Cálculo Exemplos

$f (x) = 6 x^{\frac{4}{3}} - 3 x^{\frac{1}{3}}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $6 x^{\frac{4}{3}} - 3 x^{\frac{1}{3}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [6 x^{\frac{4}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{1}{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{\frac{4}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{1}{3}}]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [6 x^{\frac{4}{3}}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 x^{\frac{4}{3}}$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{1}{3}}]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{4}{3}$ .

$6 (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{1}{3}}]$

Etapa 1.2.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$6 (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{1}{3}}]$

Etapa 1.2.4

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$6 (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{1}{3}}]$

Etapa 1.2.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$6 (\frac{4}{3} x^{\frac{4 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{1}{3}}]$

Etapa 1.2.6

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$6 (\frac{4}{3} x^{\frac{4 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{1}{3}}]$

Etapa 1.2.6.2

Subtraia $3$ de $4$ .

$6 (\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{1}{3}}]$

Etapa 1.2.7

Combine $\frac{4}{3}$ e $x^{\frac{1}{3}}$ .

$6 \frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{1}{3}}]$

Etapa 1.2.8

Combine $6$ e $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}$ .

$\frac{6 (4 x^{\frac{1}{3}})}{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{1}{3}}]$

Etapa 1.2.9

Multiplique $4$ por $6$ .

$\frac{24 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{1}{3}}]$

Etapa 1.2.10

Fatore $3$ de $24 x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{3 (8 x^{\frac{1}{3}})}{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{1}{3}}]$

Etapa 1.2.11

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.11.1

Fatore $3$ de $3$ .

$\frac{3 (8 x^{\frac{1}{3}})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{1}{3}}]$

Etapa 1.2.11.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3 (8 x^{\frac{1}{3}})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{1}{3}}]$

Etapa 1.2.11.3

Reescreva a expressão.

$\frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{1} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{1}{3}}]$

Etapa 1.2.11.4

Divida $8 x^{\frac{1}{3}}$ por $1$ .

$8 x^{\frac{1}{3}} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{1}{3}}]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{1}{3}}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x^{\frac{1}{3}}$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

$8 x^{\frac{1}{3}} - 3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{3}$ .

$8 x^{\frac{1}{3}} - 3 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

Etapa 1.3.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$8 x^{\frac{1}{3}} - 3 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Etapa 1.3.4

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$8 x^{\frac{1}{3}} - 3 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Etapa 1.3.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$8 x^{\frac{1}{3}} - 3 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Etapa 1.3.6

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.6.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$8 x^{\frac{1}{3}} - 3 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

Etapa 1.3.6.2

Subtraia $3$ de $1$ .

$8 x^{\frac{1}{3}} - 3 (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

Etapa 1.3.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$8 x^{\frac{1}{3}} - 3 (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

Etapa 1.3.8

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$8 x^{\frac{1}{3}} - 3 \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Etapa 1.3.9

Combine $- 3$ e $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ .

$8 x^{\frac{1}{3}} + \frac{- 3 x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Etapa 1.3.10

Mova $x^{- \frac{2}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$8 x^{\frac{1}{3}} + \frac{- 3}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 1.3.11

Fatore $3$ de $- 3$ .

$8 x^{\frac{1}{3}} + \frac{3 \cdot - 1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 1.3.12

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.12.1

Fatore $3$ de $3 x^{\frac{2}{3}}$ .

$8 x^{\frac{1}{3}} + \frac{3 \cdot - 1}{3 (x^{\frac{2}{3}})}$

Etapa 1.3.12.2

Cancele o fator comum.

$8 x^{\frac{1}{3}} + \frac{3 \cdot - 1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 1.3.12.3

Reescreva a expressão.

$8 x^{\frac{1}{3}} + \frac{- 1}{x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 1.3.13

Mova o número negativo para a frente da fração.

$8 x^{\frac{1}{3}} - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $8 x^{\frac{1}{3}} - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [8 x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (8 x^{\frac{1}{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}})$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [8 x^{\frac{1}{3}}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8 x^{\frac{1}{3}}$ em relação a $x$ é $8 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

$f'' (x) = 8 \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}})$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{3}$ .

$f'' (x) = 8 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}})$

Etapa 2.2.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = 8 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}})$

Etapa 2.2.4

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = 8 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}})$

Etapa 2.2.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = 8 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}})$

Etapa 2.2.6

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.6.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$f'' (x) = 8 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}})$

Etapa 2.2.6.2

Subtraia $3$ de $1$ .

$f'' (x) = 8 (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}})$

Etapa 2.2.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = 8 (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}})$

Etapa 2.2.8

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = 8 (\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}})$

Etapa 2.2.9

Combine $8$ e $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{- \frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}})$

Etapa 2.2.10

Mova $x^{- \frac{2}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{8}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}})$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}]$ .

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Etapa 2.3.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = - 1$ e $g (x) = \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{8}{3 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{d}{d x} \cdot \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 2.3.2

Reescreva $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ como ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = \frac{8}{3 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{d}{d x} {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1} + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 2.3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{\frac{2}{3}}$ .

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Etapa 2.3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{8}{3 x^{\frac{2}{3}}} - (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{\frac{2}{3}})) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 2.3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$f'' (x) = \frac{8}{3 x^{\frac{2}{3}}} - (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{2}{3}}) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 2.3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{8}{3 x^{\frac{2}{3}}} - (- {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{2}{3}}) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 2.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{2}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{8}{3 x^{\frac{2}{3}}} - (- {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 2.3.5

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = \frac{8}{3 x^{\frac{2}{3}}} - (- {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Etapa 2.3.6

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2}$ .

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Etapa 2.3.6.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{8}{3 x^{\frac{2}{3}}} - (- x^{\frac{2}{3} \cdot - 2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Etapa 2.3.6.2

Multiplique $\frac{2}{3} \cdot - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.6.2.1

Combine $\frac{2}{3}$ e $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{8}{3 x^{\frac{2}{3}}} - (- x^{\frac{2 \cdot - 2}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Etapa 2.3.6.2.2

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{8}{3 x^{\frac{2}{3}}} - (- x^{\frac{- 4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Etapa 2.3.6.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = \frac{8}{3 x^{\frac{2}{3}}} - (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Etapa 2.3.7

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{8}{3 x^{\frac{2}{3}}} - (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Etapa 2.3.8

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{8}{3 x^{\frac{2}{3}}} - (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Etapa 2.3.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = \frac{8}{3 x^{\frac{2}{3}}} - (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}})) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Etapa 2.3.10

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.10.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$f'' (x) = \frac{8}{3 x^{\frac{2}{3}}} - (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}})) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Etapa 2.3.10.2

Subtraia $3$ de $2$ .

$f'' (x) = \frac{8}{3 x^{\frac{2}{3}}} - (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}})) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Etapa 2.3.11

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = \frac{8}{3 x^{\frac{2}{3}}} - (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}})) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Etapa 2.3.12

Combine $\frac{2}{3}$ e $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{8}{3 x^{\frac{2}{3}}} - (- x^{- \frac{4}{3}} \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Etapa 2.3.13

Combine $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ e $x^{- \frac{4}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{8}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{2 x^{- \frac{1}{3}} x^{- \frac{4}{3}}}{3} + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Etapa 2.3.14

Multiplique $x^{- \frac{1}{3}}$ por $x^{- \frac{4}{3}}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.14.1

Mova $x^{- \frac{4}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{8}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{2 (x^{- \frac{4}{3}} x^{- \frac{1}{3}})}{3} + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Etapa 2.3.14.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{8}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{2 x^{- \frac{4}{3} - \frac{1}{3}}}{3} + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Etapa 2.3.14.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = \frac{8}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{2 x^{\frac{- 4 - 1}{3}}}{3} + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Etapa 2.3.14.4

Subtraia $1$ de $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{8}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{2 x^{\frac{- 5}{3}}}{3} + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Etapa 2.3.14.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = \frac{8}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{2 x^{- \frac{5}{3}}}{3} + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Etapa 2.3.15

Mova $x^{- \frac{5}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{8}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}} + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Etapa 2.3.16

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{8}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 1 (\frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Etapa 2.3.17

Multiplique $\frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{8}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}} + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Etapa 2.3.18

Multiplique $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ por $0$ .

$f'' (x) = \frac{8}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}} + 0$

Etapa 2.3.19

Some $\frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{8}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$8 x^{\frac{1}{3}} - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $6 x^{\frac{4}{3}} - 3 x^{\frac{1}{3}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [6 x^{\frac{4}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{1}{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{\frac{4}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{1}{3}}]$

Etapa 4.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [6 x^{\frac{4}{3}}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 x^{\frac{4}{3}}$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{1}{3}}]$

Etapa 4.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{4}{3}$ .

$6 (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{1}{3}}]$

Etapa 4.1.2.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$6 (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{1}{3}}]$

Etapa 4.1.2.4

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$6 (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{1}{3}}]$

Etapa 4.1.2.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$6 (\frac{4}{3} x^{\frac{4 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{1}{3}}]$

Etapa 4.1.2.6

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.6.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$6 (\frac{4}{3} x^{\frac{4 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{1}{3}}]$

Etapa 4.1.2.6.2

Subtraia $3$ de $4$ .

$6 (\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{1}{3}}]$

Etapa 4.1.2.7

Combine $\frac{4}{3}$ e $x^{\frac{1}{3}}$ .

$6 \frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{1}{3}}]$

Etapa 4.1.2.8

Combine $6$ e $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}$ .

$\frac{6 (4 x^{\frac{1}{3}})}{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{1}{3}}]$

Etapa 4.1.2.9

Multiplique $4$ por $6$ .

$\frac{24 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{1}{3}}]$

Etapa 4.1.2.10

Fatore $3$ de $24 x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{3 (8 x^{\frac{1}{3}})}{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{1}{3}}]$

Etapa 4.1.2.11

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.11.1

Fatore $3$ de $3$ .

$\frac{3 (8 x^{\frac{1}{3}})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{1}{3}}]$

Etapa 4.1.2.11.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3 (8 x^{\frac{1}{3}})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{1}{3}}]$

Etapa 4.1.2.11.3

Reescreva a expressão.

$\frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{1} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{1}{3}}]$

Etapa 4.1.2.11.4

Divida $8 x^{\frac{1}{3}}$ por $1$ .

$8 x^{\frac{1}{3}} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{1}{3}}]$

Etapa 4.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{1}{3}}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x^{\frac{1}{3}}$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

$8 x^{\frac{1}{3}} - 3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Etapa 4.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{3}$ .

$8 x^{\frac{1}{3}} - 3 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

Etapa 4.1.3.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$8 x^{\frac{1}{3}} - 3 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Etapa 4.1.3.4

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$8 x^{\frac{1}{3}} - 3 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Etapa 4.1.3.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$8 x^{\frac{1}{3}} - 3 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Etapa 4.1.3.6

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.6.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$8 x^{\frac{1}{3}} - 3 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

Etapa 4.1.3.6.2

Subtraia $3$ de $1$ .

$8 x^{\frac{1}{3}} - 3 (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

Etapa 4.1.3.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$8 x^{\frac{1}{3}} - 3 (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

Etapa 4.1.3.8

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$8 x^{\frac{1}{3}} - 3 \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Etapa 4.1.3.9

Combine $- 3$ e $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ .

$8 x^{\frac{1}{3}} + \frac{- 3 x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Etapa 4.1.3.10

Mova $x^{- \frac{2}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$8 x^{\frac{1}{3}} + \frac{- 3}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 4.1.3.11

Fatore $3$ de $- 3$ .

$8 x^{\frac{1}{3}} + \frac{3 \cdot - 1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 4.1.3.12

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.12.1

Fatore $3$ de $3 x^{\frac{2}{3}}$ .

$8 x^{\frac{1}{3}} + \frac{3 \cdot - 1}{3 (x^{\frac{2}{3}})}$

Etapa 4.1.3.12.2

Cancele o fator comum.

$8 x^{\frac{1}{3}} + \frac{3 \cdot - 1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 4.1.3.12.3

Reescreva a expressão.

$8 x^{\frac{1}{3}} + \frac{- 1}{x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 4.1.3.13

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = 8 x^{\frac{1}{3}} - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $8 x^{\frac{1}{3}} - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ .

$8 x^{\frac{1}{3}} - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $8 x^{\frac{1}{3}} - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$8 x^{\frac{1}{3}} - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} = 0$

Etapa 5.2

Encontre o MMC dos termos na equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$1, x^{\frac{2}{3}}, 1$

Etapa 5.2.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$x^{\frac{2}{3}}$

Etapa 5.3

Multiplique cada termo em $8 x^{\frac{1}{3}} - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} = 0$ por $x^{\frac{2}{3}}$ para eliminar as frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Multiplique cada termo em $8 x^{\frac{1}{3}} - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} = 0$ por $x^{\frac{2}{3}}$ .

$8 x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}} - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} x^{\frac{2}{3}} = 0 x^{\frac{2}{3}}$

Etapa 5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1.1

Multiplique $x^{\frac{1}{3}}$ por $x^{\frac{2}{3}}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1.1.1

Mova $x^{\frac{2}{3}}$ .

$8 (x^{\frac{2}{3}} x^{\frac{1}{3}}) - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} x^{\frac{2}{3}} = 0 x^{\frac{2}{3}}$

Etapa 5.3.2.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$8 x^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} x^{\frac{2}{3}} = 0 x^{\frac{2}{3}}$

Etapa 5.3.2.1.1.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$8 x^{\frac{2 + 1}{3}} - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} x^{\frac{2}{3}} = 0 x^{\frac{2}{3}}$

Etapa 5.3.2.1.1.4

Some $2$ e $1$ .

$8 x^{\frac{3}{3}} - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} x^{\frac{2}{3}} = 0 x^{\frac{2}{3}}$

Etapa 5.3.2.1.1.5

Divida $3$ por $3$ .

$8 x^{1} - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} x^{\frac{2}{3}} = 0 x^{\frac{2}{3}}$

Etapa 5.3.2.1.2

Simplifique $8 x^{1}$ .

$8 x - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} x^{\frac{2}{3}} = 0 x^{\frac{2}{3}}$

Etapa 5.3.2.1.3

Cancele o fator comum de $x^{\frac{2}{3}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ para o numerador.

$8 x + \frac{- 1}{x^{\frac{2}{3}}} x^{\frac{2}{3}} = 0 x^{\frac{2}{3}}$

Etapa 5.3.2.1.3.2

Cancele o fator comum.

$8 x + \frac{- 1}{x^{\frac{2}{3}}} x^{\frac{2}{3}} = 0 x^{\frac{2}{3}}$

Etapa 5.3.2.1.3.3

Reescreva a expressão.

$8 x - 1 = 0 x^{\frac{2}{3}}$

Etapa 5.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1

Multiplique $0$ por $x^{\frac{2}{3}}$ .

$8 x - 1 = 0$

Etapa 5.4

Resolva a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$8 x = 1$

Etapa 5.4.2

Divida cada termo em $8 x = 1$ por $8$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.1

Divida cada termo em $8 x = 1$ por $8$ .

$\frac{8 x}{8} = \frac{1}{8}$

Etapa 5.4.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.2.1

Cancele o fator comum de $8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{8 x}{8} = \frac{1}{8}$

Etapa 5.4.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{8}$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Converta expressões com expoentes fracionários em radicais.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1

Aplique a regra $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescrever a exponenciação como um radical.

$8 \sqrt[3]{x^{1}} - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 6.1.2

Aplique a regra $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescrever a exponenciação como um radical.

$8 \sqrt[3]{x^{1}} - \frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}$

Etapa 6.1.3

Qualquer número elevado a $1$ é a própria base.

$8 \sqrt[3]{x} - \frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}$

Etapa 6.2

Defina o denominador em $\frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$\sqrt[3]{x^{2}} = 0$

Etapa 6.3

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao cubo os dois lados da equação.

${\sqrt[3]{x^{2}}}^{3} = 0^{3}$

Etapa 6.3.2

Simplifique cada lado da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{x^{2}}$ como $x^{\frac{2}{3}}$ .

${(x^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Etapa 6.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.2.1

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.2.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Etapa 6.3.2.2.1.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.2.1.2.1

Cancele o fator comum.

$x^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Etapa 6.3.2.2.1.2.2

Reescreva a expressão.

$x^{2} = 0^{3}$

Etapa 6.3.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$x^{2} = 0$

Etapa 6.3.3

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.1

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{0}$

Etapa 6.3.3.2

Simplifique $\pm \sqrt{0}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.2.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Etapa 6.3.3.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 0$

Etapa 6.3.3.2.3

Mais ou menos $0$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = \frac{1}{8}, 0$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = \frac{1}{8}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$\frac{8}{3 {(\frac{1}{8})}^{\frac{2}{3}}} + \frac{2}{3 {(\frac{1}{8})}^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{8}$ .

$\frac{8}{3 \frac{1^{\frac{2}{3}}}{8^{\frac{2}{3}}}} + \frac{2}{3 {(\frac{1}{8})}^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 9.1.1.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{8}{3 \frac{1}{8^{\frac{2}{3}}}} + \frac{2}{3 {(\frac{1}{8})}^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 9.1.1.3

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1.3.1

Reescreva $8$ como $2^{3}$ .

$\frac{8}{3 \frac{1}{{(2^{3})}^{\frac{2}{3}}}} + \frac{2}{3 {(\frac{1}{8})}^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 9.1.1.3.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{8}{3 \frac{1}{2^{3 (\frac{2}{3})}}} + \frac{2}{3 {(\frac{1}{8})}^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 9.1.1.3.3

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1.3.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{8}{3 \frac{1}{2^{3 (\frac{2}{3})}}} + \frac{2}{3 {(\frac{1}{8})}^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 9.1.1.3.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{8}{3 \frac{1}{2^{2}}} + \frac{2}{3 {(\frac{1}{8})}^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 9.1.1.3.4

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{8}{3 (\frac{1}{4})} + \frac{2}{3 {(\frac{1}{8})}^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 9.1.2

Combine $3$ e $\frac{1}{4}$ .

$\frac{8}{\frac{3}{4}} + \frac{2}{3 {(\frac{1}{8})}^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 9.1.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$8 (\frac{4}{3}) + \frac{2}{3 {(\frac{1}{8})}^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 9.1.4

Multiplique $8 (\frac{4}{3})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.4.1

Combine $8$ e $\frac{4}{3}$ .

$\frac{8 \cdot 4}{3} + \frac{2}{3 {(\frac{1}{8})}^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 9.1.4.2

Multiplique $8$ por $4$ .

$\frac{32}{3} + \frac{2}{3 {(\frac{1}{8})}^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 9.1.5

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.5.1

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{8}$ .

$\frac{32}{3} + \frac{2}{3 \frac{1^{\frac{5}{3}}}{8^{\frac{5}{3}}}}$

Etapa 9.1.5.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{32}{3} + \frac{2}{3 \frac{1}{8^{\frac{5}{3}}}}$

Etapa 9.1.5.3

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.5.3.1

Reescreva $8$ como $2^{3}$ .

$\frac{32}{3} + \frac{2}{3 \frac{1}{{(2^{3})}^{\frac{5}{3}}}}$

Etapa 9.1.5.3.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{32}{3} + \frac{2}{3 \frac{1}{2^{3 (\frac{5}{3})}}}$

Etapa 9.1.5.3.3

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.5.3.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{32}{3} + \frac{2}{3 \frac{1}{2^{3 (\frac{5}{3})}}}$

Etapa 9.1.5.3.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{32}{3} + \frac{2}{3 \frac{1}{2^{5}}}$

Etapa 9.1.5.3.4

Eleve $2$ à potência de $5$ .

$\frac{32}{3} + \frac{2}{3 (\frac{1}{32})}$

Etapa 9.1.6

Combine $3$ e $\frac{1}{32}$ .

$\frac{32}{3} + \frac{2}{\frac{3}{32}}$

Etapa 9.1.7

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{32}{3} + 2 (\frac{32}{3})$

Etapa 9.1.8

Multiplique $2 (\frac{32}{3})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.8.1

Combine $2$ e $\frac{32}{3}$ .

$\frac{32}{3} + \frac{2 \cdot 32}{3}$

Etapa 9.1.8.2

Multiplique $2$ por $32$ .

$\frac{32}{3} + \frac{64}{3}$

Etapa 9.2

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{32 + 64}{3}$

Etapa 9.2.2

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.2.1

Some $32$ e $64$ .

$\frac{96}{3}$

Etapa 9.2.2.2

Divida $96$ por $3$ .

$32$

Etapa 10

$x = \frac{1}{8}$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = \frac{1}{8}$ é um mínimo local

Etapa 11

Encontre o valor y quando $x = \frac{1}{8}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{1}{8}$ na expressão.

$f (\frac{1}{8}) = 6 {(\frac{1}{8})}^{\frac{4}{3}} - 3 {(\frac{1}{8})}^{\frac{1}{3}}$

Etapa 11.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{8}$ .

$f (\frac{1}{8}) = 6 (\frac{1^{\frac{4}{3}}}{8^{\frac{4}{3}}}) - 3 {(\frac{1}{8})}^{\frac{1}{3}}$

Etapa 11.2.1.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$f (\frac{1}{8}) = 6 (\frac{1}{8^{\frac{4}{3}}}) - 3 {(\frac{1}{8})}^{\frac{1}{3}}$

Etapa 11.2.1.3

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.3.1

Reescreva $8$ como $2^{3}$ .

$f (\frac{1}{8}) = 6 (\frac{1}{{(2^{3})}^{\frac{4}{3}}}) - 3 {(\frac{1}{8})}^{\frac{1}{3}}$

Etapa 11.2.1.3.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{1}{8}) = 6 (\frac{1}{2^{3 (\frac{4}{3})}}) - 3 {(\frac{1}{8})}^{\frac{1}{3}}$

Etapa 11.2.1.3.3

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.3.3.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{1}{8}) = 6 (\frac{1}{2^{3 (\frac{4}{3})}}) - 3 {(\frac{1}{8})}^{\frac{1}{3}}$

Etapa 11.2.1.3.3.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{1}{8}) = 6 (\frac{1}{2^{4}}) - 3 {(\frac{1}{8})}^{\frac{1}{3}}$

Etapa 11.2.1.3.4

Eleve $2$ à potência de $4$ .

$f (\frac{1}{8}) = 6 (\frac{1}{16}) - 3 {(\frac{1}{8})}^{\frac{1}{3}}$

Etapa 11.2.1.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.4.1

Fatore $2$ de $6$ .

$f (\frac{1}{8}) = 2 (3) (\frac{1}{16}) - 3 {(\frac{1}{8})}^{\frac{1}{3}}$

Etapa 11.2.1.4.2

Fatore $2$ de $16$ .

$f (\frac{1}{8}) = 2 \cdot (3 (\frac{1}{2 \cdot 8})) - 3 {(\frac{1}{8})}^{\frac{1}{3}}$

Etapa 11.2.1.4.3

Cancele o fator comum.

$f (\frac{1}{8}) = 2 \cdot (3 (\frac{1}{2 \cdot 8})) - 3 {(\frac{1}{8})}^{\frac{1}{3}}$

Etapa 11.2.1.4.4

Reescreva a expressão.

$f (\frac{1}{8}) = 3 (\frac{1}{8}) - 3 {(\frac{1}{8})}^{\frac{1}{3}}$

Etapa 11.2.1.5

Combine $3$ e $\frac{1}{8}$ .

$f (\frac{1}{8}) = \frac{3}{8} - 3 {(\frac{1}{8})}^{\frac{1}{3}}$

Etapa 11.2.1.6

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{8}$ .

$f (\frac{1}{8}) = \frac{3}{8} - 3 \frac{1^{\frac{1}{3}}}{8^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 11.2.1.7

Um elevado a qualquer potência é um.

$f (\frac{1}{8}) = \frac{3}{8} - 3 \frac{1}{8^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 11.2.1.8

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.8.1

Reescreva $8$ como $2^{3}$ .

$f (\frac{1}{8}) = \frac{3}{8} - 3 \frac{1}{{(2^{3})}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 11.2.1.8.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{1}{8}) = \frac{3}{8} - 3 \frac{1}{2^{3 (\frac{1}{3})}}$

Etapa 11.2.1.8.3

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.8.3.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{1}{8}) = \frac{3}{8} - 3 \frac{1}{2^{3 (\frac{1}{3})}}$

Etapa 11.2.1.8.3.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{1}{8}) = \frac{3}{8} - 3 (\frac{1}{2})$

Etapa 11.2.1.8.4

Avalie o expoente.

$f (\frac{1}{8}) = \frac{3}{8} - 3 (\frac{1}{2})$

Etapa 11.2.1.9

Combine $- 3$ e $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{1}{8}) = \frac{3}{8} + \frac{- 3}{2}$

Etapa 11.2.1.10

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (\frac{1}{8}) = \frac{3}{8} - \frac{3}{2}$

Etapa 11.2.2

Para escrever $- \frac{3}{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{1}{8}) = \frac{3}{8} - \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{4}$

Etapa 11.2.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $8$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 11.2.3.1

Multiplique $\frac{3}{2}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{1}{8}) = \frac{3}{8} - \frac{3 \cdot 4}{2 \cdot 4}$

Etapa 11.2.3.2

Multiplique $2$ por $4$ .

$f (\frac{1}{8}) = \frac{3}{8} - \frac{3 \cdot 4}{8}$

Etapa 11.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{1}{8}) = \frac{3 - 3 \cdot 4}{8}$

Etapa 11.2.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 11.2.5.1

Multiplique $- 3$ por $4$ .

$f (\frac{1}{8}) = \frac{3 - 12}{8}$

Etapa 11.2.5.2

Subtraia $12$ de $3$ .

$f (\frac{1}{8}) = \frac{- 9}{8}$

Etapa 11.2.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (\frac{1}{8}) = - \frac{9}{8}$

Etapa 11.2.7

A resposta final é $- \frac{9}{8}$ .

$y = - \frac{9}{8}$

Etapa 12

Avalie a segunda derivada em $x = 0$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$\frac{8}{3 {(0)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{2}{3 {(0)}^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 13

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 13.1

Simplifique a expressão.

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Etapa 13.1.1

Reescreva $0$ como $0^{3}$ .

$\frac{8}{3 {(0^{3})}^{\frac{2}{3}}} + \frac{2}{3 {(0)}^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 13.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{8}{3 \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})}} + \frac{2}{3 {(0)}^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 13.2

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 13.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{8}{3 \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})}} + \frac{2}{3 {(0)}^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 13.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{8}{3 \cdot 0^{2}} + \frac{2}{3 {(0)}^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 13.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 13.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{8}{3 \cdot 0} + \frac{2}{3 {(0)}^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 13.3.2

Multiplique $3$ por $0$ .

$\frac{8}{0} + \frac{2}{3 {(0)}^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 13.3.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{8}{0} + \frac{2}{3 {(0)}^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 13.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

Etapa 14

Como há pelo menos um ponto com $0$ ou segunda derivada indefinida, aplique o teste da primeira derivada.

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Etapa 14.1

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a primeira derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{1}{8}) \cup (\frac{1}{8}, \infty)$

Etapa 14.2

Substitua qualquer número, como $- 2$ , do intervalo $(- \infty, 0)$ na primeira derivada $8 x^{\frac{1}{3}} - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

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Etapa 14.2.1

Substitua a variável $x$ por $- 2$ na expressão.

$f' (- 2) = 8 {(- 2)}^{\frac{1}{3}} - \frac{1}{{(- 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 14.2.2

A resposta final é $8 {(- 2)}^{\frac{1}{3}} - \frac{1}{{(- 2)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$8 {(- 2)}^{\frac{1}{3}} - \frac{1}{{(- 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 14.3

Substitua qualquer número, como $0.06$ , do intervalo $(0, \frac{1}{8})$ na primeira derivada $8 x^{\frac{1}{3}} - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

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Etapa 14.3.1

Substitua a variável $x$ por $0.06$ na expressão.

$f' (0.06) = 8 {(0.06)}^{\frac{1}{3}} - \frac{1}{{(0.06)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 14.3.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 14.3.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 14.3.2.1.1

Eleve $0.06$ à potência de $\frac{1}{3}$ .

$f' (0.06) = 8 \cdot 0.39148676 - \frac{1}{{(0.06)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 14.3.2.1.2

Multiplique $8$ por $0.39148676$ .

$f' (0.06) = 3.13189411 - \frac{1}{{(0.06)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 14.3.2.1.3

Eleve $0.06$ à potência de $\frac{2}{3}$ .

$f' (0.06) = 3.13189411 - \frac{1}{0.15326188}$

Etapa 14.3.2.1.4

Divida $1$ por $0.15326188$ .

$f' (0.06) = 3.13189411 - 1 \cdot 6.5247794$

Etapa 14.3.2.1.5

Multiplique $- 1$ por $6.5247794$ .

$f' (0.06) = 3.13189411 - 6.5247794$

Etapa 14.3.2.2

Subtraia $6.5247794$ de $3.13189411$ .

$f' (0.06) = - 3.39288528$

Etapa 14.3.2.3

A resposta final é $- 3.39288528$ .

$- 3.39288528$

Etapa 14.4

Substitua qualquer número, como $3$ , do intervalo $(\frac{1}{8}, \infty)$ na primeira derivada $8 x^{\frac{1}{3}} - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

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Etapa 14.4.1

Substitua a variável $x$ por $3$ na expressão.

$f' (3) = 8 {(3)}^{\frac{1}{3}} - \frac{1}{{(3)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 14.4.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 14.4.2.1

Remova os parênteses.

$f' (3) = 8 \cdot 3^{\frac{1}{3}} - \frac{1}{3^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 14.4.2.2

A resposta final é $8 \cdot 3^{\frac{1}{3}} - \frac{1}{3^{\frac{2}{3}}}$ .

$8 \cdot 3^{\frac{1}{3}} - \frac{1}{3^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 14.5

Como a primeira derivada não mudou os sinais em torno de $x = 0$ , este não é um máximo local nem um mínimo local.

Não é um máximo nem um mínimo local

Etapa 14.6

Como a primeira derivada mudou os sinais de negativo para positivo em torno de $x = \frac{1}{8}$ , então $x = \frac{1}{8}$ é um mínimo local.

$x = \frac{1}{8}$ é um mínimo local

Etapa 15