Cálculo Exemplos

$f (x) = 8 x^{2} + 8 \sin (2 x)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

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Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $8 x^{2} + 8 \sin (2 x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 \sin (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 \sin (2 x)]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [8 x^{2}]$ .

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Etapa 1.2.1

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8 x^{2}$ em relação a $x$ é $8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 \sin (2 x)]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$8 (2 x) + \frac{d}{d x} [8 \sin (2 x)]$

Etapa 1.2.3

Multiplique $2$ por $8$ .

$16 x + \frac{d}{d x} [8 \sin (2 x)]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [8 \sin (2 x)]$ .

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Etapa 1.3.1

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8 \sin (2 x)$ em relação a $x$ é $8 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$16 x + 8 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 1.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x$ .

$16 x + 8 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 1.3.2.2

A derivada de $\sin (u)$ em relação a $u$ é $\cos (u)$ .

$16 x + 8 (\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 1.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x$ .

$16 x + 8 (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 1.3.3

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$16 x + 8 (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 1.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$16 x + 8 (\cos (2 x) (2 \cdot 1))$

Etapa 1.3.5

Multiplique $2$ por $1$ .

$16 x + 8 (\cos (2 x) \cdot 2)$

Etapa 1.3.6

Mova $2$ para a esquerda de $\cos (2 x)$ .

$16 x + 8 (2 \cdot \cos (2 x))$

Etapa 1.3.7

Multiplique $2$ por $8$ .

$16 x + 16 \cos (2 x)$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $16 x + 16 \cos (2 x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [16 \cos (2 x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (16 x) + \frac{d}{d x} (16 \cos (2 x))$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [16 x]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $16$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $16 x$ em relação a $x$ é $16 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 16 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (16 \cos (2 x))$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 16 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (16 \cos (2 x))$

Etapa 2.2.3

Multiplique $16$ por $1$ .

$f'' (x) = 16 + \frac{d}{d x} (16 \cos (2 x))$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [16 \cos (2 x)]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $16$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $16 \cos (2 x)$ em relação a $x$ é $16 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$f'' (x) = 16 + 16 \frac{d}{d x} (\cos (2 x))$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 2.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x$ .

$f'' (x) = 16 + 16 (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (2 x))$

Etapa 2.3.2.2

A derivada de $\cos (u)$ em relação a $u$ é $- \sin (u)$ .

$f'' (x) = 16 + 16 (- \sin (u) \frac{d}{d x} (2 x))$

Etapa 2.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x$ .

$f'' (x) = 16 + 16 (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

Etapa 2.3.3

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 16 + 16 (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x)))$

Etapa 2.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 16 + 16 (- \sin (2 x) (2 \cdot 1))$

Etapa 2.3.5

Multiplique $2$ por $1$ .

$f'' (x) = 16 + 16 (- \sin (2 x) \cdot 2)$

Etapa 2.3.6

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 16 + 16 (- 2 \sin (2 x))$

Etapa 2.3.7

Multiplique $- 2$ por $16$ .

$f'' (x) = 16 - 32 \sin (2 x)$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$16 x + 16 \cos (2 x) = 0$

Etapa 4

Represente cada lado da equação em um gráfico. A solução é o valor x do ponto de intersecção.

$x \approx - 0.51493326$

Etapa 5

Avalie a segunda derivada em $x = - 0.51493326$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$16 - 32 \sin (2 (- 0.51493326))$

Etapa 6

Multiplique $2$ por $- 0.51493326$ .

$16 - 32 \sin (- 1.02986652)$

Etapa 7

$x = - 0.51493326$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = - 0.51493326$ é um mínimo local

Etapa 8

Encontre o valor y quando $x = - 0.51493326$ .

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Etapa 8.1

Substitua a variável $x$ por $- 0.51493326$ na expressão.

$f (- 0.51493326) = 8 {(- 0.51493326)}^{2} + 8 \sin (2 (- 0.51493326))$

Etapa 8.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 8.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 8.2.1.1

Eleve $- 0.51493326$ à potência de $2$ .

$f (- 0.51493326) = 8 \cdot 0.26515626 + 8 \sin (2 (- 0.51493326))$

Etapa 8.2.1.2

Multiplique $8$ por $0.26515626$ .

$f (- 0.51493326) = 2.12125013 + 8 \sin (2 (- 0.51493326))$

Etapa 8.2.1.3

Multiplique $2$ por $- 0.51493326$ .

$f (- 0.51493326) = 2.12125013 + 8 \sin (- 1.02986652)$

Etapa 8.2.2

Some $2.12125013$ e $8 \sin (- 1.02986652)$ .

$f (- 0.51493326) = - 4.73659201$

Etapa 8.2.3

A resposta final é $- 4.73659201$ .

$y = - 4.73659201$

Etapa 9

Esses são os extremos locais para $f (x) = 8 x^{2} + 8 \sin (2 x)$ .

$(- 0.51493326, - 4.73659201)$ é um mínimo local

Etapa 10