Cálculo Exemplos

$f (x) = 8 \sqrt{3} \sin (x) - 8 \cos (x)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

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Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $8 \sqrt{3} \sin (x) - 8 \cos (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [8 \sqrt{3} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 8 \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [8 \sqrt{3} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 8 \cos (x)]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [8 \sqrt{3} \sin (x)]$ .

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Etapa 1.2.1

Como $8 \sqrt{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8 \sqrt{3} \sin (x)$ em relação a $x$ é $8 \sqrt{3} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$8 \sqrt{3} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 8 \cos (x)]$

Etapa 1.2.2

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$8 \sqrt{3} \cos (x) + \frac{d}{d x} [- 8 \cos (x)]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 8 \cos (x)]$ .

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Etapa 1.3.1

Como $- 8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 8 \cos (x)$ em relação a $x$ é $- 8 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$8 \sqrt{3} \cos (x) - 8 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Etapa 1.3.2

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$8 \sqrt{3} \cos (x) - 8 (- \sin (x))$

Etapa 1.3.3

Multiplique $- 1$ por $- 8$ .

$8 \sqrt{3} \cos (x) + 8 \sin (x)$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $8 \sqrt{3} \cos (x) + 8 \sin (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [8 \sqrt{3} \cos (x)] + \frac{d}{d x} [8 \sin (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (8 \sqrt{3} \cos (x)) + \frac{d}{d x} (8 \sin (x))$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [8 \sqrt{3} \cos (x)]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $8 \sqrt{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8 \sqrt{3} \cos (x)$ em relação a $x$ é $8 \sqrt{3} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$f'' (x) = 8 \sqrt{3} \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \frac{d}{d x} (8 \sin (x))$

Etapa 2.2.2

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = 8 \sqrt{3} (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} (8 \sin (x))$

Etapa 2.2.3

Multiplique $- 1$ por $8$ .

$f'' (x) = - 8 \sqrt{3} \sin (x) + \frac{d}{d x} (8 \sin (x))$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [8 \sin (x)]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8 \sin (x)$ em relação a $x$ é $8 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$f'' (x) = - 8 \sqrt{3} \sin (x) + 8 \frac{d}{d x} (\sin (x))$

Etapa 2.3.2

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 8 \sqrt{3} \sin (x) + 8 \cos (x)$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$8 \sqrt{3} \cos (x) + 8 \sin (x) = 0$

Etapa 4

Divida cada termo na equação por $\cos (x)$ .

$\frac{8 \sqrt{3} \cos (x)}{\cos (x)} + \frac{8 \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 5

Cancele o fator comum de $\cos (x)$ .

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Etapa 5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{8 \sqrt{3} \cos (x)}{\cos (x)} + \frac{8 \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 5.2

Divida $8 \sqrt{3}$ por $1$ .

$8 \sqrt{3} + \frac{8 \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 6

Separe as frações.

$8 \sqrt{3} + \frac{8}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 7

Converta de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ em $\tan (x)$ .

$8 \sqrt{3} + \frac{8}{1} \cdot \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 8

Divida $8$ por $1$ .

$8 \sqrt{3} + 8 \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 9

Separe as frações.

$8 \sqrt{3} + 8 \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Etapa 10

Converta de $\frac{1}{\cos (x)}$ em $\sec (x)$ .

$8 \sqrt{3} + 8 \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Etapa 11

Divida $0$ por $1$ .

$8 \sqrt{3} + 8 \tan (x) = 0 \sec (x)$

Etapa 12

Multiplique $0$ por $\sec (x)$ .

$8 \sqrt{3} + 8 \tan (x) = 0$

Etapa 13

Subtraia $8 \sqrt{3}$ dos dois lados da equação.

$8 \tan (x) = - 8 \sqrt{3}$

Etapa 14

Divida cada termo em $8 \tan (x) = - 8 \sqrt{3}$ por $8$ e simplifique.

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Etapa 14.1

Divida cada termo em $8 \tan (x) = - 8 \sqrt{3}$ por $8$ .

$\frac{8 \tan (x)}{8} = \frac{- 8 \sqrt{3}}{8}$

Etapa 14.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 14.2.1

Cancele o fator comum de $8$ .

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Etapa 14.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{8 \tan (x)}{8} = \frac{- 8 \sqrt{3}}{8}$

Etapa 14.2.1.2

Divida $\tan (x)$ por $1$ .

$\tan (x) = \frac{- 8 \sqrt{3}}{8}$

Etapa 14.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 14.3.1

Cancele o fator comum de $- 8$ e $8$ .

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Etapa 14.3.1.1

Fatore $8$ de $- 8 \sqrt{3}$ .

$\tan (x) = \frac{8 (- \sqrt{3})}{8}$

Etapa 14.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 14.3.1.2.1

Fatore $8$ de $8$ .

$\tan (x) = \frac{8 (- \sqrt{3})}{8 (1)}$

Etapa 14.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\tan (x) = \frac{8 (- \sqrt{3})}{8 \cdot 1}$

Etapa 14.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$\tan (x) = \frac{- \sqrt{3}}{1}$

Etapa 14.3.1.2.4

Divida $- \sqrt{3}$ por $1$ .

$\tan (x) = - \sqrt{3}$

Etapa 15

Obtenha a tangente inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da tangente.

$x = \arctan (- \sqrt{3})$

Etapa 16

Simplifique o lado direito.

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Etapa 16.1

O valor exato de $\arctan (- \sqrt{3})$ é $- \frac{π}{3}$ .

$x = - \frac{π}{3}$

Etapa 17

A função da tangente é negativa no segundo e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no terceiro quadrante.

$x = - \frac{π}{3} - π$

Etapa 18

Simplifique a expressão para encontrar a segunda solução.

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Etapa 18.1

Some $2 π$ a $- \frac{π}{3} - π$ .

$x = - \frac{π}{3} - π + 2 π$

Etapa 18.2

O ângulo resultante de $\frac{2 π}{3}$ é positivo e coterminal com $- \frac{π}{3} - π$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Etapa 19

A solução para a equação $x = - \frac{π}{3}$ .

$x = - \frac{π}{3}, \frac{2 π}{3}$

Etapa 20

Avalie a segunda derivada em $x = - \frac{π}{3}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- 8 \sqrt{3} \sin (- \frac{π}{3}) + 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Etapa 21

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 21.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 21.1.1

Some as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$- 8 \sqrt{3} \sin (\frac{5 π}{3}) + 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Etapa 21.1.2

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o seno é negativo no quarto quadrante.

$- 8 \sqrt{3} (- \sin (\frac{π}{3})) + 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Etapa 21.1.3

O valor exato de $\sin (\frac{π}{3})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- 8 \sqrt{3} (- \frac{\sqrt{3}}{2}) + 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Etapa 21.1.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 21.1.4.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ para o numerador.

$- 8 \sqrt{3} \frac{- \sqrt{3}}{2} + 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Etapa 21.1.4.2

Fatore $2$ de $- 8 \sqrt{3}$ .

$2 (- 4 \sqrt{3}) \frac{- \sqrt{3}}{2} + 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Etapa 21.1.4.3

Cancele o fator comum.

$2 (- 4 \sqrt{3}) \frac{- \sqrt{3}}{2} + 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Etapa 21.1.4.4

Reescreva a expressão.

$- 4 \sqrt{3} (- \sqrt{3}) + 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Etapa 21.1.5

Multiplique $- 1$ por $- 4$ .

$4 \sqrt{3} \sqrt{3} + 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Etapa 21.1.6

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$4 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}) + 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Etapa 21.1.7

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$4 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}) + 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Etapa 21.1.8

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$4 {\sqrt{3}}^{1 + 1} + 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Etapa 21.1.9

Some $1$ e $1$ .

$4 {\sqrt{3}}^{2} + 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Etapa 21.1.10

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Etapa 21.1.10.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Etapa 21.1.10.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Etapa 21.1.10.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Etapa 21.1.10.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 21.1.10.4.1

Cancele o fator comum.

$4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Etapa 21.1.10.4.2

Reescreva a expressão.

$4 \cdot 3^{1} + 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Etapa 21.1.10.5

Avalie o expoente.

$4 \cdot 3 + 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Etapa 21.1.11

Multiplique $4$ por $3$ .

$12 + 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Etapa 21.1.12

Some as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$12 + 8 \cos (\frac{5 π}{3})$

Etapa 21.1.13

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$12 + 8 \cos (\frac{π}{3})$

Etapa 21.1.14

O valor exato de $\cos (\frac{π}{3})$ é $\frac{1}{2}$ .

$12 + 8 (\frac{1}{2})$

Etapa 21.1.15

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 21.1.15.1

Fatore $2$ de $8$ .

$12 + 2 (4) \frac{1}{2}$

Etapa 21.1.15.2

Cancele o fator comum.

$12 + 2 \cdot 4 \frac{1}{2}$

Etapa 21.1.15.3

Reescreva a expressão.

$12 + 4$

Etapa 21.2

Some $12$ e $4$ .

$16$

Etapa 22

$x = - \frac{π}{3}$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = - \frac{π}{3}$ é um mínimo local

Etapa 23

Encontre o valor y quando $x = - \frac{π}{3}$ .

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Etapa 23.1

Substitua a variável $x$ por $- \frac{π}{3}$ na expressão.

$f (- \frac{π}{3}) = 8 \sqrt{3} \sin (- \frac{π}{3}) - 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Etapa 23.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 23.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 23.2.1.1

Some as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$f (- \frac{π}{3}) = 8 \sqrt{3} \sin (\frac{5 π}{3}) - 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Etapa 23.2.1.2

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o seno é negativo no quarto quadrante.

$f (- \frac{π}{3}) = 8 \sqrt{3} (- \sin (\frac{π}{3})) - 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Etapa 23.2.1.3

O valor exato de $\sin (\frac{π}{3})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (- \frac{π}{3}) = 8 \sqrt{3} (- \frac{\sqrt{3}}{2}) - 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Etapa 23.2.1.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 23.2.1.4.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ para o numerador.

$f (- \frac{π}{3}) = 8 \sqrt{3} (\frac{- \sqrt{3}}{2}) - 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Etapa 23.2.1.4.2

Fatore $2$ de $8 \sqrt{3}$ .

$f (- \frac{π}{3}) = 2 (4 \sqrt{3}) (\frac{- \sqrt{3}}{2}) - 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Etapa 23.2.1.4.3

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{π}{3}) = 2 (4 \sqrt{3}) (\frac{- \sqrt{3}}{2}) - 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Etapa 23.2.1.4.4

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{π}{3}) = 4 \sqrt{3} (- \sqrt{3}) - 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Etapa 23.2.1.5

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$f (- \frac{π}{3}) = - 4 \sqrt{3} \sqrt{3} - 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Etapa 23.2.1.6

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$f (- \frac{π}{3}) = - 4 (\sqrt{3} \sqrt{3}) - 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Etapa 23.2.1.7

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$f (- \frac{π}{3}) = - 4 (\sqrt{3} \sqrt{3}) - 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Etapa 23.2.1.8

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f (- \frac{π}{3}) = - 4 {\sqrt{3}}^{1 + 1} - 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Etapa 23.2.1.9

Some $1$ e $1$ .

$f (- \frac{π}{3}) = - 4 {\sqrt{3}}^{2} - 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Etapa 23.2.1.10

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 23.2.1.10.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{π}{3}) = - 4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} - 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Etapa 23.2.1.10.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{π}{3}) = - 4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Etapa 23.2.1.10.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (- \frac{π}{3}) = - 4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Etapa 23.2.1.10.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 23.2.1.10.4.1

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{π}{3}) = - 4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Etapa 23.2.1.10.4.2

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{π}{3}) = - 4 \cdot 3 - 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Etapa 23.2.1.10.5

Avalie o expoente.

$f (- \frac{π}{3}) = - 4 \cdot 3 - 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Etapa 23.2.1.11

Multiplique $- 4$ por $3$ .

$f (- \frac{π}{3}) = - 12 - 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Etapa 23.2.1.12

Some as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$f (- \frac{π}{3}) = - 12 - 8 \cos (\frac{5 π}{3})$

Etapa 23.2.1.13

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$f (- \frac{π}{3}) = - 12 - 8 \cos (\frac{π}{3})$

Etapa 23.2.1.14

O valor exato de $\cos (\frac{π}{3})$ é $\frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{π}{3}) = - 12 - 8 (\frac{1}{2})$

Etapa 23.2.1.15

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 23.2.1.15.1

Fatore $2$ de $- 8$ .

$f (- \frac{π}{3}) = - 12 + 2 (- 4) (\frac{1}{2})$

Etapa 23.2.1.15.2

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{π}{3}) = - 12 + 2 \cdot (- 4 (\frac{1}{2}))$

Etapa 23.2.1.15.3

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{π}{3}) = - 12 - 4$

Etapa 23.2.2

Subtraia $4$ de $- 12$ .

$f (- \frac{π}{3}) = - 16$

Etapa 23.2.3

A resposta final é $- 16$ .

$y = - 16$

Etapa 24

Avalie a segunda derivada em $x = \frac{2 π}{3}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- 8 \sqrt{3} \sin (\frac{2 π}{3}) + 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

Etapa 25

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 25.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 25.1.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$- 8 \sqrt{3} \sin (\frac{π}{3}) + 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

Etapa 25.1.2

O valor exato de $\sin (\frac{π}{3})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- 8 \sqrt{3} \frac{\sqrt{3}}{2} + 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

Etapa 25.1.3

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 25.1.3.1

Fatore $2$ de $- 8 \sqrt{3}$ .

$2 (- 4 \sqrt{3}) \frac{\sqrt{3}}{2} + 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

Etapa 25.1.3.2

Cancele o fator comum.

$2 (- 4 \sqrt{3}) \frac{\sqrt{3}}{2} + 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

Etapa 25.1.3.3

Reescreva a expressão.

$- 4 \sqrt{3} \sqrt{3} + 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

Etapa 25.1.4

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$- 4 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}) + 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

Etapa 25.1.5

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$- 4 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}) + 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

Etapa 25.1.6

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- 4 {\sqrt{3}}^{1 + 1} + 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

Etapa 25.1.7

Some $1$ e $1$ .

$- 4 {\sqrt{3}}^{2} + 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

Etapa 25.1.8

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Etapa 25.1.8.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$- 4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

Etapa 25.1.8.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

Etapa 25.1.8.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$- 4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

Etapa 25.1.8.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 25.1.8.4.1

Cancele o fator comum.

$- 4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

Etapa 25.1.8.4.2

Reescreva a expressão.

$- 4 \cdot 3^{1} + 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

Etapa 25.1.8.5

Avalie o expoente.

$- 4 \cdot 3 + 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

Etapa 25.1.9

Multiplique $- 4$ por $3$ .

$- 12 + 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

Etapa 25.1.10

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$- 12 + 8 (- \cos (\frac{π}{3}))$

Etapa 25.1.11

O valor exato de $\cos (\frac{π}{3})$ é $\frac{1}{2}$ .

$- 12 + 8 (- \frac{1}{2})$

Etapa 25.1.12

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 25.1.12.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{2}$ para o numerador.

$- 12 + 8 (\frac{- 1}{2})$

Etapa 25.1.12.2

Fatore $2$ de $8$ .

$- 12 + 2 (4) \frac{- 1}{2}$

Etapa 25.1.12.3

Cancele o fator comum.

$- 12 + 2 \cdot 4 \frac{- 1}{2}$

Etapa 25.1.12.4

Reescreva a expressão.

$- 12 + 4 \cdot - 1$

Etapa 25.1.13

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$- 12 - 4$

Etapa 25.2

Subtraia $4$ de $- 12$ .

$- 16$

Etapa 26

$x = \frac{2 π}{3}$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = \frac{2 π}{3}$ é um máximo local

Etapa 27

Encontre o valor y quando $x = \frac{2 π}{3}$ .

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Etapa 27.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{2 π}{3}$ na expressão.

$f (\frac{2 π}{3}) = 8 \sqrt{3} \sin (\frac{2 π}{3}) - 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

Etapa 27.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 27.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 27.2.1.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$f (\frac{2 π}{3}) = 8 \sqrt{3} \sin (\frac{π}{3}) - 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

Etapa 27.2.1.2

O valor exato de $\sin (\frac{π}{3})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 8 \sqrt{3} (\frac{\sqrt{3}}{2}) - 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

Etapa 27.2.1.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 27.2.1.3.1

Fatore $2$ de $8 \sqrt{3}$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 2 (4 \sqrt{3}) (\frac{\sqrt{3}}{2}) - 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

Etapa 27.2.1.3.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{2 π}{3}) = 2 (4 \sqrt{3}) (\frac{\sqrt{3}}{2}) - 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

Etapa 27.2.1.3.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 \sqrt{3} \sqrt{3} - 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

Etapa 27.2.1.4

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 (\sqrt{3} \sqrt{3}) - 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

Etapa 27.2.1.5

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 (\sqrt{3} \sqrt{3}) - 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

Etapa 27.2.1.6

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 {\sqrt{3}}^{1 + 1} - 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

Etapa 27.2.1.7

Some $1$ e $1$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 {\sqrt{3}}^{2} - 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

Etapa 27.2.1.8

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Etapa 27.2.1.8.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} - 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

Etapa 27.2.1.8.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

Etapa 27.2.1.8.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

Etapa 27.2.1.8.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 27.2.1.8.4.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

Etapa 27.2.1.8.4.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 \cdot 3 - 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

Etapa 27.2.1.8.5

Avalie o expoente.

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 \cdot 3 - 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

Etapa 27.2.1.9

Multiplique $4$ por $3$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 12 - 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

Etapa 27.2.1.10

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$f (\frac{2 π}{3}) = 12 - 8 (- \cos (\frac{π}{3}))$

Etapa 27.2.1.11

O valor exato de $\cos (\frac{π}{3})$ é $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 12 - 8 (- \frac{1}{2})$

Etapa 27.2.1.12

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 27.2.1.12.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{2}$ para o numerador.

$f (\frac{2 π}{3}) = 12 - 8 (\frac{- 1}{2})$

Etapa 27.2.1.12.2

Fatore $2$ de $- 8$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 12 + 2 (- 4) (\frac{- 1}{2})$

Etapa 27.2.1.12.3

Cancele o fator comum.

$f (\frac{2 π}{3}) = 12 + 2 \cdot (- 4 (\frac{- 1}{2}))$

Etapa 27.2.1.12.4

Reescreva a expressão.

$f (\frac{2 π}{3}) = 12 - 4 \cdot - 1$

Etapa 27.2.1.13

Multiplique $- 4$ por $- 1$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 12 + 4$

Etapa 27.2.2

Some $12$ e $4$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 16$

Etapa 27.2.3

A resposta final é $16$ .

$y = 16$

Etapa 28

Esses são os extremos locais para $f (x) = 8 \sqrt{3} \sin (x) - 8 \cos (x)$ .

$(- \frac{π}{3}, - 16)$ é um mínimo local

$(\frac{2 π}{3}, 16)$ é um máximo local

Etapa 29