Cálculo Exemplos

$f (x) = - 8 e^{- 8 x} + 5 e^{- 5 x}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 8 e^{- 8 x} + 5 e^{- 5 x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 8 e^{- 8 x}] + \frac{d}{d x} [5 e^{- 5 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 8 e^{- 8 x}] + \frac{d}{d x} [5 e^{- 5 x}]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 8 e^{- 8 x}]$ .

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Etapa 1.2.1

Como $- 8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 8 e^{- 8 x}$ em relação a $x$ é $- 8 \frac{d}{d x} [e^{- 8 x}]$ .

$- 8 \frac{d}{d x} [e^{- 8 x}] + \frac{d}{d x} [5 e^{- 5 x}]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - 8 x$ .

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Etapa 1.2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $- 8 x$ .

$- 8 (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- 8 x]) + \frac{d}{d x} [5 e^{- 5 x}]$

Etapa 1.2.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ é $a^{u_{1}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$- 8 (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- 8 x]) + \frac{d}{d x} [5 e^{- 5 x}]$

Etapa 1.2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $- 8 x$ .

$- 8 (e^{- 8 x} \frac{d}{d x} [- 8 x]) + \frac{d}{d x} [5 e^{- 5 x}]$

Etapa 1.2.3

Como $- 8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 8 x$ em relação a $x$ é $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 8 (e^{- 8 x} (- 8 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [5 e^{- 5 x}]$

Etapa 1.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 8 (e^{- 8 x} (- 8 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [5 e^{- 5 x}]$

Etapa 1.2.5

Multiplique $- 8$ por $1$ .

$- 8 (e^{- 8 x} \cdot - 8) + \frac{d}{d x} [5 e^{- 5 x}]$

Etapa 1.2.6

Mova $- 8$ para a esquerda de $e^{- 8 x}$ .

$- 8 (- 8 \cdot e^{- 8 x}) + \frac{d}{d x} [5 e^{- 5 x}]$

Etapa 1.2.7

Multiplique $- 8$ por $- 8$ .

$64 e^{- 8 x} + \frac{d}{d x} [5 e^{- 5 x}]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [5 e^{- 5 x}]$ .

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Etapa 1.3.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 e^{- 5 x}$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [e^{- 5 x}]$ .

$64 e^{- 8 x} + 5 \frac{d}{d x} [e^{- 5 x}]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - 5 x$ .

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Etapa 1.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $- 5 x$ .

$64 e^{- 8 x} + 5 (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- 5 x])$

Etapa 1.3.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ é $a^{u_{2}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$64 e^{- 8 x} + 5 (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- 5 x])$

Etapa 1.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $- 5 x$ .

$64 e^{- 8 x} + 5 (e^{- 5 x} \frac{d}{d x} [- 5 x])$

Etapa 1.3.3

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5 x$ em relação a $x$ é $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$64 e^{- 8 x} + 5 (e^{- 5 x} (- 5 \frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 1.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$64 e^{- 8 x} + 5 (e^{- 5 x} (- 5 \cdot 1))$

Etapa 1.3.5

Multiplique $- 5$ por $1$ .

$64 e^{- 8 x} + 5 (e^{- 5 x} \cdot - 5)$

Etapa 1.3.6

Mova $- 5$ para a esquerda de $e^{- 5 x}$ .

$64 e^{- 8 x} + 5 (- 5 \cdot e^{- 5 x})$

Etapa 1.3.7

Multiplique $- 5$ por $5$ .

$64 e^{- 8 x} - 25 e^{- 5 x}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $64 e^{- 8 x} - 25 e^{- 5 x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [64 e^{- 8 x}] + \frac{d}{d x} [- 25 e^{- 5 x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (64 e^{- 8 x}) + \frac{d}{d x} (- 25 e^{- 5 x})$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [64 e^{- 8 x}]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $64$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $64 e^{- 8 x}$ em relação a $x$ é $64 \frac{d}{d x} [e^{- 8 x}]$ .

$f'' (x) = 64 \frac{d}{d x} (e^{- 8 x}) + \frac{d}{d x} (- 25 e^{- 5 x})$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - 8 x$ .

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Etapa 2.2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $- 8 x$ .

$f'' (x) = 64 (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (- 8 x)) + \frac{d}{d x} (- 25 e^{- 5 x})$

Etapa 2.2.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ é $a^{u_{1}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$f'' (x) = 64 (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (- 8 x)) + \frac{d}{d x} (- 25 e^{- 5 x})$

Etapa 2.2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $- 8 x$ .

$f'' (x) = 64 (e^{- 8 x} \frac{d}{d x} (- 8 x)) + \frac{d}{d x} (- 25 e^{- 5 x})$

Etapa 2.2.3

Como $- 8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 8 x$ em relação a $x$ é $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 64 (e^{- 8 x} (- 8 \frac{d}{d x} x)) + \frac{d}{d x} (- 25 e^{- 5 x})$

Etapa 2.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 64 (e^{- 8 x} (- 8 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} (- 25 e^{- 5 x})$

Etapa 2.2.5

Multiplique $- 8$ por $1$ .

$f'' (x) = 64 (e^{- 8 x} \cdot - 8) + \frac{d}{d x} (- 25 e^{- 5 x})$

Etapa 2.2.6

Mova $- 8$ para a esquerda de $e^{- 8 x}$ .

$f'' (x) = 64 (- 8 \cdot e^{- 8 x}) + \frac{d}{d x} (- 25 e^{- 5 x})$

Etapa 2.2.7

Multiplique $- 8$ por $64$ .

$f'' (x) = - 512 e^{- 8 x} + \frac{d}{d x} (- 25 e^{- 5 x})$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 25 e^{- 5 x}]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $- 25$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 25 e^{- 5 x}$ em relação a $x$ é $- 25 \frac{d}{d x} [e^{- 5 x}]$ .

$f'' (x) = - 512 e^{- 8 x} - 25 \frac{d}{d x} e^{- 5 x}$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - 5 x$ .

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Etapa 2.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $- 5 x$ .

$f'' (x) = - 512 e^{- 8 x} - 25 (\frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (- 5 x))$

Etapa 2.3.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ é $a^{u_{2}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - 512 e^{- 8 x} - 25 (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (- 5 x))$

Etapa 2.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $- 5 x$ .

$f'' (x) = - 512 e^{- 8 x} - 25 (e^{- 5 x} \frac{d}{d x} (- 5 x))$

Etapa 2.3.3

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5 x$ em relação a $x$ é $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 512 e^{- 8 x} - 25 (e^{- 5 x} (- 5 \frac{d}{d x} x))$

Etapa 2.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = - 512 e^{- 8 x} - 25 (e^{- 5 x} (- 5 \cdot 1))$

Etapa 2.3.5

Multiplique $- 5$ por $1$ .

$f'' (x) = - 512 e^{- 8 x} - 25 (e^{- 5 x} \cdot - 5)$

Etapa 2.3.6

Mova $- 5$ para a esquerda de $e^{- 5 x}$ .

$f'' (x) = - 512 e^{- 8 x} - 25 (- 5 \cdot e^{- 5 x})$

Etapa 2.3.7

Multiplique $- 5$ por $- 25$ .

$f'' (x) = - 512 e^{- 8 x} + 125 e^{- 5 x}$

Etapa 2.4

Reordene os termos.

$f'' (x) = 125 e^{- 5 x} - 512 e^{- 8 x}$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$64 e^{- 8 x} - 25 e^{- 5 x} = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 4.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 8 e^{- 8 x} + 5 e^{- 5 x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 8 e^{- 8 x}] + \frac{d}{d x} [5 e^{- 5 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 8 e^{- 8 x}] + \frac{d}{d x} [5 e^{- 5 x}]$

Etapa 4.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 8 e^{- 8 x}]$ .

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Etapa 4.1.2.1

Como $- 8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 8 e^{- 8 x}$ em relação a $x$ é $- 8 \frac{d}{d x} [e^{- 8 x}]$ .

$- 8 \frac{d}{d x} [e^{- 8 x}] + \frac{d}{d x} [5 e^{- 5 x}]$

Etapa 4.1.2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - 8 x$ .

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Etapa 4.1.2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $- 8 x$ .

$- 8 (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- 8 x]) + \frac{d}{d x} [5 e^{- 5 x}]$

Etapa 4.1.2.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ é $a^{u_{1}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$- 8 (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- 8 x]) + \frac{d}{d x} [5 e^{- 5 x}]$

Etapa 4.1.2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $- 8 x$ .

$- 8 (e^{- 8 x} \frac{d}{d x} [- 8 x]) + \frac{d}{d x} [5 e^{- 5 x}]$

Etapa 4.1.2.3

Como $- 8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 8 x$ em relação a $x$ é $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 8 (e^{- 8 x} (- 8 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [5 e^{- 5 x}]$

Etapa 4.1.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 8 (e^{- 8 x} (- 8 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [5 e^{- 5 x}]$

Etapa 4.1.2.5

Multiplique $- 8$ por $1$ .

$- 8 (e^{- 8 x} \cdot - 8) + \frac{d}{d x} [5 e^{- 5 x}]$

Etapa 4.1.2.6

Mova $- 8$ para a esquerda de $e^{- 8 x}$ .

$- 8 (- 8 \cdot e^{- 8 x}) + \frac{d}{d x} [5 e^{- 5 x}]$

Etapa 4.1.2.7

Multiplique $- 8$ por $- 8$ .

$64 e^{- 8 x} + \frac{d}{d x} [5 e^{- 5 x}]$

Etapa 4.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [5 e^{- 5 x}]$ .

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Etapa 4.1.3.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 e^{- 5 x}$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [e^{- 5 x}]$ .

$64 e^{- 8 x} + 5 \frac{d}{d x} [e^{- 5 x}]$

Etapa 4.1.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - 5 x$ .

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Etapa 4.1.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $- 5 x$ .

$64 e^{- 8 x} + 5 (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- 5 x])$

Etapa 4.1.3.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ é $a^{u_{2}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$64 e^{- 8 x} + 5 (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- 5 x])$

Etapa 4.1.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $- 5 x$ .

$64 e^{- 8 x} + 5 (e^{- 5 x} \frac{d}{d x} [- 5 x])$

Etapa 4.1.3.3

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5 x$ em relação a $x$ é $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$64 e^{- 8 x} + 5 (e^{- 5 x} (- 5 \frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 4.1.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$64 e^{- 8 x} + 5 (e^{- 5 x} (- 5 \cdot 1))$

Etapa 4.1.3.5

Multiplique $- 5$ por $1$ .

$64 e^{- 8 x} + 5 (e^{- 5 x} \cdot - 5)$

Etapa 4.1.3.6

Mova $- 5$ para a esquerda de $e^{- 5 x}$ .

$64 e^{- 8 x} + 5 (- 5 \cdot e^{- 5 x})$

Etapa 4.1.3.7

Multiplique $- 5$ por $5$ .

$f' (x) = 64 e^{- 8 x} - 25 e^{- 5 x}$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $64 e^{- 8 x} - 25 e^{- 5 x}$ .

$64 e^{- 8 x} - 25 e^{- 5 x}$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $64 e^{- 8 x} - 25 e^{- 5 x} = 0$ .

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Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$64 e^{- 8 x} - 25 e^{- 5 x} = 0$

Etapa 5.2

Mova $- 25 e^{- 5 x}$ para o lado direito da equação, somando-o aos dois lados.

$64 e^{- 8 x} = 25 e^{- 5 x}$

Etapa 5.3

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (64 e^{- 8 x}) = \ln (25 e^{- 5 x})$

Etapa 5.4

Expanda o lado esquerdo.

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Etapa 5.4.1

Reescreva $\ln (64 e^{- 8 x})$ como $\ln (64) + \ln (e^{- 8 x})$ .

$\ln (64) + \ln (e^{- 8 x}) = \ln (25 e^{- 5 x})$

Etapa 5.4.2

Expanda $\ln (e^{- 8 x})$ movendo $- 8 x$ para fora do logaritmo.

$\ln (64) - 8 x \ln (e) = \ln (25 e^{- 5 x})$

Etapa 5.4.3

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$\ln (64) - 8 x \cdot 1 = \ln (25 e^{- 5 x})$

Etapa 5.4.4

Multiplique $- 8$ por $1$ .

$\ln (64) - 8 x = \ln (25 e^{- 5 x})$

Etapa 5.5

Expanda o lado direito.

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Etapa 5.5.1

Reescreva $\ln (25 e^{- 5 x})$ como $\ln (25) + \ln (e^{- 5 x})$ .

$\ln (64) - 8 x = \ln (25) + \ln (e^{- 5 x})$

Etapa 5.5.2

Expanda $\ln (e^{- 5 x})$ movendo $- 5 x$ para fora do logaritmo.

$\ln (64) - 8 x = \ln (25) - 5 x \ln (e)$

Etapa 5.5.3

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$\ln (64) - 8 x = \ln (25) - 5 x \cdot 1$

Etapa 5.5.4

Multiplique $- 5$ por $1$ .

$\ln (64) - 8 x = \ln (25) - 5 x$

Etapa 5.6

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$\ln (64) - \ln (25) = 8 x - 5 x$

Etapa 5.7

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{64}{25}) = 8 x - 5 x$

Etapa 5.8

Subtraia $5 x$ de $8 x$ .

$\ln (\frac{64}{25}) = 3 x$

Etapa 5.9

Como $x$ está do lado direito da equação, troque os lados para que ela fique do lado esquerdo da equação.

$3 x = \ln (\frac{64}{25})$

Etapa 5.10

Divida cada termo em $3 x = \ln (\frac{64}{25})$ por $3$ e simplifique.

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Etapa 5.10.1

Divida cada termo em $3 x = \ln (\frac{64}{25})$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}$

Etapa 5.10.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.10.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 5.10.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}$

Etapa 5.10.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 6.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = \frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = \frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$125 e^{- 5 \frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}} - 512 e^{- 8 \frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}}$

Etapa 9

Simplifique cada termo.

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Etapa 9.1

Reescreva $\frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}$ como $\frac{1}{3} \ln (\frac{64}{25})$ .

$125 e^{- 5 (\frac{1}{3} \ln (\frac{64}{25}))} - 512 e^{- 8 \frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}}$

Etapa 9.2

Simplifique $\frac{1}{3} \ln (\frac{64}{25})$ movendo $\frac{1}{3}$ para dentro do logaritmo.

$125 e^{- 5 \ln ({(\frac{64}{25})}^{\frac{1}{3}})} - 512 e^{- 8 \frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}}$

Etapa 9.3

Simplifique $- 5 \ln ({(\frac{64}{25})}^{\frac{1}{3}})$ movendo $- 5$ para dentro do logaritmo.

$125 e^{\ln ({({(\frac{64}{25})}^{\frac{1}{3}})}^{- 5})} - 512 e^{- 8 \frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}}$

Etapa 9.4

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$125 {({(\frac{64}{25})}^{\frac{1}{3}})}^{- 5} - 512 e^{- 8 \frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}}$

Etapa 9.5

Multiplique os expoentes em ${({(\frac{64}{25})}^{\frac{1}{3}})}^{- 5}$ .

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Etapa 9.5.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$125 {(\frac{64}{25})}^{\frac{1}{3} \cdot - 5} - 512 e^{- 8 \frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}}$

Etapa 9.5.2

Combine $\frac{1}{3}$ e $- 5$ .

$125 {(\frac{64}{25})}^{\frac{- 5}{3}} - 512 e^{- 8 \frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}}$

Etapa 9.5.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$125 {(\frac{64}{25})}^{- \frac{5}{3}} - 512 e^{- 8 \frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}}$

Etapa 9.6

Altere o sinal do expoente reescrevendo a base como seu inverso.

$125 {(\frac{25}{64})}^{\frac{5}{3}} - 512 e^{- 8 \frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}}$

Etapa 9.7

Aplique a regra do produto a $\frac{25}{64}$ .

$125 \frac{25^{\frac{5}{3}}}{64^{\frac{5}{3}}} - 512 e^{- 8 \frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}}$

Etapa 9.8

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.8.1

Reescreva $64$ como $4^{3}$ .

$125 \frac{25^{\frac{5}{3}}}{{(4^{3})}^{\frac{5}{3}}} - 512 e^{- 8 \frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}}$

Etapa 9.8.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$125 \frac{25^{\frac{5}{3}}}{4^{3 (\frac{5}{3})}} - 512 e^{- 8 \frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}}$

Etapa 9.8.3

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.8.3.1

Cancele o fator comum.

$125 \frac{25^{\frac{5}{3}}}{4^{3 (\frac{5}{3})}} - 512 e^{- 8 \frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}}$

Etapa 9.8.3.2

Reescreva a expressão.

$125 \frac{25^{\frac{5}{3}}}{4^{5}} - 512 e^{- 8 \frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}}$

Etapa 9.8.4

Eleve $4$ à potência de $5$ .

$125 \frac{25^{\frac{5}{3}}}{1024} - 512 e^{- 8 \frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}}$

Etapa 9.9

Multiplique $125 \frac{25^{\frac{5}{3}}}{1024}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.9.1

Combine $125$ e $\frac{25^{\frac{5}{3}}}{1024}$ .

$\frac{125 \cdot 25^{\frac{5}{3}}}{1024} - 512 e^{- 8 \frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}}$

Etapa 9.9.2

Reescreva $125$ como $5^{3}$ .

$\frac{5^{3} \cdot 25^{\frac{5}{3}}}{1024} - 512 e^{- 8 \frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}}$

Etapa 9.9.3

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$\frac{5^{3} \cdot {(5^{2})}^{\frac{5}{3}}}{1024} - 512 e^{- 8 \frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}}$

Etapa 9.9.4

Multiplique os expoentes em ${(5^{2})}^{\frac{5}{3}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.9.4.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5^{3} \cdot 5^{2 (\frac{5}{3})}}{1024} - 512 e^{- 8 \frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}}$

Etapa 9.9.4.2

Multiplique $2 (\frac{5}{3})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.9.4.2.1

Combine $2$ e $\frac{5}{3}$ .

$\frac{5^{3} \cdot 5^{\frac{2 \cdot 5}{3}}}{1024} - 512 e^{- 8 \frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}}$

Etapa 9.9.4.2.2

Multiplique $2$ por $5$ .

$\frac{5^{3} \cdot 5^{\frac{10}{3}}}{1024} - 512 e^{- 8 \frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}}$

Etapa 9.9.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{5^{3 + \frac{10}{3}}}{1024} - 512 e^{- 8 \frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}}$

Etapa 9.9.6

Para escrever $3$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{5^{3 \cdot \frac{3}{3} + \frac{10}{3}}}{1024} - 512 e^{- 8 \frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}}$

Etapa 9.9.7

Combine $3$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{5^{\frac{3 \cdot 3}{3} + \frac{10}{3}}}{1024} - 512 e^{- 8 \frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}}$

Etapa 9.9.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{5^{\frac{3 \cdot 3 + 10}{3}}}{1024} - 512 e^{- 8 \frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}}$

Etapa 9.9.9

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.9.9.1

Multiplique $3$ por $3$ .

$\frac{5^{\frac{9 + 10}{3}}}{1024} - 512 e^{- 8 \frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}}$

Etapa 9.9.9.2

Some $9$ e $10$ .

$\frac{5^{\frac{19}{3}}}{1024} - 512 e^{- 8 \frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}}$

Etapa 9.10

Reescreva $\frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}$ como $\frac{1}{3} \ln (\frac{64}{25})$ .

$\frac{5^{\frac{19}{3}}}{1024} - 512 e^{- 8 (\frac{1}{3} \ln (\frac{64}{25}))}$

Etapa 9.11

Simplifique $\frac{1}{3} \ln (\frac{64}{25})$ movendo $\frac{1}{3}$ para dentro do logaritmo.

$\frac{5^{\frac{19}{3}}}{1024} - 512 e^{- 8 \ln ({(\frac{64}{25})}^{\frac{1}{3}})}$

Etapa 9.12

Simplifique $- 8 \ln ({(\frac{64}{25})}^{\frac{1}{3}})$ movendo $- 8$ para dentro do logaritmo.

$\frac{5^{\frac{19}{3}}}{1024} - 512 e^{\ln ({({(\frac{64}{25})}^{\frac{1}{3}})}^{- 8})}$

Etapa 9.13

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$\frac{5^{\frac{19}{3}}}{1024} - 512 {({(\frac{64}{25})}^{\frac{1}{3}})}^{- 8}$

Etapa 9.14

Multiplique os expoentes em ${({(\frac{64}{25})}^{\frac{1}{3}})}^{- 8}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.14.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5^{\frac{19}{3}}}{1024} - 512 {(\frac{64}{25})}^{\frac{1}{3} \cdot - 8}$

Etapa 9.14.2

Combine $\frac{1}{3}$ e $- 8$ .

$\frac{5^{\frac{19}{3}}}{1024} - 512 {(\frac{64}{25})}^{\frac{- 8}{3}}$

Etapa 9.14.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{5^{\frac{19}{3}}}{1024} - 512 {(\frac{64}{25})}^{- \frac{8}{3}}$

Etapa 9.15

Altere o sinal do expoente reescrevendo a base como seu inverso.

$\frac{5^{\frac{19}{3}}}{1024} - 512 {(\frac{25}{64})}^{\frac{8}{3}}$

Etapa 9.16

Aplique a regra do produto a $\frac{25}{64}$ .

$\frac{5^{\frac{19}{3}}}{1024} - 512 \frac{25^{\frac{8}{3}}}{64^{\frac{8}{3}}}$

Etapa 9.17

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.17.1

Reescreva $64$ como $4^{3}$ .

$\frac{5^{\frac{19}{3}}}{1024} - 512 \frac{25^{\frac{8}{3}}}{{(4^{3})}^{\frac{8}{3}}}$

Etapa 9.17.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5^{\frac{19}{3}}}{1024} - 512 \frac{25^{\frac{8}{3}}}{4^{3 (\frac{8}{3})}}$

Etapa 9.17.3

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 9.17.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{5^{\frac{19}{3}}}{1024} - 512 \frac{25^{\frac{8}{3}}}{4^{3 (\frac{8}{3})}}$

Etapa 9.17.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{5^{\frac{19}{3}}}{1024} - 512 \frac{25^{\frac{8}{3}}}{4^{8}}$

Etapa 9.17.4

Eleve $4$ à potência de $8$ .

$\frac{5^{\frac{19}{3}}}{1024} - 512 \frac{25^{\frac{8}{3}}}{65536}$

Etapa 9.18

Cancele o fator comum de $512$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.18.1

Fatore $512$ de $- 512$ .

$\frac{5^{\frac{19}{3}}}{1024} + 512 (- 1) \frac{25^{\frac{8}{3}}}{65536}$

Etapa 9.18.2

Fatore $512$ de $65536$ .

$\frac{5^{\frac{19}{3}}}{1024} + 512 \cdot - 1 \frac{25^{\frac{8}{3}}}{512 \cdot 128}$

Etapa 9.18.3

Cancele o fator comum.

$\frac{5^{\frac{19}{3}}}{1024} + 512 \cdot - 1 \frac{25^{\frac{8}{3}}}{512 \cdot 128}$

Etapa 9.18.4

Reescreva a expressão.

$\frac{5^{\frac{19}{3}}}{1024} - 1 \frac{25^{\frac{8}{3}}}{128}$

Etapa 9.19

Reescreva $- 1 \frac{25^{\frac{8}{3}}}{128}$ como $- \frac{25^{\frac{8}{3}}}{128}$ .

$\frac{5^{\frac{19}{3}}}{1024} - \frac{25^{\frac{8}{3}}}{128}$

Etapa 10

$x = \frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = \frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}$ é um máximo local

Etapa 11

Encontre o valor y quando $x = \frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Simplify $\frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}$ to substitute in $f (x) = - 8 e^{- 8 x} + 5 e^{- 5 x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1.1

Reescreva $\frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}$ como $\frac{1}{3} \ln (\frac{64}{25})$ .

$y = \frac{1}{3} \cdot \ln (\frac{64}{25})$

Etapa 11.1.2

Simplifique $\frac{1}{3} \ln (\frac{64}{25})$ movendo $\frac{1}{3}$ para dentro do logaritmo.

$y = \ln ({(\frac{64}{25})}^{\frac{1}{3}})$

Etapa 11.1.3

Aplique a regra do produto a $\frac{64}{25}$ .

$y = \ln (\frac{64^{\frac{1}{3}}}{25^{\frac{1}{3}}})$

Etapa 11.1.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1.4.1

Reescreva $64$ como $4^{3}$ .

$y = \ln (\frac{{(4^{3})}^{\frac{1}{3}}}{25^{\frac{1}{3}}})$

Etapa 11.1.4.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \ln (\frac{4^{3 (\frac{1}{3})}}{25^{\frac{1}{3}}})$

Etapa 11.1.4.3

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1.4.3.1

Cancele o fator comum.

$y = \ln (\frac{4^{3 (\frac{1}{3})}}{25^{\frac{1}{3}}})$

Etapa 11.1.4.3.2

Reescreva a expressão.

$y = \ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})$

Etapa 11.1.4.4

Avalie o expoente.

$y = \ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})$

Etapa 11.2

Substitua a variável $x$ por $\ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})$ na expressão.

$f (\ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})) = - 8 e^{- 8 \ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})} + 5 e^{- 5 \ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})}$

Etapa 11.3

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.3.1.1

Simplifique $- 8 \ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})$ movendo $- 8$ para dentro do logaritmo.

$f (\ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})) = - 8 e^{\ln ({(\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})}^{- 8})} + 5 e^{- 5 \ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})}$

Etapa 11.3.1.2

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$f (\ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})) = - 8 {(\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})}^{- 8} + 5 e^{- 5 \ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})}$

Etapa 11.3.1.3

Altere o sinal do expoente reescrevendo a base como seu inverso.

$f (\ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})) = - 8 {(\frac{25^{\frac{1}{3}}}{4})}^{8} + 5 e^{- 5 \ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})}$

Etapa 11.3.1.4

Aplique a regra do produto a $\frac{25^{\frac{1}{3}}}{4}$ .

$f (\ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})) = - 8 \frac{{(25^{\frac{1}{3}})}^{8}}{4^{8}} + 5 e^{- 5 \ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})}$

Etapa 11.3.1.5

Multiplique os expoentes em ${(25^{\frac{1}{3}})}^{8}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.3.1.5.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})) = - 8 \frac{25^{\frac{1}{3} \cdot 8}}{4^{8}} + 5 e^{- 5 \ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})}$

Etapa 11.3.1.5.2

Combine $\frac{1}{3}$ e $8$ .

$f (\ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})) = - 8 \frac{25^{\frac{8}{3}}}{4^{8}} + 5 e^{- 5 \ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})}$

Etapa 11.3.1.6

Eleve $4$ à potência de $8$ .

$f (\ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})) = - 8 \frac{25^{\frac{8}{3}}}{65536} + 5 e^{- 5 \ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})}$

Etapa 11.3.1.7

Cancele o fator comum de $8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.3.1.7.1

Fatore $8$ de $- 8$ .

$f (\ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})) = 8 (- 1) (\frac{25^{\frac{8}{3}}}{65536}) + 5 e^{- 5 \ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})}$

Etapa 11.3.1.7.2

Fatore $8$ de $65536$ .

$f (\ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})) = 8 \cdot (- 1 \frac{25^{\frac{8}{3}}}{8 \cdot 8192}) + 5 e^{- 5 \ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})}$

Etapa 11.3.1.7.3

Cancele o fator comum.

$f (\ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})) = 8 \cdot (- 1 \frac{25^{\frac{8}{3}}}{8 \cdot 8192}) + 5 e^{- 5 \ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})}$

Etapa 11.3.1.7.4

Reescreva a expressão.

$f (\ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})) = - 1 \frac{25^{\frac{8}{3}}}{8192} + 5 e^{- 5 \ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})}$

Etapa 11.3.1.8

Reescreva $- 1 \frac{25^{\frac{8}{3}}}{8192}$ como $- \frac{25^{\frac{8}{3}}}{8192}$ .

$f (\ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})) = - \frac{25^{\frac{8}{3}}}{8192} + 5 e^{- 5 \ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})}$

Etapa 11.3.1.9

Simplifique $- 5 \ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})$ movendo $- 5$ para dentro do logaritmo.

$f (\ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})) = - \frac{25^{\frac{8}{3}}}{8192} + 5 e^{\ln ({(\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})}^{- 5})}$

Etapa 11.3.1.10

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$f (\ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})) = - \frac{25^{\frac{8}{3}}}{8192} + 5 {(\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})}^{- 5}$

Etapa 11.3.1.11

Altere o sinal do expoente reescrevendo a base como seu inverso.

$f (\ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})) = - \frac{25^{\frac{8}{3}}}{8192} + 5 {(\frac{25^{\frac{1}{3}}}{4})}^{5}$

Etapa 11.3.1.12

Aplique a regra do produto a $\frac{25^{\frac{1}{3}}}{4}$ .

$f (\ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})) = - \frac{25^{\frac{8}{3}}}{8192} + 5 (\frac{{(25^{\frac{1}{3}})}^{5}}{4^{5}})$

Etapa 11.3.1.13

Multiplique os expoentes em ${(25^{\frac{1}{3}})}^{5}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.3.1.13.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})) = - \frac{25^{\frac{8}{3}}}{8192} + 5 (\frac{25^{\frac{1}{3} \cdot 5}}{4^{5}})$

Etapa 11.3.1.13.2

Combine $\frac{1}{3}$ e $5$ .

$f (\ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})) = - \frac{25^{\frac{8}{3}}}{8192} + 5 (\frac{25^{\frac{5}{3}}}{4^{5}})$

Etapa 11.3.1.14

Eleve $4$ à potência de $5$ .

$f (\ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})) = - \frac{25^{\frac{8}{3}}}{8192} + 5 (\frac{25^{\frac{5}{3}}}{1024})$

Etapa 11.3.1.15

Multiplique $5 \frac{25^{\frac{5}{3}}}{1024}$ .

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Etapa 11.3.1.15.1

Combine $5$ e $\frac{25^{\frac{5}{3}}}{1024}$ .

$f (\ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})) = - \frac{25^{\frac{8}{3}}}{8192} + \frac{5 \cdot 25^{\frac{5}{3}}}{1024}$

Etapa 11.3.1.15.2

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$f (\ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})) = - \frac{25^{\frac{8}{3}}}{8192} + \frac{5 \cdot {(5^{2})}^{\frac{5}{3}}}{1024}$

Etapa 11.3.1.15.3

Multiplique os expoentes em ${(5^{2})}^{\frac{5}{3}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.3.1.15.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})) = - \frac{25^{\frac{8}{3}}}{8192} + \frac{5 \cdot 5^{2 (\frac{5}{3})}}{1024}$

Etapa 11.3.1.15.3.2

Multiplique $2 (\frac{5}{3})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.3.1.15.3.2.1

Combine $2$ e $\frac{5}{3}$ .

$f (\ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})) = - \frac{25^{\frac{8}{3}}}{8192} + \frac{5 \cdot 5^{\frac{2 \cdot 5}{3}}}{1024}$

Etapa 11.3.1.15.3.2.2

Multiplique $2$ por $5$ .

$f (\ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})) = - \frac{25^{\frac{8}{3}}}{8192} + \frac{5 \cdot 5^{\frac{10}{3}}}{1024}$

Etapa 11.3.1.15.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f (\ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})) = - \frac{25^{\frac{8}{3}}}{8192} + \frac{5^{1 + \frac{10}{3}}}{1024}$

Etapa 11.3.1.15.5

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$f (\ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})) = - \frac{25^{\frac{8}{3}}}{8192} + \frac{5^{\frac{3}{3} + \frac{10}{3}}}{1024}$

Etapa 11.3.1.15.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})) = - \frac{25^{\frac{8}{3}}}{8192} + \frac{5^{\frac{3 + 10}{3}}}{1024}$

Etapa 11.3.1.15.7

Some $3$ e $10$ .

$f (\ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})) = - \frac{25^{\frac{8}{3}}}{8192} + \frac{5^{\frac{13}{3}}}{1024}$

Etapa 11.3.2

A resposta final é $- \frac{25^{\frac{8}{3}}}{8192} + \frac{5^{\frac{13}{3}}}{1024}$ .

$y = - \frac{25^{\frac{8}{3}}}{8192} + \frac{5^{\frac{13}{3}}}{1024}$

Etapa 12

Esses são os extremos locais para $f (x) = - 8 e^{- 8 x} + 5 e^{- 5 x}$ .

$(\frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}, - \frac{25^{\frac{8}{3}}}{8192} + \frac{5^{\frac{13}{3}}}{1024})$ é um máximo local

Etapa 13