^{2} + 3)}^{3}}$

Etapa 9.1.2.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{(10000 {\sqrt{3}}^{1 + 1} + 10000 \sqrt{3} \cdot 3) (\sqrt{3} - 3)}{{({\sqrt{3}}^{2} + 3)}^{3}}$

Etapa 9.1.2.4

Some $1$ e $1$ .

$\frac{(10000 {\sqrt{3}}^{2} + 10000 \sqrt{3} \cdot 3) (\sqrt{3} - 3)}{{({\sqrt{3}}^{2} + 3)}^{3}}$

Etapa 9.1.3

Multiplique $3$ por $10000$ .

$\frac{(10000 {\sqrt{3}}^{2} + 30000 \sqrt{3}) (\sqrt{3} - 3)}{{({\sqrt{3}}^{2} + 3)}^{3}}$

Etapa 9.1.4

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{(10000 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 30000 \sqrt{3}) (\sqrt{3} - 3)}{{({\sqrt{3}}^{2} + 3)}^{3}}$

Etapa 9.1.4.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{(10000 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 30000 \sqrt{3}) (\sqrt{3} - 3)}{{({\sqrt{3}}^{2} + 3)}^{3}}$

Etapa 9.1.4.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{(10000 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 30000 \sqrt{3}) (\sqrt{3} - 3)}{{({\sqrt{3}}^{2} + 3)}^{3}}$

Etapa 9.1.4.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.4.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(10000 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 30000 \sqrt{3}) (\sqrt{3} - 3)}{{({\sqrt{3}}^{2} + 3)}^{3}}$

Etapa 9.1.4.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{(10000 \cdot 3^{1} + 30000 \sqrt{3}) (\sqrt{3} - 3)}{{({\sqrt{3}}^{2} + 3)}^{3}}$

Etapa 9.1.4.5

Avalie o expoente.

$\frac{(10000 \cdot 3 + 30000 \sqrt{3}) (\sqrt{3} - 3)}{{({\sqrt{3}}^{2} + 3)}^{3}}$

Etapa 9.1.5

Multiplique $10000$ por $3$ .

$\frac{(30000 + 30000 \sqrt{3}) (\sqrt{3} - 3)}{{({\sqrt{3}}^{2} + 3)}^{3}}$

Etapa 9.1.6

Expanda $(30000 + 30000 \sqrt{3}) (\sqrt{3} - 3)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{30000 (\sqrt{3} - 3) + 30000 \sqrt{3} (\sqrt{3} - 3)}{{({\sqrt{3}}^{2} + 3)}^{3}}$

Etapa 9.1.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{30000 \sqrt{3} + 30000 \cdot - 3 + 30000 \sqrt{3} (\sqrt{3} - 3)}{{({\sqrt{3}}^{2} + 3)}^{3}}$

Etapa 9.1.6.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{30000 \sqrt{3} + 30000 \cdot - 3 + 30000 \sqrt{3} \sqrt{3} + 30000 \sqrt{3} \cdot - 3}{{({\sqrt{3}}^{2} + 3)}^{3}}$

Etapa 9.1.7

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.7.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.7.1.1

Multiplique $30000$ por $- 3$ .

$\frac{30000 \sqrt{3} - 90000 + 30000 \sqrt{3} \sqrt{3} + 30000 \sqrt{3} \cdot - 3}{{({\sqrt{3}}^{2} + 3)}^{3}}$

Etapa 9.1.7.1.2

Multiplique $30000 \sqrt{3} \sqrt{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.7.1.2.1

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$\frac{30000 \sqrt{3} - 90000 + 30000 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}) + 30000 \sqrt{3} \cdot - 3}{{({\sqrt{3}}^{2} + 3)}^{3}}$

Etapa 9.1.7.1.2.2

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$\frac{30000 \sqrt{3} - 90000 + 30000 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}) + 30000 \sqrt{3} \cdot - 3}{{({\sqrt{3}}^{2} + 3)}^{3}}$

Etapa 9.1.7.1.2.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{30000 \sqrt{3} - 90000 + 30000 {\sqrt{3}}^{1 + 1} + 30000 \sqrt{3} \cdot - 3}{{({\sqrt{3}}^{2} + 3)}^{3}}$

Etapa 9.1.7.1.2.4

Some $1$ e $1$ .

$\frac{30000 \sqrt{3} - 90000 + 30000 {\sqrt{3}}^{2} + 30000 \sqrt{3} \cdot - 3}{{({\sqrt{3}}^{2} + 3)}^{3}}$

Etapa 9.1.7.1.3

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.7.1.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{30000 \sqrt{3} - 90000 + 30000 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 30000 \sqrt{3} \cdot - 3}{{({\sqrt{3}}^{2} + 3)}^{3}}$

Etapa 9.1.7.1.3.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{30000 \sqrt{3} - 90000 + 30000 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 30000 \sqrt{3} \cdot - 3}{{({\sqrt{3}}^{2} + 3)}^{3}}$

Etapa 9.1.7.1.3.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{30000 \sqrt{3} - 90000 + 30000 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 30000 \sqrt{3} \cdot - 3}{{({\sqrt{3}}^{2} + 3)}^{3}}$

Etapa 9.1.7.1.3.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.7.1.3.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{30000 \sqrt{3} - 90000 + 30000 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 30000 \sqrt{3} \cdot - 3}{{({\sqrt{3}}^{2} + 3)}^{3}}$

Etapa 9.1.7.1.3.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{30000 \sqrt{3} - 90000 + 30000 \cdot 3^{1} + 30000 \sqrt{3} \cdot - 3}{{({\sqrt{3}}^{2} + 3)}^{3}}$

Etapa 9.1.7.1.3.5

Avalie o expoente.

$\frac{30000 \sqrt{3} - 90000 + 30000 \cdot 3 + 30000 \sqrt{3} \cdot - 3}{{({\sqrt{3}}^{2} + 3)}^{3}}$

Etapa 9.1.7.1.4

Multiplique $30000$ por $3$ .

$\frac{30000 \sqrt{3} - 90000 + 90000 + 30000 \sqrt{3} \cdot - 3}{{({\sqrt{3}}^{2} + 3)}^{3}}$

Etapa 9.1.7.1.5

Multiplique $- 3$ por $30000$ .

$\frac{30000 \sqrt{3} - 90000 + 90000 - 90000 \sqrt{3}}{{({\sqrt{3}}^{2} + 3)}^{3}}$

Etapa 9.1.7.2

Subtraia $90000 \sqrt{3}$ de $30000 \sqrt{3}$ .

$\frac{- 90000 + 90000 - 60000 \sqrt{3}}{{({\sqrt{3}}^{2} + 3)}^{3}}$

Etapa 9.1.7.3

Some $- 90000$ e $90000$ .

$\frac{0 - 60000 \sqrt{3}}{{({\sqrt{3}}^{2} + 3)}^{3}}$

Etapa 9.1.7.4

Subtraia $60000 \sqrt{3}$ de $0$ .

$\frac{- 60000 \sqrt{3}}{{({\sqrt{3}}^{2} + 3)}^{3}}$

Etapa 9.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- 60000 \sqrt{3}}{{({(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 3)}^{3}}$

Etapa 9.2.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- 60000 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 3)}^{3}}$

Etapa 9.2.1.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{- 60000 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{2}{2}} + 3)}^{3}}$

Etapa 9.2.1.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 60000 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{2}{2}} + 3)}^{3}}$

Etapa 9.2.1.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{- 60000 \sqrt{3}}{{(3^{1} + 3)}^{3}}$

Etapa 9.2.1.5

Avalie o expoente.

$\frac{- 60000 \sqrt{3}}{{(3 + 3)}^{3}}$

Etapa 9.2.2

Some $3$ e $3$ .

$\frac{- 60000 \sqrt{3}}{6^{3}}$

Etapa 9.2.3

Eleve $6$ à potência de $3$ .

$\frac{- 60000 \sqrt{3}}{216}$

Etapa 9.3

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.1

Cancele o fator comum de $- 60000$ e $216$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.1.1

Fatore $24$ de $- 60000 \sqrt{3}$ .

$\frac{24 (- 2500 \sqrt{3})}{216}$

Etapa 9.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.1.2.1

Fatore $24$ de $216$ .

$\frac{24 (- 2500 \sqrt{3})}{24 (9)}$

Etapa 9.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{24 (- 2500 \sqrt{3})}{24 \cdot 9}$

Etapa 9.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- 2500 \sqrt{3}}{9}$

Etapa 9.3.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{2500 \sqrt{3}}{9}$

Etapa 10

$x = \sqrt{3}$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = \sqrt{3}$ é um máximo local

Etapa 11

Encontre o valor y quando $x = \sqrt{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Substitua a variável $x$ por $\sqrt{3}$ na expressão.

$f (\sqrt{3}) = \frac{5000 (\sqrt{3})}{{(\sqrt{3})}^{2} + 3}$

Etapa 11.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.1

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\sqrt{3}) = \frac{5000 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 3}$

Etapa 11.2.1.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt{3}) = \frac{5000 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 3}$

Etapa 11.2.1.1.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (\sqrt{3}) = \frac{5000 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}} + 3}$

Etapa 11.2.1.1.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.1.4.1

Cancele o fator comum.

$f (\sqrt{3}) = \frac{5000 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}} + 3}$

Etapa 11.2.1.1.4.2

Reescreva a expressão.

$f (\sqrt{3}) = \frac{5000 \sqrt{3}}{3 + 3}$

Etapa 11.2.1.1.5

Avalie o expoente.

$f (\sqrt{3}) = \frac{5000 \sqrt{3}}{3 + 3}$

Etapa 11.2.1.2

Some $3$ e $3$ .

$f (\sqrt{3}) = \frac{5000 \sqrt{3}}{6}$

Etapa 11.2.2

Cancele o fator comum de $5000$ e $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.2.1

Fatore $2$ de $5000 \sqrt{3}$ .

$f (\sqrt{3}) = \frac{2 (2500 \sqrt{3})}{6}$

Etapa 11.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.2.2.1

Fatore $2$ de $6$ .

$f (\sqrt{3}) = \frac{2 (2500 \sqrt{3})}{2 (3)}$

Etapa 11.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$f (\sqrt{3}) = \frac{2 (2500 \sqrt{3})}{2 \cdot 3}$

Etapa 11.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$f (\sqrt{3}) = \frac{2500 \sqrt{3}}{3}$

Etapa 11.2.3

A resposta final é $\frac{2500 \sqrt{3}}{3}$ .

$y = \frac{2500 \sqrt{3}}{3}$

Etapa 12

Avalie a segunda derivada em $x = - \sqrt{3}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$\frac{10000 (- \sqrt{3}) ((- \sqrt{3}) + 3) ((- \sqrt{3}) - 3)}{{({(- \sqrt{3})}^{2} + 3)}^{3}}$

Etapa 13

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1

Multiplique $- 1$ por $10000$ .

$\frac{- 10000 \sqrt{3} (- \sqrt{3} + 3) (- \sqrt{3} - 3)}{{({(- \sqrt{3})}^{2} + 3)}^{3}}$

Etapa 13.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.1

Aplique a regra do produto a $- \sqrt{3}$ .

$\frac{- 10000 \sqrt{3} (- \sqrt{3} + 3) (- \sqrt{3} - 3)}{{({(- 1)}^{2} {\sqrt{3}}^{2} + 3)}^{3}}$

Etapa 13.2.2

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$\frac{- 10000 \sqrt{3} (- \sqrt{3} + 3) (- \sqrt{3} - 3)}{{(1 {\sqrt{3}}^{2} + 3)}^{3}}$

Etapa 13.2.3

Multiplique ${\sqrt{3}}^{2}$ por $1$ .

$\frac{- 10000 \sqrt{3} (- \sqrt{3} + 3) (- \sqrt{3} - 3)}{{({\sqrt{3}}^{2} + 3)}^{3}}$

Etapa 13.2.4

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- 10000 \sqrt{3} (- \sqrt{3} + 3) (- \sqrt{3} - 3)}{{({(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 3)}^{3}}$

Etapa 13.2.4.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- 10000 \sqrt{3} (- \sqrt{3} + 3) (- \sqrt{3} - 3)}{{(3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 3)}^{3}}$

Etapa 13.2.4.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{- 10000 \sqrt{3} (- \sqrt{3} + 3) (- \sqrt{3} - 3)}{{(3^{\frac{2}{2}} + 3)}^{3}}$

Etapa 13.2.4.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.4.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 10000 \sqrt{3} (- \sqrt{3} + 3) (- \sqrt{3} - 3)}{{(3^{\frac{2}{2}} + 3)}^{3}}$

Etapa 13.2.4.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{- 10000 \sqrt{3} (- \sqrt{3} + 3) (- \sqrt{3} - 3)}{{(3^{1} + 3)}^{3}}$

Etapa 13.2.4.5

Avalie o expoente.

$\frac{- 10000 \sqrt{3} (- \sqrt{3} + 3) (- \sqrt{3} - 3)}{{(3 + 3)}^{3}}$

Etapa 13.2.5

Some $3$ e $3$ .

$\frac{- 10000 \sqrt{3} (- \sqrt{3} + 3) (- \sqrt{3} - 3)}{6^{3}}$

Etapa 13.2.6

Eleve $6$ à potência de $3$ .

$\frac{- 10000 \sqrt{3} (- \sqrt{3} + 3) (- \sqrt{3} - 3)}{216}$

Etapa 13.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(- 10000 \sqrt{3} (- \sqrt{3}) - 10000 \sqrt{3} \cdot 3) (- \sqrt{3} - 3)}{216}$

Etapa 13.3.2

Multiplique $- 10000 \sqrt{3} (- \sqrt{3})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.3.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 10000$ .

$\frac{(10000 \sqrt{3} \sqrt{3} - 10000 \sqrt{3} \cdot 3) (- \sqrt{3} - 3)}{216}$

Etapa 13.3.2.2

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$\frac{(10000 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}) - 10000 \sqrt{3} \cdot 3) (- \sqrt{3} - 3)}{216}$

Etapa 13.3.2.3

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$\frac{(10000 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}) - 10000 \sqrt{3} \cdot 3) (- \sqrt{3} - 3)}{216}$

Etapa 13.3.2.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{(10000 {\sqrt{3}}^{1 + 1} - 10000 \sqrt{3} \cdot 3) (- \sqrt{3} - 3)}{216}$

Etapa 13.3.2.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{(10000 {\sqrt{3}}^{2} - 10000 \sqrt{3} \cdot 3) (- \sqrt{3} - 3)}{216}$

Etapa 13.3.3

Multiplique $3$ por $- 10000$ .

$\frac{(10000 {\sqrt{3}}^{2} - 30000 \sqrt{3}) (- \sqrt{3} - 3)}{216}$

Etapa 13.3.4

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.3.4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{(10000 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} - 30000 \sqrt{3}) (- \sqrt{3} - 3)}{216}$

Etapa 13.3.4.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{(10000 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 30000 \sqrt{3}) (- \sqrt{3} - 3)}{216}$

Etapa 13.3.4.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{(10000 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - 30000 \sqrt{3}) (- \sqrt{3} - 3)}{216}$

Etapa 13.3.4.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.3.4.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(10000 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - 30000 \sqrt{3}) (- \sqrt{3} - 3)}{216}$

Etapa 13.3.4.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{(10000 \cdot 3^{1} - 30000 \sqrt{3}) (- \sqrt{3} - 3)}{216}$

Etapa 13.3.4.5

Avalie o expoente.

$\frac{(10000 \cdot 3 - 30000 \sqrt{3}) (- \sqrt{3} - 3)}{216}$

Etapa 13.3.5

Multiplique $10000$ por $3$ .

$\frac{(30000 - 30000 \sqrt{3}) (- \sqrt{3} - 3)}{216}$

Etapa 13.3.6

Expanda $(30000 - 30000 \sqrt{3}) (- \sqrt{3} - 3)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.3.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{30000 (- \sqrt{3} - 3) - 30000 \sqrt{3} (- \sqrt{3} - 3)}{216}$

Etapa 13.3.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{30000 (- \sqrt{3}) + 30000 \cdot - 3 - 30000 \sqrt{3} (- \sqrt{3} - 3)}{216}$

Etapa 13.3.6.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{30000 (- \sqrt{3}) + 30000 \cdot - 3 - 30000 \sqrt{3} (- \sqrt{3}) - 30000 \sqrt{3} \cdot - 3}{216}$

Etapa 13.3.7

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.3.7.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.3.7.1.1

Multiplique $- 1$ por $30000$ .

$\frac{- 30000 \sqrt{3} + 30000 \cdot - 3 - 30000 \sqrt{3} (- \sqrt{3}) - 30000 \sqrt{3} \cdot - 3}{216}$

Etapa 13.3.7.1.2

Multiplique $30000$ por $- 3$ .

$\frac{- 30000 \sqrt{3} - 90000 - 30000 \sqrt{3} (- \sqrt{3}) - 30000 \sqrt{3} \cdot - 3}{216}$

Etapa 13.3.7.1.3

Multiplique $- 30000 \sqrt{3} (- \sqrt{3})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.3.7.1.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 30000$ .

$\frac{- 30000 \sqrt{3} - 90000 + 30000 \sqrt{3} \sqrt{3} - 30000 \sqrt{3} \cdot - 3}{216}$

Etapa 13.3.7.1.3.2

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$\frac{- 30000 \sqrt{3} - 90000 + 30000 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}) - 30000 \sqrt{3} \cdot - 3}{216}$

Etapa 13.3.7.1.3.3

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$\frac{- 30000 \sqrt{3} - 90000 + 30000 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}) - 30000 \sqrt{3} \cdot - 3}{216}$

Etapa 13.3.7.1.3.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{- 30000 \sqrt{3} - 90000 + 30000 {\sqrt{3}}^{1 + 1} - 30000 \sqrt{3} \cdot - 3}{216}$

Etapa 13.3.7.1.3.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{- 30000 \sqrt{3} - 90000 + 30000 {\sqrt{3}}^{2} - 30000 \sqrt{3} \cdot - 3}{216}$

Etapa 13.3.7.1.4

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.3.7.1.4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- 30000 \sqrt{3} - 90000 + 30000 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} - 30000 \sqrt{3} \cdot - 3}{216}$

Etapa 13.3.7.1.4.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- 30000 \sqrt{3} - 90000 + 30000 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 30000 \sqrt{3} \cdot - 3}{216}$

Etapa 13.3.7.1.4.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{- 30000 \sqrt{3} - 90000 + 30000 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - 30000 \sqrt{3} \cdot - 3}{216}$

Etapa 13.3.7.1.4.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.3.7.1.4.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 30000 \sqrt{3} - 90000 + 30000 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - 30000 \sqrt{3} \cdot - 3}{216}$

Etapa 13.3.7.1.4.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{- 30000 \sqrt{3} - 90000 + 30000 \cdot 3^{1} - 30000 \sqrt{3} \cdot - 3}{216}$

Etapa 13.3.7.1.4.5

Avalie o expoente.

$\frac{- 30000 \sqrt{3} - 90000 + 30000 \cdot 3 - 30000 \sqrt{3} \cdot - 3}{216}$

Etapa 13.3.7.1.5

Multiplique $30000$ por $3$ .

$\frac{- 30000 \sqrt{3} - 90000 + 90000 - 30000 \sqrt{3} \cdot - 3}{216}$

Etapa 13.3.7.1.6

Multiplique $- 3$ por $- 30000$ .

$\frac{- 30000 \sqrt{3} - 90000 + 90000 + 90000 \sqrt{3}}{216}$

Etapa 13.3.7.2

Some $- 30000 \sqrt{3}$ e $90000 \sqrt{3}$ .

$\frac{- 90000 + 90000 + 60000 \sqrt{3}}{216}$

Etapa 13.3.7.3

Some $- 90000$ e $90000$ .

$\frac{0 + 60000 \sqrt{3}}{216}$

Etapa 13.3.7.4

Some $0$ e $60000 \sqrt{3}$ .

$\frac{60000 \sqrt{3}}{216}$

Etapa 13.4

Cancele o fator comum de $60000$ e $216$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.4.1

Fatore $24$ de $60000 \sqrt{3}$ .

$\frac{24 (2500 \sqrt{3})}{216}$

Etapa 13.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.4.2.1

Fatore $24$ de $216$ .

$\frac{24 (2500 \sqrt{3})}{24 (9)}$

Etapa 13.4.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{24 (2500 \sqrt{3})}{24 \cdot 9}$

Etapa 13.4.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{2500 \sqrt{3}}{9}$

Etapa 14

$x = - \sqrt{3}$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = - \sqrt{3}$ é um mínimo local

Etapa 15

Encontre o valor y quando $x = - \sqrt{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.1

Substitua a variável $x$ por $- \sqrt{3}$ na expressão.

$f (- \sqrt{3}) = \frac{5000 (- \sqrt{3})}{{(- \sqrt{3})}^{2} + 3}$

Etapa 15.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1

Multiplique $- 1$ por $5000$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{- 5000 \sqrt{3}}{{(- \sqrt{3})}^{2} + 3}$

Etapa 15.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.2.1

Aplique a regra do produto a $- \sqrt{3}$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{- 5000 \sqrt{3}}{{(- 1)}^{2} {\sqrt{3}}^{2} + 3}$

Etapa 15.2.2.2

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{- 5000 \sqrt{3}}{1 {\sqrt{3}}^{2} + 3}$

Etapa 15.2.2.3

Multiplique ${\sqrt{3}}^{2}$ por $1$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{- 5000 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2} + 3}$

Etapa 15.2.2.4

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.2.4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{- 5000 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 3}$

Etapa 15.2.2.4.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{- 5000 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 3}$

Etapa 15.2.2.4.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{- 5000 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}} + 3}$

Etapa 15.2.2.4.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.2.4.4.1

Cancele o fator comum.

$f (- \sqrt{3}) = \frac{- 5000 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}} + 3}$

Etapa 15.2.2.4.4.2

Reescreva a expressão.

$f (- \sqrt{3}) = \frac{- 5000 \sqrt{3}}{3 + 3}$

Etapa 15.2.2.4.5

Avalie o expoente.

$f (- \sqrt{3}) = \frac{- 5000 \sqrt{3}}{3 + 3}$

Etapa 15.2.2.5

Some $3$ e $3$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{- 5000 \sqrt{3}}{6}$

Etapa 15.2.3

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.3.1

Cancele o fator comum de $- 5000$ e $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.3.1.1

Fatore $2$ de $- 5000 \sqrt{3}$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{2 (- 2500 \sqrt{3})}{6}$

Etapa 15.2.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.3.1.2.1

Fatore $2$ de $6$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{2 (- 2500 \sqrt{3})}{2 (3)}$

Etapa 15.2.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$f (- \sqrt{3}) = \frac{2 (- 2500 \sqrt{3})}{2 \cdot 3}$

Etapa 15.2.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$f (- \sqrt{3}) = \frac{- 2500 \sqrt{3}}{3}$

Etapa 15.2.3.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (- \sqrt{3}) = - \frac{2500 \sqrt{3}}{3}$

Etapa 15.2.4

A resposta final é $- \frac{2500 \sqrt{3}}{3}$ .

$y = - \frac{2500 \sqrt{3}}{3}$

Etapa 16

Esses são os extremos locais para $f (x) = \frac{5000 x}{x^{2} + 3}$ .

$(\sqrt{3}, \frac{2500 \sqrt{3}}{3})$ é um máximo local

$(- \sqrt{3}, - \frac{2500 \sqrt{3}}{3})$ é um mínimo local

Etapa 17