Cálculo Exemplos

$f (x) = 6 \sin^{2} (x) + 6 \sin (x)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

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Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $6 \sin^{2} (x) + 6 \sin (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [6 \sin^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [6 \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [6 \sin^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [6 \sin (x)]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [6 \sin^{2} (x)]$ .

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Etapa 1.2.1

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 \sin^{2} (x)$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ .

$6 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [6 \sin (x)]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \sin (x)$ .

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Etapa 1.2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\sin (x)$ .

$6 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \frac{d}{d x} [6 \sin (x)]$

Etapa 1.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$6 (2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \frac{d}{d x} [6 \sin (x)]$

Etapa 1.2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\sin (x)$ .

$6 (2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \frac{d}{d x} [6 \sin (x)]$

Etapa 1.2.3

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$6 (2 \sin (x) \cos (x)) + \frac{d}{d x} [6 \sin (x)]$

Etapa 1.2.4

Multiplique $2$ por $6$ .

$12 \sin (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [6 \sin (x)]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [6 \sin (x)]$ .

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Etapa 1.3.1

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 \sin (x)$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$12 \sin (x) \cos (x) + 6 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 1.3.2

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$12 \sin (x) \cos (x) + 6 \cos (x)$

Etapa 1.4

Reordene os termos.

$12 \cos (x) \sin (x) + 6 \cos (x)$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $12 \cos (x) \sin (x) + 6 \cos (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [12 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [6 \cos (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (12 \cos (x) \sin (x)) + \frac{d}{d x} (6 \cos (x))$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [12 \cos (x) \sin (x)]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $12 \cos (x) \sin (x)$ em relação a $x$ é $12 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (x)]$ .

$f'' (x) = 12 \frac{d}{d x} (\cos (x) \sin (x)) + \frac{d}{d x} (6 \cos (x))$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = \sin (x)$ .

$f'' (x) = 12 (\cos (x) \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x))) + \frac{d}{d x} (6 \cos (x))$

Etapa 2.2.3

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$f'' (x) = 12 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x))) + \frac{d}{d x} (6 \cos (x))$

Etapa 2.2.4

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = 12 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} (6 \cos (x))$

Etapa 2.2.5

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = 12 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} (6 \cos (x))$

Etapa 2.2.6

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = 12 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} (6 \cos (x))$

Etapa 2.2.7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = 12 ({\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} (6 \cos (x))$

Etapa 2.2.8

Some $1$ e $1$ .

$f'' (x) = 12 (\cos^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} (6 \cos (x))$

Etapa 2.2.9

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = 12 (\cos^{2} (x) - (\sin (x) \sin (x))) + \frac{d}{d x} (6 \cos (x))$

Etapa 2.2.10

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = 12 (\cos^{2} (x) - (\sin (x) \sin (x))) + \frac{d}{d x} (6 \cos (x))$

Etapa 2.2.11

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = 12 (\cos^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1}) + \frac{d}{d x} (6 \cos (x))$

Etapa 2.2.12

Some $1$ e $1$ .

$f'' (x) = 12 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) + \frac{d}{d x} (6 \cos (x))$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [6 \cos (x)]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 \cos (x)$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$f'' (x) = 12 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) + 6 \frac{d}{d x} (\cos (x))$

Etapa 2.3.2

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = 12 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) + 6 (- \sin (x))$

Etapa 2.3.3

Multiplique $- 1$ por $6$ .

$f'' (x) = 12 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) - 6 \sin (x)$

Etapa 2.4

Simplifique.

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Etapa 2.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = 12 \cos^{2} (x) + 12 (- \sin^{2} (x)) - 6 \sin (x)$

Etapa 2.4.2

Multiplique $- 1$ por $12$ .

$f'' (x) = 12 \cos^{2} (x) - 12 \sin^{2} (x) - 6 \sin (x)$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$12 \cos (x) \sin (x) + 6 \cos (x) = 0$

Etapa 4

Fatore $6 \cos (x)$ de $12 \cos (x) \sin (x) + 6 \cos (x)$ .

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Etapa 4.1

Fatore $6 \cos (x)$ de $12 \cos (x) \sin (x)$ .

$6 \cos (x) (2 \sin (x)) + 6 \cos (x) = 0$

Etapa 4.2

Fatore $6 \cos (x)$ de $6 \cos (x)$ .

$6 \cos (x) (2 \sin (x)) + 6 \cos (x) \cdot 1 = 0$

Etapa 4.3

Fatore $6 \cos (x)$ de $6 \cos (x) (2 \sin (x)) + 6 \cos (x) \cdot 1$ .

$6 \cos (x) (2 \sin (x) + 1) = 0$

Etapa 5

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$\cos (x) = 0$

$2 \sin (x) + 1 = 0$

Etapa 6

Defina $\cos (x)$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 6.1

Defina $\cos (x)$ como igual a $0$ .

$\cos (x) = 0$

Etapa 6.2

Resolva $\cos (x) = 0$ para $x$ .

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Etapa 6.2.1

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do cosseno.

$x = \arccos (0)$

Etapa 6.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.2.2.1

O valor exato de $\arccos (0)$ é $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Etapa 6.2.3

A função do cosseno é positiva no primeiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Etapa 6.2.4

Simplifique $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Etapa 6.2.4.1

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 6.2.4.2

Combine frações.

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Etapa 6.2.4.2.1

Combine $2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 6.2.4.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Etapa 6.2.4.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.2.4.3.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Etapa 6.2.4.3.2

Subtraia $π$ de $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Etapa 6.2.5

A solução para a equação $x = \frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

Etapa 7

Defina $2 \sin (x) + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 7.1

Defina $2 \sin (x) + 1$ como igual a $0$ .

$2 \sin (x) + 1 = 0$

Etapa 7.2

Resolva $2 \sin (x) + 1 = 0$ para $x$ .

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Etapa 7.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$2 \sin (x) = - 1$

Etapa 7.2.2

Divida cada termo em $2 \sin (x) = - 1$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 7.2.2.1

Divida cada termo em $2 \sin (x) = - 1$ por $2$ .

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Etapa 7.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 7.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 7.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Etapa 7.2.2.2.1.2

Divida $\sin (x)$ por $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{2}$

Etapa 7.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 7.2.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\sin (x) = - \frac{1}{2}$

Etapa 7.2.3

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$x = \arcsin (- \frac{1}{2})$

Etapa 7.2.4

Simplifique o lado direito.

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Etapa 7.2.4.1

O valor exato de $\arcsin (- \frac{1}{2})$ é $- \frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{6}$

Etapa 7.2.5

A função do seno é negativa no terceiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia a solução de $2 π$ para determinar um ângulo de referência. Depois, some esse ângulo de referência com $π$ para encontrar a solução no terceiro quadrante.

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

Etapa 7.2.6

Simplifique a expressão para encontrar a segunda solução.

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Etapa 7.2.6.1

Subtraia $2 π$ de $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

Etapa 7.2.6.2

O ângulo resultante de $\frac{7 π}{6}$ é positivo, menor do que $2 π$ e coterminal com $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = \frac{7 π}{6}$

Etapa 7.2.7

A solução para a equação $x = - \frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{6}, \frac{7 π}{6}$

Etapa 8

A solução final são todos os valores que tornam $6 \cos (x) (2 \sin (x) + 1) = 0$ verdadeiro.

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}, - \frac{π}{6}, \frac{7 π}{6}$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada em $x = \frac{π}{2}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$12 \cos^{2} (\frac{π}{2}) - 12 \sin^{2} (\frac{π}{2}) - 6 \sin (\frac{π}{2})$

Etapa 10

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 10.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 10.1.1

O valor exato de $\cos (\frac{π}{2})$ é $0$ .

$12 \cdot 0^{2} - 12 \sin^{2} (\frac{π}{2}) - 6 \sin (\frac{π}{2})$

Etapa 10.1.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$12 \cdot 0 - 12 \sin^{2} (\frac{π}{2}) - 6 \sin (\frac{π}{2})$

Etapa 10.1.3

Multiplique $12$ por $0$ .

$0 - 12 \sin^{2} (\frac{π}{2}) - 6 \sin (\frac{π}{2})$

Etapa 10.1.4

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$0 - 12 \cdot 1^{2} - 6 \sin (\frac{π}{2})$

Etapa 10.1.5

Um elevado a qualquer potência é um.

$0 - 12 \cdot 1 - 6 \sin (\frac{π}{2})$

Etapa 10.1.6

Multiplique $- 12$ por $1$ .

$0 - 12 - 6 \sin (\frac{π}{2})$

Etapa 10.1.7

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$0 - 12 - 6 \cdot 1$

Etapa 10.1.8

Multiplique $- 6$ por $1$ .

$0 - 12 - 6$

Etapa 10.2

Simplifique subtraindo os números.

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Etapa 10.2.1

Subtraia $12$ de $0$ .

$- 12 - 6$

Etapa 10.2.2

Subtraia $6$ de $- 12$ .

$- 18$

Etapa 11

$x = \frac{π}{2}$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = \frac{π}{2}$ é um máximo local

Etapa 12

Encontre o valor y quando $x = \frac{π}{2}$ .

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Etapa 12.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{π}{2}$ na expressão.

$f (\frac{π}{2}) = 6 \sin^{2} (\frac{π}{2}) + 6 \sin (\frac{π}{2})$

Etapa 12.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 12.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 12.2.1.1

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 6 \cdot 1^{2} + 6 \sin (\frac{π}{2})$

Etapa 12.2.1.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$f (\frac{π}{2}) = 6 \cdot 1 + 6 \sin (\frac{π}{2})$

Etapa 12.2.1.3

Multiplique $6$ por $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 6 + 6 \sin (\frac{π}{2})$

Etapa 12.2.1.4

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 6 + 6 \cdot 1$

Etapa 12.2.1.5

Multiplique $6$ por $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 6 + 6$

Etapa 12.2.2

Some $6$ e $6$ .

$f (\frac{π}{2}) = 12$

Etapa 12.2.3

A resposta final é $12$ .

$y = 12$

Etapa 13

Avalie a segunda derivada em $x = \frac{3 π}{2}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$12 \cos^{2} (\frac{3 π}{2}) - 12 \sin^{2} (\frac{3 π}{2}) - 6 \sin (\frac{3 π}{2})$

Etapa 14

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 14.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 14.1.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$12 \cos^{2} (\frac{π}{2}) - 12 \sin^{2} (\frac{3 π}{2}) - 6 \sin (\frac{3 π}{2})$

Etapa 14.1.2

O valor exato de $\cos (\frac{π}{2})$ é $0$ .

$12 \cdot 0^{2} - 12 \sin^{2} (\frac{3 π}{2}) - 6 \sin (\frac{3 π}{2})$

Etapa 14.1.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$12 \cdot 0 - 12 \sin^{2} (\frac{3 π}{2}) - 6 \sin (\frac{3 π}{2})$

Etapa 14.1.4

Multiplique $12$ por $0$ .

$0 - 12 \sin^{2} (\frac{3 π}{2}) - 6 \sin (\frac{3 π}{2})$

Etapa 14.1.5

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o seno é negativo no quarto quadrante.

$0 - 12 {(- \sin (\frac{π}{2}))}^{2} - 6 \sin (\frac{3 π}{2})$

Etapa 14.1.6

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$0 - 12 {(- 1 \cdot 1)}^{2} - 6 \sin (\frac{3 π}{2})$

Etapa 14.1.7

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$0 - 12 {(- 1)}^{2} - 6 \sin (\frac{3 π}{2})$

Etapa 14.1.8

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$0 - 12 \cdot 1 - 6 \sin (\frac{3 π}{2})$

Etapa 14.1.9

Multiplique $- 12$ por $1$ .

$0 - 12 - 6 \sin (\frac{3 π}{2})$

Etapa 14.1.10

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o seno é negativo no quarto quadrante.

$0 - 12 - 6 (- \sin (\frac{π}{2}))$

Etapa 14.1.11

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$0 - 12 - 6 (- 1 \cdot 1)$

Etapa 14.1.12

Multiplique $- 6 (- 1 \cdot 1)$ .

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Etapa 14.1.12.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$0 - 12 - 6 \cdot - 1$

Etapa 14.1.12.2

Multiplique $- 6$ por $- 1$ .

$0 - 12 + 6$

Etapa 14.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 14.2.1

Subtraia $12$ de $0$ .

$- 12 + 6$

Etapa 14.2.2

Some $- 12$ e $6$ .

$- 6$

Etapa 15

$x = \frac{3 π}{2}$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = \frac{3 π}{2}$ é um máximo local

Etapa 16

Encontre o valor y quando $x = \frac{3 π}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{3 π}{2}$ na expressão.

$f (\frac{3 π}{2}) = 6 \sin^{2} (\frac{3 π}{2}) + 6 \sin (\frac{3 π}{2})$

Etapa 16.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 16.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 16.2.1.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o seno é negativo no quarto quadrante.

$f (\frac{3 π}{2}) = 6 {(- \sin (\frac{π}{2}))}^{2} + 6 \sin (\frac{3 π}{2})$

Etapa 16.2.1.2

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 6 {(- 1 \cdot 1)}^{2} + 6 \sin (\frac{3 π}{2})$

Etapa 16.2.1.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 6 {(- 1)}^{2} + 6 \sin (\frac{3 π}{2})$

Etapa 16.2.1.4

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 6 \cdot 1 + 6 \sin (\frac{3 π}{2})$

Etapa 16.2.1.5

Multiplique $6$ por $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 6 + 6 \sin (\frac{3 π}{2})$

Etapa 16.2.1.6

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o seno é negativo no quarto quadrante.

$f (\frac{3 π}{2}) = 6 + 6 (- \sin (\frac{π}{2}))$

Etapa 16.2.1.7

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 6 + 6 (- 1 \cdot 1)$

Etapa 16.2.1.8

Multiplique $6 (- 1 \cdot 1)$ .

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Etapa 16.2.1.8.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 6 + 6 \cdot - 1$

Etapa 16.2.1.8.2

Multiplique $6$ por $- 1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 6 - 6$

Etapa 16.2.2

Subtraia $6$ de $6$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 0$

Etapa 16.2.3

A resposta final é $0$ .

$y = 0$

Etapa 17

Avalie a segunda derivada em $x = - \frac{π}{6}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$12 \cos^{2} (- \frac{π}{6}) - 12 \sin^{2} (- \frac{π}{6}) - 6 \sin (- \frac{π}{6})$

Etapa 18

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 18.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 18.1.1

Some as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$12 \cos^{2} (\frac{11 π}{6}) - 12 \sin^{2} (- \frac{π}{6}) - 6 \sin (- \frac{π}{6})$

Etapa 18.1.2

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$12 \cos^{2} (\frac{π}{6}) - 12 \sin^{2} (- \frac{π}{6}) - 6 \sin (- \frac{π}{6})$

Etapa 18.1.3

O valor exato de $\cos (\frac{π}{6})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$12 {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} - 12 \sin^{2} (- \frac{π}{6}) - 6 \sin (- \frac{π}{6})$

Etapa 18.1.4

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$12 \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}} - 12 \sin^{2} (- \frac{π}{6}) - 6 \sin (- \frac{π}{6})$

Etapa 18.1.5

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.1.5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$12 \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} - 12 \sin^{2} (- \frac{π}{6}) - 6 \sin (- \frac{π}{6})$

Etapa 18.1.5.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$12 \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} - 12 \sin^{2} (- \frac{π}{6}) - 6 \sin (- \frac{π}{6})$

Etapa 18.1.5.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$12 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - 12 \sin^{2} (- \frac{π}{6}) - 6 \sin (- \frac{π}{6})$

Etapa 18.1.5.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.1.5.4.1

Cancele o fator comum.

$12 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - 12 \sin^{2} (- \frac{π}{6}) - 6 \sin (- \frac{π}{6})$

Etapa 18.1.5.4.2

Reescreva a expressão.

$12 \frac{3^{1}}{2^{2}} - 12 \sin^{2} (- \frac{π}{6}) - 6 \sin (- \frac{π}{6})$

Etapa 18.1.5.5

Avalie o expoente.

$12 \frac{3}{2^{2}} - 12 \sin^{2} (- \frac{π}{6}) - 6 \sin (- \frac{π}{6})$

Etapa 18.1.6

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$12 (\frac{3}{4}) - 12 \sin^{2} (- \frac{π}{6}) - 6 \sin (- \frac{π}{6})$

Etapa 18.1.7

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.1.7.1

Fatore $4$ de $12$ .

$4 (3) \frac{3}{4} - 12 \sin^{2} (- \frac{π}{6}) - 6 \sin (- \frac{π}{6})$

Etapa 18.1.7.2

Cancele o fator comum.

$4 \cdot 3 \frac{3}{4} - 12 \sin^{2} (- \frac{π}{6}) - 6 \sin (- \frac{π}{6})$

Etapa 18.1.7.3

Reescreva a expressão.

$3 \cdot 3 - 12 \sin^{2} (- \frac{π}{6}) - 6 \sin (- \frac{π}{6})$

Etapa 18.1.8

Multiplique $3$ por $3$ .

$9 - 12 \sin^{2} (- \frac{π}{6}) - 6 \sin (- \frac{π}{6})$

Etapa 18.1.9

Some as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$9 - 12 \sin^{2} (\frac{11 π}{6}) - 6 \sin (- \frac{π}{6})$

Etapa 18.1.10

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o seno é negativo no quarto quadrante.

$9 - 12 {(- \sin (\frac{π}{6}))}^{2} - 6 \sin (- \frac{π}{6})$

Etapa 18.1.11

O valor exato de $\sin (\frac{π}{6})$ é $\frac{1}{2}$ .

$9 - 12 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 6 \sin (- \frac{π}{6})$

Etapa 18.1.12

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.1.12.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{1}{2}$ .

$9 - 12 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}) - 6 \sin (- \frac{π}{6})$

Etapa 18.1.12.2

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{2}$ .

$9 - 12 ({(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{2^{2}}) - 6 \sin (- \frac{π}{6})$

Etapa 18.1.13

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$9 - 12 (1 \frac{1^{2}}{2^{2}}) - 6 \sin (- \frac{π}{6})$

Etapa 18.1.14

Multiplique $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ por $1$ .

$9 - 12 \frac{1^{2}}{2^{2}} - 6 \sin (- \frac{π}{6})$

Etapa 18.1.15

Um elevado a qualquer potência é um.

$9 - 12 \frac{1}{2^{2}} - 6 \sin (- \frac{π}{6})$

Etapa 18.1.16

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$9 - 12 (\frac{1}{4}) - 6 \sin (- \frac{π}{6})$

Etapa 18.1.17

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.1.17.1

Fatore $4$ de $- 12$ .

$9 + 4 (- 3) \frac{1}{4} - 6 \sin (- \frac{π}{6})$

Etapa 18.1.17.2

Cancele o fator comum.

$9 + 4 \cdot - 3 \frac{1}{4} - 6 \sin (- \frac{π}{6})$

Etapa 18.1.17.3

Reescreva a expressão.

$9 - 3 - 6 \sin (- \frac{π}{6})$

Etapa 18.1.18

Some as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$9 - 3 - 6 \sin (\frac{11 π}{6})$

Etapa 18.1.19

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o seno é negativo no quarto quadrante.

$9 - 3 - 6 (- \sin (\frac{π}{6}))$

Etapa 18.1.20

O valor exato de $\sin (\frac{π}{6})$ é $\frac{1}{2}$ .

$9 - 3 - 6 (- \frac{1}{2})$

Etapa 18.1.21

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.1.21.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{2}$ para o numerador.

$9 - 3 - 6 (\frac{- 1}{2})$

Etapa 18.1.21.2

Fatore $2$ de $- 6$ .

$9 - 3 + 2 (- 3) \frac{- 1}{2}$

Etapa 18.1.21.3

Cancele o fator comum.

$9 - 3 + 2 \cdot - 3 \frac{- 1}{2}$

Etapa 18.1.21.4

Reescreva a expressão.

$9 - 3 - 3 \cdot - 1$

Etapa 18.1.22

Multiplique $- 3$ por $- 1$ .

$9 - 3 + 3$

Etapa 18.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.2.1

Subtraia $3$ de $9$ .

$6 + 3$

Etapa 18.2.2

Some $6$ e $3$ .

$9$

Etapa 19

$x = - \frac{π}{6}$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = - \frac{π}{6}$ é um mínimo local

Etapa 20

Encontre o valor y quando $x = - \frac{π}{6}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 20.1

Substitua a variável $x$ por $- \frac{π}{6}$ na expressão.

$f (- \frac{π}{6}) = 6 \sin^{2} (- \frac{π}{6}) + 6 \sin (- \frac{π}{6})$

Etapa 20.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 20.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 20.2.1.1

Some as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$f (- \frac{π}{6}) = 6 \sin^{2} (\frac{11 π}{6}) + 6 \sin (- \frac{π}{6})$

Etapa 20.2.1.2

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o seno é negativo no quarto quadrante.

$f (- \frac{π}{6}) = 6 {(- \sin (\frac{π}{6}))}^{2} + 6 \sin (- \frac{π}{6})$

Etapa 20.2.1.3

O valor exato de $\sin (\frac{π}{6})$ é $\frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{π}{6}) = 6 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 6 \sin (- \frac{π}{6})$

Etapa 20.2.1.4

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 20.2.1.4.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{π}{6}) = 6 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}) + 6 \sin (- \frac{π}{6})$

Etapa 20.2.1.4.2

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{π}{6}) = 6 ({(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{2^{2}})) + 6 \sin (- \frac{π}{6})$

Etapa 20.2.1.5

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f (- \frac{π}{6}) = 6 (1 (\frac{1^{2}}{2^{2}})) + 6 \sin (- \frac{π}{6})$

Etapa 20.2.1.6

Multiplique $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ por $1$ .

$f (- \frac{π}{6}) = 6 (\frac{1^{2}}{2^{2}}) + 6 \sin (- \frac{π}{6})$

Etapa 20.2.1.7

Um elevado a qualquer potência é um.

$f (- \frac{π}{6}) = 6 (\frac{1}{2^{2}}) + 6 \sin (- \frac{π}{6})$

Etapa 20.2.1.8

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f (- \frac{π}{6}) = 6 (\frac{1}{4}) + 6 \sin (- \frac{π}{6})$

Etapa 20.2.1.9

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 20.2.1.9.1

Fatore $2$ de $6$ .

$f (- \frac{π}{6}) = 2 (3) (\frac{1}{4}) + 6 \sin (- \frac{π}{6})$

Etapa 20.2.1.9.2

Fatore $2$ de $4$ .

$f (- \frac{π}{6}) = 2 \cdot (3 (\frac{1}{2 \cdot 2})) + 6 \sin (- \frac{π}{6})$

Etapa 20.2.1.9.3

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{π}{6}) = 2 \cdot (3 (\frac{1}{2 \cdot 2})) + 6 \sin (- \frac{π}{6})$

Etapa 20.2.1.9.4

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{π}{6}) = 3 (\frac{1}{2}) + 6 \sin (- \frac{π}{6})$

Etapa 20.2.1.10

Combine $3$ e $\frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{π}{6}) = \frac{3}{2} + 6 \sin (- \frac{π}{6})$

Etapa 20.2.1.11

Some as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$f (- \frac{π}{6}) = \frac{3}{2} + 6 \sin (\frac{11 π}{6})$

Etapa 20.2.1.12

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o seno é negativo no quarto quadrante.

$f (- \frac{π}{6}) = \frac{3}{2} + 6 (- \sin (\frac{π}{6}))$

Etapa 20.2.1.13

O valor exato de $\sin (\frac{π}{6})$ é $\frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{π}{6}) = \frac{3}{2} + 6 (- \frac{1}{2})$

Etapa 20.2.1.14

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 20.2.1.14.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{2}$ para o numerador.

$f (- \frac{π}{6}) = \frac{3}{2} + 6 (\frac{- 1}{2})$

Etapa 20.2.1.14.2

Fatore $2$ de $6$ .

$f (- \frac{π}{6}) = \frac{3}{2} + 2 (3) (\frac{- 1}{2})$

Etapa 20.2.1.14.3

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{π}{6}) = \frac{3}{2} + 2 \cdot (3 (\frac{- 1}{2}))$

Etapa 20.2.1.14.4

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{π}{6}) = \frac{3}{2} + 3 \cdot - 1$

Etapa 20.2.1.15

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$f (- \frac{π}{6}) = \frac{3}{2} - 3$

Etapa 20.2.2

Para escrever $- 3$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{π}{6}) = \frac{3}{2} - 3 \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 20.2.3

Combine $- 3$ e $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{π}{6}) = \frac{3}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2}$

Etapa 20.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (- \frac{π}{6}) = \frac{3 - 3 \cdot 2}{2}$

Etapa 20.2.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 20.2.5.1

Multiplique $- 3$ por $2$ .

$f (- \frac{π}{6}) = \frac{3 - 6}{2}$

Etapa 20.2.5.2

Subtraia $6$ de $3$ .

$f (- \frac{π}{6}) = \frac{- 3}{2}$

Etapa 20.2.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (- \frac{π}{6}) = - \frac{3}{2}$

Etapa 20.2.7

A resposta final é $- \frac{3}{2}$ .

$y = - \frac{3}{2}$

Etapa 21

Avalie a segunda derivada em $x = \frac{7 π}{6}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$12 \cos^{2} (\frac{7 π}{6}) - 12 \sin^{2} (\frac{7 π}{6}) - 6 \sin (\frac{7 π}{6})$

Etapa 22

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 22.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 22.1.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no terceiro quadrante.

$12 {(- \cos (\frac{π}{6}))}^{2} - 12 \sin^{2} (\frac{7 π}{6}) - 6 \sin (\frac{7 π}{6})$

Etapa 22.1.2

O valor exato de $\cos (\frac{π}{6})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$12 {(- \frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} - 12 \sin^{2} (\frac{7 π}{6}) - 6 \sin (\frac{7 π}{6})$

Etapa 22.1.3

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 22.1.3.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$12 ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}) - 12 \sin^{2} (\frac{7 π}{6}) - 6 \sin (\frac{7 π}{6})$

Etapa 22.1.3.2

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$12 ({(- 1)}^{2} \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}) - 12 \sin^{2} (\frac{7 π}{6}) - 6 \sin (\frac{7 π}{6})$

Etapa 22.1.4

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$12 (1 \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}) - 12 \sin^{2} (\frac{7 π}{6}) - 6 \sin (\frac{7 π}{6})$

Etapa 22.1.5

Multiplique $\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}$ por $1$ .

$12 \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}} - 12 \sin^{2} (\frac{7 π}{6}) - 6 \sin (\frac{7 π}{6})$

Etapa 22.1.6

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 22.1.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$12 \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} - 12 \sin^{2} (\frac{7 π}{6}) - 6 \sin (\frac{7 π}{6})$

Etapa 22.1.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$12 \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} - 12 \sin^{2} (\frac{7 π}{6}) - 6 \sin (\frac{7 π}{6})$

Etapa 22.1.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$12 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - 12 \sin^{2} (\frac{7 π}{6}) - 6 \sin (\frac{7 π}{6})$

Etapa 22.1.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 22.1.6.4.1

Cancele o fator comum.

$12 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - 12 \sin^{2} (\frac{7 π}{6}) - 6 \sin (\frac{7 π}{6})$

Etapa 22.1.6.4.2

Reescreva a expressão.

$12 \frac{3^{1}}{2^{2}} - 12 \sin^{2} (\frac{7 π}{6}) - 6 \sin (\frac{7 π}{6})$

Etapa 22.1.6.5

Avalie o expoente.

$12 \frac{3}{2^{2}} - 12 \sin^{2} (\frac{7 π}{6}) - 6 \sin (\frac{7 π}{6})$

Etapa 22.1.7

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$12 (\frac{3}{4}) - 12 \sin^{2} (\frac{7 π}{6}) - 6 \sin (\frac{7 π}{6})$

Etapa 22.1.8

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 22.1.8.1

Fatore $4$ de $12$ .

$4 (3) \frac{3}{4} - 12 \sin^{2} (\frac{7 π}{6}) - 6 \sin (\frac{7 π}{6})$

Etapa 22.1.8.2

Cancele o fator comum.

$4 \cdot 3 \frac{3}{4} - 12 \sin^{2} (\frac{7 π}{6}) - 6 \sin (\frac{7 π}{6})$

Etapa 22.1.8.3

Reescreva a expressão.

$3 \cdot 3 - 12 \sin^{2} (\frac{7 π}{6}) - 6 \sin (\frac{7 π}{6})$

Etapa 22.1.9

Multiplique $3$ por $3$ .

$9 - 12 \sin^{2} (\frac{7 π}{6}) - 6 \sin (\frac{7 π}{6})$

Etapa 22.1.10

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o seno é negativo no terceiro quadrante.

$9 - 12 {(- \sin (\frac{π}{6}))}^{2} - 6 \sin (\frac{7 π}{6})$

Etapa 22.1.11

O valor exato de $\sin (\frac{π}{6})$ é $\frac{1}{2}$ .

$9 - 12 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 6 \sin (\frac{7 π}{6})$

Etapa 22.1.12

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 22.1.12.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{1}{2}$ .

$9 - 12 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}) - 6 \sin (\frac{7 π}{6})$

Etapa 22.1.12.2

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{2}$ .

$9 - 12 ({(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{2^{2}}) - 6 \sin (\frac{7 π}{6})$

Etapa 22.1.13

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$9 - 12 (1 \frac{1^{2}}{2^{2}}) - 6 \sin (\frac{7 π}{6})$

Etapa 22.1.14

Multiplique $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ por $1$ .

$9 - 12 \frac{1^{2}}{2^{2}} - 6 \sin (\frac{7 π}{6})$

Etapa 22.1.15

Um elevado a qualquer potência é um.

$9 - 12 \frac{1}{2^{2}} - 6 \sin (\frac{7 π}{6})$

Etapa 22.1.16

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$9 - 12 (\frac{1}{4}) - 6 \sin (\frac{7 π}{6})$

Etapa 22.1.17

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 22.1.17.1

Fatore $4$ de $- 12$ .

$9 + 4 (- 3) \frac{1}{4} - 6 \sin (\frac{7 π}{6})$

Etapa 22.1.17.2

Cancele o fator comum.

$9 + 4 \cdot - 3 \frac{1}{4} - 6 \sin (\frac{7 π}{6})$

Etapa 22.1.17.3

Reescreva a expressão.

$9 - 3 - 6 \sin (\frac{7 π}{6})$

Etapa 22.1.18

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o seno é negativo no terceiro quadrante.

$9 - 3 - 6 (- \sin (\frac{π}{6}))$

Etapa 22.1.19

O valor exato de $\sin (\frac{π}{6})$ é $\frac{1}{2}$ .

$9 - 3 - 6 (- \frac{1}{2})$

Etapa 22.1.20

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 22.1.20.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{2}$ para o numerador.

$9 - 3 - 6 (\frac{- 1}{2})$

Etapa 22.1.20.2

Fatore $2$ de $- 6$ .

$9 - 3 + 2 (- 3) \frac{- 1}{2}$

Etapa 22.1.20.3

Cancele o fator comum.

$9 - 3 + 2 \cdot - 3 \frac{- 1}{2}$

Etapa 22.1.20.4

Reescreva a expressão.

$9 - 3 - 3 \cdot - 1$

Etapa 22.1.21

Multiplique $- 3$ por $- 1$ .

$9 - 3 + 3$

Etapa 22.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 22.2.1

Subtraia $3$ de $9$ .

$6 + 3$

Etapa 22.2.2

Some $6$ e $3$ .

$9$

Etapa 23

$x = \frac{7 π}{6}$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = \frac{7 π}{6}$ é um mínimo local

Etapa 24

Encontre o valor y quando $x = \frac{7 π}{6}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 24.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{7 π}{6}$ na expressão.

$f (\frac{7 π}{6}) = 6 \sin^{2} (\frac{7 π}{6}) + 6 \sin (\frac{7 π}{6})$

Etapa 24.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 24.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 24.2.1.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o seno é negativo no terceiro quadrante.

$f (\frac{7 π}{6}) = 6 {(- \sin (\frac{π}{6}))}^{2} + 6 \sin (\frac{7 π}{6})$

Etapa 24.2.1.2

O valor exato de $\sin (\frac{π}{6})$ é $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = 6 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 6 \sin (\frac{7 π}{6})$

Etapa 24.2.1.3

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 24.2.1.3.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{1}{2}$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = 6 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}) + 6 \sin (\frac{7 π}{6})$

Etapa 24.2.1.3.2

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = 6 ({(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{2^{2}})) + 6 \sin (\frac{7 π}{6})$

Etapa 24.2.1.4

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = 6 (1 (\frac{1^{2}}{2^{2}})) + 6 \sin (\frac{7 π}{6})$

Etapa 24.2.1.5

Multiplique $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ por $1$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = 6 (\frac{1^{2}}{2^{2}}) + 6 \sin (\frac{7 π}{6})$

Etapa 24.2.1.6

Um elevado a qualquer potência é um.

$f (\frac{7 π}{6}) = 6 (\frac{1}{2^{2}}) + 6 \sin (\frac{7 π}{6})$

Etapa 24.2.1.7

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = 6 (\frac{1}{4}) + 6 \sin (\frac{7 π}{6})$

Etapa 24.2.1.8

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 24.2.1.8.1

Fatore $2$ de $6$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = 2 (3) (\frac{1}{4}) + 6 \sin (\frac{7 π}{6})$

Etapa 24.2.1.8.2

Fatore $2$ de $4$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = 2 \cdot (3 (\frac{1}{2 \cdot 2})) + 6 \sin (\frac{7 π}{6})$

Etapa 24.2.1.8.3

Cancele o fator comum.

$f (\frac{7 π}{6}) = 2 \cdot (3 (\frac{1}{2 \cdot 2})) + 6 \sin (\frac{7 π}{6})$

Etapa 24.2.1.8.4

Reescreva a expressão.

$f (\frac{7 π}{6}) = 3 (\frac{1}{2}) + 6 \sin (\frac{7 π}{6})$

Etapa 24.2.1.9

Combine $3$ e $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{3}{2} + 6 \sin (\frac{7 π}{6})$

Etapa 24.2.1.10

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o seno é negativo no terceiro quadrante.

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{3}{2} + 6 (- \sin (\frac{π}{6}))$

Etapa 24.2.1.11

O valor exato de $\sin (\frac{π}{6})$ é $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{3}{2} + 6 (- \frac{1}{2})$

Etapa 24.2.1.12

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 24.2.1.12.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{2}$ para o numerador.

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{3}{2} + 6 (\frac{- 1}{2})$

Etapa 24.2.1.12.2

Fatore $2$ de $6$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{3}{2} + 2 (3) (\frac{- 1}{2})$

Etapa 24.2.1.12.3

Cancele o fator comum.

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{3}{2} + 2 \cdot (3 (\frac{- 1}{2}))$

Etapa 24.2.1.12.4

Reescreva a expressão.

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{3}{2} + 3 \cdot - 1$

Etapa 24.2.1.13

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{3}{2} - 3$

Etapa 24.2.2

Para escrever $- 3$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{3}{2} - 3 \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 24.2.3

Combine $- 3$ e $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{3}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2}$

Etapa 24.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{3 - 3 \cdot 2}{2}$

Etapa 24.2.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 24.2.5.1

Multiplique $- 3$ por $2$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{3 - 6}{2}$

Etapa 24.2.5.2

Subtraia $6$ de $3$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{- 3}{2}$

Etapa 24.2.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (\frac{7 π}{6}) = - \frac{3}{2}$

Etapa 24.2.7

A resposta final é $- \frac{3}{2}$ .

$y = - \frac{3}{2}$

Etapa 25

Esses são os extremos locais para $f (x) = 6 \sin^{2} (x) + 6 \sin (x)$ .

$(\frac{π}{2}, 12)$ é um máximo local

$(\frac{3 π}{2}, 0)$ é um máximo local

$(- \frac{π}{6}, - \frac{3}{2})$ é um mínimo local

$(\frac{7 π}{6}, - \frac{3}{2})$ é um mínimo local

Etapa 26