Cálculo Exemplos

$f (x) = 5 x + 7 x^{- 1}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 x + 7 x^{- 1}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [7 x^{- 1}]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [7 x^{- 1}]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7 x^{- 1}]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7 x^{- 1}]$

Etapa 1.2.3

Multiplique $5$ por $1$ .

$5 + \frac{d}{d x} [7 x^{- 1}]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [7 x^{- 1}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7 x^{- 1}$ em relação a $x$ é $7 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$ .

$5 + 7 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$5 + 7 (- x^{- 2})$

Etapa 1.3.3

Multiplique $- 1$ por $7$ .

$5 - 7 x^{- 2}$

Etapa 1.4

Reordene os termos.

$- 7 x^{- 2} + 5$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 7 x^{- 2} + 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 7 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 7 x^{- 2}) + \frac{d}{d x} (5)$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 7 x^{- 2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Como $- 7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 7 x^{- 2}$ em relação a $x$ é $- 7 \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$ .

$f'' (x) = - 7 \frac{d}{d x} x^{- 2} + \frac{d}{d x} (5)$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 2$ .

$f'' (x) = - 7 (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} (5)$

Etapa 2.2.3

Multiplique $- 2$ por $- 7$ .

$f'' (x) = 14 x^{- 3} + \frac{d}{d x} (5)$

Etapa 2.3

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 14 x^{- 3} + 0$

Etapa 2.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Some $14 x^{- 3}$ e $0$ .

$f'' (x) = 14 x^{- 3}$

Etapa 2.4.2

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 14 (\frac{1}{x^{3}})$

Etapa 2.4.3

Combine $14$ e $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{14}{x^{3}}$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$- 7 x^{- 2} + 5 = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 x + 7 x^{- 1}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [7 x^{- 1}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (5 x) + \frac{d}{d x} (7 x^{- 1})$

Etapa 4.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 5 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (7 x^{- 1})$

Etapa 4.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (7 x^{- 1})$

Etapa 4.1.2.3

Multiplique $5$ por $1$ .

$f' (x) = 5 + \frac{d}{d x} (7 x^{- 1})$

Etapa 4.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [7 x^{- 1}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.1

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7 x^{- 1}$ em relação a $x$ é $7 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$ .

$f' (x) = 5 + 7 \frac{d}{d x} (x^{- 1})$

Etapa 4.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$f' (x) = 5 + 7 (- x^{- 2})$

Etapa 4.1.3.3

Multiplique $- 1$ por $7$ .

$f' (x) = 5 - 7 x^{- 2}$

Etapa 4.1.4

Reordene os termos.

$f' (x) = - 7 x^{- 2} + 5$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- 7 x^{- 2} + 5$ .

$- 7 x^{- 2} + 5$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- 7 x^{- 2} + 5 = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- 7 x^{- 2} + 5 = 0$

Etapa 5.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 7 \frac{1}{x^{2}} + 5 = 0$

Etapa 5.2.2

Combine $- 7$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{- 7}{x^{2}} + 5 = 0$

Etapa 5.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{7}{x^{2}} + 5 = 0$

Etapa 5.3

Subtraia $5$ dos dois lados da equação.

$- \frac{7}{x^{2}} = - 5$

Etapa 5.4

Encontre o MMC dos termos na equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$x^{2}, 1$

Etapa 5.4.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$x^{2}$

Etapa 5.5

Multiplique cada termo em $- \frac{7}{x^{2}} = - 5$ por $x^{2}$ para eliminar as frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1

Multiplique cada termo em $- \frac{7}{x^{2}} = - 5$ por $x^{2}$ .

$- \frac{7}{x^{2}} x^{2} = - 5 x^{2}$

Etapa 5.5.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.1

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{7}{x^{2}}$ para o numerador.

$\frac{- 7}{x^{2}} x^{2} = - 5 x^{2}$

Etapa 5.5.2.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{- 7}{x^{2}} x^{2} = - 5 x^{2}$

Etapa 5.5.2.1.3

Reescreva a expressão.

$- 7 = - 5 x^{2}$

Etapa 5.6

Resolva a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.1

Reescreva a equação como $- 5 x^{2} = - 7$ .

$- 5 x^{2} = - 7$

Etapa 5.6.2

Divida cada termo em $- 5 x^{2} = - 7$ por $- 5$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.2.1

Divida cada termo em $- 5 x^{2} = - 7$ por $- 5$ .

$\frac{- 5 x^{2}}{- 5} = \frac{- 7}{- 5}$

Etapa 5.6.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.2.2.1

Cancele o fator comum de $- 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 5 x^{2}}{- 5} = \frac{- 7}{- 5}$

Etapa 5.6.2.2.1.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{- 7}{- 5}$

Etapa 5.6.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.2.3.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$x^{2} = \frac{7}{5}$

Etapa 5.6.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{7}{5}}$

Etapa 5.6.4

Simplifique $\pm \sqrt{\frac{7}{5}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.4.1

Reescreva $\sqrt{\frac{7}{5}}$ como $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{5}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{5}}$

Etapa 5.6.4.2

Multiplique $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Etapa 5.6.4.3

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.4.3.1

Multiplique $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Etapa 5.6.4.3.2

Eleve $\sqrt{5}$ à potência de $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

Etapa 5.6.4.3.3

Eleve $\sqrt{5}$ à potência de $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

Etapa 5.6.4.3.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Etapa 5.6.4.3.5

Some $1$ e $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Etapa 5.6.4.3.6

Reescreva ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.4.3.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 5.6.4.3.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 5.6.4.3.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 5.6.4.3.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.4.3.6.4.1

Cancele o fator comum.

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 5.6.4.3.6.4.2

Reescreva a expressão.

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{5}}{5^{1}}$

Etapa 5.6.4.3.6.5

Avalie o expoente.

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{5}}{5}$

Etapa 5.6.4.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.4.4.1

Combine usando a regra do produto para radicais.

$x = \pm \frac{\sqrt{7 \cdot 5}}{5}$

Etapa 5.6.4.4.2

Multiplique $7$ por $5$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{35}}{5}$

Etapa 5.6.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \frac{\sqrt{35}}{5}$

Etapa 5.6.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \frac{\sqrt{35}}{5}$

Etapa 5.6.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \frac{\sqrt{35}}{5}, - \frac{\sqrt{35}}{5}$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Defina a base em $x^{- 2}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x = 0$

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = \frac{\sqrt{35}}{5}, - \frac{\sqrt{35}}{5}$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = \frac{\sqrt{35}}{5}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$\frac{14}{{(\frac{\sqrt{35}}{5})}^{3}}$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt{35}}{5}$ .

$\frac{14}{\frac{{\sqrt{35}}^{3}}{5^{3}}}$

Etapa 9.1.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.2.1

Reescreva ${\sqrt{35}}^{3}$ como $\sqrt{35^{3}}$ .

$\frac{14}{\frac{\sqrt{35^{3}}}{5^{3}}}$

Etapa 9.1.2.2

Eleve $35$ à potência de $3$ .

$\frac{14}{\frac{\sqrt{42875}}{5^{3}}}$

Etapa 9.1.2.3

Reescreva $42875$ como $35^{2} \cdot 35$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.2.3.1

Fatore $1225$ de $42875$ .

$\frac{14}{\frac{\sqrt{1225 (35)}}{5^{3}}}$

Etapa 9.1.2.3.2

Reescreva $1225$ como $35^{2}$ .

$\frac{14}{\frac{\sqrt{35^{2} \cdot 35}}{5^{3}}}$

Etapa 9.1.2.4

Elimine os termos abaixo do radical.

$\frac{14}{\frac{35 \sqrt{35}}{5^{3}}}$

Etapa 9.1.3

Eleve $5$ à potência de $3$ .

$\frac{14}{\frac{35 \sqrt{35}}{125}}$

Etapa 9.1.4

Cancele o fator comum de $35$ e $125$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.4.1

Fatore $5$ de $35 \sqrt{35}$ .

$\frac{14}{\frac{5 (7 \sqrt{35})}{125}}$

Etapa 9.1.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.4.2.1

Fatore $5$ de $125$ .

$\frac{14}{\frac{5 (7 \sqrt{35})}{5 (25)}}$

Etapa 9.1.4.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{14}{\frac{5 (7 \sqrt{35})}{5 \cdot 25}}$

Etapa 9.1.4.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{14}{\frac{7 \sqrt{35}}{25}}$

Etapa 9.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$14 \frac{25}{7 \sqrt{35}}$

Etapa 9.3

Cancele o fator comum de $7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.1

Fatore $7$ de $14$ .

$7 (2) \frac{25}{7 \sqrt{35}}$

Etapa 9.3.2

Fatore $7$ de $7 \sqrt{35}$ .

$7 (2) \frac{25}{7 (\sqrt{35})}$

Etapa 9.3.3

Cancele o fator comum.

$7 \cdot 2 \frac{25}{7 \sqrt{35}}$

Etapa 9.3.4

Reescreva a expressão.

$2 \frac{25}{\sqrt{35}}$

Etapa 9.4

Combine $2$ e $\frac{25}{\sqrt{35}}$ .

$\frac{2 \cdot 25}{\sqrt{35}}$

Etapa 9.5

Multiplique $2$ por $25$ .

$\frac{50}{\sqrt{35}}$

Etapa 9.6

Multiplique $\frac{50}{\sqrt{35}}$ por $\frac{\sqrt{35}}{\sqrt{35}}$ .

$\frac{50}{\sqrt{35}} \cdot \frac{\sqrt{35}}{\sqrt{35}}$

Etapa 9.7

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.7.1

Multiplique $\frac{50}{\sqrt{35}}$ por $\frac{\sqrt{35}}{\sqrt{35}}$ .

$\frac{50 \sqrt{35}}{\sqrt{35} \sqrt{35}}$

Etapa 9.7.2

Eleve $\sqrt{35}$ à potência de $1$ .

$\frac{50 \sqrt{35}}{{\sqrt{35}}^{1} \sqrt{35}}$

Etapa 9.7.3

Eleve $\sqrt{35}$ à potência de $1$ .

$\frac{50 \sqrt{35}}{{\sqrt{35}}^{1} {\sqrt{35}}^{1}}$

Etapa 9.7.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{50 \sqrt{35}}{{\sqrt{35}}^{1 + 1}}$

Etapa 9.7.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{50 \sqrt{35}}{{\sqrt{35}}^{2}}$

Etapa 9.7.6

Reescreva ${\sqrt{35}}^{2}$ como $35$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.7.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{35}$ como $35^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{50 \sqrt{35}}{{(35^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 9.7.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{50 \sqrt{35}}{35^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 9.7.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{50 \sqrt{35}}{35^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 9.7.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.7.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{50 \sqrt{35}}{35^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 9.7.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{50 \sqrt{35}}{35^{1}}$

Etapa 9.7.6.5

Avalie o expoente.

$\frac{50 \sqrt{35}}{35}$

Etapa 9.8

Cancele o fator comum de $50$ e $35$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.8.1

Fatore $5$ de $50 \sqrt{35}$ .

$\frac{5 (10 \sqrt{35})}{35}$

Etapa 9.8.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.8.2.1

Fatore $5$ de $35$ .

$\frac{5 (10 \sqrt{35})}{5 (7)}$

Etapa 9.8.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{5 (10 \sqrt{35})}{5 \cdot 7}$

Etapa 9.8.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{10 \sqrt{35}}{7}$

Etapa 10

$x = \frac{\sqrt{35}}{5}$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = \frac{\sqrt{35}}{5}$ é um mínimo local

Etapa 11

Encontre o valor y quando $x = \frac{\sqrt{35}}{5}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{\sqrt{35}}{5}$ na expressão.

$f (\frac{\sqrt{35}}{5}) = 5 (\frac{\sqrt{35}}{5}) + 7 {(\frac{\sqrt{35}}{5})}^{- 1}$

Etapa 11.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.1

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.1.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{\sqrt{35}}{5}) = 5 (\frac{\sqrt{35}}{5}) + 7 {(\frac{\sqrt{35}}{5})}^{- 1}$

Etapa 11.2.1.1.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{\sqrt{35}}{5}) = \sqrt{35} + 7 {(\frac{\sqrt{35}}{5})}^{- 1}$

Etapa 11.2.1.2

Altere o sinal do expoente reescrevendo a base como seu inverso.

$f (\frac{\sqrt{35}}{5}) = \sqrt{35} + 7 (\frac{5}{\sqrt{35}})$

Etapa 11.2.1.3

Multiplique $\frac{5}{\sqrt{35}}$ por $\frac{\sqrt{35}}{\sqrt{35}}$ .

$f (\frac{\sqrt{35}}{5}) = \sqrt{35} + 7 (\frac{5}{\sqrt{35}} \cdot \frac{\sqrt{35}}{\sqrt{35}})$

Etapa 11.2.1.4

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.4.1

Multiplique $\frac{5}{\sqrt{35}}$ por $\frac{\sqrt{35}}{\sqrt{35}}$ .

$f (\frac{\sqrt{35}}{5}) = \sqrt{35} + 7 (\frac{5 \sqrt{35}}{\sqrt{35} \sqrt{35}})$

Etapa 11.2.1.4.2

Eleve $\sqrt{35}$ à potência de $1$ .

$f (\frac{\sqrt{35}}{5}) = \sqrt{35} + 7 (\frac{5 \sqrt{35}}{\sqrt{35} \sqrt{35}})$

Etapa 11.2.1.4.3

Eleve $\sqrt{35}$ à potência de $1$ .

$f (\frac{\sqrt{35}}{5}) = \sqrt{35} + 7 (\frac{5 \sqrt{35}}{\sqrt{35} \sqrt{35}})$

Etapa 11.2.1.4.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f (\frac{\sqrt{35}}{5}) = \sqrt{35} + 7 (\frac{5 \sqrt{35}}{{\sqrt{35}}^{1 + 1}})$

Etapa 11.2.1.4.5

Some $1$ e $1$ .

$f (\frac{\sqrt{35}}{5}) = \sqrt{35} + 7 (\frac{5 \sqrt{35}}{{\sqrt{35}}^{2}})$

Etapa 11.2.1.4.6

Reescreva ${\sqrt{35}}^{2}$ como $35$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.4.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{35}$ como $35^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{\sqrt{35}}{5}) = \sqrt{35} + 7 (\frac{5 \sqrt{35}}{{(35^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Etapa 11.2.1.4.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt{35}}{5}) = \sqrt{35} + 7 (\frac{5 \sqrt{35}}{35^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Etapa 11.2.1.4.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (\frac{\sqrt{35}}{5}) = \sqrt{35} + 7 (\frac{5 \sqrt{35}}{35^{\frac{2}{2}}})$

Etapa 11.2.1.4.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.4.6.4.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{\sqrt{35}}{5}) = \sqrt{35} + 7 (\frac{5 \sqrt{35}}{35^{\frac{2}{2}}})$

Etapa 11.2.1.4.6.4.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{\sqrt{35}}{5}) = \sqrt{35} + 7 (\frac{5 \sqrt{35}}{35})$

Etapa 11.2.1.4.6.5

Avalie o expoente.

$f (\frac{\sqrt{35}}{5}) = \sqrt{35} + 7 (\frac{5 \sqrt{35}}{35})$

Etapa 11.2.1.5

Cancele o fator comum de $7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.5.1

Fatore $7$ de $35$ .

$f (\frac{\sqrt{35}}{5}) = \sqrt{35} + 7 (\frac{5 \sqrt{35}}{7 (5)})$

Etapa 11.2.1.5.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{\sqrt{35}}{5}) = \sqrt{35} + 7 (\frac{5 \sqrt{35}}{7 \cdot 5})$

Etapa 11.2.1.5.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{\sqrt{35}}{5}) = \sqrt{35} + \frac{5 \sqrt{35}}{5}$

Etapa 11.2.1.6

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.6.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{\sqrt{35}}{5}) = \sqrt{35} + \frac{5 \sqrt{35}}{5}$

Etapa 11.2.1.6.2

Divida $\sqrt{35}$ por $1$ .

$f (\frac{\sqrt{35}}{5}) = \sqrt{35} + \sqrt{35}$

Etapa 11.2.2

Some $\sqrt{35}$ e $\sqrt{35}$ .

$f (\frac{\sqrt{35}}{5}) = 2 \sqrt{35}$

Etapa 11.2.3

A resposta final é $2 \sqrt{35}$ .

$y = 2 \sqrt{35}$

Etapa 12

Avalie a segunda derivada em $x = - \frac{\sqrt{35}}{5}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$\frac{14}{{(- \frac{\sqrt{35}}{5})}^{3}}$

Etapa 13

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{\sqrt{35}}{5}$ .

$\frac{14}{{(- 1)}^{3} {(\frac{\sqrt{35}}{5})}^{3}}$

Etapa 13.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$\frac{14}{- {(\frac{\sqrt{35}}{5})}^{3}}$

Etapa 13.1.3

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt{35}}{5}$ .

$\frac{14}{- \frac{{\sqrt{35}}^{3}}{5^{3}}}$

Etapa 13.1.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.4.1

Reescreva ${\sqrt{35}}^{3}$ como $\sqrt{35^{3}}$ .

$\frac{14}{- \frac{\sqrt{35^{3}}}{5^{3}}}$

Etapa 13.1.4.2

Eleve $35$ à potência de $3$ .

$\frac{14}{- \frac{\sqrt{42875}}{5^{3}}}$

Etapa 13.1.4.3

Reescreva $42875$ como $35^{2} \cdot 35$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.4.3.1

Fatore $1225$ de $42875$ .

$\frac{14}{- \frac{\sqrt{1225 (35)}}{5^{3}}}$

Etapa 13.1.4.3.2

Reescreva $1225$ como $35^{2}$ .

$\frac{14}{- \frac{\sqrt{35^{2} \cdot 35}}{5^{3}}}$

Etapa 13.1.4.4

Elimine os termos abaixo do radical.

$\frac{14}{- \frac{35 \sqrt{35}}{5^{3}}}$

Etapa 13.1.5

Eleve $5$ à potência de $3$ .

$\frac{14}{- \frac{35 \sqrt{35}}{125}}$

Etapa 13.1.6

Cancele o fator comum de $35$ e $125$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.6.1

Fatore $5$ de $35 \sqrt{35}$ .

$\frac{14}{- \frac{5 (7 \sqrt{35})}{125}}$

Etapa 13.1.6.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.6.2.1

Fatore $5$ de $125$ .

$\frac{14}{- \frac{5 (7 \sqrt{35})}{5 (25)}}$

Etapa 13.1.6.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{14}{- \frac{5 (7 \sqrt{35})}{5 \cdot 25}}$

Etapa 13.1.6.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{14}{- \frac{7 \sqrt{35}}{25}}$

Etapa 13.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$14 (- \frac{25}{7 \sqrt{35}})$

Etapa 13.3

Cancele o fator comum de $7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{25}{7 \sqrt{35}}$ para o numerador.

$14 \frac{- 25}{7 \sqrt{35}}$

Etapa 13.3.2

Fatore $7$ de $14$ .

$7 (2) \frac{- 25}{7 \sqrt{35}}$

Etapa 13.3.3

Fatore $7$ de $7 \sqrt{35}$ .

$7 (2) \frac{- 25}{7 (\sqrt{35})}$

Etapa 13.3.4

Cancele o fator comum.

$7 \cdot 2 \frac{- 25}{7 \sqrt{35}}$

Etapa 13.3.5

Reescreva a expressão.

$2 \frac{- 25}{\sqrt{35}}$

Etapa 13.4

Combine $2$ e $\frac{- 25}{\sqrt{35}}$ .

$\frac{2 \cdot - 25}{\sqrt{35}}$

Etapa 13.5

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.5.1

Multiplique $2$ por $- 25$ .

$\frac{- 50}{\sqrt{35}}$

Etapa 13.5.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{50}{\sqrt{35}}$

Etapa 13.6

Multiplique $\frac{50}{\sqrt{35}}$ por $\frac{\sqrt{35}}{\sqrt{35}}$ .

$- (\frac{50}{\sqrt{35}} \cdot \frac{\sqrt{35}}{\sqrt{35}})$

Etapa 13.7

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.7.1

Multiplique $\frac{50}{\sqrt{35}}$ por $\frac{\sqrt{35}}{\sqrt{35}}$ .

$- \frac{50 \sqrt{35}}{\sqrt{35} \sqrt{35}}$

Etapa 13.7.2

Eleve $\sqrt{35}$ à potência de $1$ .

$- \frac{50 \sqrt{35}}{{\sqrt{35}}^{1} \sqrt{35}}$

Etapa 13.7.3

Eleve $\sqrt{35}$ à potência de $1$ .

$- \frac{50 \sqrt{35}}{{\sqrt{35}}^{1} {\sqrt{35}}^{1}}$

Etapa 13.7.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{50 \sqrt{35}}{{\sqrt{35}}^{1 + 1}}$

Etapa 13.7.5

Some $1$ e $1$ .

$- \frac{50 \sqrt{35}}{{\sqrt{35}}^{2}}$

Etapa 13.7.6

Reescreva ${\sqrt{35}}^{2}$ como $35$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.7.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{35}$ como $35^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{50 \sqrt{35}}{{(35^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 13.7.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{50 \sqrt{35}}{35^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 13.7.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$- \frac{50 \sqrt{35}}{35^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 13.7.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.7.6.4.1

Cancele o fator comum.

$- \frac{50 \sqrt{35}}{35^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 13.7.6.4.2

Reescreva a expressão.

$- \frac{50 \sqrt{35}}{35^{1}}$

Etapa 13.7.6.5

Avalie o expoente.

$- \frac{50 \sqrt{35}}{35}$

Etapa 13.8

Cancele o fator comum de $50$ e $35$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.8.1

Fatore $5$ de $50 \sqrt{35}$ .

$- \frac{5 (10 \sqrt{35})}{35}$

Etapa 13.8.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.8.2.1

Fatore $5$ de $35$ .

$- \frac{5 (10 \sqrt{35})}{5 (7)}$

Etapa 13.8.2.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{5 (10 \sqrt{35})}{5 \cdot 7}$

Etapa 13.8.2.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{10 \sqrt{35}}{7}$

Etapa 14

$x = - \frac{\sqrt{35}}{5}$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = - \frac{\sqrt{35}}{5}$ é um máximo local

Etapa 15

Encontre o valor y quando $x = - \frac{\sqrt{35}}{5}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.1

Substitua a variável $x$ por $- \frac{\sqrt{35}}{5}$ na expressão.

$f (- \frac{\sqrt{35}}{5}) = 5 (- \frac{\sqrt{35}}{5}) + 7 {(- \frac{\sqrt{35}}{5})}^{- 1}$

Etapa 15.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.1

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{\sqrt{35}}{5}$ para o numerador.

$f (- \frac{\sqrt{35}}{5}) = 5 (\frac{- \sqrt{35}}{5}) + 7 {(- \frac{\sqrt{35}}{5})}^{- 1}$

Etapa 15.2.1.1.2

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{\sqrt{35}}{5}) = 5 (\frac{- \sqrt{35}}{5}) + 7 {(- \frac{\sqrt{35}}{5})}^{- 1}$

Etapa 15.2.1.1.3

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{\sqrt{35}}{5}) = - \sqrt{35} + 7 {(- \frac{\sqrt{35}}{5})}^{- 1}$

Etapa 15.2.1.2

Altere o sinal do expoente reescrevendo a base como seu inverso.

$f (- \frac{\sqrt{35}}{5}) = - \sqrt{35} + 7 (- \frac{5}{\sqrt{35}})$

Etapa 15.2.1.3

Multiplique $\frac{5}{\sqrt{35}}$ por $\frac{\sqrt{35}}{\sqrt{35}}$ .

$f (- \frac{\sqrt{35}}{5}) = - \sqrt{35} + 7 (- (\frac{5}{\sqrt{35}} \cdot \frac{\sqrt{35}}{\sqrt{35}}))$

Etapa 15.2.1.4

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.4.1

Multiplique $\frac{5}{\sqrt{35}}$ por $\frac{\sqrt{35}}{\sqrt{35}}$ .

$f (- \frac{\sqrt{35}}{5}) = - \sqrt{35} + 7 (- \frac{5 \sqrt{35}}{\sqrt{35} \sqrt{35}})$

Etapa 15.2.1.4.2

Eleve $\sqrt{35}$ à potência de $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{35}}{5}) = - \sqrt{35} + 7 (- \frac{5 \sqrt{35}}{\sqrt{35} \sqrt{35}})$

Etapa 15.2.1.4.3

Eleve $\sqrt{35}$ à potência de $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{35}}{5}) = - \sqrt{35} + 7 (- \frac{5 \sqrt{35}}{\sqrt{35} \sqrt{35}})$

Etapa 15.2.1.4.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f (- \frac{\sqrt{35}}{5}) = - \sqrt{35} + 7 (- \frac{5 \sqrt{35}}{{\sqrt{35}}^{1 + 1}})$

Etapa 15.2.1.4.5

Some $1$ e $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{35}}{5}) = - \sqrt{35} + 7 (- \frac{5 \sqrt{35}}{{\sqrt{35}}^{2}})$

Etapa 15.2.1.4.6

Reescreva ${\sqrt{35}}^{2}$ como $35$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.4.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{35}$ como $35^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{\sqrt{35}}{5}) = - \sqrt{35} + 7 (- \frac{5 \sqrt{35}}{{(35^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Etapa 15.2.1.4.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{\sqrt{35}}{5}) = - \sqrt{35} + 7 (- \frac{5 \sqrt{35}}{35^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Etapa 15.2.1.4.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{35}}{5}) = - \sqrt{35} + 7 (- \frac{5 \sqrt{35}}{35^{\frac{2}{2}}})$

Etapa 15.2.1.4.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.4.6.4.1

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{\sqrt{35}}{5}) = - \sqrt{35} + 7 (- \frac{5 \sqrt{35}}{35^{\frac{2}{2}}})$

Etapa 15.2.1.4.6.4.2

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{\sqrt{35}}{5}) = - \sqrt{35} + 7 (- \frac{5 \sqrt{35}}{35})$

Etapa 15.2.1.4.6.5

Avalie o expoente.

$f (- \frac{\sqrt{35}}{5}) = - \sqrt{35} + 7 (- \frac{5 \sqrt{35}}{35})$

Etapa 15.2.1.5

Cancele o fator comum de $7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.5.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{5 \sqrt{35}}{35}$ para o numerador.

$f (- \frac{\sqrt{35}}{5}) = - \sqrt{35} + 7 (\frac{- 5 \sqrt{35}}{35})$

Etapa 15.2.1.5.2

Fatore $7$ de $35$ .

$f (- \frac{\sqrt{35}}{5}) = - \sqrt{35} + 7 (\frac{- 5 \sqrt{35}}{7 (5)})$

Etapa 15.2.1.5.3

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{\sqrt{35}}{5}) = - \sqrt{35} + 7 (\frac{- 5 \sqrt{35}}{7 \cdot 5})$

Etapa 15.2.1.5.4

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{\sqrt{35}}{5}) = - \sqrt{35} + \frac{- 5 \sqrt{35}}{5}$

Etapa 15.2.1.6

Cancele o fator comum de $- 5$ e $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.6.1

Fatore $5$ de $- 5 \sqrt{35}$ .

$f (- \frac{\sqrt{35}}{5}) = - \sqrt{35} + \frac{5 (- \sqrt{35})}{5}$

Etapa 15.2.1.6.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.6.2.1

Fatore $5$ de $5$ .

$f (- \frac{\sqrt{35}}{5}) = - \sqrt{35} + \frac{5 (- \sqrt{35})}{5 (1)}$

Etapa 15.2.1.6.2.2

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{\sqrt{35}}{5}) = - \sqrt{35} + \frac{5 (- \sqrt{35})}{5 \cdot 1}$

Etapa 15.2.1.6.2.3

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{\sqrt{35}}{5}) = - \sqrt{35} + \frac{- \sqrt{35}}{1}$

Etapa 15.2.1.6.2.4

Divida $- \sqrt{35}$ por $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{35}}{5}) = - \sqrt{35} - \sqrt{35}$

Etapa 15.2.2

Subtraia $\sqrt{35}$ de $- \sqrt{35}$ .

$f (- \frac{\sqrt{35}}{5}) = - 2 \sqrt{35}$

Etapa 15.2.3

A resposta final é $- 2 \sqrt{35}$ .

$y = - 2 \sqrt{35}$

Etapa 16

Esses são os extremos locais para $f (x) = 5 x + 7 x^{- 1}$ .

$(\frac{\sqrt{35}}{5}, 2 \sqrt{35})$ é um mínimo local

$(- \frac{\sqrt{35}}{5}, - 2 \sqrt{35})$ é um máximo local

Etapa 17