Cálculo Exemplos

$f (x) = 8 \cos^{4} (x)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

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Etapa 1.1

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8 \cos^{4} (x)$ em relação a $x$ é $8 \frac{d}{d x} [\cos^{4} (x)]$ .

$8 \frac{d}{d x} [\cos^{4} (x)]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = \cos (x)$ .

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Etapa 1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\cos (x)$ .

$8 (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$8 (4 u^{3} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Etapa 1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\cos (x)$ .

$8 (4 \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Etapa 1.3

Multiplique $4$ por $8$ .

$32 (\cos^{3} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Etapa 1.4

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$32 \cos^{3} (x) (- \sin (x))$

Etapa 1.5

Multiplique $- 1$ por $32$ .

$- 32 \cos^{3} (x) \sin (x)$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 2.1

Como $- 32$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 32 \cos^{3} (x) \sin (x)$ em relação a $x$ é $- 32 \frac{d}{d x} [\cos^{3} (x) \sin (x)]$ .

$f'' (x) = - 32 \frac{d}{d x} (\cos^{3} (x) \sin (x))$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = \cos^{3} (x)$ e $g (x) = \sin (x)$ .

$f'' (x) = - 32 (\cos^{3} (x) \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos^{3} (x)))$

Etapa 2.3

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 32 (\cos^{3} (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos^{3} (x)))$

Etapa 2.4

Multiplique $\cos^{3} (x)$ por $\cos (x)$ somando os expoentes.

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Etapa 2.4.1

Multiplique $\cos^{3} (x)$ por $\cos (x)$ .

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Etapa 2.4.1.1

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = - 32 (\cos^{3} (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos^{3} (x)))$

Etapa 2.4.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = - 32 ({\cos (x)}^{3 + 1} + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos^{3} (x)))$

Etapa 2.4.2

Some $3$ e $1$ .

$f'' (x) = - 32 (\cos^{4} (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos^{3} (x)))$

Etapa 2.5

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = \cos (x)$ .

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Etapa 2.5.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 32 (\cos^{4} (x) + \sin (x) (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (\cos (x))))$

Etapa 2.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f'' (x) = - 32 (\cos^{4} (x) + \sin (x) (3 u^{2} \frac{d}{d x} (\cos (x))))$

Etapa 2.5.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 32 (\cos^{4} (x) + \sin (x) (3 \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} (\cos (x))))$

Etapa 2.6

Mova $3$ para a esquerda de $\sin (x)$ .

$f'' (x) = - 32 (\cos^{4} (x) + 3 \cdot (\sin (x) \cos^{2} (x)) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Etapa 2.7

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = - 32 (\cos^{4} (x) + 3 \sin (x) \cos^{2} (x) (- \sin (x)))$

Etapa 2.8

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$f'' (x) = - 32 (\cos^{4} (x) - 3 \sin (x) \cos^{2} (x) \sin (x))$

Etapa 2.9

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = - 32 (\cos^{4} (x) - 3 (\sin (x) \sin (x)) \cos^{2} (x))$

Etapa 2.10

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = - 32 (\cos^{4} (x) - 3 (\sin (x) \sin (x)) \cos^{2} (x))$

Etapa 2.11

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = - 32 (\cos^{4} (x) - 3 {\sin (x)}^{1 + 1} \cos^{2} (x))$

Etapa 2.12

Some $1$ e $1$ .

$f'' (x) = - 32 (\cos^{4} (x) - 3 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x))$

Etapa 2.13

Simplifique.

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Etapa 2.13.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - 32 \cos^{4} (x) - 32 (- 3 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x))$

Etapa 2.13.2

Multiplique $- 3$ por $- 32$ .

$f'' (x) = - 32 \cos^{4} (x) + 96 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)$

Etapa 2.13.3

Reordene os termos.

$f'' (x) = 96 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) - 32 \cos^{4} (x)$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$- 32 \cos^{3} (x) \sin (x) = 0$

Etapa 4

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$\cos^{3} (x) = 0$

$\sin (x) = 0$

Etapa 5

Defina $\cos^{3} (x)$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 5.1

Defina $\cos^{3} (x)$ como igual a $0$ .

$\cos^{3} (x) = 0$

Etapa 5.2

Resolva $\cos^{3} (x) = 0$ para $x$ .

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Etapa 5.2.1

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$\cos (x) = \sqrt[3]{0}$

Etapa 5.2.2

Simplifique $\sqrt[3]{0}$ .

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Etapa 5.2.2.1

Reescreva $0$ como $0^{3}$ .

$\cos (x) = \sqrt[3]{0^{3}}$

Etapa 5.2.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais.

$\cos (x) = 0$

Etapa 5.2.3

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do cosseno.

$x = \arccos (0)$

Etapa 5.2.4

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.2.4.1

O valor exato de $\arccos (0)$ é $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Etapa 5.2.5

A função do cosseno é positiva no primeiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Etapa 5.2.6

Simplifique $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Etapa 5.2.6.1

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 5.2.6.2

Combine frações.

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Etapa 5.2.6.2.1

Combine $2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 5.2.6.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Etapa 5.2.6.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.2.6.3.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Etapa 5.2.6.3.2

Subtraia $π$ de $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Etapa 5.2.7

A solução para a equação $x = \frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

Etapa 6

Defina $\sin (x)$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 6.1

Defina $\sin (x)$ como igual a $0$ .

$\sin (x) = 0$

Etapa 6.2

Resolva $\sin (x) = 0$ para $x$ .

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Etapa 6.2.1

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$x = \arcsin (0)$

Etapa 6.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.2.2.1

O valor exato de $\arcsin (0)$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 6.2.3

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$x = π - 0$

Etapa 6.2.4

Subtraia $0$ de $π$ .

$x = π$

Etapa 6.2.5

A solução para a equação $x = 0$ .

$x = 0, π$

Etapa 7

A solução final são todos os valores que tornam $- 32 \cos^{3} (x) \sin (x) = 0$ verdadeiro.

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}, 0, π$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = \frac{π}{2}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$96 \cos^{2} (\frac{π}{2}) \sin^{2} (\frac{π}{2}) - 32 \cos^{4} (\frac{π}{2})$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 9.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 9.1.1

O valor exato de $\cos (\frac{π}{2})$ é $0$ .

$96 \cdot 0^{2} \sin^{2} (\frac{π}{2}) - 32 \cos^{4} (\frac{π}{2})$

Etapa 9.1.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$96 \cdot 0 \sin^{2} (\frac{π}{2}) - 32 \cos^{4} (\frac{π}{2})$

Etapa 9.1.3

Multiplique $96$ por $0$ .

$0 \sin^{2} (\frac{π}{2}) - 32 \cos^{4} (\frac{π}{2})$

Etapa 9.1.4

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$0 \cdot 1^{2} - 32 \cos^{4} (\frac{π}{2})$

Etapa 9.1.5

Um elevado a qualquer potência é um.

$0 \cdot 1 - 32 \cos^{4} (\frac{π}{2})$

Etapa 9.1.6

Multiplique $0$ por $1$ .

$0 - 32 \cos^{4} (\frac{π}{2})$

Etapa 9.1.7

O valor exato de $\cos (\frac{π}{2})$ é $0$ .

$0 - 32 \cdot 0^{4}$

Etapa 9.1.8

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$0 - 32 \cdot 0$

Etapa 9.1.9

Multiplique $- 32$ por $0$ .

$0 + 0$

Etapa 9.2

Some $0$ e $0$ .

$0$

Etapa 10

Como há pelo menos um ponto com $0$ ou segunda derivada indefinida, aplique o teste da primeira derivada.

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Etapa 10.1

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a primeira derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{π}{2}) \cup (\frac{π}{2}, π) \cup (π, \frac{3 π}{2}) \cup (\frac{3 π}{2}, \infty)$

Etapa 10.2

Substitua qualquer número, como $- 2$ , do intervalo $(- \infty, 0)$ na primeira derivada $- 32 \cos^{3} (x) \sin (x)$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

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Etapa 10.2.1

Substitua a variável $x$ por $- 2$ na expressão.

$f' (- 2) = - 32 \cos^{3} (- 2) \sin (- 2)$

Etapa 10.2.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 10.2.2.1

Avalie $\cos (- 2)$ .

$f' (- 2) = - 32 {(- 0.41614683)}^{3} \sin (- 2)$

Etapa 10.2.2.2

Eleve $- 0.41614683$ à potência de $3$ .

$f' (- 2) = - 32 \cdot (- 0.07206755 \sin (- 2))$

Etapa 10.2.2.3

Multiplique $- 32$ por $- 0.07206755$ .

$f' (- 2) = 2.30616178 \sin (- 2)$

Etapa 10.2.2.4

Avalie $\sin (- 2)$ .

$f' (- 2) = 2.30616178 \cdot - 0.90929742$

Etapa 10.2.2.5

Multiplique $2.30616178$ por $- 0.90929742$ .

$f' (- 2) = - 2.09698697$

Etapa 10.2.2.6

A resposta final é $- 2.09698697$ .

$- 2.09698697$

Etapa 10.3

Substitua qualquer número, como $1$ , do intervalo $(0, \frac{π}{2})$ na primeira derivada $- 32 \cos^{3} (x) \sin (x)$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

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Etapa 10.3.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f' (1) = - 32 \cos^{3} (1) \sin (1)$

Etapa 10.3.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 10.3.2.1

Avalie $\cos (1)$ .

$f' (1) = - 32 \cdot ({0.5403023}^{3} \sin (1))$

Etapa 10.3.2.2

Eleve $0.5403023$ à potência de $3$ .

$f' (1) = - 32 \cdot (0.1577286 \sin (1))$

Etapa 10.3.2.3

Multiplique $- 32$ por $0.1577286$ .

$f' (1) = - 5.04731536 \sin (1)$

Etapa 10.3.2.4

Avalie $\sin (1)$ .

$f' (1) = - 5.04731536 \cdot 0.84147098$

Etapa 10.3.2.5

Multiplique $- 5.04731536$ por $0.84147098$ .

$f' (1) = - 4.24716943$

Etapa 10.3.2.6

A resposta final é $- 4.24716943$ .

$- 4.24716943$

Etapa 10.4

Substitua qualquer número, como $2$ , do intervalo $(\frac{π}{2}, π)$ na primeira derivada $- 32 \cos^{3} (x) \sin (x)$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

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Etapa 10.4.1

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$f' (2) = - 32 \cos^{3} (2) \sin (2)$

Etapa 10.4.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 10.4.2.1

Avalie $\cos (2)$ .

$f' (2) = - 32 {(- 0.41614683)}^{3} \sin (2)$

Etapa 10.4.2.2

Eleve $- 0.41614683$ à potência de $3$ .

$f' (2) = - 32 \cdot (- 0.07206755 \sin (2))$

Etapa 10.4.2.3

Multiplique $- 32$ por $- 0.07206755$ .

$f' (2) = 2.30616178 \sin (2)$

Etapa 10.4.2.4

Avalie $\sin (2)$ .

$f' (2) = 2.30616178 \cdot 0.90929742$

Etapa 10.4.2.5

Multiplique $2.30616178$ por $0.90929742$ .

$f' (2) = 2.09698697$

Etapa 10.4.2.6

A resposta final é $2.09698697$ .

$2.09698697$

Etapa 10.5

Substitua qualquer número, como $4$ , do intervalo $(π, \frac{3 π}{2})$ na primeira derivada $- 32 \cos^{3} (x) \sin (x)$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

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Etapa 10.5.1

Substitua a variável $x$ por $4$ na expressão.

$f' (4) = - 32 \cos^{3} (4) \sin (4)$

Etapa 10.5.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 10.5.2.1

Avalie $\cos (4)$ .

$f' (4) = - 32 {(- 0.65364362)}^{3} \sin (4)$

Etapa 10.5.2.2

Eleve $- 0.65364362$ à potência de $3$ .

$f' (4) = - 32 \cdot (- 0.27926922 \sin (4))$

Etapa 10.5.2.3

Multiplique $- 32$ por $- 0.27926922$ .

$f' (4) = 8.93661523 \sin (4)$

Etapa 10.5.2.4

Avalie $\sin (4)$ .

$f' (4) = 8.93661523 \cdot - 0.75680249$

Etapa 10.5.2.5

Multiplique $8.93661523$ por $- 0.75680249$ .

$f' (4) = - 6.7632527$

Etapa 10.5.2.6

A resposta final é $- 6.7632527$ .

$- 6.7632527$

Etapa 10.6

Substitua qualquer número, como $7$ , do intervalo $(\frac{3 π}{2}, \infty)$ na primeira derivada $- 32 \cos^{3} (x) \sin (x)$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

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Etapa 10.6.1

Substitua a variável $x$ por $7$ na expressão.

$f' (7) = - 32 \cos^{3} (7) \sin (7)$

Etapa 10.6.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 10.6.2.1

Avalie $\cos (7)$ .

$f' (7) = - 32 \cdot ({0.75390225}^{3} \sin (7))$

Etapa 10.6.2.2

Eleve $0.75390225$ à potência de $3$ .

$f' (7) = - 32 \cdot (0.42849437 \sin (7))$

Etapa 10.6.2.3

Multiplique $- 32$ por $0.42849437$ .

$f' (7) = - 13.71182002 \sin (7)$

Etapa 10.6.2.4

Avalie $\sin (7)$ .

$f' (7) = - 13.71182002 \cdot 0.65698659$

Etapa 10.6.2.5

Multiplique $- 13.71182002$ por $0.65698659$ .

$f' (7) = - 9.00848199$

Etapa 10.6.2.6

A resposta final é $- 9.00848199$ .

$- 9.00848199$

Etapa 10.7

Como a primeira derivada não mudou os sinais em torno de $x = 0$ , este não é um máximo local nem um mínimo local.

Não é um máximo nem um mínimo local

Etapa 10.8

Como a primeira derivada mudou os sinais de negativo para positivo em torno de $x = \frac{π}{2}$ , então $x = \frac{π}{2}$ é um mínimo local.

$x = \frac{π}{2}$ é um mínimo local

Etapa 10.9

Como a primeira derivada mudou os sinais de positivo para negativo em torno de $x = π$ , então $x = π$ é um máximo local.

$x = π$ é um máximo local

Etapa 10.10

Como a primeira derivada não mudou os sinais em torno de $x = \frac{3 π}{2}$ , este não é um máximo local nem um mínimo local.

Não é um máximo nem um mínimo local

Etapa 10.11

Esses são os extremos locais para $f (x) = 8 \cos^{4} (x)$ .

$x = \frac{π}{2}$ é um mínimo local

$x = π$ é um máximo local

$x = \frac{π}{2}$ é um mínimo local

$x = π$ é um máximo local

Etapa 11