Cálculo Exemplos

$f (x) = 6 x + 7 x^{- 1}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $6 x + 7 x^{- 1}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [7 x^{- 1}]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [7 x^{- 1}]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 x$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7 x^{- 1}]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7 x^{- 1}]$

Etapa 1.2.3

Multiplique $6$ por $1$ .

$6 + \frac{d}{d x} [7 x^{- 1}]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [7 x^{- 1}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7 x^{- 1}$ em relação a $x$ é $7 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$ .

$6 + 7 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$6 + 7 (- x^{- 2})$

Etapa 1.3.3

Multiplique $- 1$ por $7$ .

$6 - 7 x^{- 2}$

Etapa 1.4

Reordene os termos.

$- 7 x^{- 2} + 6$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 7 x^{- 2} + 6$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 7 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 7 x^{- 2}) + \frac{d}{d x} (6)$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 7 x^{- 2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Como $- 7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 7 x^{- 2}$ em relação a $x$ é $- 7 \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$ .

$f'' (x) = - 7 \frac{d}{d x} x^{- 2} + \frac{d}{d x} (6)$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 2$ .

$f'' (x) = - 7 (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} (6)$

Etapa 2.2.3

Multiplique $- 2$ por $- 7$ .

$f'' (x) = 14 x^{- 3} + \frac{d}{d x} (6)$

Etapa 2.3

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 14 x^{- 3} + 0$

Etapa 2.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Some $14 x^{- 3}$ e $0$ .

$f'' (x) = 14 x^{- 3}$

Etapa 2.4.2

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 14 (\frac{1}{x^{3}})$

Etapa 2.4.3

Combine $14$ e $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{14}{x^{3}}$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$- 7 x^{- 2} + 6 = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $6 x + 7 x^{- 1}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [7 x^{- 1}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (7 x^{- 1})$

Etapa 4.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 x$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 6 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (7 x^{- 1})$

Etapa 4.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (7 x^{- 1})$

Etapa 4.1.2.3

Multiplique $6$ por $1$ .

$f' (x) = 6 + \frac{d}{d x} (7 x^{- 1})$

Etapa 4.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [7 x^{- 1}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.1

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7 x^{- 1}$ em relação a $x$ é $7 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$ .

$f' (x) = 6 + 7 \frac{d}{d x} (x^{- 1})$

Etapa 4.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$f' (x) = 6 + 7 (- x^{- 2})$

Etapa 4.1.3.3

Multiplique $- 1$ por $7$ .

$f' (x) = 6 - 7 x^{- 2}$

Etapa 4.1.4

Reordene os termos.

$f' (x) = - 7 x^{- 2} + 6$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- 7 x^{- 2} + 6$ .

$- 7 x^{- 2} + 6$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- 7 x^{- 2} + 6 = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- 7 x^{- 2} + 6 = 0$

Etapa 5.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 7 \frac{1}{x^{2}} + 6 = 0$

Etapa 5.2.2

Combine $- 7$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{- 7}{x^{2}} + 6 = 0$

Etapa 5.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{7}{x^{2}} + 6 = 0$

Etapa 5.3

Subtraia $6$ dos dois lados da equação.

$- \frac{7}{x^{2}} = - 6$

Etapa 5.4

Encontre o MMC dos termos na equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$x^{2}, 1$

Etapa 5.4.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$x^{2}$

Etapa 5.5

Multiplique cada termo em $- \frac{7}{x^{2}} = - 6$ por $x^{2}$ para eliminar as frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1

Multiplique cada termo em $- \frac{7}{x^{2}} = - 6$ por $x^{2}$ .

$- \frac{7}{x^{2}} x^{2} = - 6 x^{2}$

Etapa 5.5.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.1

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{7}{x^{2}}$ para o numerador.

$\frac{- 7}{x^{2}} x^{2} = - 6 x^{2}$

Etapa 5.5.2.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{- 7}{x^{2}} x^{2} = - 6 x^{2}$

Etapa 5.5.2.1.3

Reescreva a expressão.

$- 7 = - 6 x^{2}$

Etapa 5.6

Resolva a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.1

Reescreva a equação como $- 6 x^{2} = - 7$ .

$- 6 x^{2} = - 7$

Etapa 5.6.2

Divida cada termo em $- 6 x^{2} = - 7$ por $- 6$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.2.1

Divida cada termo em $- 6 x^{2} = - 7$ por $- 6$ .

$\frac{- 6 x^{2}}{- 6} = \frac{- 7}{- 6}$

Etapa 5.6.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.2.2.1

Cancele o fator comum de $- 6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 6 x^{2}}{- 6} = \frac{- 7}{- 6}$

Etapa 5.6.2.2.1.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{- 7}{- 6}$

Etapa 5.6.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.2.3.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$x^{2} = \frac{7}{6}$

Etapa 5.6.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{7}{6}}$

Etapa 5.6.4

Simplifique $\pm \sqrt{\frac{7}{6}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.4.1

Reescreva $\sqrt{\frac{7}{6}}$ como $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{6}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{6}}$

Etapa 5.6.4.2

Multiplique $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{6}}$ por $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$

Etapa 5.6.4.3

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.4.3.1

Multiplique $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{6}}$ por $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{6}}{\sqrt{6} \sqrt{6}}$

Etapa 5.6.4.3.2

Eleve $\sqrt{6}$ à potência de $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1} \sqrt{6}}$

Etapa 5.6.4.3.3

Eleve $\sqrt{6}$ à potência de $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1} {\sqrt{6}}^{1}}$

Etapa 5.6.4.3.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1 + 1}}$

Etapa 5.6.4.3.5

Some $1$ e $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{2}}$

Etapa 5.6.4.3.6

Reescreva ${\sqrt{6}}^{2}$ como $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.4.3.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{6}$ como $6^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{6}}{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 5.6.4.3.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{6}}{6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 5.6.4.3.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 5.6.4.3.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.4.3.6.4.1

Cancele o fator comum.

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 5.6.4.3.6.4.2

Reescreva a expressão.

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{6}}{6^{1}}$

Etapa 5.6.4.3.6.5

Avalie o expoente.

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{6}}{6}$

Etapa 5.6.4.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.4.4.1

Combine usando a regra do produto para radicais.

$x = \pm \frac{\sqrt{7 \cdot 6}}{6}$

Etapa 5.6.4.4.2

Multiplique $7$ por $6$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{42}}{6}$

Etapa 5.6.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \frac{\sqrt{42}}{6}$

Etapa 5.6.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \frac{\sqrt{42}}{6}$

Etapa 5.6.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \frac{\sqrt{42}}{6}, - \frac{\sqrt{42}}{6}$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Defina a base em $x^{- 2}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x = 0$

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = \frac{\sqrt{42}}{6}, - \frac{\sqrt{42}}{6}$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = \frac{\sqrt{42}}{6}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$\frac{14}{{(\frac{\sqrt{42}}{6})}^{3}}$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt{42}}{6}$ .

$\frac{14}{\frac{{\sqrt{42}}^{3}}{6^{3}}}$

Etapa 9.1.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.2.1

Reescreva ${\sqrt{42}}^{3}$ como $\sqrt{42^{3}}$ .

$\frac{14}{\frac{\sqrt{42^{3}}}{6^{3}}}$

Etapa 9.1.2.2

Eleve $42$ à potência de $3$ .

$\frac{14}{\frac{\sqrt{74088}}{6^{3}}}$

Etapa 9.1.2.3

Reescreva $74088$ como $42^{2} \cdot 42$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.2.3.1

Fatore $1764$ de $74088$ .

$\frac{14}{\frac{\sqrt{1764 (42)}}{6^{3}}}$

Etapa 9.1.2.3.2

Reescreva $1764$ como $42^{2}$ .

$\frac{14}{\frac{\sqrt{42^{2} \cdot 42}}{6^{3}}}$

Etapa 9.1.2.4

Elimine os termos abaixo do radical.

$\frac{14}{\frac{42 \sqrt{42}}{6^{3}}}$

Etapa 9.1.3

Eleve $6$ à potência de $3$ .

$\frac{14}{\frac{42 \sqrt{42}}{216}}$

Etapa 9.1.4

Cancele o fator comum de $42$ e $216$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.4.1

Fatore $6$ de $42 \sqrt{42}$ .

$\frac{14}{\frac{6 (7 \sqrt{42})}{216}}$

Etapa 9.1.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.4.2.1

Fatore $6$ de $216$ .

$\frac{14}{\frac{6 (7 \sqrt{42})}{6 (36)}}$

Etapa 9.1.4.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{14}{\frac{6 (7 \sqrt{42})}{6 \cdot 36}}$

Etapa 9.1.4.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{14}{\frac{7 \sqrt{42}}{36}}$

Etapa 9.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$14 \frac{36}{7 \sqrt{42}}$

Etapa 9.3

Cancele o fator comum de $7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.1

Fatore $7$ de $14$ .

$7 (2) \frac{36}{7 \sqrt{42}}$

Etapa 9.3.2

Fatore $7$ de $7 \sqrt{42}$ .

$7 (2) \frac{36}{7 (\sqrt{42})}$

Etapa 9.3.3

Cancele o fator comum.

$7 \cdot 2 \frac{36}{7 \sqrt{42}}$

Etapa 9.3.4

Reescreva a expressão.

$2 \frac{36}{\sqrt{42}}$

Etapa 9.4

Combine $2$ e $\frac{36}{\sqrt{42}}$ .

$\frac{2 \cdot 36}{\sqrt{42}}$

Etapa 9.5

Multiplique $2$ por $36$ .

$\frac{72}{\sqrt{42}}$

Etapa 9.6

Multiplique $\frac{72}{\sqrt{42}}$ por $\frac{\sqrt{42}}{\sqrt{42}}$ .

$\frac{72}{\sqrt{42}} \cdot \frac{\sqrt{42}}{\sqrt{42}}$

Etapa 9.7

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.7.1

Multiplique $\frac{72}{\sqrt{42}}$ por $\frac{\sqrt{42}}{\sqrt{42}}$ .

$\frac{72 \sqrt{42}}{\sqrt{42} \sqrt{42}}$

Etapa 9.7.2

Eleve $\sqrt{42}$ à potência de $1$ .

$\frac{72 \sqrt{42}}{{\sqrt{42}}^{1} \sqrt{42}}$

Etapa 9.7.3

Eleve $\sqrt{42}$ à potência de $1$ .

$\frac{72 \sqrt{42}}{{\sqrt{42}}^{1} {\sqrt{42}}^{1}}$

Etapa 9.7.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{72 \sqrt{42}}{{\sqrt{42}}^{1 + 1}}$

Etapa 9.7.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{72 \sqrt{42}}{{\sqrt{42}}^{2}}$

Etapa 9.7.6

Reescreva ${\sqrt{42}}^{2}$ como $42$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.7.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{42}$ como $42^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{72 \sqrt{42}}{{(42^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 9.7.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{72 \sqrt{42}}{42^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 9.7.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{72 \sqrt{42}}{42^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 9.7.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.7.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{72 \sqrt{42}}{42^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 9.7.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{72 \sqrt{42}}{42^{1}}$

Etapa 9.7.6.5

Avalie o expoente.

$\frac{72 \sqrt{42}}{42}$

Etapa 9.8

Cancele o fator comum de $72$ e $42$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.8.1

Fatore $6$ de $72 \sqrt{42}$ .

$\frac{6 (12 \sqrt{42})}{42}$

Etapa 9.8.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.8.2.1

Fatore $6$ de $42$ .

$\frac{6 (12 \sqrt{42})}{6 (7)}$

Etapa 9.8.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{6 (12 \sqrt{42})}{6 \cdot 7}$

Etapa 9.8.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{12 \sqrt{42}}{7}$

Etapa 10

$x = \frac{\sqrt{42}}{6}$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = \frac{\sqrt{42}}{6}$ é um mínimo local

Etapa 11

Encontre o valor y quando $x = \frac{\sqrt{42}}{6}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{\sqrt{42}}{6}$ na expressão.

$f (\frac{\sqrt{42}}{6}) = 6 (\frac{\sqrt{42}}{6}) + 7 {(\frac{\sqrt{42}}{6})}^{- 1}$

Etapa 11.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.1

Cancele o fator comum de $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.1.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{\sqrt{42}}{6}) = 6 (\frac{\sqrt{42}}{6}) + 7 {(\frac{\sqrt{42}}{6})}^{- 1}$

Etapa 11.2.1.1.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{\sqrt{42}}{6}) = \sqrt{42} + 7 {(\frac{\sqrt{42}}{6})}^{- 1}$

Etapa 11.2.1.2

Altere o sinal do expoente reescrevendo a base como seu inverso.

$f (\frac{\sqrt{42}}{6}) = \sqrt{42} + 7 (\frac{6}{\sqrt{42}})$

Etapa 11.2.1.3

Multiplique $\frac{6}{\sqrt{42}}$ por $\frac{\sqrt{42}}{\sqrt{42}}$ .

$f (\frac{\sqrt{42}}{6}) = \sqrt{42} + 7 (\frac{6}{\sqrt{42}} \cdot \frac{\sqrt{42}}{\sqrt{42}})$

Etapa 11.2.1.4

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.4.1

Multiplique $\frac{6}{\sqrt{42}}$ por $\frac{\sqrt{42}}{\sqrt{42}}$ .

$f (\frac{\sqrt{42}}{6}) = \sqrt{42} + 7 (\frac{6 \sqrt{42}}{\sqrt{42} \sqrt{42}})$

Etapa 11.2.1.4.2

Eleve $\sqrt{42}$ à potência de $1$ .

$f (\frac{\sqrt{42}}{6}) = \sqrt{42} + 7 (\frac{6 \sqrt{42}}{\sqrt{42} \sqrt{42}})$

Etapa 11.2.1.4.3

Eleve $\sqrt{42}$ à potência de $1$ .

$f (\frac{\sqrt{42}}{6}) = \sqrt{42} + 7 (\frac{6 \sqrt{42}}{\sqrt{42} \sqrt{42}})$

Etapa 11.2.1.4.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f (\frac{\sqrt{42}}{6}) = \sqrt{42} + 7 (\frac{6 \sqrt{42}}{{\sqrt{42}}^{1 + 1}})$

Etapa 11.2.1.4.5

Some $1$ e $1$ .

$f (\frac{\sqrt{42}}{6}) = \sqrt{42} + 7 (\frac{6 \sqrt{42}}{{\sqrt{42}}^{2}})$

Etapa 11.2.1.4.6

Reescreva ${\sqrt{42}}^{2}$ como $42$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.4.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{42}$ como $42^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{\sqrt{42}}{6}) = \sqrt{42} + 7 (\frac{6 \sqrt{42}}{{(42^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Etapa 11.2.1.4.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt{42}}{6}) = \sqrt{42} + 7 (\frac{6 \sqrt{42}}{42^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Etapa 11.2.1.4.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (\frac{\sqrt{42}}{6}) = \sqrt{42} + 7 (\frac{6 \sqrt{42}}{42^{\frac{2}{2}}})$

Etapa 11.2.1.4.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.4.6.4.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{\sqrt{42}}{6}) = \sqrt{42} + 7 (\frac{6 \sqrt{42}}{42^{\frac{2}{2}}})$

Etapa 11.2.1.4.6.4.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{\sqrt{42}}{6}) = \sqrt{42} + 7 (\frac{6 \sqrt{42}}{42})$

Etapa 11.2.1.4.6.5

Avalie o expoente.

$f (\frac{\sqrt{42}}{6}) = \sqrt{42} + 7 (\frac{6 \sqrt{42}}{42})$

Etapa 11.2.1.5

Cancele o fator comum de $7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.5.1

Fatore $7$ de $42$ .

$f (\frac{\sqrt{42}}{6}) = \sqrt{42} + 7 (\frac{6 \sqrt{42}}{7 (6)})$

Etapa 11.2.1.5.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{\sqrt{42}}{6}) = \sqrt{42} + 7 (\frac{6 \sqrt{42}}{7 \cdot 6})$

Etapa 11.2.1.5.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{\sqrt{42}}{6}) = \sqrt{42} + \frac{6 \sqrt{42}}{6}$

Etapa 11.2.1.6

Cancele o fator comum de $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.6.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{\sqrt{42}}{6}) = \sqrt{42} + \frac{6 \sqrt{42}}{6}$

Etapa 11.2.1.6.2

Divida $\sqrt{42}$ por $1$ .

$f (\frac{\sqrt{42}}{6}) = \sqrt{42} + \sqrt{42}$

Etapa 11.2.2

Some $\sqrt{42}$ e $\sqrt{42}$ .

$f (\frac{\sqrt{42}}{6}) = 2 \sqrt{42}$

Etapa 11.2.3

A resposta final é $2 \sqrt{42}$ .

$y = 2 \sqrt{42}$

Etapa 12

Avalie a segunda derivada em $x = - \frac{\sqrt{42}}{6}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$\frac{14}{{(- \frac{\sqrt{42}}{6})}^{3}}$

Etapa 13

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{\sqrt{42}}{6}$ .

$\frac{14}{{(- 1)}^{3} {(\frac{\sqrt{42}}{6})}^{3}}$

Etapa 13.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$\frac{14}{- {(\frac{\sqrt{42}}{6})}^{3}}$

Etapa 13.1.3

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt{42}}{6}$ .

$\frac{14}{- \frac{{\sqrt{42}}^{3}}{6^{3}}}$

Etapa 13.1.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.4.1

Reescreva ${\sqrt{42}}^{3}$ como $\sqrt{42^{3}}$ .

$\frac{14}{- \frac{\sqrt{42^{3}}}{6^{3}}}$

Etapa 13.1.4.2

Eleve $42$ à potência de $3$ .

$\frac{14}{- \frac{\sqrt{74088}}{6^{3}}}$

Etapa 13.1.4.3

Reescreva $74088$ como $42^{2} \cdot 42$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.4.3.1

Fatore $1764$ de $74088$ .

$\frac{14}{- \frac{\sqrt{1764 (42)}}{6^{3}}}$

Etapa 13.1.4.3.2

Reescreva $1764$ como $42^{2}$ .

$\frac{14}{- \frac{\sqrt{42^{2} \cdot 42}}{6^{3}}}$

Etapa 13.1.4.4

Elimine os termos abaixo do radical.

$\frac{14}{- \frac{42 \sqrt{42}}{6^{3}}}$

Etapa 13.1.5

Eleve $6$ à potência de $3$ .

$\frac{14}{- \frac{42 \sqrt{42}}{216}}$

Etapa 13.1.6

Cancele o fator comum de $42$ e $216$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.6.1

Fatore $6$ de $42 \sqrt{42}$ .

$\frac{14}{- \frac{6 (7 \sqrt{42})}{216}}$

Etapa 13.1.6.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.6.2.1

Fatore $6$ de $216$ .

$\frac{14}{- \frac{6 (7 \sqrt{42})}{6 (36)}}$

Etapa 13.1.6.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{14}{- \frac{6 (7 \sqrt{42})}{6 \cdot 36}}$

Etapa 13.1.6.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{14}{- \frac{7 \sqrt{42}}{36}}$

Etapa 13.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$14 (- \frac{36}{7 \sqrt{42}})$

Etapa 13.3

Cancele o fator comum de $7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{36}{7 \sqrt{42}}$ para o numerador.

$14 \frac{- 36}{7 \sqrt{42}}$

Etapa 13.3.2

Fatore $7$ de $14$ .

$7 (2) \frac{- 36}{7 \sqrt{42}}$

Etapa 13.3.3

Fatore $7$ de $7 \sqrt{42}$ .

$7 (2) \frac{- 36}{7 (\sqrt{42})}$

Etapa 13.3.4

Cancele o fator comum.

$7 \cdot 2 \frac{- 36}{7 \sqrt{42}}$

Etapa 13.3.5

Reescreva a expressão.

$2 \frac{- 36}{\sqrt{42}}$

Etapa 13.4

Combine $2$ e $\frac{- 36}{\sqrt{42}}$ .

$\frac{2 \cdot - 36}{\sqrt{42}}$

Etapa 13.5

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.5.1

Multiplique $2$ por $- 36$ .

$\frac{- 72}{\sqrt{42}}$

Etapa 13.5.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{72}{\sqrt{42}}$

Etapa 13.6

Multiplique $\frac{72}{\sqrt{42}}$ por $\frac{\sqrt{42}}{\sqrt{42}}$ .

$- (\frac{72}{\sqrt{42}} \cdot \frac{\sqrt{42}}{\sqrt{42}})$

Etapa 13.7

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.7.1

Multiplique $\frac{72}{\sqrt{42}}$ por $\frac{\sqrt{42}}{\sqrt{42}}$ .

$- \frac{72 \sqrt{42}}{\sqrt{42} \sqrt{42}}$

Etapa 13.7.2

Eleve $\sqrt{42}$ à potência de $1$ .

$- \frac{72 \sqrt{42}}{{\sqrt{42}}^{1} \sqrt{42}}$

Etapa 13.7.3

Eleve $\sqrt{42}$ à potência de $1$ .

$- \frac{72 \sqrt{42}}{{\sqrt{42}}^{1} {\sqrt{42}}^{1}}$

Etapa 13.7.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{72 \sqrt{42}}{{\sqrt{42}}^{1 + 1}}$

Etapa 13.7.5

Some $1$ e $1$ .

$- \frac{72 \sqrt{42}}{{\sqrt{42}}^{2}}$

Etapa 13.7.6

Reescreva ${\sqrt{42}}^{2}$ como $42$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.7.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{42}$ como $42^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{72 \sqrt{42}}{{(42^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 13.7.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{72 \sqrt{42}}{42^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 13.7.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$- \frac{72 \sqrt{42}}{42^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 13.7.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.7.6.4.1

Cancele o fator comum.

$- \frac{72 \sqrt{42}}{42^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 13.7.6.4.2

Reescreva a expressão.

$- \frac{72 \sqrt{42}}{42^{1}}$

Etapa 13.7.6.5

Avalie o expoente.

$- \frac{72 \sqrt{42}}{42}$

Etapa 13.8

Cancele o fator comum de $72$ e $42$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.8.1

Fatore $6$ de $72 \sqrt{42}$ .

$- \frac{6 (12 \sqrt{42})}{42}$

Etapa 13.8.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.8.2.1

Fatore $6$ de $42$ .

$- \frac{6 (12 \sqrt{42})}{6 (7)}$

Etapa 13.8.2.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{6 (12 \sqrt{42})}{6 \cdot 7}$

Etapa 13.8.2.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{12 \sqrt{42}}{7}$

Etapa 14

$x = - \frac{\sqrt{42}}{6}$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = - \frac{\sqrt{42}}{6}$ é um máximo local

Etapa 15

Encontre o valor y quando $x = - \frac{\sqrt{42}}{6}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.1

Substitua a variável $x$ por $- \frac{\sqrt{42}}{6}$ na expressão.

$f (- \frac{\sqrt{42}}{6}) = 6 (- \frac{\sqrt{42}}{6}) + 7 {(- \frac{\sqrt{42}}{6})}^{- 1}$

Etapa 15.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.1

Cancele o fator comum de $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{\sqrt{42}}{6}$ para o numerador.

$f (- \frac{\sqrt{42}}{6}) = 6 (\frac{- \sqrt{42}}{6}) + 7 {(- \frac{\sqrt{42}}{6})}^{- 1}$

Etapa 15.2.1.1.2

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{\sqrt{42}}{6}) = 6 (\frac{- \sqrt{42}}{6}) + 7 {(- \frac{\sqrt{42}}{6})}^{- 1}$

Etapa 15.2.1.1.3

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{\sqrt{42}}{6}) = - \sqrt{42} + 7 {(- \frac{\sqrt{42}}{6})}^{- 1}$

Etapa 15.2.1.2

Altere o sinal do expoente reescrevendo a base como seu inverso.

$f (- \frac{\sqrt{42}}{6}) = - \sqrt{42} + 7 (- \frac{6}{\sqrt{42}})$

Etapa 15.2.1.3

Multiplique $\frac{6}{\sqrt{42}}$ por $\frac{\sqrt{42}}{\sqrt{42}}$ .

$f (- \frac{\sqrt{42}}{6}) = - \sqrt{42} + 7 (- (\frac{6}{\sqrt{42}} \cdot \frac{\sqrt{42}}{\sqrt{42}}))$

Etapa 15.2.1.4

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.4.1

Multiplique $\frac{6}{\sqrt{42}}$ por $\frac{\sqrt{42}}{\sqrt{42}}$ .

$f (- \frac{\sqrt{42}}{6}) = - \sqrt{42} + 7 (- \frac{6 \sqrt{42}}{\sqrt{42} \sqrt{42}})$

Etapa 15.2.1.4.2

Eleve $\sqrt{42}$ à potência de $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{42}}{6}) = - \sqrt{42} + 7 (- \frac{6 \sqrt{42}}{\sqrt{42} \sqrt{42}})$

Etapa 15.2.1.4.3

Eleve $\sqrt{42}$ à potência de $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{42}}{6}) = - \sqrt{42} + 7 (- \frac{6 \sqrt{42}}{\sqrt{42} \sqrt{42}})$

Etapa 15.2.1.4.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f (- \frac{\sqrt{42}}{6}) = - \sqrt{42} + 7 (- \frac{6 \sqrt{42}}{{\sqrt{42}}^{1 + 1}})$

Etapa 15.2.1.4.5

Some $1$ e $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{42}}{6}) = - \sqrt{42} + 7 (- \frac{6 \sqrt{42}}{{\sqrt{42}}^{2}})$

Etapa 15.2.1.4.6

Reescreva ${\sqrt{42}}^{2}$ como $42$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.4.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{42}$ como $42^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{\sqrt{42}}{6}) = - \sqrt{42} + 7 (- \frac{6 \sqrt{42}}{{(42^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Etapa 15.2.1.4.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{\sqrt{42}}{6}) = - \sqrt{42} + 7 (- \frac{6 \sqrt{42}}{42^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Etapa 15.2.1.4.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{42}}{6}) = - \sqrt{42} + 7 (- \frac{6 \sqrt{42}}{42^{\frac{2}{2}}})$

Etapa 15.2.1.4.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.4.6.4.1

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{\sqrt{42}}{6}) = - \sqrt{42} + 7 (- \frac{6 \sqrt{42}}{42^{\frac{2}{2}}})$

Etapa 15.2.1.4.6.4.2

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{\sqrt{42}}{6}) = - \sqrt{42} + 7 (- \frac{6 \sqrt{42}}{42})$

Etapa 15.2.1.4.6.5

Avalie o expoente.

$f (- \frac{\sqrt{42}}{6}) = - \sqrt{42} + 7 (- \frac{6 \sqrt{42}}{42})$

Etapa 15.2.1.5

Cancele o fator comum de $7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.5.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{6 \sqrt{42}}{42}$ para o numerador.

$f (- \frac{\sqrt{42}}{6}) = - \sqrt{42} + 7 (\frac{- 6 \sqrt{42}}{42})$

Etapa 15.2.1.5.2

Fatore $7$ de $42$ .

$f (- \frac{\sqrt{42}}{6}) = - \sqrt{42} + 7 (\frac{- 6 \sqrt{42}}{7 (6)})$

Etapa 15.2.1.5.3

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{\sqrt{42}}{6}) = - \sqrt{42} + 7 (\frac{- 6 \sqrt{42}}{7 \cdot 6})$

Etapa 15.2.1.5.4

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{\sqrt{42}}{6}) = - \sqrt{42} + \frac{- 6 \sqrt{42}}{6}$

Etapa 15.2.1.6

Cancele o fator comum de $- 6$ e $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.6.1

Fatore $6$ de $- 6 \sqrt{42}$ .

$f (- \frac{\sqrt{42}}{6}) = - \sqrt{42} + \frac{6 (- \sqrt{42})}{6}$

Etapa 15.2.1.6.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.6.2.1

Fatore $6$ de $6$ .

$f (- \frac{\sqrt{42}}{6}) = - \sqrt{42} + \frac{6 (- \sqrt{42})}{6 (1)}$

Etapa 15.2.1.6.2.2

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{\sqrt{42}}{6}) = - \sqrt{42} + \frac{6 (- \sqrt{42})}{6 \cdot 1}$

Etapa 15.2.1.6.2.3

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{\sqrt{42}}{6}) = - \sqrt{42} + \frac{- \sqrt{42}}{1}$

Etapa 15.2.1.6.2.4

Divida $- \sqrt{42}$ por $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{42}}{6}) = - \sqrt{42} - \sqrt{42}$

Etapa 15.2.2

Subtraia $\sqrt{42}$ de $- \sqrt{42}$ .

$f (- \frac{\sqrt{42}}{6}) = - 2 \sqrt{42}$

Etapa 15.2.3

A resposta final é $- 2 \sqrt{42}$ .

$y = - 2 \sqrt{42}$

Etapa 16

Esses são os extremos locais para $f (x) = 6 x + 7 x^{- 1}$ .

$(\frac{\sqrt{42}}{6}, 2 \sqrt{42})$ é um mínimo local

$(- \frac{\sqrt{42}}{6}, - 2 \sqrt{42})$ é um máximo local

Etapa 17