Cálculo Exemplos

$f (x) = 6 x^{4} - 16 x^{3} - 111 x^{2} + 120 x + 27$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

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Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $6 x^{4} - 16 x^{3} - 111 x^{2} + 120 x + 27$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [6 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 111 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x] + \frac{d}{d x} [27]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 111 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x] + \frac{d}{d x} [27]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [6 x^{4}]$ .

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Etapa 1.2.1

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 x^{4}$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 111 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x] + \frac{d}{d x} [27]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$6 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 111 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x] + \frac{d}{d x} [27]$

Etapa 1.2.3

Multiplique $4$ por $6$ .

$24 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 111 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x] + \frac{d}{d x} [27]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 16 x^{3}]$ .

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Etapa 1.3.1

Como $- 16$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 16 x^{3}$ em relação a $x$ é $- 16 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$24 x^{3} - 16 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 111 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x] + \frac{d}{d x} [27]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$24 x^{3} - 16 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 111 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x] + \frac{d}{d x} [27]$

Etapa 1.3.3

Multiplique $3$ por $- 16$ .

$24 x^{3} - 48 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 111 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x] + \frac{d}{d x} [27]$

Etapa 1.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- 111 x^{2}]$ .

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Etapa 1.4.1

Como $- 111$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 111 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 111 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$24 x^{3} - 48 x^{2} - 111 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x] + \frac{d}{d x} [27]$

Etapa 1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$24 x^{3} - 48 x^{2} - 111 (2 x) + \frac{d}{d x} [120 x] + \frac{d}{d x} [27]$

Etapa 1.4.3

Multiplique $2$ por $- 111$ .

$24 x^{3} - 48 x^{2} - 222 x + \frac{d}{d x} [120 x] + \frac{d}{d x} [27]$

Etapa 1.5

Avalie $\frac{d}{d x} [120 x]$ .

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Etapa 1.5.1

Como $120$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $120 x$ em relação a $x$ é $120 \frac{d}{d x} [x]$ .

$24 x^{3} - 48 x^{2} - 222 x + 120 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [27]$

Etapa 1.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$24 x^{3} - 48 x^{2} - 222 x + 120 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [27]$

Etapa 1.5.3

Multiplique $120$ por $1$ .

$24 x^{3} - 48 x^{2} - 222 x + 120 + \frac{d}{d x} [27]$

Etapa 1.6

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 1.6.1

Como $27$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $27$ em relação a $x$ é $0$ .

$24 x^{3} - 48 x^{2} - 222 x + 120 + 0$

Etapa 1.6.2

Some $24 x^{3} - 48 x^{2} - 222 x + 120$ e $0$ .

$24 x^{3} - 48 x^{2} - 222 x + 120$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $24 x^{3} - 48 x^{2} - 222 x + 120$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [24 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 222 x] + \frac{d}{d x} [120]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (24 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 48 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 222 x) + \frac{d}{d x} (120)$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [24 x^{3}]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $24$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $24 x^{3}$ em relação a $x$ é $24 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 24 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 48 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 222 x) + \frac{d}{d x} (120)$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f'' (x) = 24 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 48 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 222 x) + \frac{d}{d x} (120)$

Etapa 2.2.3

Multiplique $3$ por $24$ .

$f'' (x) = 72 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 48 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 222 x) + \frac{d}{d x} (120)$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 48 x^{2}]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $- 48$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 48 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 48 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 72 x^{2} - 48 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 222 x) + \frac{d}{d x} (120)$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = 72 x^{2} - 48 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 222 x) + \frac{d}{d x} (120)$

Etapa 2.3.3

Multiplique $2$ por $- 48$ .

$f'' (x) = 72 x^{2} - 96 x + \frac{d}{d x} (- 222 x) + \frac{d}{d x} (120)$

Etapa 2.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- 222 x]$ .

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Etapa 2.4.1

Como $- 222$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 222 x$ em relação a $x$ é $- 222 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 72 x^{2} - 96 x - 222 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (120)$

Etapa 2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 72 x^{2} - 96 x - 222 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (120)$

Etapa 2.4.3

Multiplique $- 222$ por $1$ .

$f'' (x) = 72 x^{2} - 96 x - 222 + \frac{d}{d x} (120)$

Etapa 2.5

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 2.5.1

Como $120$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $120$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 72 x^{2} - 96 x - 222 + 0$

Etapa 2.5.2

Some $72 x^{2} - 96 x - 222$ e $0$ .

$f'' (x) = 72 x^{2} - 96 x - 222$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$24 x^{3} - 48 x^{2} - 222 x + 120 = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 4.1.1

$\frac{d}{d x} [6 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 111 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x] + \frac{d}{d x} [27]$

Etapa 4.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [6 x^{4}]$ .

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Etapa 4.1.2.1

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 x^{4}$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 111 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x] + \frac{d}{d x} [27]$

Etapa 4.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$6 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 111 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x] + \frac{d}{d x} [27]$

Etapa 4.1.2.3

Multiplique $4$ por $6$ .

$24 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 111 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x] + \frac{d}{d x} [27]$

Etapa 4.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 16 x^{3}]$ .

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Etapa 4.1.3.1

Como $- 16$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 16 x^{3}$ em relação a $x$ é $- 16 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$24 x^{3} - 16 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 111 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x] + \frac{d}{d x} [27]$

Etapa 4.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$24 x^{3} - 16 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 111 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x] + \frac{d}{d x} [27]$

Etapa 4.1.3.3

Multiplique $3$ por $- 16$ .

$24 x^{3} - 48 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 111 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x] + \frac{d}{d x} [27]$

Etapa 4.1.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- 111 x^{2}]$ .

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Etapa 4.1.4.1

Como $- 111$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 111 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 111 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$24 x^{3} - 48 x^{2} - 111 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x] + \frac{d}{d x} [27]$

Etapa 4.1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$24 x^{3} - 48 x^{2} - 111 (2 x) + \frac{d}{d x} [120 x] + \frac{d}{d x} [27]$

Etapa 4.1.4.3

Multiplique $2$ por $- 111$ .

$24 x^{3} - 48 x^{2} - 222 x + \frac{d}{d x} [120 x] + \frac{d}{d x} [27]$

Etapa 4.1.5

Avalie $\frac{d}{d x} [120 x]$ .

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Etapa 4.1.5.1

Como $120$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $120 x$ em relação a $x$ é $120 \frac{d}{d x} [x]$ .

$24 x^{3} - 48 x^{2} - 222 x + 120 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [27]$

Etapa 4.1.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$24 x^{3} - 48 x^{2} - 222 x + 120 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [27]$

Etapa 4.1.5.3

Multiplique $120$ por $1$ .

$24 x^{3} - 48 x^{2} - 222 x + 120 + \frac{d}{d x} [27]$

Etapa 4.1.6

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 4.1.6.1

Como $27$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $27$ em relação a $x$ é $0$ .

$24 x^{3} - 48 x^{2} - 222 x + 120 + 0$

Etapa 4.1.6.2

Some $24 x^{3} - 48 x^{2} - 222 x + 120$ e $0$ .

$f' (x) = 24 x^{3} - 48 x^{2} - 222 x + 120$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $24 x^{3} - 48 x^{2} - 222 x + 120$ .

$24 x^{3} - 48 x^{2} - 222 x + 120$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $24 x^{3} - 48 x^{2} - 222 x + 120 = 0$ .

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Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$24 x^{3} - 48 x^{2} - 222 x + 120 = 0$

Etapa 5.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 5.2.1

Fatore $6$ de $24 x^{3} - 48 x^{2} - 222 x + 120$ .

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Etapa 5.2.1.1

Fatore $6$ de $24 x^{3}$ .

$6 (4 x^{3}) - 48 x^{2} - 222 x + 120 = 0$

Etapa 5.2.1.2

Fatore $6$ de $- 48 x^{2}$ .

$6 (4 x^{3}) + 6 (- 8 x^{2}) - 222 x + 120 = 0$

Etapa 5.2.1.3

Fatore $6$ de $- 222 x$ .

$6 (4 x^{3}) + 6 (- 8 x^{2}) + 6 (- 37 x) + 120 = 0$

Etapa 5.2.1.4

Fatore $6$ de $120$ .

$6 (4 x^{3}) + 6 (- 8 x^{2}) + 6 (- 37 x) + 6 (20) = 0$

Etapa 5.2.1.5

Fatore $6$ de $6 (4 x^{3}) + 6 (- 8 x^{2})$ .

$6 (4 x^{3} - 8 x^{2}) + 6 (- 37 x) + 6 (20) = 0$

Etapa 5.2.1.6

Fatore $6$ de $6 (4 x^{3} - 8 x^{2}) + 6 (- 37 x)$ .

$6 (4 x^{3} - 8 x^{2} - 37 x) + 6 (20) = 0$

Etapa 5.2.1.7

Fatore $6$ de $6 (4 x^{3} - 8 x^{2} - 37 x) + 6 (20)$ .

$6 (4 x^{3} - 8 x^{2} - 37 x + 20) = 0$

Etapa 5.2.2

Fatore $4 x^{3} - 8 x^{2} - 37 x + 20$ usando o teste das raízes racionais.

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Etapa 5.2.2.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 20, \pm 2, \pm 10, \pm 4, \pm 5$

$q = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

Etapa 5.2.2.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 0.25, \pm 0.5, \pm 20, \pm 5, \pm 10, \pm 2, \pm 2.5, \pm 4, \pm 1.25$

Etapa 5.2.2.3

Substitua $0.5$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $0.5$ é uma raiz do polinômio.

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Etapa 5.2.2.3.1

Substitua $0.5$ no polinômio.

$4 \cdot {0.5}^{3} - 8 \cdot {0.5}^{2} - 37 \cdot 0.5 + 20$

Etapa 5.2.2.3.2

Eleve $0.5$ à potência de $3$ .

$4 \cdot 0.125 - 8 \cdot {0.5}^{2} - 37 \cdot 0.5 + 20$

Etapa 5.2.2.3.3

Multiplique $4$ por $0.125$ .

$0.5 - 8 \cdot {0.5}^{2} - 37 \cdot 0.5 + 20$

Etapa 5.2.2.3.4

Eleve $0.5$ à potência de $2$ .

$0.5 - 8 \cdot 0.25 - 37 \cdot 0.5 + 20$

Etapa 5.2.2.3.5

Multiplique $- 8$ por $0.25$ .

$0.5 - 2 - 37 \cdot 0.5 + 20$

Etapa 5.2.2.3.6

Subtraia $2$ de $0.5$ .

$- 1.5 - 37 \cdot 0.5 + 20$

Etapa 5.2.2.3.7

Multiplique $- 37$ por $0.5$ .

$- 1.5 - 18.5 + 20$

Etapa 5.2.2.3.8

Subtraia $18.5$ de $- 1.5$ .

$- 20 + 20$

Etapa 5.2.2.3.9

Some $- 20$ e $20$ .

$0$

Etapa 5.2.2.4

Como $0.5$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $2 x - 1$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{4 x^{3} - 8 x^{2} - 37 x + 20}{2 x - 1}$

Etapa 5.2.2.5

Divida $4 x^{3} - 8 x^{2} - 37 x + 20$ por $2 x - 1$ .

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Etapa 5.2.2.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$2 x$

$1$

$4 x^{3}$

$8 x^{2}$

$37 x$

$20$

Etapa 5.2.2.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $4 x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $2 x$ .

					$2 x^{2}$
	$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$	-	$37 x$	+	$20$

Etapa 5.2.2.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$2 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$	-	$37 x$	+	$20$
			+	$4 x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Etapa 5.2.2.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $4 x^{3} - 2 x^{2}$ .

				$2 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$	-	$37 x$	+	$20$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Etapa 5.2.2.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$2 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$	-	$37 x$	+	$20$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$

Etapa 5.2.2.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$2 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$	-	$37 x$	+	$20$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$37 x$

Etapa 5.2.2.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 6 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $2 x$ .

				$2 x^{2}$	-	$3 x$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$	-	$37 x$	+	$20$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$37 x$

Etapa 5.2.2.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$2 x^{2}$	-	$3 x$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$	-	$37 x$	+	$20$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$37 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$3 x$

Etapa 5.2.2.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 6 x^{2} + 3 x$ .

				$2 x^{2}$	-	$3 x$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$	-	$37 x$	+	$20$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$37 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$3 x$

Etapa 5.2.2.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$2 x^{2}$	-	$3 x$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$	-	$37 x$	+	$20$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$37 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$3 x$
							-	$40 x$

Etapa 5.2.2.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$2 x^{2}$	-	$3 x$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$	-	$37 x$	+	$20$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$37 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$3 x$
							-	$40 x$	+	$20$

Etapa 5.2.2.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 40 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $2 x$ .

				$2 x^{2}$	-	$3 x$	-	$20$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$	-	$37 x$	+	$20$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$37 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$3 x$
							-	$40 x$	+	$20$

Etapa 5.2.2.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$2 x^{2}$	-	$3 x$	-	$20$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$	-	$37 x$	+	$20$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$37 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$3 x$
							-	$40 x$	+	$20$
							-	$40 x$	+	$20$

Etapa 5.2.2.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 40 x + 20$ .

				$2 x^{2}$	-	$3 x$	-	$20$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$	-	$37 x$	+	$20$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$37 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$3 x$
							-	$40 x$	+	$20$
							+	$40 x$	-	$20$

Etapa 5.2.2.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$2 x^{2}$	-	$3 x$	-	$20$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$	-	$37 x$	+	$20$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$37 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$3 x$
							-	$40 x$	+	$20$
							+	$40 x$	-	$20$
										$0$

Etapa 5.2.2.5.16

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$2 x^{2} - 3 x - 20$

Etapa 5.2.2.6

Escreva $4 x^{3} - 8 x^{2} - 37 x + 20$ como um conjunto de fatores.

$6 ((2 x - 1) (2 x^{2} - 3 x - 20)) = 0$

Etapa 5.2.3

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1.1

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1.1.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 2 \cdot - 20 = - 40$ e cuja soma é $b = - 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1.1.1.1

Fatore $- 3$ de $- 3 x$ .

$6 ((2 x - 1) (2 x^{2} - 3 x - 20)) = 0$

Etapa 5.2.3.1.1.1.2

Reescreva $- 3$ como $5$ mais $- 8$

$6 ((2 x - 1) (2 x^{2} + (5 - 8) x - 20)) = 0$

Etapa 5.2.3.1.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$6 ((2 x - 1) (2 x^{2} + 5 x - 8 x - 20)) = 0$

Etapa 5.2.3.1.1.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1.1.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$6 ((2 x - 1) ((2 x^{2} + 5 x) - 8 x - 20)) = 0$

Etapa 5.2.3.1.1.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$6 ((2 x - 1) (x (2 x + 5) - 4 (2 x + 5))) = 0$

Etapa 5.2.3.1.1.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $2 x + 5$ .

$6 ((2 x - 1) ((2 x + 5) (x - 4))) = 0$

Etapa 5.2.3.1.2

Remova os parênteses desnecessários.

$6 ((2 x - 1) (2 x + 5) (x - 4)) = 0$

Etapa 5.2.3.2

Remova os parênteses desnecessários.

$6 (2 x - 1) (2 x + 5) (x - 4) = 0$

Etapa 5.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$2 x - 1 = 0$

$2 x + 5 = 0$

$x - 4 = 0$

Etapa 5.4

Defina $2 x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1

Defina $2 x - 1$ como igual a $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Etapa 5.4.2

Resolva $2 x - 1 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$2 x = 1$

Etapa 5.4.2.2

Divida cada termo em $2 x = 1$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.2.1

Divida cada termo em $2 x = 1$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 5.4.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 5.4.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Etapa 5.5

Defina $2 x + 5$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1

Defina $2 x + 5$ como igual a $0$ .

$2 x + 5 = 0$

Etapa 5.5.2

Resolva $2 x + 5 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.1

Subtraia $5$ dos dois lados da equação.

$2 x = - 5$

Etapa 5.5.2.2

Divida cada termo em $2 x = - 5$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.2.1

Divida cada termo em $2 x = - 5$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 5}{2}$

Etapa 5.5.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 5}{2}$

Etapa 5.5.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 5}{2}$

Etapa 5.5.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{5}{2}$

Etapa 5.6

Defina $x - 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.1

Defina $x - 4$ como igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Etapa 5.6.2

Some $4$ aos dois lados da equação.

$x = 4$

Etapa 5.7

A solução final são todos os valores que tornam $6 (2 x - 1) (2 x + 5) (x - 4) = 0$ verdadeiro.

$x = \frac{1}{2}, - \frac{5}{2}, 4$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = \frac{1}{2}, - \frac{5}{2}, 4$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = \frac{1}{2}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$72 {(\frac{1}{2})}^{2} - 96 (\frac{1}{2}) - 222$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{2}$ .

$72 \frac{1^{2}}{2^{2}} - 96 (\frac{1}{2}) - 222$

Etapa 9.1.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$72 \frac{1}{2^{2}} - 96 (\frac{1}{2}) - 222$

Etapa 9.1.3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$72 (\frac{1}{4}) - 96 (\frac{1}{2}) - 222$

Etapa 9.1.4

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.4.1

Fatore $4$ de $72$ .

$4 (18) \frac{1}{4} - 96 (\frac{1}{2}) - 222$

Etapa 9.1.4.2

Cancele o fator comum.

$4 \cdot 18 \frac{1}{4} - 96 (\frac{1}{2}) - 222$

Etapa 9.1.4.3

Reescreva a expressão.

$18 - 96 (\frac{1}{2}) - 222$

Etapa 9.1.5

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.5.1

Fatore $2$ de $- 96$ .

$18 + 2 (- 48) \frac{1}{2} - 222$

Etapa 9.1.5.2

Cancele o fator comum.

$18 + 2 \cdot - 48 \frac{1}{2} - 222$

Etapa 9.1.5.3

Reescreva a expressão.

$18 - 48 - 222$

Etapa 9.2

Simplifique subtraindo os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1

Subtraia $48$ de $18$ .

$- 30 - 222$

Etapa 9.2.2

Subtraia $222$ de $- 30$ .

$- 252$

Etapa 10

$x = \frac{1}{2}$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = \frac{1}{2}$ é um máximo local

Etapa 11

Encontre o valor y quando $x = \frac{1}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{1}{2}$ na expressão.

$f (\frac{1}{2}) = 6 {(\frac{1}{2})}^{4} - 16 {(\frac{1}{2})}^{3} - 111 {(\frac{1}{2})}^{2} + 120 (\frac{1}{2}) + 27$

Etapa 11.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = 6 (\frac{1^{4}}{2^{4}}) - 16 {(\frac{1}{2})}^{3} - 111 {(\frac{1}{2})}^{2} + 120 (\frac{1}{2}) + 27$

Etapa 11.2.1.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$f (\frac{1}{2}) = 6 (\frac{1}{2^{4}}) - 16 {(\frac{1}{2})}^{3} - 111 {(\frac{1}{2})}^{2} + 120 (\frac{1}{2}) + 27$

Etapa 11.2.1.3

Eleve $2$ à potência de $4$ .

$f (\frac{1}{2}) = 6 (\frac{1}{16}) - 16 {(\frac{1}{2})}^{3} - 111 {(\frac{1}{2})}^{2} + 120 (\frac{1}{2}) + 27$

Etapa 11.2.1.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.4.1

Fatore $2$ de $6$ .

$f (\frac{1}{2}) = 2 (3) (\frac{1}{16}) - 16 {(\frac{1}{2})}^{3} - 111 {(\frac{1}{2})}^{2} + 120 (\frac{1}{2}) + 27$

Etapa 11.2.1.4.2

Fatore $2$ de $16$ .

$f (\frac{1}{2}) = 2 \cdot (3 (\frac{1}{2 \cdot 8})) - 16 {(\frac{1}{2})}^{3} - 111 {(\frac{1}{2})}^{2} + 120 (\frac{1}{2}) + 27$

Etapa 11.2.1.4.3

Cancele o fator comum.

$f (\frac{1}{2}) = 2 \cdot (3 (\frac{1}{2 \cdot 8})) - 16 {(\frac{1}{2})}^{3} - 111 {(\frac{1}{2})}^{2} + 120 (\frac{1}{2}) + 27$

Etapa 11.2.1.4.4

Reescreva a expressão.

$f (\frac{1}{2}) = 3 (\frac{1}{8}) - 16 {(\frac{1}{2})}^{3} - 111 {(\frac{1}{2})}^{2} + 120 (\frac{1}{2}) + 27$

Etapa 11.2.1.5

Combine $3$ e $\frac{1}{8}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{3}{8} - 16 {(\frac{1}{2})}^{3} - 111 {(\frac{1}{2})}^{2} + 120 (\frac{1}{2}) + 27$

Etapa 11.2.1.6

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{3}{8} - 16 \frac{1^{3}}{2^{3}} - 111 {(\frac{1}{2})}^{2} + 120 (\frac{1}{2}) + 27$

Etapa 11.2.1.7

Um elevado a qualquer potência é um.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{3}{8} - 16 \frac{1}{2^{3}} - 111 {(\frac{1}{2})}^{2} + 120 (\frac{1}{2}) + 27$

Etapa 11.2.1.8

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{3}{8} - 16 (\frac{1}{8}) - 111 {(\frac{1}{2})}^{2} + 120 (\frac{1}{2}) + 27$

Etapa 11.2.1.9

Cancele o fator comum de $8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.9.1

Fatore $8$ de $- 16$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{3}{8} + 8 (- 2) (\frac{1}{8}) - 111 {(\frac{1}{2})}^{2} + 120 (\frac{1}{2}) + 27$

Etapa 11.2.1.9.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{3}{8} + 8 \cdot (- 2 (\frac{1}{8})) - 111 {(\frac{1}{2})}^{2} + 120 (\frac{1}{2}) + 27$

Etapa 11.2.1.9.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{3}{8} - 2 - 111 {(\frac{1}{2})}^{2} + 120 (\frac{1}{2}) + 27$

Etapa 11.2.1.10

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{3}{8} - 2 - 111 \frac{1^{2}}{2^{2}} + 120 (\frac{1}{2}) + 27$

Etapa 11.2.1.11

Um elevado a qualquer potência é um.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{3}{8} - 2 - 111 \frac{1}{2^{2}} + 120 (\frac{1}{2}) + 27$

Etapa 11.2.1.12

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{3}{8} - 2 - 111 (\frac{1}{4}) + 120 (\frac{1}{2}) + 27$

Etapa 11.2.1.13

Combine $- 111$ e $\frac{1}{4}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{3}{8} - 2 + \frac{- 111}{4} + 120 (\frac{1}{2}) + 27$

Etapa 11.2.1.14

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{3}{8} - 2 - \frac{111}{4} + 120 (\frac{1}{2}) + 27$

Etapa 11.2.1.15

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.15.1

Fatore $2$ de $120$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{3}{8} - 2 - \frac{111}{4} + 2 (60) (\frac{1}{2}) + 27$

Etapa 11.2.1.15.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{3}{8} - 2 - \frac{111}{4} + 2 \cdot (60 (\frac{1}{2})) + 27$

Etapa 11.2.1.15.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{3}{8} - 2 - \frac{111}{4} + 60 + 27$

Etapa 11.2.2

Encontre o denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.2.1

Escreva $- 2$ como uma fração com denominador $1$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{3}{8} + \frac{- 2}{1} - \frac{111}{4} + 60 + 27$

Etapa 11.2.2.2

Multiplique $\frac{- 2}{1}$ por $\frac{8}{8}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{3}{8} + \frac{- 2}{1} \cdot \frac{8}{8} - \frac{111}{4} + 60 + 27$

Etapa 11.2.2.3

Multiplique $\frac{- 2}{1}$ por $\frac{8}{8}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{3}{8} + \frac{- 2 \cdot 8}{8} - \frac{111}{4} + 60 + 27$

Etapa 11.2.2.4

Multiplique $\frac{111}{4}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{3}{8} + \frac{- 2 \cdot 8}{8} - (\frac{111}{4} \cdot \frac{2}{2}) + 60 + 27$

Etapa 11.2.2.5

Multiplique $\frac{111}{4}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{3}{8} + \frac{- 2 \cdot 8}{8} - \frac{111 \cdot 2}{4 \cdot 2} + 60 + 27$

Etapa 11.2.2.6

Escreva $60$ como uma fração com denominador $1$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{3}{8} + \frac{- 2 \cdot 8}{8} - \frac{111 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{60}{1} + 27$

Etapa 11.2.2.7

Multiplique $\frac{60}{1}$ por $\frac{8}{8}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{3}{8} + \frac{- 2 \cdot 8}{8} - \frac{111 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{60}{1} \cdot \frac{8}{8} + 27$

Etapa 11.2.2.8

Multiplique $\frac{60}{1}$ por $\frac{8}{8}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{3}{8} + \frac{- 2 \cdot 8}{8} - \frac{111 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{60 \cdot 8}{8} + 27$

Etapa 11.2.2.9

Escreva $27$ como uma fração com denominador $1$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{3}{8} + \frac{- 2 \cdot 8}{8} - \frac{111 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{60 \cdot 8}{8} + \frac{27}{1}$

Etapa 11.2.2.10

Multiplique $\frac{27}{1}$ por $\frac{8}{8}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{3}{8} + \frac{- 2 \cdot 8}{8} - \frac{111 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{60 \cdot 8}{8} + \frac{27}{1} \cdot \frac{8}{8}$

Etapa 11.2.2.11

Multiplique $\frac{27}{1}$ por $\frac{8}{8}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{3}{8} + \frac{- 2 \cdot 8}{8} - \frac{111 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{60 \cdot 8}{8} + \frac{27 \cdot 8}{8}$

Etapa 11.2.2.12

Reordene os fatores de $4 \cdot 2$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{3}{8} + \frac{- 2 \cdot 8}{8} - \frac{111 \cdot 2}{2 \cdot 4} + \frac{60 \cdot 8}{8} + \frac{27 \cdot 8}{8}$

Etapa 11.2.2.13

Multiplique $2$ por $4$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{3}{8} + \frac{- 2 \cdot 8}{8} - \frac{111 \cdot 2}{8} + \frac{60 \cdot 8}{8} + \frac{27 \cdot 8}{8}$

Etapa 11.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{3 - 2 \cdot 8 - 111 \cdot 2 + 60 \cdot 8 + 27 \cdot 8}{8}$

Etapa 11.2.4

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.4.1

Multiplique $- 2$ por $8$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{3 - 16 - 111 \cdot 2 + 60 \cdot 8 + 27 \cdot 8}{8}$

Etapa 11.2.4.2

Multiplique $- 111$ por $2$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{3 - 16 - 222 + 60 \cdot 8 + 27 \cdot 8}{8}$

Etapa 11.2.4.3

Multiplique $60$ por $8$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{3 - 16 - 222 + 480 + 27 \cdot 8}{8}$

Etapa 11.2.4.4

Multiplique $27$ por $8$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{3 - 16 - 222 + 480 + 216}{8}$

Etapa 11.2.5

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.5.1

Subtraia $16$ de $3$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{- 13 - 222 + 480 + 216}{8}$

Etapa 11.2.5.2

Subtraia $222$ de $- 13$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{- 235 + 480 + 216}{8}$

Etapa 11.2.5.3

Some $- 235$ e $480$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{245 + 216}{8}$

Etapa 11.2.5.4

Some $245$ e $216$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{461}{8}$

Etapa 11.2.6

A resposta final é $\frac{461}{8}$ .

$y = \frac{461}{8}$

Etapa 12

Avalie a segunda derivada em $x = - \frac{5}{2}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$72 {(- \frac{5}{2})}^{2} - 96 (- \frac{5}{2}) - 222$

Etapa 13

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.1

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.1.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{5}{2}$ .

$72 ({(- 1)}^{2} {(\frac{5}{2})}^{2}) - 96 (- \frac{5}{2}) - 222$

Etapa 13.1.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{5}{2}$ .

$72 ({(- 1)}^{2} \frac{5^{2}}{2^{2}}) - 96 (- \frac{5}{2}) - 222$

Etapa 13.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$72 (1 \frac{5^{2}}{2^{2}}) - 96 (- \frac{5}{2}) - 222$

Etapa 13.1.3

Multiplique $\frac{5^{2}}{2^{2}}$ por $1$ .

$72 \frac{5^{2}}{2^{2}} - 96 (- \frac{5}{2}) - 222$

Etapa 13.1.4

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$72 \frac{25}{2^{2}} - 96 (- \frac{5}{2}) - 222$

Etapa 13.1.5

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$72 (\frac{25}{4}) - 96 (- \frac{5}{2}) - 222$

Etapa 13.1.6

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.6.1

Fatore $4$ de $72$ .

$4 (18) \frac{25}{4} - 96 (- \frac{5}{2}) - 222$

Etapa 13.1.6.2

Cancele o fator comum.

$4 \cdot 18 \frac{25}{4} - 96 (- \frac{5}{2}) - 222$

Etapa 13.1.6.3

Reescreva a expressão.

$18 \cdot 25 - 96 (- \frac{5}{2}) - 222$

Etapa 13.1.7

Multiplique $18$ por $25$ .

$450 - 96 (- \frac{5}{2}) - 222$

Etapa 13.1.8

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.8.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{5}{2}$ para o numerador.

$450 - 96 (\frac{- 5}{2}) - 222$

Etapa 13.1.8.2

Fatore $2$ de $- 96$ .

$450 + 2 (- 48) \frac{- 5}{2} - 222$

Etapa 13.1.8.3

Cancele o fator comum.

$450 + 2 \cdot - 48 \frac{- 5}{2} - 222$

Etapa 13.1.8.4

Reescreva a expressão.

$450 - 48 \cdot - 5 - 222$

Etapa 13.1.9

Multiplique $- 48$ por $- 5$ .

$450 + 240 - 222$

Etapa 13.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.1

Some $450$ e $240$ .

$690 - 222$

Etapa 13.2.2

Subtraia $222$ de $690$ .

$468$

Etapa 14

$x = - \frac{5}{2}$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = - \frac{5}{2}$ é um mínimo local

Etapa 15

Encontre o valor y quando $x = - \frac{5}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.1

Substitua a variável $x$ por $- \frac{5}{2}$ na expressão.

$f (- \frac{5}{2}) = 6 {(- \frac{5}{2})}^{4} - 16 {(- \frac{5}{2})}^{3} - 111 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 120 (- \frac{5}{2}) + 27$

Etapa 15.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.1

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.1.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{5}{2}$ .

$f (- \frac{5}{2}) = 6 ({(- 1)}^{4} {(\frac{5}{2})}^{4}) - 16 {(- \frac{5}{2})}^{3} - 111 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 120 (- \frac{5}{2}) + 27$

Etapa 15.2.1.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{5}{2}$ .

$f (- \frac{5}{2}) = 6 ({(- 1)}^{4} (\frac{5^{4}}{2^{4}})) - 16 {(- \frac{5}{2})}^{3} - 111 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 120 (- \frac{5}{2}) + 27$

Etapa 15.2.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $4$ .

$f (- \frac{5}{2}) = 6 (1 (\frac{5^{4}}{2^{4}})) - 16 {(- \frac{5}{2})}^{3} - 111 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 120 (- \frac{5}{2}) + 27$

Etapa 15.2.1.3

Multiplique $\frac{5^{4}}{2^{4}}$ por $1$ .

$f (- \frac{5}{2}) = 6 (\frac{5^{4}}{2^{4}}) - 16 {(- \frac{5}{2})}^{3} - 111 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 120 (- \frac{5}{2}) + 27$

Etapa 15.2.1.4

Eleve $5$ à potência de $4$ .

$f (- \frac{5}{2}) = 6 (\frac{625}{2^{4}}) - 16 {(- \frac{5}{2})}^{3} - 111 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 120 (- \frac{5}{2}) + 27$

Etapa 15.2.1.5

Eleve $2$ à potência de $4$ .

$f (- \frac{5}{2}) = 6 (\frac{625}{16}) - 16 {(- \frac{5}{2})}^{3} - 111 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 120 (- \frac{5}{2}) + 27$

Etapa 15.2.1.6

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.6.1

Fatore $2$ de $6$ .

$f (- \frac{5}{2}) = 2 (3) (\frac{625}{16}) - 16 {(- \frac{5}{2})}^{3} - 111 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 120 (- \frac{5}{2}) + 27$

Etapa 15.2.1.6.2

Fatore $2$ de $16$ .

$f (- \frac{5}{2}) = 2 \cdot (3 (\frac{625}{2 \cdot 8})) - 16 {(- \frac{5}{2})}^{3} - 111 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 120 (- \frac{5}{2}) + 27$

Etapa 15.2.1.6.3

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{5}{2}) = 2 \cdot (3 (\frac{625}{2 \cdot 8})) - 16 {(- \frac{5}{2})}^{3} - 111 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 120 (- \frac{5}{2}) + 27$

Etapa 15.2.1.6.4

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{5}{2}) = 3 (\frac{625}{8}) - 16 {(- \frac{5}{2})}^{3} - 111 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 120 (- \frac{5}{2}) + 27$

Etapa 15.2.1.7

Combine $3$ e $\frac{625}{8}$ .

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{3 \cdot 625}{8} - 16 {(- \frac{5}{2})}^{3} - 111 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 120 (- \frac{5}{2}) + 27$

Etapa 15.2.1.8

Multiplique $3$ por $625$ .

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{1875}{8} - 16 {(- \frac{5}{2})}^{3} - 111 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 120 (- \frac{5}{2}) + 27$

Etapa 15.2.1.9

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.9.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{5}{2}$ .

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{1875}{8} - 16 ({(- 1)}^{3} {(\frac{5}{2})}^{3}) - 111 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 120 (- \frac{5}{2}) + 27$

Etapa 15.2.1.9.2

Aplique a regra do produto a $\frac{5}{2}$ .

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{1875}{8} - 16 ({(- 1)}^{3} (\frac{5^{3}}{2^{3}})) - 111 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 120 (- \frac{5}{2}) + 27$

Etapa 15.2.1.10

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{1875}{8} - 16 (- \frac{5^{3}}{2^{3}}) - 111 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 120 (- \frac{5}{2}) + 27$

Etapa 15.2.1.11

Eleve $5$ à potência de $3$ .

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{1875}{8} - 16 (- \frac{125}{2^{3}}) - 111 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 120 (- \frac{5}{2}) + 27$

Etapa 15.2.1.12

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{1875}{8} - 16 (- \frac{125}{8}) - 111 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 120 (- \frac{5}{2}) + 27$

Etapa 15.2.1.13

Cancele o fator comum de $8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.13.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{125}{8}$ para o numerador.

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{1875}{8} - 16 (\frac{- 125}{8}) - 111 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 120 (- \frac{5}{2}) + 27$

Etapa 15.2.1.13.2

Fatore $8$ de $- 16$ .

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{1875}{8} + 8 (- 2) (\frac{- 125}{8}) - 111 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 120 (- \frac{5}{2}) + 27$

Etapa 15.2.1.13.3

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{1875}{8} + 8 \cdot (- 2 (\frac{- 125}{8})) - 111 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 120 (- \frac{5}{2}) + 27$

Etapa 15.2.1.13.4

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{1875}{8} - 2 \cdot - 125 - 111 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 120 (- \frac{5}{2}) + 27$

Etapa 15.2.1.14

Multiplique $- 2$ por $- 125$ .

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{1875}{8} + 250 - 111 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 120 (- \frac{5}{2}) + 27$

Etapa 15.2.1.15

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.15.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{5}{2}$ .

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{1875}{8} + 250 - 111 ({(- 1)}^{2} {(\frac{5}{2})}^{2}) + 120 (- \frac{5}{2}) + 27$

Etapa 15.2.1.15.2

Aplique a regra do produto a $\frac{5}{2}$ .

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{1875}{8} + 250 - 111 ({(- 1)}^{2} (\frac{5^{2}}{2^{2}})) + 120 (- \frac{5}{2}) + 27$

Etapa 15.2.1.16

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{1875}{8} + 250 - 111 (1 (\frac{5^{2}}{2^{2}})) + 120 (- \frac{5}{2}) + 27$

Etapa 15.2.1.17

Multiplique $\frac{5^{2}}{2^{2}}$ por $1$ .

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{1875}{8} + 250 - 111 \frac{5^{2}}{2^{2}} + 120 (- \frac{5}{2}) + 27$

Etapa 15.2.1.18

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{1875}{8} + 250 - 111 \frac{25}{2^{2}} + 120 (- \frac{5}{2}) + 27$

Etapa 15.2.1.19

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{1875}{8} + 250 - 111 (\frac{25}{4}) + 120 (- \frac{5}{2}) + 27$

Etapa 15.2.1.20

Multiplique $- 111 (\frac{25}{4})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.20.1

Combine $- 111$ e $\frac{25}{4}$ .

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{1875}{8} + 250 + \frac{- 111 \cdot 25}{4} + 120 (- \frac{5}{2}) + 27$

Etapa 15.2.1.20.2

Multiplique $- 111$ por $25$ .

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{1875}{8} + 250 + \frac{- 2775}{4} + 120 (- \frac{5}{2}) + 27$

Etapa 15.2.1.21

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{1875}{8} + 250 - \frac{2775}{4} + 120 (- \frac{5}{2}) + 27$

Etapa 15.2.1.22

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.22.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{5}{2}$ para o numerador.

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{1875}{8} + 250 - \frac{2775}{4} + 120 (\frac{- 5}{2}) + 27$

Etapa 15.2.1.22.2

Fatore $2$ de $120$ .

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{1875}{8} + 250 - \frac{2775}{4} + 2 (60) (\frac{- 5}{2}) + 27$

Etapa 15.2.1.22.3

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{1875}{8} + 250 - \frac{2775}{4} + 2 \cdot (60 (\frac{- 5}{2})) + 27$

Etapa 15.2.1.22.4

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{1875}{8} + 250 - \frac{2775}{4} + 60 \cdot - 5 + 27$

Etapa 15.2.1.23

Multiplique $60$ por $- 5$ .

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{1875}{8} + 250 - \frac{2775}{4} - 300 + 27$

Etapa 15.2.2

Encontre o denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.2.1

Escreva $250$ como uma fração com denominador $1$ .

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{1875}{8} + \frac{250}{1} - \frac{2775}{4} - 300 + 27$

Etapa 15.2.2.2

Multiplique $\frac{250}{1}$ por $\frac{8}{8}$ .

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{1875}{8} + \frac{250}{1} \cdot \frac{8}{8} - \frac{2775}{4} - 300 + 27$

Etapa 15.2.2.3

Multiplique $\frac{250}{1}$ por $\frac{8}{8}$ .

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{1875}{8} + \frac{250 \cdot 8}{8} - \frac{2775}{4} - 300 + 27$

Etapa 15.2.2.4

Multiplique $\frac{2775}{4}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{1875}{8} + \frac{250 \cdot 8}{8} - (\frac{2775}{4} \cdot \frac{2}{2}) - 300 + 27$

Etapa 15.2.2.5

Multiplique $\frac{2775}{4}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{1875}{8} + \frac{250 \cdot 8}{8} - \frac{2775 \cdot 2}{4 \cdot 2} - 300 + 27$

Etapa 15.2.2.6

Escreva $- 300$ como uma fração com denominador $1$ .

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{1875}{8} + \frac{250 \cdot 8}{8} - \frac{2775 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{- 300}{1} + 27$

Etapa 15.2.2.7

Multiplique $\frac{- 300}{1}$ por $\frac{8}{8}$ .

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{1875}{8} + \frac{250 \cdot 8}{8} - \frac{2775 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{- 300}{1} \cdot \frac{8}{8} + 27$

Etapa 15.2.2.8

Multiplique $\frac{- 300}{1}$ por $\frac{8}{8}$ .

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{1875}{8} + \frac{250 \cdot 8}{8} - \frac{2775 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{- 300 \cdot 8}{8} + 27$

Etapa 15.2.2.9

Escreva $27$ como uma fração com denominador $1$ .

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{1875}{8} + \frac{250 \cdot 8}{8} - \frac{2775 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{- 300 \cdot 8}{8} + \frac{27}{1}$

Etapa 15.2.2.10

Multiplique $\frac{27}{1}$ por $\frac{8}{8}$ .

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{1875}{8} + \frac{250 \cdot 8}{8} - \frac{2775 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{- 300 \cdot 8}{8} + \frac{27}{1} \cdot \frac{8}{8}$

Etapa 15.2.2.11

Multiplique $\frac{27}{1}$ por $\frac{8}{8}$ .

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{1875}{8} + \frac{250 \cdot 8}{8} - \frac{2775 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{- 300 \cdot 8}{8} + \frac{27 \cdot 8}{8}$

Etapa 15.2.2.12

Reordene os fatores de $4 \cdot 2$ .

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{1875}{8} + \frac{250 \cdot 8}{8} - \frac{2775 \cdot 2}{2 \cdot 4} + \frac{- 300 \cdot 8}{8} + \frac{27 \cdot 8}{8}$

Etapa 15.2.2.13

Multiplique $2$ por $4$ .

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{1875}{8} + \frac{250 \cdot 8}{8} - \frac{2775 \cdot 2}{8} + \frac{- 300 \cdot 8}{8} + \frac{27 \cdot 8}{8}$

Etapa 15.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{1875 + 250 \cdot 8 - 2775 \cdot 2 - 300 \cdot 8 + 27 \cdot 8}{8}$

Etapa 15.2.4

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.4.1

Multiplique $250$ por $8$ .

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{1875 + 2000 - 2775 \cdot 2 - 300 \cdot 8 + 27 \cdot 8}{8}$

Etapa 15.2.4.2

Multiplique $- 2775$ por $2$ .

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{1875 + 2000 - 5550 - 300 \cdot 8 + 27 \cdot 8}{8}$

Etapa 15.2.4.3

Multiplique $- 300$ por $8$ .

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{1875 + 2000 - 5550 - 2400 + 27 \cdot 8}{8}$

Etapa 15.2.4.4

Multiplique $27$ por $8$ .

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{1875 + 2000 - 5550 - 2400 + 216}{8}$

Etapa 15.2.5

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.5.1

Some $1875$ e $2000$ .

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{3875 - 5550 - 2400 + 216}{8}$

Etapa 15.2.5.2

Subtraia $5550$ de $3875$ .

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{- 1675 - 2400 + 216}{8}$

Etapa 15.2.5.3

Subtraia $2400$ de $- 1675$ .

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{- 4075 + 216}{8}$

Etapa 15.2.5.4

Some $- 4075$ e $216$ .

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{- 3859}{8}$

Etapa 15.2.5.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (- \frac{5}{2}) = - \frac{3859}{8}$

Etapa 15.2.6

A resposta final é $- \frac{3859}{8}$ .

$y = - \frac{3859}{8}$

Etapa 16

Avalie a segunda derivada em $x = 4$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$72 {(4)}^{2} - 96 \cdot 4 - 222$

Etapa 17

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.1.1

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$72 \cdot 16 - 96 \cdot 4 - 222$

Etapa 17.1.2

Multiplique $72$ por $16$ .

$1152 - 96 \cdot 4 - 222$

Etapa 17.1.3

Multiplique $- 96$ por $4$ .

$1152 - 384 - 222$

Etapa 17.2

Simplifique subtraindo os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.2.1

Subtraia $384$ de $1152$ .

$768 - 222$

Etapa 17.2.2

Subtraia $222$ de $768$ .

$546$

Etapa 18

$x = 4$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 4$ é um mínimo local

Etapa 19

Encontre o valor y quando $x = 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.1

Substitua a variável $x$ por $4$ na expressão.

$f (4) = 6 {(4)}^{4} - 16 {(4)}^{3} - 111 {(4)}^{2} + 120 (4) + 27$

Etapa 19.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.2.1.1

Eleve $4$ à potência de $4$ .

$f (4) = 6 \cdot 256 - 16 {(4)}^{3} - 111 {(4)}^{2} + 120 (4) + 27$

Etapa 19.2.1.2

Multiplique $6$ por $256$ .

$f (4) = 1536 - 16 {(4)}^{3} - 111 {(4)}^{2} + 120 (4) + 27$

Etapa 19.2.1.3

Eleve $4$ à potência de $3$ .

$f (4) = 1536 - 16 \cdot 64 - 111 {(4)}^{2} + 120 (4) + 27$

Etapa 19.2.1.4

Multiplique $- 16$ por $64$ .

$f (4) = 1536 - 1024 - 111 {(4)}^{2} + 120 (4) + 27$

Etapa 19.2.1.5

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$f (4) = 1536 - 1024 - 111 \cdot 16 + 120 (4) + 27$

Etapa 19.2.1.6

Multiplique $- 111$ por $16$ .

$f (4) = 1536 - 1024 - 1776 + 120 (4) + 27$

Etapa 19.2.1.7

Multiplique $120$ por $4$ .

$f (4) = 1536 - 1024 - 1776 + 480 + 27$

Etapa 19.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.2.2.1

Subtraia $1024$ de $1536$ .

$f (4) = 512 - 1776 + 480 + 27$

Etapa 19.2.2.2

Subtraia $1776$ de $512$ .

$f (4) = - 1264 + 480 + 27$

Etapa 19.2.2.3

Some $- 1264$ e $480$ .

$f (4) = - 784 + 27$

Etapa 19.2.2.4

Some $- 784$ e $27$ .

$f (4) = - 757$

Etapa 19.2.3

A resposta final é $- 757$ .

$y = - 757$

Etapa 20

Esses são os extremos locais para $f (x) = 6 x^{4} - 16 x^{3} - 111 x^{2} + 120 x + 27$ .

$(\frac{1}{2}, \frac{461}{8})$ é um máximo local

$(- \frac{5}{2}, - \frac{3859}{8})$ é um mínimo local

$(4, - 757)$ é um mínimo local

Etapa 21