Cálculo Exemplos

$f (x) = 7 + \frac{8}{x} + \frac{8}{x^{2}}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $7 + \frac{8}{x} + \frac{8}{x^{2}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{x^{2}}]$

Etapa 1.1.2

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\frac{8}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{x^{2}}]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{8}{x}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{8}{x}$ em relação a $x$ é $8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$0 + 8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{x^{2}}]$

Etapa 1.2.2

Reescreva $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$0 + 8 \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{x^{2}}]$

Etapa 1.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$0 + 8 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [\frac{8}{x^{2}}]$

Etapa 1.2.4

Multiplique $- 1$ por $8$ .

$0 - 8 x^{- 2} + \frac{d}{d x} [\frac{8}{x^{2}}]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{8}{x^{2}}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{8}{x^{2}}$ em relação a $x$ é $8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$0 - 8 x^{- 2} + 8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

Etapa 1.3.2

Reescreva $\frac{1}{x^{2}}$ como ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$0 - 8 x^{- 2} + 8 \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

Etapa 1.3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{2}$ .

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Etapa 1.3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2}$ .

$0 - 8 x^{- 2} + 8 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 1.3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$0 - 8 x^{- 2} + 8 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 1.3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$0 - 8 x^{- 2} + 8 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 1.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$0 - 8 x^{- 2} + 8 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x))$

Etapa 1.3.5

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{- 2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.5.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0 - 8 x^{- 2} + 8 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x))$

Etapa 1.3.5.2

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$0 - 8 x^{- 2} + 8 (- x^{- 4} (2 x))$

Etapa 1.3.6

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$0 - 8 x^{- 2} + 8 (- 2 x^{- 4} x)$

Etapa 1.3.7

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$0 - 8 x^{- 2} + 8 (- 2 (x^{1} x^{- 4}))$

Etapa 1.3.8

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$0 - 8 x^{- 2} + 8 (- 2 x^{1 - 4})$

Etapa 1.3.9

Subtraia $4$ de $1$ .

$0 - 8 x^{- 2} + 8 (- 2 x^{- 3})$

Etapa 1.3.10

Multiplique $- 2$ por $8$ .

$0 - 8 x^{- 2} - 16 x^{- 3}$

Etapa 1.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 - 8 \frac{1}{x^{2}} - 16 x^{- 3}$

Etapa 1.4.2

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 - 8 \frac{1}{x^{2}} - 16 \frac{1}{x^{3}}$

Etapa 1.4.3

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.3.1

Combine $- 8$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$0 + \frac{- 8}{x^{2}} - 16 \frac{1}{x^{3}}$

Etapa 1.4.3.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$0 - \frac{8}{x^{2}} - 16 \frac{1}{x^{3}}$

Etapa 1.4.3.3

Subtraia $\frac{8}{x^{2}}$ de $0$ .

$- \frac{8}{x^{2}} - 16 \frac{1}{x^{3}}$

Etapa 1.4.3.4

Combine $- 16$ e $\frac{1}{x^{3}}$ .

$- \frac{8}{x^{2}} + \frac{- 16}{x^{3}}$

Etapa 1.4.3.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{8}{x^{2}} - \frac{16}{x^{3}}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- \frac{8}{x^{2}} - \frac{16}{x^{3}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- \frac{8}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{16}{x^{3}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- \frac{8}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{16}{x^{3}})$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{8}{x^{2}}]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $- 8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{8}{x^{2}}$ em relação a $x$ é $- 8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{2}} + \frac{d}{d x} (- \frac{16}{x^{3}})$

Etapa 2.2.2

Reescreva $\frac{1}{x^{2}}$ como ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{d}{d x} {(x^{2})}^{- 1} + \frac{d}{d x} (- \frac{16}{x^{3}})$

Etapa 2.2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{2}$ .

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Etapa 2.2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $x^{2}$ .

$f'' (x) = - 8 (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (- \frac{16}{x^{3}})$

Etapa 2.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$f'' (x) = - 8 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{d}{d x} (- \frac{16}{x^{3}})$

Etapa 2.2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $x^{2}$ .

$f'' (x) = - 8 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{d}{d x} (- \frac{16}{x^{3}})$

Etapa 2.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = - 8 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} (- \frac{16}{x^{3}})$

Etapa 2.2.5

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Etapa 2.2.5.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 8 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} (- \frac{16}{x^{3}})$

Etapa 2.2.5.2

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$f'' (x) = - 8 (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{d}{d x} (- \frac{16}{x^{3}})$

Etapa 2.2.6

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - 8 (- 2 x^{- 4} x) + \frac{d}{d x} (- \frac{16}{x^{3}})$

Etapa 2.2.7

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = - 8 (- 2 (x \cdot x^{- 4})) + \frac{d}{d x} (- \frac{16}{x^{3}})$

Etapa 2.2.8

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = - 8 (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{d}{d x} (- \frac{16}{x^{3}})$

Etapa 2.2.9

Subtraia $4$ de $1$ .

$f'' (x) = - 8 (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} (- \frac{16}{x^{3}})$

Etapa 2.2.10

Multiplique $- 2$ por $- 8$ .

$f'' (x) = 16 x^{- 3} + \frac{d}{d x} (- \frac{16}{x^{3}})$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{16}{x^{3}}]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $- 16$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{16}{x^{3}}$ em relação a $x$ é $- 16 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$f'' (x) = 16 x^{- 3} - 16 \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{3}}$

Etapa 2.3.2

Reescreva $\frac{1}{x^{3}}$ como ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = 16 x^{- 3} - 16 \frac{d}{d x} {(x^{3})}^{- 1}$

Etapa 2.3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $x^{3}$ .

$f'' (x) = 16 x^{- 3} - 16 (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{3}))$

Etapa 2.3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$f'' (x) = 16 x^{- 3} - 16 (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{3})$

Etapa 2.3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $x^{3}$ .

$f'' (x) = 16 x^{- 3} - 16 (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{3})$

Etapa 2.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f'' (x) = 16 x^{- 3} - 16 (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2}))$

Etapa 2.3.5

Multiplique os expoentes em ${(x^{3})}^{- 2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 16 x^{- 3} - 16 (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2}))$

Etapa 2.3.5.2

Multiplique $3$ por $- 2$ .

$f'' (x) = 16 x^{- 3} - 16 (- x^{- 6} (3 x^{2}))$

Etapa 2.3.6

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 16 x^{- 3} - 16 (- 3 x^{- 6} x^{2})$

Etapa 2.3.7

Multiplique $x^{- 6}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.7.1

Mova $x^{2}$ .

$f'' (x) = 16 x^{- 3} - 16 (- 3 (x^{2} x^{- 6}))$

Etapa 2.3.7.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = 16 x^{- 3} - 16 (- 3 x^{2 - 6})$

Etapa 2.3.7.3

Subtraia $6$ de $2$ .

$f'' (x) = 16 x^{- 3} - 16 (- 3 x^{- 4})$

Etapa 2.3.8

Multiplique $- 3$ por $- 16$ .

$f'' (x) = 16 x^{- 3} + 48 x^{- 4}$

Etapa 2.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 16 (\frac{1}{x^{3}}) + 48 x^{- 4}$

Etapa 2.4.2

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 16 (\frac{1}{x^{3}}) + 48 (\frac{1}{x^{4}})$

Etapa 2.4.3

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.3.1

Combine $16$ e $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{16}{x^{3}} + 48 (\frac{1}{x^{4}})$

Etapa 2.4.3.2

Combine $48$ e $\frac{1}{x^{4}}$ .

$f'' (x) = \frac{16}{x^{3}} + \frac{48}{x^{4}}$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$- \frac{8}{x^{2}} - \frac{16}{x^{3}} = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $7 + \frac{8}{x} + \frac{8}{x^{2}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{x^{2}}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (7) + \frac{d}{d x} (\frac{8}{x}) + \frac{d}{d x} (\frac{8}{x^{2}})$

Etapa 4.1.1.2

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (\frac{8}{x}) + \frac{d}{d x} (\frac{8}{x^{2}})$

Etapa 4.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{8}{x}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{8}{x}$ em relação a $x$ é $8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$f' (x) = 0 + 8 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x}) + \frac{d}{d x} (\frac{8}{x^{2}})$

Etapa 4.1.2.2

Reescreva $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$f' (x) = 0 + 8 \frac{d}{d x} (x^{- 1}) + \frac{d}{d x} (\frac{8}{x^{2}})$

Etapa 4.1.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$f' (x) = 0 + 8 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} (\frac{8}{x^{2}})$

Etapa 4.1.2.4

Multiplique $- 1$ por $8$ .

$f' (x) = 0 - 8 x^{- 2} + \frac{d}{d x} (\frac{8}{x^{2}})$

Etapa 4.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{8}{x^{2}}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.1

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{8}{x^{2}}$ em relação a $x$ é $8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$f' (x) = 0 - 8 x^{- 2} + 8 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{2}})$

Etapa 4.1.3.2

Reescreva $\frac{1}{x^{2}}$ como ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$f' (x) = 0 - 8 x^{- 2} + 8 \frac{d}{d x} ({(x^{2})}^{- 1})$

Etapa 4.1.3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{2}$ .

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Etapa 4.1.3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2}$ .

$f' (x) = 0 - 8 x^{- 2} + 8 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Etapa 4.1.3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$f' (x) = 0 - 8 x^{- 2} + 8 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2})$

Etapa 4.1.3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$f' (x) = 0 - 8 x^{- 2} + 8 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2})$

Etapa 4.1.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = 0 - 8 x^{- 2} + 8 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x))$

Etapa 4.1.3.5

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{- 2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.5.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (x) = 0 - 8 x^{- 2} + 8 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x))$

Etapa 4.1.3.5.2

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$f' (x) = 0 - 8 x^{- 2} + 8 (- x^{- 4} (2 x))$

Etapa 4.1.3.6

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f' (x) = 0 - 8 x^{- 2} + 8 (- 2 x^{- 4} x)$

Etapa 4.1.3.7

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f' (x) = 0 - 8 x^{- 2} + 8 (- 2 (x \cdot x^{- 4}))$

Etapa 4.1.3.8

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (x) = 0 - 8 x^{- 2} + 8 (- 2 x^{1 - 4})$

Etapa 4.1.3.9

Subtraia $4$ de $1$ .

$f' (x) = 0 - 8 x^{- 2} + 8 (- 2 x^{- 3})$

Etapa 4.1.3.10

Multiplique $- 2$ por $8$ .

$f' (x) = 0 - 8 x^{- 2} - 16 x^{- 3}$

Etapa 4.1.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.4.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 0 - 8 \frac{1}{x^{2}} - 16 x^{- 3}$

Etapa 4.1.4.2

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 0 - 8 \frac{1}{x^{2}} - 16 \frac{1}{x^{3}}$

Etapa 4.1.4.3

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.4.3.1

Combine $- 8$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$f' (x) = 0 + \frac{- 8}{x^{2}} - 16 \frac{1}{x^{3}}$

Etapa 4.1.4.3.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = 0 - \frac{8}{x^{2}} - 16 \frac{1}{x^{3}}$

Etapa 4.1.4.3.3

Subtraia $\frac{8}{x^{2}}$ de $0$ .

$f' (x) = - \frac{8}{x^{2}} - 16 \frac{1}{x^{3}}$

Etapa 4.1.4.3.4

Combine $- 16$ e $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f' (x) = - \frac{8}{x^{2}} + \frac{- 16}{x^{3}}$

Etapa 4.1.4.3.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = - \frac{8}{x^{2}} - \frac{16}{x^{3}}$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- \frac{8}{x^{2}} - \frac{16}{x^{3}}$ .

$- \frac{8}{x^{2}} - \frac{16}{x^{3}}$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- \frac{8}{x^{2}} - \frac{16}{x^{3}} = 0$ .

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Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- \frac{8}{x^{2}} - \frac{16}{x^{3}} = 0$

Etapa 5.2

Encontre o MMC dos termos na equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$x^{2}, x^{3}, 1$

Etapa 5.2.2

Since $x^{2}, x^{3}, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $1, 1, 1$ then find LCM for the variable part $x^{2}, x^{3}$ .

Etapa 5.2.3

O MMC é o menor número positivo pelo qual todos os números se dividem uniformemente.

1. Liste os fatores primos de cada número.

2. Multiplique cada fator pelo maior número de vezes em que ele ocorre em cada número.

Etapa 5.2.4

O número $1$ não é primo porque tem apenas um fator positivo, que é ele mesmo.

Não é primo

Etapa 5.2.5

O MMC de $1, 1, 1$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores primos pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos números.

$1$

Etapa 5.2.6

Os fatores para $x^{2}$ são $x \cdot x$ , que é $x$ multiplicado um pelo outro $2$ vezes.

$x^{2} = x \cdot x$

$x$ ocorre $2$ vezes.

Etapa 5.2.7

Os fatores para $x^{3}$ são $x \cdot x \cdot x$ , que é $x$ multiplicado um pelo outro $3$ vezes.

$x^{3} = x \cdot x \cdot x$

$x$ ocorre $3$ vezes.

Etapa 5.2.8

O MMC de $x^{2}, x^{3}$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores primos pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos termos.

$x \cdot x \cdot x$

Etapa 5.2.9

Simplifique $x \cdot x \cdot x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.9.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$x^{2} \cdot x$

Etapa 5.2.9.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.9.2.1

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.9.2.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$x^{2} \cdot x^{1}$

Etapa 5.2.9.2.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x^{2 + 1}$

Etapa 5.2.9.2.2

Some $2$ e $1$ .

$x^{3}$

Etapa 5.3

Multiplique cada termo em $- \frac{8}{x^{2}} - \frac{16}{x^{3}} = 0$ por $x^{3}$ para eliminar as frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Multiplique cada termo em $- \frac{8}{x^{2}} - \frac{16}{x^{3}} = 0$ por $x^{3}$ .

$- \frac{8}{x^{2}} x^{3} - \frac{16}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

Etapa 5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1.1

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{8}{x^{2}}$ para o numerador.

$\frac{- 8}{x^{2}} x^{3} - \frac{16}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

Etapa 5.3.2.1.1.2

Fatore $x^{2}$ de $x^{3}$ .

$\frac{- 8}{x^{2}} (x^{2} x) - \frac{16}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

Etapa 5.3.2.1.1.3

Cancele o fator comum.

$\frac{- 8}{x^{2}} (x^{2} x) - \frac{16}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

Etapa 5.3.2.1.1.4

Reescreva a expressão.

$- 8 x - \frac{16}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

Etapa 5.3.2.1.2

Cancele o fator comum de $x^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{16}{x^{3}}$ para o numerador.

$- 8 x + \frac{- 16}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

Etapa 5.3.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$- 8 x + \frac{- 16}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

Etapa 5.3.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$- 8 x - 16 = 0 x^{3}$

Etapa 5.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1

Multiplique $0$ por $x^{3}$ .

$- 8 x - 16 = 0$

Etapa 5.4

Resolva a equação.

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Etapa 5.4.1

Some $16$ aos dois lados da equação.

$- 8 x = 16$

Etapa 5.4.2

Divida cada termo em $- 8 x = 16$ por $- 8$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.1

Divida cada termo em $- 8 x = 16$ por $- 8$ .

$\frac{- 8 x}{- 8} = \frac{16}{- 8}$

Etapa 5.4.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.2.1

Cancele o fator comum de $- 8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 8 x}{- 8} = \frac{16}{- 8}$

Etapa 5.4.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{16}{- 8}$

Etapa 5.4.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.3.1

Divida $16$ por $- 8$ .

$x = - 2$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 6.1

Defina o denominador em $\frac{8}{x^{2}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x^{2} = 0$

Etapa 6.2

Resolva $x$ .

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Etapa 6.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Etapa 6.2.2

Simplifique $\pm \sqrt{0}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Etapa 6.2.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 0$

Etapa 6.2.2.3

Mais ou menos $0$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 6.3

Defina o denominador em $\frac{16}{x^{3}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x^{3} = 0$

Etapa 6.4

Resolva $x$ .

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Etapa 6.4.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{0}$

Etapa 6.4.2

Simplifique $\sqrt[3]{0}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.1

Reescreva $0$ como $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Etapa 6.4.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais.

$x = 0$

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = - 2$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = - 2$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$\frac{16}{{(- 2)}^{3}} + \frac{48}{{(- 2)}^{4}}$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 9.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 9.1.1

Eleve $- 2$ à potência de $3$ .

$\frac{16}{- 8} + \frac{48}{{(- 2)}^{4}}$

Etapa 9.1.2

Divida $16$ por $- 8$ .

$- 2 + \frac{48}{{(- 2)}^{4}}$

Etapa 9.1.3

Eleve $- 2$ à potência de $4$ .

$- 2 + \frac{48}{16}$

Etapa 9.1.4

Divida $48$ por $16$ .

$- 2 + 3$

Etapa 9.2

Some $- 2$ e $3$ .

$1$

Etapa 10

$x = - 2$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = - 2$ é um mínimo local

Etapa 11

Encontre o valor y quando $x = - 2$ .

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Etapa 11.1

Substitua a variável $x$ por $- 2$ na expressão.

$f (- 2) = 7 + \frac{8}{- 2} + \frac{8}{{(- 2)}^{2}}$

Etapa 11.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 11.2.1

Encontre o denominador comum.

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Etapa 11.2.1.1

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$f (- 2) = 7 + \frac{8}{- 2} + \frac{8}{4}$

Etapa 11.2.1.2

Escreva $7$ como uma fração com denominador $1$ .

$f (- 2) = \frac{7}{1} + \frac{8}{- 2} + \frac{8}{4}$

Etapa 11.2.1.3

Multiplique $\frac{7}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f (- 2) = \frac{7}{1} \cdot \frac{4}{4} + \frac{8}{- 2} + \frac{8}{4}$

Etapa 11.2.1.4

Multiplique $\frac{7}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f (- 2) = \frac{7 \cdot 4}{4} + \frac{8}{- 2} + \frac{8}{4}$

Etapa 11.2.1.5

Multiplique $\frac{8}{- 2}$ por $\frac{- 2}{- 2}$ .

$f (- 2) = \frac{7 \cdot 4}{4} + \frac{8}{- 2} \cdot \frac{- 2}{- 2} + \frac{8}{4}$

Etapa 11.2.1.6

Multiplique $\frac{8}{- 2}$ por $\frac{- 2}{- 2}$ .

$f (- 2) = \frac{7 \cdot 4}{4} + \frac{8 \cdot - 2}{- 2 \cdot - 2} + \frac{8}{4}$

Etapa 11.2.1.7

Multiplique $- 2$ por $- 2$ .

$f (- 2) = \frac{7 \cdot 4}{4} + \frac{8 \cdot - 2}{4} + \frac{8}{4}$

Etapa 11.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (- 2) = \frac{7 \cdot 4 + 8 \cdot - 2 + 8}{4}$

Etapa 11.2.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 11.2.3.1

Multiplique $7$ por $4$ .

$f (- 2) = \frac{28 + 8 \cdot - 2 + 8}{4}$

Etapa 11.2.3.2

Multiplique $8$ por $- 2$ .

$f (- 2) = \frac{28 - 16 + 8}{4}$

Etapa 11.2.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 11.2.4.1

Subtraia $16$ de $28$ .

$f (- 2) = \frac{12 + 8}{4}$

Etapa 11.2.4.2

Some $12$ e $8$ .

$f (- 2) = \frac{20}{4}$

Etapa 11.2.4.3

Divida $20$ por $4$ .

$f (- 2) = 5$

Etapa 11.2.5

A resposta final é $5$ .

$y = 5$

Etapa 12

Esses são os extremos locais para $f (x) = 7 + \frac{8}{x} + \frac{8}{x^{2}}$ .

$(- 2, 5)$ é um mínimo local

Etapa 13