Cálculo Exemplos

$f (x) = - 7 x^{- 2} + 16 x^{- 3}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 7 x^{- 2} + 16 x^{- 3}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 7 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [16 x^{- 3}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 7 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [16 x^{- 3}]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 7 x^{- 2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Como $- 7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 7 x^{- 2}$ em relação a $x$ é $- 7 \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$ .

$- 7 \frac{d}{d x} [x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [16 x^{- 3}]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 2$ .

$- 7 (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} [16 x^{- 3}]$

Etapa 1.2.3

Multiplique $- 2$ por $- 7$ .

$14 x^{- 3} + \frac{d}{d x} [16 x^{- 3}]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [16 x^{- 3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Como $16$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $16 x^{- 3}$ em relação a $x$ é $16 \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$ .

$14 x^{- 3} + 16 \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 3$ .

$14 x^{- 3} + 16 (- 3 x^{- 4})$

Etapa 1.3.3

Multiplique $- 3$ por $16$ .

$14 x^{- 3} - 48 x^{- 4}$

Etapa 1.4

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$14 \frac{1}{x^{3}} - 48 x^{- 4}$

Etapa 1.4.2

Combine $14$ e $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{14}{x^{3}} - 48 x^{- 4}$

Etapa 1.4.3

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{14}{x^{3}} - 48 \frac{1}{x^{4}}$

Etapa 1.4.4

Combine $- 48$ e $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{14}{x^{3}} + \frac{- 48}{x^{4}}$

Etapa 1.4.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{14}{x^{3}} - \frac{48}{x^{4}}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{14}{x^{3}} - \frac{48}{x^{4}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{14}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{48}{x^{4}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{14}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{48}{x^{4}})$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{14}{x^{3}}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Como $14$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{14}{x^{3}}$ em relação a $x$ é $14 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$f'' (x) = 14 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{48}{x^{4}})$

Etapa 2.2.2

Reescreva $\frac{1}{x^{3}}$ como ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = 14 \frac{d}{d x} ({(x^{3})}^{- 1}) + \frac{d}{d x} (- \frac{48}{x^{4}})$

Etapa 2.2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{3}$ .

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Etapa 2.2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $x^{3}$ .

$f'' (x) = 14 (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{3})) + \frac{d}{d x} (- \frac{48}{x^{4}})$

Etapa 2.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$f'' (x) = 14 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{3}) + \frac{d}{d x} (- \frac{48}{x^{4}})$

Etapa 2.2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $x^{3}$ .

$f'' (x) = 14 (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{3}) + \frac{d}{d x} (- \frac{48}{x^{4}})$

Etapa 2.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f'' (x) = 14 (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (- \frac{48}{x^{4}})$

Etapa 2.2.5

Multiplique os expoentes em ${(x^{3})}^{- 2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 14 (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (- \frac{48}{x^{4}})$

Etapa 2.2.5.2

Multiplique $3$ por $- 2$ .

$f'' (x) = 14 (- x^{- 6} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (- \frac{48}{x^{4}})$

Etapa 2.2.6

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 14 (- 3 x^{- 6} x^{2}) + \frac{d}{d x} (- \frac{48}{x^{4}})$

Etapa 2.2.7

Multiplique $x^{- 6}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.2.7.1

Mova $x^{2}$ .

$f'' (x) = 14 (- 3 (x^{2} x^{- 6})) + \frac{d}{d x} (- \frac{48}{x^{4}})$

Etapa 2.2.7.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = 14 (- 3 x^{2 - 6}) + \frac{d}{d x} (- \frac{48}{x^{4}})$

Etapa 2.2.7.3

Subtraia $6$ de $2$ .

$f'' (x) = 14 (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} (- \frac{48}{x^{4}})$

Etapa 2.2.8

Multiplique $- 3$ por $14$ .

$f'' (x) = - 42 x^{- 4} + \frac{d}{d x} (- \frac{48}{x^{4}})$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{48}{x^{4}}]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $- 48$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{48}{x^{4}}$ em relação a $x$ é $- 48 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ .

$f'' (x) = - 42 x^{- 4} - 48 \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{4}}$

Etapa 2.3.2

Reescreva $\frac{1}{x^{4}}$ como ${(x^{4})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = - 42 x^{- 4} - 48 \frac{d}{d x} {(x^{4})}^{- 1}$

Etapa 2.3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{4}$ .

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Etapa 2.3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $x^{4}$ .

$f'' (x) = - 42 x^{- 4} - 48 (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{4}))$

Etapa 2.3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$f'' (x) = - 42 x^{- 4} - 48 (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{4})$

Etapa 2.3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $x^{4}$ .

$f'' (x) = - 42 x^{- 4} - 48 (- {(x^{4})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{4})$

Etapa 2.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$f'' (x) = - 42 x^{- 4} - 48 (- {(x^{4})}^{- 2} (4 x^{3}))$

Etapa 2.3.5

Multiplique os expoentes em ${(x^{4})}^{- 2}$ .

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Etapa 2.3.5.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 42 x^{- 4} - 48 (- x^{4 \cdot - 2} (4 x^{3}))$

Etapa 2.3.5.2

Multiplique $4$ por $- 2$ .

$f'' (x) = - 42 x^{- 4} - 48 (- x^{- 8} (4 x^{3}))$

Etapa 2.3.6

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - 42 x^{- 4} - 48 (- 4 x^{- 8} x^{3})$

Etapa 2.3.7

Multiplique $x^{- 8}$ por $x^{3}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.3.7.1

Mova $x^{3}$ .

$f'' (x) = - 42 x^{- 4} - 48 (- 4 (x^{3} x^{- 8}))$

Etapa 2.3.7.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = - 42 x^{- 4} - 48 (- 4 x^{3 - 8})$

Etapa 2.3.7.3

Subtraia $8$ de $3$ .

$f'' (x) = - 42 x^{- 4} - 48 (- 4 x^{- 5})$

Etapa 2.3.8

Multiplique $- 4$ por $- 48$ .

$f'' (x) = - 42 x^{- 4} + 192 x^{- 5}$

Etapa 2.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - 42 \frac{1}{x^{4}} + 192 x^{- 5}$

Etapa 2.4.2

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - 42 \frac{1}{x^{4}} + 192 (\frac{1}{x^{5}})$

Etapa 2.4.3

Combine os termos.

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Etapa 2.4.3.1

Combine $- 42$ e $\frac{1}{x^{4}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 42}{x^{4}} + 192 (\frac{1}{x^{5}})$

Etapa 2.4.3.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = - \frac{42}{x^{4}} + 192 (\frac{1}{x^{5}})$

Etapa 2.4.3.3

Combine $192$ e $\frac{1}{x^{5}}$ .

$f'' (x) = - \frac{42}{x^{4}} + \frac{192}{x^{5}}$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$\frac{14}{x^{3}} - \frac{48}{x^{4}} = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 7 x^{- 2} + 16 x^{- 3}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 7 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [16 x^{- 3}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 7 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [16 x^{- 3}]$

Etapa 4.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 7 x^{- 2}]$ .

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Etapa 4.1.2.1

Como $- 7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 7 x^{- 2}$ em relação a $x$ é $- 7 \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$ .

$- 7 \frac{d}{d x} [x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [16 x^{- 3}]$

Etapa 4.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 2$ .

$- 7 (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} [16 x^{- 3}]$

Etapa 4.1.2.3

Multiplique $- 2$ por $- 7$ .

$14 x^{- 3} + \frac{d}{d x} [16 x^{- 3}]$

Etapa 4.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [16 x^{- 3}]$ .

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Etapa 4.1.3.1

Como $16$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $16 x^{- 3}$ em relação a $x$ é $16 \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$ .

$14 x^{- 3} + 16 \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$

Etapa 4.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 3$ .

$14 x^{- 3} + 16 (- 3 x^{- 4})$

Etapa 4.1.3.3

Multiplique $- 3$ por $16$ .

$14 x^{- 3} - 48 x^{- 4}$

Etapa 4.1.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.4.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$14 \frac{1}{x^{3}} - 48 x^{- 4}$

Etapa 4.1.4.2

Combine $14$ e $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{14}{x^{3}} - 48 x^{- 4}$

Etapa 4.1.4.3

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{14}{x^{3}} - 48 \frac{1}{x^{4}}$

Etapa 4.1.4.4

Combine $- 48$ e $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{14}{x^{3}} + \frac{- 48}{x^{4}}$

Etapa 4.1.4.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = \frac{14}{x^{3}} - \frac{48}{x^{4}}$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{14}{x^{3}} - \frac{48}{x^{4}}$ .

$\frac{14}{x^{3}} - \frac{48}{x^{4}}$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{14}{x^{3}} - \frac{48}{x^{4}} = 0$ .

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Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\frac{14}{x^{3}} - \frac{48}{x^{4}} = 0$

Etapa 5.2

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 5.2.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$x^{3}, x^{4}, 1$

Etapa 5.2.2

Como $x^{3}, x^{4}, 1$ contém números e variáveis, há duas etapas para encontrar o MMC. Encontre o MMC da parte numérica $x^{3}, x^{4}, 1$ 1) e, depois, o da parte variável $x^{3}, x^{4}, 1$ .

Etapa 5.2.3

O MMC é o menor número positivo pelo qual todos os números se dividem uniformemente.

1. Liste os fatores primos de cada número.

2. Multiplique cada fator pelo maior número de vezes em que ele ocorre em cada número.

Etapa 5.2.4

O número $1$ não é primo porque tem apenas um fator positivo, que é ele mesmo.

Não é primo

Etapa 5.2.5

O MMC de $1, 1, 1$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores primos pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos números.

$1$

Etapa 5.2.6

Os fatores para $x^{3}$ são $x \cdot x \cdot x$ , que é $x$ multiplicado um pelo outro $3$ vezes.

$x^{3} = x \cdot x \cdot x$

$x$ ocorre $3$ vezes.

Etapa 5.2.7

Os fatores para $x^{4}$ são $x \cdot x \cdot x \cdot x$ , que é $x$ multiplicado um pelo outro $4$ vezes.

$x^{4} = x \cdot x \cdot x \cdot x$

$x$ ocorre $4$ vezes.

Etapa 5.2.8

O MMC de $x^{3}, x^{4}$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores primos pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos termos.

$x \cdot x \cdot x \cdot x$

Etapa 5.2.9

Simplifique $x \cdot x \cdot x \cdot x$ .

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Etapa 5.2.9.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$x^{2} \cdot x \cdot x$

Etapa 5.2.9.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.9.2.1

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.9.2.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$x^{2} \cdot x^{1} \cdot x$

Etapa 5.2.9.2.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x^{2 + 1} \cdot x$

Etapa 5.2.9.2.2

Some $2$ e $1$ .

$x^{3} \cdot x$

Etapa 5.2.9.3

Multiplique $x^{3}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.9.3.1

Multiplique $x^{3}$ por $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.9.3.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$x^{3} \cdot x^{1}$

Etapa 5.2.9.3.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x^{3 + 1}$

Etapa 5.2.9.3.2

Some $3$ e $1$ .

$x^{4}$

Etapa 5.3

Multiplique cada termo em $\frac{14}{x^{3}} - \frac{48}{x^{4}} = 0$ por $x^{4}$ para eliminar as frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Multiplique cada termo em $\frac{14}{x^{3}} - \frac{48}{x^{4}} = 0$ por $x^{4}$ .

$\frac{14}{x^{3}} x^{4} - \frac{48}{x^{4}} x^{4} = 0 x^{4}$

Etapa 5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1.1

Cancele o fator comum de $x^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1.1.1

Fatore $x^{3}$ de $x^{4}$ .

$\frac{14}{x^{3}} (x^{3} x) - \frac{48}{x^{4}} x^{4} = 0 x^{4}$

Etapa 5.3.2.1.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{14}{x^{3}} (x^{3} x) - \frac{48}{x^{4}} x^{4} = 0 x^{4}$

Etapa 5.3.2.1.1.3

Reescreva a expressão.

$14 x - \frac{48}{x^{4}} x^{4} = 0 x^{4}$

Etapa 5.3.2.1.2

Cancele o fator comum de $x^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{48}{x^{4}}$ para o numerador.

$14 x + \frac{- 48}{x^{4}} x^{4} = 0 x^{4}$

Etapa 5.3.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$14 x + \frac{- 48}{x^{4}} x^{4} = 0 x^{4}$

Etapa 5.3.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$14 x - 48 = 0 x^{4}$

Etapa 5.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1

Multiplique $0$ por $x^{4}$ .

$14 x - 48 = 0$

Etapa 5.4

Resolva a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1

Some $48$ aos dois lados da equação.

$14 x = 48$

Etapa 5.4.2

Divida cada termo em $14 x = 48$ por $14$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.1

Divida cada termo em $14 x = 48$ por $14$ .

$\frac{14 x}{14} = \frac{48}{14}$

Etapa 5.4.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.2.1

Cancele o fator comum de $14$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{14 x}{14} = \frac{48}{14}$

Etapa 5.4.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{48}{14}$

Etapa 5.4.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.3.1

Cancele o fator comum de $48$ e $14$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.3.1.1

Fatore $2$ de $48$ .

$x = \frac{2 (24)}{14}$

Etapa 5.4.2.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.3.1.2.1

Fatore $2$ de $14$ .

$x = \frac{2 \cdot 24}{2 \cdot 7}$

Etapa 5.4.2.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$x = \frac{2 \cdot 24}{2 \cdot 7}$

Etapa 5.4.2.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$x = \frac{24}{7}$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Defina o denominador em $\frac{14}{x^{3}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x^{3} = 0$

Etapa 6.2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \sqrt[3]{0}$

Etapa 6.2.2

Simplifique $\sqrt[3]{0}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Reescreva $0$ como $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Etapa 6.2.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais.

$x = 0$

Etapa 6.3

Defina o denominador em $\frac{48}{x^{4}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x^{4} = 0$

Etapa 6.4

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.1

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt[4]{0}$

Etapa 6.4.2

Simplifique $\pm \sqrt[4]{0}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.1

Reescreva $0$ como $0^{4}$ .

$x = \pm \sqrt[4]{0^{4}}$

Etapa 6.4.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 0$

Etapa 6.4.2.3

Mais ou menos $0$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = \frac{24}{7}$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = \frac{24}{7}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- \frac{42}{{(\frac{24}{7})}^{4}} + \frac{192}{{(\frac{24}{7})}^{5}}$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{24}{7}$ .

$- \frac{42}{\frac{24^{4}}{7^{4}}} + \frac{192}{{(\frac{24}{7})}^{5}}$

Etapa 9.1.1.2

Eleve $24$ à potência de $4$ .

$- \frac{42}{\frac{331776}{7^{4}}} + \frac{192}{{(\frac{24}{7})}^{5}}$

Etapa 9.1.1.3

Eleve $7$ à potência de $4$ .

$- \frac{42}{\frac{331776}{2401}} + \frac{192}{{(\frac{24}{7})}^{5}}$

Etapa 9.1.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$- (42 (\frac{2401}{331776})) + \frac{192}{{(\frac{24}{7})}^{5}}$

Etapa 9.1.3

Cancele o fator comum de $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.3.1

Fatore $6$ de $42$ .

$- (6 (7) \frac{2401}{331776}) + \frac{192}{{(\frac{24}{7})}^{5}}$

Etapa 9.1.3.2

Fatore $6$ de $331776$ .

$- (6 \cdot 7 \frac{2401}{6 \cdot 55296}) + \frac{192}{{(\frac{24}{7})}^{5}}$

Etapa 9.1.3.3

Cancele o fator comum.

$- (6 \cdot 7 \frac{2401}{6 \cdot 55296}) + \frac{192}{{(\frac{24}{7})}^{5}}$

Etapa 9.1.3.4

Reescreva a expressão.

$- (7 (\frac{2401}{55296})) + \frac{192}{{(\frac{24}{7})}^{5}}$

Etapa 9.1.4

Combine $7$ e $\frac{2401}{55296}$ .

$- \frac{7 \cdot 2401}{55296} + \frac{192}{{(\frac{24}{7})}^{5}}$

Etapa 9.1.5

Multiplique $7$ por $2401$ .

$- \frac{16807}{55296} + \frac{192}{{(\frac{24}{7})}^{5}}$

Etapa 9.1.6

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.6.1

Aplique a regra do produto a $\frac{24}{7}$ .

$- \frac{16807}{55296} + \frac{192}{\frac{24^{5}}{7^{5}}}$

Etapa 9.1.6.2

Eleve $24$ à potência de $5$ .

$- \frac{16807}{55296} + \frac{192}{\frac{7962624}{7^{5}}}$

Etapa 9.1.6.3

Eleve $7$ à potência de $5$ .

$- \frac{16807}{55296} + \frac{192}{\frac{7962624}{16807}}$

Etapa 9.1.7

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$- \frac{16807}{55296} + 192 (\frac{16807}{7962624})$

Etapa 9.1.8

Cancele o fator comum de $192$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.8.1

Fatore $192$ de $7962624$ .

$- \frac{16807}{55296} + 192 \frac{16807}{192 (41472)}$

Etapa 9.1.8.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{16807}{55296} + 192 \frac{16807}{192 \cdot 41472}$

Etapa 9.1.8.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{16807}{55296} + \frac{16807}{41472}$

Etapa 9.2

Para escrever $- \frac{16807}{55296}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{16807}{55296} \cdot \frac{3}{3} + \frac{16807}{41472}$

Etapa 9.3

Para escrever $\frac{16807}{41472}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{16807}{55296} \cdot \frac{3}{3} + \frac{16807}{41472} \cdot \frac{4}{4}$

Etapa 9.4

Escreva cada expressão com um denominador comum de $165888$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.4.1

Multiplique $\frac{16807}{55296}$ por $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{16807 \cdot 3}{55296 \cdot 3} + \frac{16807}{41472} \cdot \frac{4}{4}$

Etapa 9.4.2

Multiplique $55296$ por $3$ .

$- \frac{16807 \cdot 3}{165888} + \frac{16807}{41472} \cdot \frac{4}{4}$

Etapa 9.4.3

Multiplique $\frac{16807}{41472}$ por $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{16807 \cdot 3}{165888} + \frac{16807 \cdot 4}{41472 \cdot 4}$

Etapa 9.4.4

Multiplique $41472$ por $4$ .

$- \frac{16807 \cdot 3}{165888} + \frac{16807 \cdot 4}{165888}$

Etapa 9.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- 16807 \cdot 3 + 16807 \cdot 4}{165888}$

Etapa 9.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 9.6.1

Multiplique $- 16807$ por $3$ .

$\frac{- 50421 + 16807 \cdot 4}{165888}$

Etapa 9.6.2

Multiplique $16807$ por $4$ .

$\frac{- 50421 + 67228}{165888}$

Etapa 9.6.3

Some $- 50421$ e $67228$ .

$\frac{16807}{165888}$

Etapa 10

$x = \frac{24}{7}$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = \frac{24}{7}$ é um mínimo local

Etapa 11

Encontre o valor y quando $x = \frac{24}{7}$ .

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Etapa 11.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{24}{7}$ na expressão.

$f (\frac{24}{7}) = - 7 {(\frac{24}{7})}^{- 2} + 16 {(\frac{24}{7})}^{- 3}$

Etapa 11.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 11.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.1

Altere o sinal do expoente reescrevendo a base como seu inverso.

$f (\frac{24}{7}) = - 7 {(\frac{7}{24})}^{2} + 16 {(\frac{24}{7})}^{- 3}$

Etapa 11.2.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{7}{24}$ .

$f (\frac{24}{7}) = - 7 \frac{7^{2}}{24^{2}} + 16 {(\frac{24}{7})}^{- 3}$

Etapa 11.2.1.3

Eleve $7$ à potência de $2$ .

$f (\frac{24}{7}) = - 7 \frac{49}{24^{2}} + 16 {(\frac{24}{7})}^{- 3}$

Etapa 11.2.1.4

Eleve $24$ à potência de $2$ .

$f (\frac{24}{7}) = - 7 (\frac{49}{576}) + 16 {(\frac{24}{7})}^{- 3}$

Etapa 11.2.1.5

Multiplique $- 7 (\frac{49}{576})$ .

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Etapa 11.2.1.5.1

Combine $- 7$ e $\frac{49}{576}$ .

$f (\frac{24}{7}) = \frac{- 7 \cdot 49}{576} + 16 {(\frac{24}{7})}^{- 3}$

Etapa 11.2.1.5.2

Multiplique $- 7$ por $49$ .

$f (\frac{24}{7}) = \frac{- 343}{576} + 16 {(\frac{24}{7})}^{- 3}$

Etapa 11.2.1.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (\frac{24}{7}) = - \frac{343}{576} + 16 {(\frac{24}{7})}^{- 3}$

Etapa 11.2.1.7

Altere o sinal do expoente reescrevendo a base como seu inverso.

$f (\frac{24}{7}) = - \frac{343}{576} + 16 {(\frac{7}{24})}^{3}$

Etapa 11.2.1.8

Aplique a regra do produto a $\frac{7}{24}$ .

$f (\frac{24}{7}) = - \frac{343}{576} + 16 (\frac{7^{3}}{24^{3}})$

Etapa 11.2.1.9

Eleve $7$ à potência de $3$ .

$f (\frac{24}{7}) = - \frac{343}{576} + 16 (\frac{343}{24^{3}})$

Etapa 11.2.1.10

Eleve $24$ à potência de $3$ .

$f (\frac{24}{7}) = - \frac{343}{576} + 16 (\frac{343}{13824})$

Etapa 11.2.1.11

Cancele o fator comum de $16$ .

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Etapa 11.2.1.11.1

Fatore $16$ de $13824$ .

$f (\frac{24}{7}) = - \frac{343}{576} + 16 (\frac{343}{16 (864)})$

Etapa 11.2.1.11.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{24}{7}) = - \frac{343}{576} + 16 (\frac{343}{16 \cdot 864})$

Etapa 11.2.1.11.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{24}{7}) = - \frac{343}{576} + \frac{343}{864}$

Etapa 11.2.2

Para escrever $- \frac{343}{576}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{24}{7}) = - \frac{343}{576} \cdot \frac{3}{3} + \frac{343}{864}$

Etapa 11.2.3

Para escrever $\frac{343}{864}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{24}{7}) = - \frac{343}{576} \cdot \frac{3}{3} + \frac{343}{864} \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 11.2.4

Escreva cada expressão com um denominador comum de $1728$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.4.1

Multiplique $\frac{343}{576}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{24}{7}) = - \frac{343 \cdot 3}{576 \cdot 3} + \frac{343}{864} \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 11.2.4.2

Multiplique $576$ por $3$ .

$f (\frac{24}{7}) = - \frac{343 \cdot 3}{1728} + \frac{343}{864} \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 11.2.4.3

Multiplique $\frac{343}{864}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{24}{7}) = - \frac{343 \cdot 3}{1728} + \frac{343 \cdot 2}{864 \cdot 2}$

Etapa 11.2.4.4

Multiplique $864$ por $2$ .

$f (\frac{24}{7}) = - \frac{343 \cdot 3}{1728} + \frac{343 \cdot 2}{1728}$

Etapa 11.2.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{24}{7}) = \frac{- 343 \cdot 3 + 343 \cdot 2}{1728}$

Etapa 11.2.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 11.2.6.1

Multiplique $- 343$ por $3$ .

$f (\frac{24}{7}) = \frac{- 1029 + 343 \cdot 2}{1728}$

Etapa 11.2.6.2

Multiplique $343$ por $2$ .

$f (\frac{24}{7}) = \frac{- 1029 + 686}{1728}$

Etapa 11.2.6.3

Some $- 1029$ e $686$ .

$f (\frac{24}{7}) = \frac{- 343}{1728}$

Etapa 11.2.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (\frac{24}{7}) = - \frac{343}{1728}$

Etapa 11.2.8

A resposta final é $- \frac{343}{1728}$ .

$y = - \frac{343}{1728}$

Etapa 12

Esses são os extremos locais para $f (x) = - 7 x^{- 2} + 16 x^{- 3}$ .

$(\frac{24}{7}, - \frac{343}{1728})$ é um mínimo local

Etapa 13