Cálculo Exemplos

$f (x) = 6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 {(x - 1)}^{2}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Reescreva ${(x - 1)}^{2}$ como $(x - 1) (x - 1)$ .

$\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 ((x - 1) (x - 1))]$

Etapa 1.2

Expanda $(x - 1) (x - 1)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 (x (x - 1) - 1 (x - 1))]$

Etapa 1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1))]$

Etapa 1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

Etapa 1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

Etapa 1.3.1.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

Etapa 1.3.1.3

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

Etapa 1.3.1.4

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1)]$

Etapa 1.3.1.5

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 (x^{2} - x - x + 1)]$

Etapa 1.3.2

Subtraia $x$ de $- x$ .

$\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Etapa 1.4

De acordo com a regra da soma, a derivada de $6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 (x^{2} - 2 x + 1)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$ .

$\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Etapa 1.5

Avalie $\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}]$ .

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Etapa 1.5.1

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Etapa 1.5.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ e $g (x) = x - 1$ .

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Etapa 1.5.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x - 1$ .

$6 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [x - 1]) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Etapa 1.5.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{2}{3}$ .

$6 (\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1]) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Etapa 1.5.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x - 1$ .

$6 (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1]) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Etapa 1.5.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$6 (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Etapa 1.5.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$6 (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Etapa 1.5.5

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$6 (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Etapa 1.5.6

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$6 (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Etapa 1.5.7

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$6 (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Etapa 1.5.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$6 (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Etapa 1.5.9

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.5.9.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$6 (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2 - 3}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Etapa 1.5.9.2

Subtraia $3$ de $2$ .

$6 (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{- 1}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Etapa 1.5.10

Mova o número negativo para a frente da fração.

$6 (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{- \frac{1}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Etapa 1.5.11

Some $1$ e $0$ .

$6 (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{- \frac{1}{3}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Etapa 1.5.12

Combine $\frac{2}{3}$ e ${(x - 1)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$6 (\frac{2 {(x - 1)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Etapa 1.5.13

Multiplique $\frac{2 {(x - 1)}^{- \frac{1}{3}}}{3}$ por $1$ .

$6 \frac{2 {(x - 1)}^{- \frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Etapa 1.5.14

Mova ${(x - 1)}^{- \frac{1}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$6 \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Etapa 1.5.15

Combine $6$ e $\frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{6 \cdot 2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Etapa 1.5.16

Multiplique $6$ por $2$ .

$\frac{12}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Etapa 1.5.17

Fatore $3$ de $12$ .

$\frac{3 \cdot 4}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Etapa 1.5.18

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.5.18.1

Fatore $3$ de $3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{3 \cdot 4}{3 ({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})} + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Etapa 1.5.18.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3 \cdot 4}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Etapa 1.5.18.3

Reescreva a expressão.

$\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Etapa 1.6

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$ .

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Etapa 1.6.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 (x^{2} - 2 x + 1)$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]$ .

$\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} - 2 \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]$

Etapa 1.6.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 2 x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} - 2 (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 1.6.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} - 2 (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 1.6.4

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} - 2 (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 1.6.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} - 2 (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 1.6.6

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} - 2 (2 x - 2 \cdot 1 + 0)$

Etapa 1.6.7

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} - 2 (2 x - 2 + 0)$

Etapa 1.6.8

Some $2 x - 2$ e $0$ .

$\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} - 2 (2 x - 2)$

Etapa 1.7

Simplifique.

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Etapa 1.7.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2$

Etapa 1.7.2

Combine os termos.

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Etapa 1.7.2.1

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} - 4 x - 2 \cdot - 2$

Etapa 1.7.2.2

Multiplique $- 2$ por $- 2$ .

$\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} - 4 x + 4$

Etapa 1.7.3

Reordene os termos.

$- 4 x + \frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 4$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 4 x + \frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}) + \frac{d}{d x} (4)$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4 x$ em relação a $x$ é $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}) + \frac{d}{d x} (4)$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}) + \frac{d}{d x} (4)$

Etapa 2.2.3

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$f'' (x) = - 4 + \frac{d}{d x} (\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}) + \frac{d}{d x} (4)$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}]$ .

$f'' (x) = - 4 + 4 \frac{d}{d x} (\frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}) + \frac{d}{d x} (4)$

Etapa 2.3.2

Reescreva $\frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$ como ${({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = - 4 + 4 \frac{d}{d x} ({({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}) + \frac{d}{d x} (4)$

Etapa 2.3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

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Etapa 2.3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como ${(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = - 4 + 4 (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{- 1}) \frac{d}{d x} ({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})) + \frac{d}{d x} (4)$

Etapa 2.3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$f'' (x) = - 4 + 4 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}) + \frac{d}{d x} (4)$

Etapa 2.3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por ${(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = - 4 + 4 (- {({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}) + \frac{d}{d x} (4)$

Etapa 2.3.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ e $g (x) = x - 1$ .

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Etapa 2.3.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $x - 1$ .

$f'' (x) = - 4 + 4 (- {({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{- 2} (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{\frac{1}{3}}) \frac{d}{d x} (x - 1))) + \frac{d}{d x} (4)$

Etapa 2.3.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{3}$ .

$f'' (x) = - 4 + 4 (- {({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{- 2} (\frac{1}{3} {u_{2}}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x - 1))) + \frac{d}{d x} (4)$

Etapa 2.3.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $x - 1$ .

$f'' (x) = - 4 + 4 (- {({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{- 2} (\frac{1}{3} \cdot {(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x - 1))) + \frac{d}{d x} (4)$

Etapa 2.3.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = - 4 + 4 (- {({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{- 2} (\frac{1}{3} \cdot ({(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1))))) + \frac{d}{d x} (4)$

Etapa 2.3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = - 4 + 4 (- {({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{- 2} (\frac{1}{3} \cdot ({(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} (1 + \frac{d}{d x} (- 1))))) + \frac{d}{d x} (4)$

Etapa 2.3.7

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = - 4 + 4 (- {({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{- 2} (\frac{1}{3} \cdot ({(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} (1 + 0)))) + \frac{d}{d x} (4)$

Etapa 2.3.8

Multiplique os expoentes em ${({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{- 2}$ .

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Etapa 2.3.8.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 4 + 4 (- {(x - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot - 2} (\frac{1}{3} \cdot ({(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} (1 + 0)))) + \frac{d}{d x} (4)$

Etapa 2.3.8.2

Combine $\frac{1}{3}$ e $- 2$ .

$f'' (x) = - 4 + 4 (- {(x - 1)}^{\frac{- 2}{3}} (\frac{1}{3} \cdot ({(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} (1 + 0)))) + \frac{d}{d x} (4)$

Etapa 2.3.8.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = - 4 + 4 (- {(x - 1)}^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} \cdot ({(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} (1 + 0)))) + \frac{d}{d x} (4)$

Etapa 2.3.9

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = - 4 + 4 (- {(x - 1)}^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} \cdot ({(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (1 + 0)))) + \frac{d}{d x} (4)$

Etapa 2.3.10

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = - 4 + 4 (- {(x - 1)}^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} \cdot ({(x - 1)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0)))) + \frac{d}{d x} (4)$

Etapa 2.3.11

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = - 4 + 4 (- {(x - 1)}^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} \cdot ({(x - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0)))) + \frac{d}{d x} (4)$

Etapa 2.3.12

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.3.12.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$f'' (x) = - 4 + 4 (- {(x - 1)}^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} \cdot ({(x - 1)}^{\frac{1 - 3}{3}} (1 + 0)))) + \frac{d}{d x} (4)$

Etapa 2.3.12.2

Subtraia $3$ de $1$ .

$f'' (x) = - 4 + 4 (- {(x - 1)}^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} \cdot ({(x - 1)}^{\frac{- 2}{3}} (1 + 0)))) + \frac{d}{d x} (4)$

Etapa 2.3.13

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = - 4 + 4 (- {(x - 1)}^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} \cdot ({(x - 1)}^{- \frac{2}{3}} (1 + 0)))) + \frac{d}{d x} (4)$

Etapa 2.3.14

Some $1$ e $0$ .

$f'' (x) = - 4 + 4 (- {(x - 1)}^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} \cdot {(x - 1)}^{- \frac{2}{3}} \cdot 1)) + \frac{d}{d x} (4)$

Etapa 2.3.15

Combine $\frac{1}{3}$ e ${(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = - 4 + 4 (- {(x - 1)}^{- \frac{2}{3}} (\frac{{(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \cdot 1)) + \frac{d}{d x} (4)$

Etapa 2.3.16

Multiplique $\frac{{(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3}$ por $1$ .

$f'' (x) = - 4 + 4 (- {(x - 1)}^{- \frac{2}{3}} \frac{{(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} (4)$

Etapa 2.3.17

Mova ${(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - 4 + 4 (- {(x - 1)}^{- \frac{2}{3}} \frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}) + \frac{d}{d x} (4)$

Etapa 2.3.18

Combine $\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ e ${(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = - 4 + 4 (- \frac{{(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}) + \frac{d}{d x} (4)$

Etapa 2.3.19

Mova ${(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - 4 + 4 (- \frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}) + \frac{d}{d x} (4)$

Etapa 2.3.20

Multiplique ${(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ por ${(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.3.20.1

Mova ${(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = - 4 + 4 (- \frac{1}{3 ({(x - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}) + \frac{d}{d x} (4)$

Etapa 2.3.20.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = - 4 + 4 (- \frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3} + \frac{2}{3}}}) + \frac{d}{d x} (4)$

Etapa 2.3.20.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = - 4 + 4 (- \frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2 + 2}{3}}}) + \frac{d}{d x} (4)$

Etapa 2.3.20.4

Some $2$ e $2$ .

$f'' (x) = - 4 + 4 (- \frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}}) + \frac{d}{d x} (4)$

Etapa 2.3.21

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$f'' (x) = - 4 - 4 \frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}} + \frac{d}{d x} (4)$

Etapa 2.3.22

Combine $- 4$ e $\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}}$ .

$f'' (x) = - 4 + \frac{- 4}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}} + \frac{d}{d x} (4)$

Etapa 2.3.23

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = - 4 - \frac{4}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}} + \frac{d}{d x} (4)$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 2.4.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = - 4 - \frac{4}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}} + 0$

Etapa 2.4.2

Some $- 4 - \frac{4}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}}$ e $0$ .

$f'' (x) = - 4 - \frac{4}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$- 4 x + \frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 4 = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 4.1.1

Reescreva ${(x - 1)}^{2}$ como $(x - 1) (x - 1)$ .

$\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 ((x - 1) (x - 1))]$

Etapa 4.1.2

Expanda $(x - 1) (x - 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 4.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 (x (x - 1) - 1 (x - 1))]$

Etapa 4.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1))]$

Etapa 4.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

Etapa 4.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 4.1.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.3.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

Etapa 4.1.3.1.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

Etapa 4.1.3.1.3

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

Etapa 4.1.3.1.4

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1)]$

Etapa 4.1.3.1.5

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 (x^{2} - x - x + 1)]$

Etapa 4.1.3.2

Subtraia $x$ de $- x$ .

$\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Etapa 4.1.4

$\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Etapa 4.1.5

Avalie $\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}]$ .

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Etapa 4.1.5.1

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Etapa 4.1.5.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ e $g (x) = x - 1$ .

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Etapa 4.1.5.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x - 1$ .

$6 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [x - 1]) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Etapa 4.1.5.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{2}{3}$ .

$6 (\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1]) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Etapa 4.1.5.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x - 1$ .

$6 (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1]) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Etapa 4.1.5.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$6 (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Etapa 4.1.5.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$6 (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Etapa 4.1.5.5

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$6 (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Etapa 4.1.5.6

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$6 (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Etapa 4.1.5.7

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$6 (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Etapa 4.1.5.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$6 (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Etapa 4.1.5.9

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.1.5.9.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$6 (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2 - 3}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Etapa 4.1.5.9.2

Subtraia $3$ de $2$ .

$6 (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{- 1}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Etapa 4.1.5.10

Mova o número negativo para a frente da fração.

$6 (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{- \frac{1}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Etapa 4.1.5.11

Some $1$ e $0$ .

$6 (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{- \frac{1}{3}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Etapa 4.1.5.12

Combine $\frac{2}{3}$ e ${(x - 1)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$6 (\frac{2 {(x - 1)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Etapa 4.1.5.13

Multiplique $\frac{2 {(x - 1)}^{- \frac{1}{3}}}{3}$ por $1$ .

$6 \frac{2 {(x - 1)}^{- \frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Etapa 4.1.5.14

Mova ${(x - 1)}^{- \frac{1}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$6 \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Etapa 4.1.5.15

Combine $6$ e $\frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{6 \cdot 2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Etapa 4.1.5.16

Multiplique $6$ por $2$ .

$\frac{12}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Etapa 4.1.5.17

Fatore $3$ de $12$ .

$\frac{3 \cdot 4}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Etapa 4.1.5.18

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 4.1.5.18.1

Fatore $3$ de $3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{3 \cdot 4}{3 ({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})} + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Etapa 4.1.5.18.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3 \cdot 4}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Etapa 4.1.5.18.3

Reescreva a expressão.

$\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Etapa 4.1.6

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$ .

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Etapa 4.1.6.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 (x^{2} - 2 x + 1)$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]$ .

$\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} - 2 \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]$

Etapa 4.1.6.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 2 x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} - 2 (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 4.1.6.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} - 2 (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 4.1.6.4

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} - 2 (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 4.1.6.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} - 2 (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 4.1.6.6

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} - 2 (2 x - 2 \cdot 1 + 0)$

Etapa 4.1.6.7

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} - 2 (2 x - 2 + 0)$

Etapa 4.1.6.8

Some $2 x - 2$ e $0$ .

$\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} - 2 (2 x - 2)$

Etapa 4.1.7

Simplifique.

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Etapa 4.1.7.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2$

Etapa 4.1.7.2

Combine os termos.

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Etapa 4.1.7.2.1

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} - 4 x - 2 \cdot - 2$

Etapa 4.1.7.2.2

Multiplique $- 2$ por $- 2$ .

$\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} - 4 x + 4$

Etapa 4.1.7.3

Reordene os termos.

$f' (x) = - 4 x + \frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 4$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- 4 x + \frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 4$ .

$- 4 x + \frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 4$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- 4 x + \frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 4 = 0$ .

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Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- 4 x + \frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 4 = 0$

Etapa 5.2

Represente cada lado da equação em um gráfico. A solução é o valor x do ponto de intersecção.

$x = 0, 2$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 6.1

Converta expressões com expoentes fracionários em radicais.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1

Aplique a regra $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescrever a exponenciação como um radical.

$- 4 x + \frac{4}{\sqrt[3]{{(x - 1)}^{1}}} + 4$

Etapa 6.1.2

Qualquer número elevado a $1$ é a própria base.

$- 4 x + \frac{4}{\sqrt[3]{x - 1}} + 4$

Etapa 6.2

Defina o denominador em $\frac{4}{\sqrt[3]{x - 1}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$\sqrt[3]{x - 1} = 0$

Etapa 6.3

Resolva $x$ .

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Etapa 6.3.1

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao cubo os dois lados da equação.

${\sqrt[3]{x - 1}}^{3} = 0^{3}$

Etapa 6.3.2

Simplifique cada lado da equação.

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Etapa 6.3.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{x - 1}$ como ${(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

${({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Etapa 6.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.3.2.2.1

Simplifique ${({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.2.1.1

Multiplique os expoentes em ${({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Etapa 6.3.2.2.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Etapa 6.3.2.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 6.3.2.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

${(x - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Etapa 6.3.2.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

${(x - 1)}^{1} = 0^{3}$

Etapa 6.3.2.2.1.2

Simplifique.

$x - 1 = 0^{3}$

Etapa 6.3.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.3.2.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$x - 1 = 0$

Etapa 6.3.3

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = 0, 2, 1$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = 0$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- 4 - \frac{4}{3 {((0) - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 9.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 9.1.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 9.1.1.1

Subtraia $1$ de $0$ .

$- 4 - \frac{4}{3 {(- 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 9.1.1.2

Reescreva $- 1$ como ${(- 1)}^{3}$ .

$- 4 - \frac{4}{3 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 9.1.1.3

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 4 - \frac{4}{3 {(- 1)}^{3 (\frac{4}{3})}}$

Etapa 9.1.1.4

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 9.1.1.4.1

Cancele o fator comum.

$- 4 - \frac{4}{3 {(- 1)}^{3 (\frac{4}{3})}}$

Etapa 9.1.1.4.2

Reescreva a expressão.

$- 4 - \frac{4}{3 {(- 1)}^{4}}$

Etapa 9.1.1.5

Eleve $- 1$ à potência de $4$ .

$- 4 - \frac{4}{3 \cdot 1}$

Etapa 9.1.2

Multiplique $3$ por $1$ .

$- 4 - \frac{4}{3}$

Etapa 9.2

Para escrever $- 4$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$- 4 \cdot \frac{3}{3} - \frac{4}{3}$

Etapa 9.3

Combine $- 4$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{- 4 \cdot 3}{3} - \frac{4}{3}$

Etapa 9.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- 4 \cdot 3 - 4}{3}$

Etapa 9.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.5.1

Multiplique $- 4$ por $3$ .

$\frac{- 12 - 4}{3}$

Etapa 9.5.2

Subtraia $4$ de $- 12$ .

$\frac{- 16}{3}$

Etapa 9.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{16}{3}$

Etapa 10

$x = 0$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 0$ é um máximo local

Etapa 11

Encontre o valor y quando $x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f (0) = 6 {((0) - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 {((0) - 1)}^{2}$

Etapa 11.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.1

Subtraia $1$ de $0$ .

$f (0) = 6 {(- 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 {((0) - 1)}^{2}$

Etapa 11.2.1.2

Reescreva $- 1$ como ${(- 1)}^{3}$ .

$f (0) = 6 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{2}{3}} - 2 {((0) - 1)}^{2}$

Etapa 11.2.1.3

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (0) = 6 {(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})} - 2 {((0) - 1)}^{2}$

Etapa 11.2.1.4

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.4.1

Cancele o fator comum.

$f (0) = 6 {(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})} - 2 {((0) - 1)}^{2}$

Etapa 11.2.1.4.2

Reescreva a expressão.

$f (0) = 6 {(- 1)}^{2} - 2 {((0) - 1)}^{2}$

Etapa 11.2.1.5

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f (0) = 6 \cdot 1 - 2 {((0) - 1)}^{2}$

Etapa 11.2.1.6

Multiplique $6$ por $1$ .

$f (0) = 6 - 2 {((0) - 1)}^{2}$

Etapa 11.2.1.7

Subtraia $1$ de $0$ .

$f (0) = 6 - 2 {(- 1)}^{2}$

Etapa 11.2.1.8

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f (0) = 6 - 2 \cdot 1$

Etapa 11.2.1.9

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$f (0) = 6 - 2$

Etapa 11.2.2

Subtraia $2$ de $6$ .

$f (0) = 4$

Etapa 11.2.3

A resposta final é $4$ .

$y = 4$

Etapa 12

Avalie a segunda derivada em $x = 2$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- 4 - \frac{4}{3 {((2) - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 13

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.1

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.1.1

Subtraia $1$ de $2$ .

$- 4 - \frac{4}{3 \cdot 1^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 13.1.1.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$- 4 - \frac{4}{3 \cdot 1}$

Etapa 13.1.2

Multiplique $3$ por $1$ .

$- 4 - \frac{4}{3}$

Etapa 13.2

Para escrever $- 4$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$- 4 \cdot \frac{3}{3} - \frac{4}{3}$

Etapa 13.3

Combine $- 4$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{- 4 \cdot 3}{3} - \frac{4}{3}$

Etapa 13.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- 4 \cdot 3 - 4}{3}$

Etapa 13.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.5.1

Multiplique $- 4$ por $3$ .

$\frac{- 12 - 4}{3}$

Etapa 13.5.2

Subtraia $4$ de $- 12$ .

$\frac{- 16}{3}$

Etapa 13.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{16}{3}$

Etapa 14

$x = 2$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 2$ é um máximo local

Etapa 15

Encontre o valor y quando $x = 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.1

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$f (2) = 6 {((2) - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 {((2) - 1)}^{2}$

Etapa 15.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.1

Subtraia $1$ de $2$ .

$f (2) = 6 \cdot 1^{\frac{2}{3}} - 2 {((2) - 1)}^{2}$

Etapa 15.2.1.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$f (2) = 6 \cdot 1 - 2 {((2) - 1)}^{2}$

Etapa 15.2.1.3

Multiplique $6$ por $1$ .

$f (2) = 6 - 2 {((2) - 1)}^{2}$

Etapa 15.2.1.4

Subtraia $1$ de $2$ .

$f (2) = 6 - 2 \cdot 1^{2}$

Etapa 15.2.1.5

Um elevado a qualquer potência é um.

$f (2) = 6 - 2 \cdot 1$

Etapa 15.2.1.6

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$f (2) = 6 - 2$

Etapa 15.2.2

Subtraia $2$ de $6$ .

$f (2) = 4$

Etapa 15.2.3

A resposta final é $4$ .

$y = 4$

Etapa 16

Avalie a segunda derivada em $x = 1$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- 4 - \frac{4}{3 {((1) - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 17

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.1

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.1.1

Subtraia $1$ de $1$ .

$- 4 - \frac{4}{3 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 17.1.2

Reescreva $0$ como $0^{3}$ .

$- 4 - \frac{4}{3 \cdot {(0^{3})}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 17.1.3

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 4 - \frac{4}{3 \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}}$

Etapa 17.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.2.1

Cancele o fator comum.

$- 4 - \frac{4}{3 \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}}$

Etapa 17.2.2

Reescreva a expressão.

$- 4 - \frac{4}{3 \cdot 0^{4}}$

Etapa 17.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$- 4 - \frac{4}{3 \cdot 0}$

Etapa 17.3.2

Multiplique $3$ por $0$ .

$- 4 - \frac{4}{0}$

Etapa 17.3.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$- 4 - \frac{4}{0}$

Etapa 17.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

Etapa 18

Como há pelo menos um ponto com $0$ ou segunda derivada indefinida, aplique o teste da primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.1

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a primeira derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, 0) \cup (0, 1) \cup (1, 2) \cup (2, \infty)$

Etapa 18.2

Substitua qualquer número, como $- 2$ , do intervalo $(- \infty, 0)$ na primeira derivada $- 4 x + \frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 4$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.2.1

Substitua a variável $x$ por $- 2$ na expressão.

$f' (- 2) = - 4 \cdot - 2 + \frac{4}{{((- 2) - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 4$

Etapa 18.2.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.2.2.1.1

Multiplique $- 4$ por $- 2$ .

$f' (- 2) = 8 + \frac{4}{{((- 2) - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 4$

Etapa 18.2.2.1.2

Subtraia $1$ de $- 2$ .

$f' (- 2) = 8 + \frac{4}{{(- 3)}^{\frac{1}{3}}} + 4$

Etapa 18.2.2.2

Some $8$ e $4$ .

$f' (- 2) = 12 + \frac{4}{{(- 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 18.2.2.3

A resposta final é $12 + \frac{4}{{(- 3)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$12 + \frac{4}{{(- 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 18.3

Substitua qualquer número, como $0.5$ , do intervalo $(0, 1)$ na primeira derivada $- 4 x + \frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 4$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.3.1

Substitua a variável $x$ por $0.5$ na expressão.

$f' (0.5) = - 4 \cdot 0.5 + \frac{4}{{((0.5) - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 4$

Etapa 18.3.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.3.2.1.1

Multiplique $- 4$ por $0.5$ .

$f' (0.5) = - 2 + \frac{4}{{((0.5) - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 4$

Etapa 18.3.2.1.2

Subtraia $1$ de $0.5$ .

$f' (0.5) = - 2 + \frac{4}{{(- 0.5)}^{\frac{1}{3}}} + 4$

Etapa 18.3.2.2

Some $- 2$ e $4$ .

$f' (0.5) = 2 + \frac{4}{{(- 0.5)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 18.3.2.3

A resposta final é $2 + \frac{4}{{(- 0.5)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$2 + \frac{4}{{(- 0.5)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 18.4

Substitua qualquer número, como $1.5$ , do intervalo $(1, 2)$ na primeira derivada $- 4 x + \frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 4$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.4.1

Substitua a variável $x$ por $1.5$ na expressão.

$f' (1.5) = - 4 \cdot 1.5 + \frac{4}{{((1.5) - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 4$

Etapa 18.4.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.4.2.1.1

Multiplique $- 4$ por $1.5$ .

$f' (1.5) = - 6 + \frac{4}{{((1.5) - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 4$

Etapa 18.4.2.1.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.4.2.1.2.1

Subtraia $1$ de $1.5$ .

$f' (1.5) = - 6 + \frac{4}{{0.5}^{\frac{1}{3}}} + 4$

Etapa 18.4.2.1.2.2

Eleve $0.5$ à potência de $\frac{1}{3}$ .

$f' (1.5) = - 6 + \frac{4}{0.79370052} + 4$

Etapa 18.4.2.1.3

Divida $4$ por $0.79370052$ .

$f' (1.5) = - 6 + 5.03968419 + 4$

Etapa 18.4.2.2

Simplifique somando os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.4.2.2.1

Some $- 6$ e $5.03968419$ .

$f' (1.5) = - 0.9603158 + 4$

Etapa 18.4.2.2.2

Some $- 0.9603158$ e $4$ .

$f' (1.5) = 3.03968419$

Etapa 18.4.2.3

A resposta final é $3.03968419$ .

$3.03968419$

Etapa 18.5

Substitua qualquer número, como $4$ , do intervalo $(2, \infty)$ na primeira derivada $- 4 x + \frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 4$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.5.1

Substitua a variável $x$ por $4$ na expressão.

$f' (4) = - 4 \cdot 4 + \frac{4}{{((4) - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 4$

Etapa 18.5.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.5.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.5.2.1.1

Multiplique $- 4$ por $4$ .

$f' (4) = - 16 + \frac{4}{{((4) - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 4$

Etapa 18.5.2.1.2

Subtraia $1$ de $4$ .

$f' (4) = - 16 + \frac{4}{3^{\frac{1}{3}}} + 4$

Etapa 18.5.2.2

Some $- 16$ e $4$ .

$f' (4) = - 12 + \frac{4}{3^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 18.5.2.3

A resposta final é $- 12 + \frac{4}{3^{\frac{1}{3}}}$ .

$- 12 + \frac{4}{3^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 18.6

Como a primeira derivada mudou os sinais de positivo para negativo em torno de $x = 0$ , então $x = 0$ é um máximo local.

$x = 0$ é um máximo local

Etapa 18.7

Como a primeira derivada mudou os sinais de negativo para positivo em torno de $x = 1$ , então $x = 1$ é um mínimo local.

$x = 1$ é um mínimo local

Etapa 18.8

Como a primeira derivada mudou os sinais de positivo para negativo em torno de $x = 2$ , então $x = 2$ é um máximo local.

$x = 2$ é um máximo local

Etapa 18.9

Esses são os extremos locais para $f (x) = 6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 {(x - 1)}^{2}$ .

$x = 0$ é um máximo local

$x = 1$ é um mínimo local

$x = 2$ é um máximo local

$x = 0$ é um máximo local

$x = 1$ é um mínimo local

$x = 2$ é um máximo local

Etapa 19