Cálculo Exemplos

$f (x) = 4 \ln (x) - 17 \arctan (x)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

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Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 \ln (x) - 17 \arctan (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 17 \arctan (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [4 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 17 \arctan (x)]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [4 \ln (x)]$ .

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Etapa 1.2.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 \ln (x)$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 17 \arctan (x)]$

Etapa 1.2.2

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$4 \frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [- 17 \arctan (x)]$

Etapa 1.2.3

Combine $4$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{4}{x} + \frac{d}{d x} [- 17 \arctan (x)]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 17 \arctan (x)]$ .

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Etapa 1.3.1

Como $- 17$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 17 \arctan (x)$ em relação a $x$ é $- 17 \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$ .

$\frac{4}{x} - 17 \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

Etapa 1.3.2

A derivada de $\arctan (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{4}{x} - 17 \frac{1}{1 + x^{2}}$

Etapa 1.3.3

Combine $- 17$ e $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{4}{x} + \frac{- 17}{1 + x^{2}}$

Etapa 1.3.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{4}{x} - \frac{17}{1 + x^{2}}$

Etapa 1.4

Simplifique.

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Etapa 1.4.1

Combine os termos.

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Etapa 1.4.1.1

Para escrever $\frac{4}{x}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{4}{x} \cdot \frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}} - \frac{17}{1 + x^{2}}$

Etapa 1.4.1.2

Para escrever $- \frac{17}{1 + x^{2}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{4}{x} \cdot \frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}} - \frac{17}{1 + x^{2}} \cdot \frac{x}{x}$

Etapa 1.4.1.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $x (1 + x^{2})$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 1.4.1.3.1

Multiplique $\frac{4}{x}$ por $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{4 (1 + x^{2})}{x (1 + x^{2})} - \frac{17}{1 + x^{2}} \cdot \frac{x}{x}$

Etapa 1.4.1.3.2

Multiplique $\frac{17}{1 + x^{2}}$ por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{4 (1 + x^{2})}{x (1 + x^{2})} - \frac{17 x}{(1 + x^{2}) x}$

Etapa 1.4.1.3.3

Reordene os fatores de $(1 + x^{2}) x$ .

$\frac{4 (1 + x^{2})}{x (1 + x^{2})} - \frac{17 x}{x (1 + x^{2})}$

Etapa 1.4.1.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{4 (1 + x^{2}) - 17 x}{x (1 + x^{2})}$

Etapa 1.4.2

Reordene os termos.

$\frac{- 17 x + 4 (1 + x^{2})}{x (1 + x^{2})}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = - 17 x + 4 (1 + x^{2})$ e $g (x) = x (1 + x^{2})$ .

$f'' (x) = \frac{x (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) \frac{d}{d x} (x (1 + x^{2}))}{{(x (1 + x^{2}))}^{2}}$

Etapa 2.2

Diferencie.

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Etapa 2.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 17 x + 4 (1 + x^{2})$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 17 x] + \frac{d}{d x} [4 (1 + x^{2})]$ .

$f'' (x) = \frac{x (1 + x^{2}) (\frac{d}{d x} (- 17 x) + \frac{d}{d x} (4 (1 + x^{2}))) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) \frac{d}{d x} (x (1 + x^{2}))}{{(x (1 + x^{2}))}^{2}}$

Etapa 2.2.2

Como $- 17$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 17 x$ em relação a $x$ é $- 17 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{x (1 + x^{2}) (- 17 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (4 (1 + x^{2}))) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) \frac{d}{d x} (x (1 + x^{2}))}{{(x (1 + x^{2}))}^{2}}$

Etapa 2.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{x (1 + x^{2}) (- 17 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (4 (1 + x^{2}))) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) \frac{d}{d x} (x (1 + x^{2}))}{{(x (1 + x^{2}))}^{2}}$

Etapa 2.2.4

Multiplique $- 17$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{x (1 + x^{2}) (- 17 + \frac{d}{d x} (4 (1 + x^{2}))) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) \frac{d}{d x} (x (1 + x^{2}))}{{(x (1 + x^{2}))}^{2}}$

Etapa 2.2.5

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 (1 + x^{2})$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{x (1 + x^{2}) (- 17 + 4 \frac{d}{d x} (1 + x^{2})) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) \frac{d}{d x} (x (1 + x^{2}))}{{(x (1 + x^{2}))}^{2}}$

Etapa 2.2.6

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{x (1 + x^{2}) (- 17 + 4 (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (x^{2}))) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) \frac{d}{d x} (x (1 + x^{2}))}{{(x (1 + x^{2}))}^{2}}$

Etapa 2.2.7

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = \frac{x (1 + x^{2}) (- 17 + 4 (0 + \frac{d}{d x} (x^{2}))) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) \frac{d}{d x} (x (1 + x^{2}))}{{(x (1 + x^{2}))}^{2}}$

Etapa 2.2.8

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{x (1 + x^{2}) (- 17 + 4 \frac{d}{d x} (x^{2})) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) \frac{d}{d x} (x (1 + x^{2}))}{{(x (1 + x^{2}))}^{2}}$

Etapa 2.2.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{x (1 + x^{2}) (- 17 + 4 (2 x)) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) \frac{d}{d x} (x (1 + x^{2}))}{{(x (1 + x^{2}))}^{2}}$

Etapa 2.2.10

Multiplique $2$ por $4$ .

$f'' (x) = \frac{x (1 + x^{2}) (- 17 + 8 x) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) \frac{d}{d x} (x (1 + x^{2}))}{{(x (1 + x^{2}))}^{2}}$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = 1 + x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{x (1 + x^{2}) (- 17 + 8 x) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) (x \frac{d}{d x} (1 + x^{2}) + (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (x))}{{(x (1 + x^{2}))}^{2}}$

Etapa 2.4

Diferencie.

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Etapa 2.4.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{x (1 + x^{2}) (- 17 + 8 x) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) (x (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (x^{2})) + (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (x))}{{(x (1 + x^{2}))}^{2}}$

Etapa 2.4.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = \frac{x (1 + x^{2}) (- 17 + 8 x) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) (x (0 + \frac{d}{d x} (x^{2})) + (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (x))}{{(x (1 + x^{2}))}^{2}}$

Etapa 2.4.3

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{x (1 + x^{2}) (- 17 + 8 x) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) (x \frac{d}{d x} (x^{2}) + (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (x))}{{(x (1 + x^{2}))}^{2}}$

Etapa 2.4.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{x (1 + x^{2}) (- 17 + 8 x) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) (x (2 x) + (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (x))}{{(x (1 + x^{2}))}^{2}}$

Etapa 2.5

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = \frac{x (1 + x^{2}) (- 17 + 8 x) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) (2 (x \cdot x) + (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (x))}{{(x (1 + x^{2}))}^{2}}$

Etapa 2.6

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = \frac{x (1 + x^{2}) (- 17 + 8 x) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) (2 (x \cdot x) + (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (x))}{{(x (1 + x^{2}))}^{2}}$

Etapa 2.7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{x (1 + x^{2}) (- 17 + 8 x) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) (2 x^{1 + 1} + (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (x))}{{(x (1 + x^{2}))}^{2}}$

Etapa 2.8

Some $1$ e $1$ .

$f'' (x) = \frac{x (1 + x^{2}) (- 17 + 8 x) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) (2 x^{2} + (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (x))}{{(x (1 + x^{2}))}^{2}}$

Etapa 2.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{x (1 + x^{2}) (- 17 + 8 x) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) (2 x^{2} + (1 + x^{2}) \cdot 1)}{{(x (1 + x^{2}))}^{2}}$

Etapa 2.10

Simplifique somando os termos.

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Etapa 2.10.1

Multiplique $1 + x^{2}$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{x (1 + x^{2}) (- 17 + 8 x) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) (2 x^{2} + 1 + x^{2})}{{(x (1 + x^{2}))}^{2}}$

Etapa 2.10.2

Some $2 x^{2}$ e $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{x (1 + x^{2}) (- 17 + 8 x) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) (3 x^{2} + 1)}{{(x (1 + x^{2}))}^{2}}$

Etapa 2.11

Simplifique.

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Etapa 2.11.1

Aplique a regra do produto a $x (1 + x^{2})$ .

$f'' (x) = \frac{x (1 + x^{2}) (- 17 + 8 x) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.11.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{(x \cdot 1 + x \cdot x^{2}) (- 17 + 8 x) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.11.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{(x \cdot 1 + x \cdot x^{2}) (- 17 + 8 x) - (- 17 x + 4 \cdot 1 + 4 x^{2}) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.11.4

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{(x \cdot 1 + x \cdot x^{2}) (- 17 + 8 x) + (- (- 17 x) - (4 \cdot 1) - (4 x^{2})) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.11.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.11.5.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.11.5.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.11.5.1.1.1

Multiplique $x$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{(x + x \cdot x^{2}) (- 17 + 8 x) + (- (- 17 x) - (4 \cdot 1) - (4 x^{2})) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.11.5.1.1.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.11.5.1.1.2.1

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

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Etapa 2.11.5.1.1.2.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = \frac{(x + x \cdot x^{2}) (- 17 + 8 x) + (- (- 17 x) - (4 \cdot 1) - (4 x^{2})) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.11.5.1.1.2.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{(x + x^{1 + 2}) (- 17 + 8 x) + (- (- 17 x) - (4 \cdot 1) - (4 x^{2})) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.11.5.1.1.2.2

Some $1$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{(x + x^{3}) (- 17 + 8 x) + (- (- 17 x) - (4 \cdot 1) - (4 x^{2})) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.11.5.1.2

Expanda $(x + x^{3}) (- 17 + 8 x)$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.11.5.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{x (- 17 + 8 x) + x^{3} (- 17 + 8 x) + (- (- 17 x) - (4 \cdot 1) - (4 x^{2})) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.11.5.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{x \cdot - 17 + x (8 x) + x^{3} (- 17 + 8 x) + (- (- 17 x) - (4 \cdot 1) - (4 x^{2})) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.11.5.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{x \cdot - 17 + x (8 x) + x^{3} \cdot - 17 + x^{3} (8 x) + (- (- 17 x) - (4 \cdot 1) - (4 x^{2})) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.11.5.1.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.11.5.1.3.1

Mova $- 17$ para a esquerda de $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 17 \cdot x + x (8 x) + x^{3} \cdot - 17 + x^{3} (8 x) + (- (- 17 x) - (4 \cdot 1) - (4 x^{2})) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.11.5.1.3.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x \cdot x + x^{3} \cdot - 17 + x^{3} (8 x) + (- (- 17 x) - (4 \cdot 1) - (4 x^{2})) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.11.5.1.3.3

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 2.11.5.1.3.3.1

Mova $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 (x \cdot x) + x^{3} \cdot - 17 + x^{3} (8 x) + (- (- 17 x) - (4 \cdot 1) - (4 x^{2})) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.11.5.1.3.3.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} + x^{3} \cdot - 17 + x^{3} (8 x) + (- (- 17 x) - (4 \cdot 1) - (4 x^{2})) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.11.5.1.3.4

Mova $- 17$ para a esquerda de $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 \cdot x^{3} + x^{3} (8 x) + (- (- 17 x) - (4 \cdot 1) - (4 x^{2})) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.11.5.1.3.5

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{3} x + (- (- 17 x) - (4 \cdot 1) - (4 x^{2})) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.11.5.1.3.6

Multiplique $x^{3}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 2.11.5.1.3.6.1

Mova $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 (x \cdot x^{3}) + (- (- 17 x) - (4 \cdot 1) - (4 x^{2})) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.11.5.1.3.6.2

Multiplique $x$ por $x^{3}$ .

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Etapa 2.11.5.1.3.6.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 (x \cdot x^{3}) + (- (- 17 x) - (4 \cdot 1) - (4 x^{2})) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.11.5.1.3.6.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{1 + 3} + (- (- 17 x) - (4 \cdot 1) - (4 x^{2})) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.11.5.1.3.6.3

Some $1$ e $3$ .

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + (- (- 17 x) - (4 \cdot 1) - (4 x^{2})) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.11.5.1.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.11.5.1.4.1

Multiplique $- 17$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + (17 x - (4 \cdot 1) - (4 x^{2})) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.11.5.1.4.2

Multiplique $- (4 \cdot 1)$ .

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Etapa 2.11.5.1.4.2.1

Multiplique $4$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + (17 x - 1 \cdot 4 - (4 x^{2})) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.11.5.1.4.2.2

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + (17 x - 4 - (4 x^{2})) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.11.5.1.4.3

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + (17 x - 4 - 4 x^{2}) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.11.5.1.5

Expanda $(17 x - 4 - 4 x^{2}) (3 x^{2} + 1)$ multiplicando cada termo na primeira expressão por cada um dos termos na segunda expressão.

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + 17 x (3 x^{2}) + 17 x \cdot 1 - 4 (3 x^{2}) - 4 \cdot 1 - 4 x^{2} (3 x^{2}) - 4 x^{2} \cdot 1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.11.5.1.6

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.11.5.1.6.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + 17 \cdot (3 x \cdot x^{2}) + 17 x \cdot 1 - 4 (3 x^{2}) - 4 \cdot 1 - 4 x^{2} (3 x^{2}) - 4 x^{2} \cdot 1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.11.5.1.6.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.11.5.1.6.2.1

Mova $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + 17 \cdot (3 (x^{2} x)) + 17 x \cdot 1 - 4 (3 x^{2}) - 4 \cdot 1 - 4 x^{2} (3 x^{2}) - 4 x^{2} \cdot 1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.11.5.1.6.2.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.11.5.1.6.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + 17 \cdot (3 (x^{2} x)) + 17 x \cdot 1 - 4 (3 x^{2}) - 4 \cdot 1 - 4 x^{2} (3 x^{2}) - 4 x^{2} \cdot 1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.11.5.1.6.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + 17 \cdot (3 x^{2 + 1}) + 17 x \cdot 1 - 4 (3 x^{2}) - 4 \cdot 1 - 4 x^{2} (3 x^{2}) - 4 x^{2} \cdot 1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.11.5.1.6.2.3

Some $2$ e $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + 17 \cdot (3 x^{3}) + 17 x \cdot 1 - 4 (3 x^{2}) - 4 \cdot 1 - 4 x^{2} (3 x^{2}) - 4 x^{2} \cdot 1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.11.5.1.6.3

Multiplique $17$ por $3$ .

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + 51 x^{3} + 17 x \cdot 1 - 4 (3 x^{2}) - 4 \cdot 1 - 4 x^{2} (3 x^{2}) - 4 x^{2} \cdot 1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.11.5.1.6.4

Multiplique $17$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + 51 x^{3} + 17 x - 4 (3 x^{2}) - 4 \cdot 1 - 4 x^{2} (3 x^{2}) - 4 x^{2} \cdot 1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.11.5.1.6.5

Multiplique $3$ por $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + 51 x^{3} + 17 x - 12 x^{2} - 4 \cdot 1 - 4 x^{2} (3 x^{2}) - 4 x^{2} \cdot 1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.11.5.1.6.6

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + 51 x^{3} + 17 x - 12 x^{2} - 4 - 4 x^{2} (3 x^{2}) - 4 x^{2} \cdot 1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.11.5.1.6.7

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + 51 x^{3} + 17 x - 12 x^{2} - 4 - 4 \cdot (3 x^{2} x^{2}) - 4 x^{2} \cdot 1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.11.5.1.6.8

Multiplique $x^{2}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.11.5.1.6.8.1

Mova $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + 51 x^{3} + 17 x - 12 x^{2} - 4 - 4 \cdot (3 (x^{2} x^{2})) - 4 x^{2} \cdot 1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.11.5.1.6.8.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + 51 x^{3} + 17 x - 12 x^{2} - 4 - 4 \cdot (3 x^{2 + 2}) - 4 x^{2} \cdot 1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.11.5.1.6.8.3

Some $2$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + 51 x^{3} + 17 x - 12 x^{2} - 4 - 4 \cdot (3 x^{4}) - 4 x^{2} \cdot 1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.11.5.1.6.9

Multiplique $- 4$ por $3$ .

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + 51 x^{3} + 17 x - 12 x^{2} - 4 - 12 x^{4} - 4 x^{2} \cdot 1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.11.5.1.6.10

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + 51 x^{3} + 17 x - 12 x^{2} - 4 - 12 x^{4} - 4 x^{2}}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.11.5.1.7

Subtraia $4 x^{2}$ de $- 12 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + 51 x^{3} + 17 x - 16 x^{2} - 4 - 12 x^{4}}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.11.5.2

Combine os termos opostos em $- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + 51 x^{3} + 17 x - 16 x^{2} - 4 - 12 x^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.11.5.2.1

Some $- 17 x$ e $17 x$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + 51 x^{3} + 0 - 16 x^{2} - 4 - 12 x^{4}}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.11.5.2.2

Some $8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + 51 x^{3}$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + 51 x^{3} - 16 x^{2} - 4 - 12 x^{4}}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.11.5.3

Subtraia $16 x^{2}$ de $8 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 17 x^{3} + 8 x^{4} + 51 x^{3} - 8 x^{2} - 4 - 12 x^{4}}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.11.5.4

Some $- 17 x^{3}$ e $51 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{4} + 34 x^{3} - 8 x^{2} - 4 - 12 x^{4}}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.11.5.5

Subtraia $12 x^{4}$ de $8 x^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{4} + 34 x^{3} - 8 x^{2} - 4}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.11.6

Fatore $2$ de $- 4 x^{4} + 34 x^{3} - 8 x^{2} - 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.11.6.1

Fatore $2$ de $- 4 x^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- 2 x^{4}) + 34 x^{3} - 8 x^{2} - 4}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.11.6.2

Fatore $2$ de $34 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- 2 x^{4}) + 2 (17 x^{3}) - 8 x^{2} - 4}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.11.6.3

Fatore $2$ de $- 8 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- 2 x^{4}) + 2 (17 x^{3}) + 2 (- 4 x^{2}) - 4}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.11.6.4

Fatore $2$ de $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- 2 x^{4}) + 2 (17 x^{3}) + 2 (- 4 x^{2}) + 2 (- 2)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.11.6.5

Fatore $2$ de $2 (- 2 x^{4}) + 2 (17 x^{3})$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- 2 x^{4} + 17 x^{3}) + 2 (- 4 x^{2}) + 2 (- 2)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.11.6.6

Fatore $2$ de $2 (- 2 x^{4} + 17 x^{3}) + 2 (- 4 x^{2})$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- 2 x^{4} + 17 x^{3} - 4 x^{2}) + 2 (- 2)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.11.6.7

Fatore $2$ de $2 (- 2 x^{4} + 17 x^{3} - 4 x^{2}) + 2 (- 2)$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- 2 x^{4} + 17 x^{3} - 4 x^{2} - 2)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.11.7

Fatore $- 1$ de $- 2 x^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- (2 x^{4}) + 17 x^{3} - 4 x^{2} - 2)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.11.8

Fatore $- 1$ de $17 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- (2 x^{4}) - (- 17 x^{3}) - 4 x^{2} - 2)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.11.9

Fatore $- 1$ de $- (2 x^{4}) - (- 17 x^{3})$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- (2 x^{4} - 17 x^{3}) - 4 x^{2} - 2)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.11.10

Fatore $- 1$ de $- 4 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- (2 x^{4} - 17 x^{3}) - (4 x^{2}) - 2)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.11.11

Fatore $- 1$ de $- (2 x^{4} - 17 x^{3}) - (4 x^{2})$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- (2 x^{4} - 17 x^{3} + 4 x^{2}) - 2)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.11.12

Reescreva $- 2$ como $- 1 (2)$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- (2 x^{4} - 17 x^{3} + 4 x^{2}) - 1 \cdot 2)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.11.13

Fatore $- 1$ de $- (2 x^{4} - 17 x^{3} + 4 x^{2}) - 1 (2)$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- (2 x^{4} - 17 x^{3} + 4 x^{2} + 2))}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.11.14

Reescreva $- (2 x^{4} - 17 x^{3} + 4 x^{2} + 2)$ como $- 1 (2 x^{4} - 17 x^{3} + 4 x^{2} + 2)$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- 1 (2 x^{4} - 17 x^{3} + 4 x^{2} + 2))}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.11.15

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = - \frac{2 (2 x^{4} - 17 x^{3} + 4 x^{2} + 2)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$\frac{- 17 x + 4 (1 + x^{2})}{x (1 + x^{2})} = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 \ln (x) - 17 \arctan (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 17 \arctan (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [4 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 17 \arctan (x)]$

Etapa 4.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [4 \ln (x)]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 \ln (x)$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 17 \arctan (x)]$

Etapa 4.1.2.2

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$4 \frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [- 17 \arctan (x)]$

Etapa 4.1.2.3

Combine $4$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{4}{x} + \frac{d}{d x} [- 17 \arctan (x)]$

Etapa 4.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 17 \arctan (x)]$ .

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Etapa 4.1.3.1

Como $- 17$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 17 \arctan (x)$ em relação a $x$ é $- 17 \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$ .

$\frac{4}{x} - 17 \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

Etapa 4.1.3.2

A derivada de $\arctan (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{4}{x} - 17 \frac{1}{1 + x^{2}}$

Etapa 4.1.3.3

Combine $- 17$ e $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{4}{x} + \frac{- 17}{1 + x^{2}}$

Etapa 4.1.3.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{4}{x} - \frac{17}{1 + x^{2}}$

Etapa 4.1.4

Simplifique.

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Etapa 4.1.4.1

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.4.1.1

Para escrever $\frac{4}{x}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{4}{x} \cdot \frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}} - \frac{17}{1 + x^{2}}$

Etapa 4.1.4.1.2

Para escrever $- \frac{17}{1 + x^{2}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{4}{x} \cdot \frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}} - \frac{17}{1 + x^{2}} \cdot \frac{x}{x}$

Etapa 4.1.4.1.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $x (1 + x^{2})$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.4.1.3.1

Multiplique $\frac{4}{x}$ por $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{4 (1 + x^{2})}{x (1 + x^{2})} - \frac{17}{1 + x^{2}} \cdot \frac{x}{x}$

Etapa 4.1.4.1.3.2

Multiplique $\frac{17}{1 + x^{2}}$ por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{4 (1 + x^{2})}{x (1 + x^{2})} - \frac{17 x}{(1 + x^{2}) x}$

Etapa 4.1.4.1.3.3

Reordene os fatores de $(1 + x^{2}) x$ .

$\frac{4 (1 + x^{2})}{x (1 + x^{2})} - \frac{17 x}{x (1 + x^{2})}$

Etapa 4.1.4.1.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{4 (1 + x^{2}) - 17 x}{x (1 + x^{2})}$

Etapa 4.1.4.2

Reordene os termos.

$f' (x) = \frac{- 17 x + 4 (1 + x^{2})}{x (1 + x^{2})}$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{- 17 x + 4 (1 + x^{2})}{x (1 + x^{2})}$ .

$\frac{- 17 x + 4 (1 + x^{2})}{x (1 + x^{2})}$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{- 17 x + 4 (1 + x^{2})}{x (1 + x^{2})} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\frac{- 17 x + 4 (1 + x^{2})}{x (1 + x^{2})} = 0$

Etapa 5.2

Defina o numerador como igual a zero.

$- 17 x + 4 (1 + x^{2}) = 0$

Etapa 5.3

Resolva a equação para $x$ .

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Etapa 5.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.3.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- 17 x + 4 \cdot 1 + 4 x^{2} = 0$

Etapa 5.3.1.2

Multiplique $4$ por $1$ .

$- 17 x + 4 + 4 x^{2} = 0$

Etapa 5.3.2

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1

Reordene os termos.

$4 x^{2} - 17 x + 4 = 0$

Etapa 5.3.2.2

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 4 \cdot 4 = 16$ e cuja soma é $b = - 17$ .

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Etapa 5.3.2.2.1

Fatore $- 17$ de $- 17 x$ .

$4 x^{2} - 17 x + 4 = 0$

Etapa 5.3.2.2.2

Reescreva $- 17$ como $- 1$ mais $- 16$

$4 x^{2} + (- 1 - 16) x + 4 = 0$

Etapa 5.3.2.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$4 x^{2} - 1 x - 16 x + 4 = 0$

Etapa 5.3.2.3

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 5.3.2.3.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(4 x^{2} - 1 x) - 16 x + 4 = 0$

Etapa 5.3.2.3.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$x (4 x - 1) - 4 (4 x - 1) = 0$

Etapa 5.3.2.4

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $4 x - 1$ .

$(4 x - 1) (x - 4) = 0$

Etapa 5.3.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$4 x - 1 = 0$

$x - 4 = 0$

Etapa 5.3.4

Defina $4 x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.4.1

Defina $4 x - 1$ como igual a $0$ .

$4 x - 1 = 0$

Etapa 5.3.4.2

Resolva $4 x - 1 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.4.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$4 x = 1$

Etapa 5.3.4.2.2

Divida cada termo em $4 x = 1$ por $4$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.4.2.2.1

Divida cada termo em $4 x = 1$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

Etapa 5.3.4.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.4.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.4.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

Etapa 5.3.4.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{4}$

Etapa 5.3.5

Defina $x - 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.5.1

Defina $x - 4$ como igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Etapa 5.3.5.2

Some $4$ aos dois lados da equação.

$x = 4$

Etapa 5.3.6

A solução final são todos os valores que tornam $(4 x - 1) (x - 4) = 0$ verdadeiro.

$x = \frac{1}{4}, 4$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Defina o denominador em $\frac{- 17 x + 4 (1 + x^{2})}{x (1 + x^{2})}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x (1 + x^{2}) = 0$

Etapa 6.2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$1 + x^{2} = 0$

Etapa 6.2.2

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 6.2.3

Defina $1 + x^{2}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.1

Defina $1 + x^{2}$ como igual a $0$ .

$1 + x^{2} = 0$

Etapa 6.2.3.2

Resolva $1 + x^{2} = 0$ para $x$ .

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Etapa 6.2.3.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x^{2} = - 1$

Etapa 6.2.3.2.2

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Etapa 6.2.3.2.3

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i$

Etapa 6.2.3.2.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.2.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = i$

Etapa 6.2.3.2.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - i$

Etapa 6.2.3.2.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = i, - i$

Etapa 6.2.4

A solução final são todos os valores que tornam $x (1 + x^{2}) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, i, - i$

Etapa 6.3

A equação é indefinida quando o denominador é igual a $0$ , o argumento de uma raiz quadrada é menor do que $0$ ou o argumento de um logaritmo é menor do que ou igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = \frac{1}{4}, 4$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = \frac{1}{4}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- \frac{2 (2 {(\frac{1}{4})}^{4} - 17 {(\frac{1}{4})}^{3} + 4 {(\frac{1}{4})}^{2} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{2 (2 \frac{1^{4}}{4^{4}} - 17 {(\frac{1}{4})}^{3} + 4 {(\frac{1}{4})}^{2} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Etapa 9.1.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$- \frac{2 (2 \frac{1}{4^{4}} - 17 {(\frac{1}{4})}^{3} + 4 {(\frac{1}{4})}^{2} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Etapa 9.1.3

Eleve $4$ à potência de $4$ .

$- \frac{2 (2 (\frac{1}{256}) - 17 {(\frac{1}{4})}^{3} + 4 {(\frac{1}{4})}^{2} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Etapa 9.1.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.4.1

Fatore $2$ de $256$ .

$- \frac{2 (2 \frac{1}{2 (128)} - 17 {(\frac{1}{4})}^{3} + 4 {(\frac{1}{4})}^{2} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Etapa 9.1.4.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{2 (2 \frac{1}{2 \cdot 128} - 17 {(\frac{1}{4})}^{3} + 4 {(\frac{1}{4})}^{2} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Etapa 9.1.4.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{2 (\frac{1}{128} - 17 {(\frac{1}{4})}^{3} + 4 {(\frac{1}{4})}^{2} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Etapa 9.1.5

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{2 (\frac{1}{128} - 17 \frac{1^{3}}{4^{3}} + 4 {(\frac{1}{4})}^{2} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Etapa 9.1.6

Um elevado a qualquer potência é um.

$- \frac{2 (\frac{1}{128} - 17 \frac{1}{4^{3}} + 4 {(\frac{1}{4})}^{2} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Etapa 9.1.7

Eleve $4$ à potência de $3$ .

$- \frac{2 (\frac{1}{128} - 17 (\frac{1}{64}) + 4 {(\frac{1}{4})}^{2} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Etapa 9.1.8

Combine $- 17$ e $\frac{1}{64}$ .

$- \frac{2 (\frac{1}{128} + \frac{- 17}{64} + 4 {(\frac{1}{4})}^{2} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Etapa 9.1.9

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{2 (\frac{1}{128} - \frac{17}{64} + 4 {(\frac{1}{4})}^{2} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Etapa 9.1.10

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{2 (\frac{1}{128} - \frac{17}{64} + 4 \frac{1^{2}}{4^{2}} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Etapa 9.1.11

Um elevado a qualquer potência é um.

$- \frac{2 (\frac{1}{128} - \frac{17}{64} + 4 \frac{1}{4^{2}} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Etapa 9.1.12

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$- \frac{2 (\frac{1}{128} - \frac{17}{64} + 4 (\frac{1}{16}) + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Etapa 9.1.13

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.13.1

Fatore $4$ de $16$ .

$- \frac{2 (\frac{1}{128} - \frac{17}{64} + 4 \frac{1}{4 (4)} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Etapa 9.1.13.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{2 (\frac{1}{128} - \frac{17}{64} + 4 \frac{1}{4 \cdot 4} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Etapa 9.1.13.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{2 (\frac{1}{128} - \frac{17}{64} + \frac{1}{4} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Etapa 9.1.14

Para escrever $- \frac{17}{64}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{2 (\frac{1}{128} - \frac{17}{64} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{4} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Etapa 9.1.15

Escreva cada expressão com um denominador comum de $128$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.15.1

Multiplique $\frac{17}{64}$ por $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{2 (\frac{1}{128} - \frac{17 \cdot 2}{64 \cdot 2} + \frac{1}{4} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Etapa 9.1.15.2

Multiplique $64$ por $2$ .

$- \frac{2 (\frac{1}{128} - \frac{17 \cdot 2}{128} + \frac{1}{4} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Etapa 9.1.16

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \frac{2 (\frac{1 - 17 \cdot 2}{128} + \frac{1}{4} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Etapa 9.1.17

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.17.1

Multiplique $- 17$ por $2$ .

$- \frac{2 (\frac{1 - 34}{128} + \frac{1}{4} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Etapa 9.1.17.2

Subtraia $34$ de $1$ .

$- \frac{2 (\frac{- 33}{128} + \frac{1}{4} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Etapa 9.1.18

Para escrever $\frac{1}{4}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{32}{32}$ .

$- \frac{2 (\frac{- 33}{128} + \frac{1}{4} \cdot \frac{32}{32} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Etapa 9.1.19

Escreva cada expressão com um denominador comum de $128$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.19.1

Multiplique $\frac{1}{4}$ por $\frac{32}{32}$ .

$- \frac{2 (\frac{- 33}{128} + \frac{32}{4 \cdot 32} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Etapa 9.1.19.2

Multiplique $4$ por $32$ .

$- \frac{2 (\frac{- 33}{128} + \frac{32}{128} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Etapa 9.1.20

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \frac{2 (\frac{- 33 + 32}{128} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Etapa 9.1.21

Some $- 33$ e $32$ .

$- \frac{2 (\frac{- 1}{128} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Etapa 9.1.22

Para escrever $2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{128}{128}$ .

$- \frac{2 (\frac{- 1}{128} + 2 \cdot \frac{128}{128})}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Etapa 9.1.23

Combine $2$ e $\frac{128}{128}$ .

$- \frac{2 (\frac{- 1}{128} + \frac{2 \cdot 128}{128})}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Etapa 9.1.24

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \frac{2 \frac{- 1 + 2 \cdot 128}{128}}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Etapa 9.1.25

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.25.1

Multiplique $2$ por $128$ .

$- \frac{2 \frac{- 1 + 256}{128}}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Etapa 9.1.25.2

Some $- 1$ e $256$ .

$- \frac{2 (\frac{255}{128})}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Etapa 9.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{2 (\frac{255}{128})}{\frac{1^{2}}{4^{2}} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Etapa 9.2.2

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{2 (\frac{255}{128})}{\frac{1^{2}}{4^{2}} {(1 + \frac{1^{2}}{4^{2}})}^{2}}$

Etapa 9.2.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$- \frac{2 (\frac{255}{128})}{\frac{1^{2}}{4^{2}} {(1 + \frac{1}{4^{2}})}^{2}}$

Etapa 9.2.4

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$- \frac{2 (\frac{255}{128})}{\frac{1^{2}}{4^{2}} {(1 + \frac{1}{16})}^{2}}$

Etapa 9.2.5

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$- \frac{2 (\frac{255}{128})}{\frac{1^{2}}{4^{2}} {(\frac{16}{16} + \frac{1}{16})}^{2}}$

Etapa 9.2.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \frac{2 (\frac{255}{128})}{\frac{1^{2}}{4^{2}} {(\frac{16 + 1}{16})}^{2}}$

Etapa 9.2.7

Some $16$ e $1$ .

$- \frac{2 (\frac{255}{128})}{\frac{1^{2}}{4^{2}} {(\frac{17}{16})}^{2}}$

Etapa 9.2.8

Aplique a regra do produto a $\frac{17}{16}$ .

$- \frac{2 (\frac{255}{128})}{\frac{1^{2}}{4^{2}} \cdot \frac{17^{2}}{16^{2}}}$

Etapa 9.2.9

Um elevado a qualquer potência é um.

$- \frac{2 (\frac{255}{128})}{\frac{1}{4^{2}} \cdot \frac{17^{2}}{16^{2}}}$

Etapa 9.2.10

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$- \frac{2 (\frac{255}{128})}{\frac{1}{16} \cdot \frac{17^{2}}{16^{2}}}$

Etapa 9.2.11

Eleve $17$ à potência de $2$ .

$- \frac{2 (\frac{255}{128})}{\frac{1}{16} \cdot \frac{289}{16^{2}}}$

Etapa 9.2.12

Eleve $16$ à potência de $2$ .

$- \frac{2 (\frac{255}{128})}{\frac{1}{16} \cdot \frac{289}{256}}$

Etapa 9.3

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.1

Combine $2$ e $\frac{255}{128}$ .

$- \frac{\frac{2 \cdot 255}{128}}{\frac{1}{16} \cdot \frac{289}{256}}$

Etapa 9.3.2

Multiplique $\frac{1}{16}$ por $\frac{289}{256}$ .

$- \frac{\frac{2 \cdot 255}{128}}{\frac{289}{16 \cdot 256}}$

Etapa 9.3.3

Multiplique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.3.1

Multiplique $2$ por $255$ .

$- \frac{\frac{510}{128}}{\frac{289}{16 \cdot 256}}$

Etapa 9.3.3.2

Multiplique $16$ por $256$ .

$- \frac{\frac{510}{128}}{\frac{289}{4096}}$

Etapa 9.3.4

Cancele o fator comum de $510$ e $128$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.4.1

Fatore $2$ de $510$ .

$- \frac{\frac{2 (255)}{128}}{\frac{289}{4096}}$

Etapa 9.3.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.4.2.1

Fatore $2$ de $128$ .

$- \frac{\frac{2 \cdot 255}{2 \cdot 64}}{\frac{289}{4096}}$

Etapa 9.3.4.2.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{\frac{2 \cdot 255}{2 \cdot 64}}{\frac{289}{4096}}$

Etapa 9.3.4.2.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{\frac{255}{64}}{\frac{289}{4096}}$

Etapa 9.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$- (\frac{255}{64} \cdot \frac{4096}{289})$

Etapa 9.5

Cancele o fator comum de $17$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.5.1

Fatore $17$ de $255$ .

$- (\frac{17 (15)}{64} \cdot \frac{4096}{289})$

Etapa 9.5.2

Fatore $17$ de $289$ .

$- (\frac{17 \cdot 15}{64} \cdot \frac{4096}{17 \cdot 17})$

Etapa 9.5.3

Cancele o fator comum.

$- (\frac{17 \cdot 15}{64} \cdot \frac{4096}{17 \cdot 17})$

Etapa 9.5.4

Reescreva a expressão.

$- (\frac{15}{64} \cdot \frac{4096}{17})$

Etapa 9.6

Cancele o fator comum de $64$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.6.1

Fatore $64$ de $4096$ .

$- (\frac{15}{64} \cdot \frac{64 (64)}{17})$

Etapa 9.6.2

Cancele o fator comum.

$- (\frac{15}{64} \cdot \frac{64 \cdot 64}{17})$

Etapa 9.6.3

Reescreva a expressão.

$- (15 (\frac{64}{17}))$

Etapa 9.7

Combine $15$ e $\frac{64}{17}$ .

$- \frac{15 \cdot 64}{17}$

Etapa 9.8

Multiplique $15$ por $64$ .

$- \frac{960}{17}$

Etapa 10

$x = \frac{1}{4}$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = \frac{1}{4}$ é um máximo local

Etapa 11

Encontre o valor y quando $x = \frac{1}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{1}{4}$ na expressão.

$f (\frac{1}{4}) = 4 \ln (\frac{1}{4}) - 17 \arctan (\frac{1}{4})$

Etapa 11.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.1

Simplifique $4 \ln (\frac{1}{4})$ movendo $4$ para dentro do logaritmo.

$f (\frac{1}{4}) = \ln ({(\frac{1}{4})}^{4}) - 17 \arctan (\frac{1}{4})$

Etapa 11.2.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{4}$ .

$f (\frac{1}{4}) = \ln (\frac{1^{4}}{4^{4}}) - 17 \arctan (\frac{1}{4})$

Etapa 11.2.1.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$f (\frac{1}{4}) = \ln (\frac{1}{4^{4}}) - 17 \arctan (\frac{1}{4})$

Etapa 11.2.1.4

Eleve $4$ à potência de $4$ .

$f (\frac{1}{4}) = \ln (\frac{1}{256}) - 17 \arctan (\frac{1}{4})$

Etapa 11.2.1.5

Avalie $\arctan (\frac{1}{4})$ .

$f (\frac{1}{4}) = \ln (\frac{1}{256}) - 17 \cdot 0.24497866$

Etapa 11.2.1.6

Multiplique $- 17$ por $0.24497866$ .

$f (\frac{1}{4}) = \ln (\frac{1}{256}) - 4.16463727$

Etapa 11.2.2

Subtraia $4.16463727$ de $\ln (\frac{1}{256})$ .

$f (\frac{1}{4}) = - 9.70981471$

Etapa 11.2.3

A resposta final é $- 9.70981471$ .

$y = - 9.70981471$

Etapa 12

Avalie a segunda derivada em $x = 4$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- \frac{2 (2 {(4)}^{4} - 17 {(4)}^{3} + 4 {(4)}^{2} + 2)}{{(4)}^{2} {(1 + {(4)}^{2})}^{2}}$

Etapa 13

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1

Multiplique $4$ por ${(4)}^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.1

Multiplique $4$ por ${(4)}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.1.1

Eleve $4$ à potência de $1$ .

$- \frac{2 (2 {(4)}^{4} - 17 {(4)}^{3} + 4^{1} {(4)}^{2} + 2)}{{(4)}^{2} {(1 + {(4)}^{2})}^{2}}$

Etapa 13.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{2 (2 {(4)}^{4} - 17 {(4)}^{3} + 4^{1 + 2} + 2)}{{(4)}^{2} {(1 + {(4)}^{2})}^{2}}$

Etapa 13.1.2

Some $1$ e $2$ .

$- \frac{2 (2 {(4)}^{4} - 17 {(4)}^{3} + 4^{3} + 2)}{{(4)}^{2} {(1 + {(4)}^{2})}^{2}}$

Etapa 13.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.1

Eleve $4$ à potência de $4$ .

$- \frac{2 (2 \cdot 256 - 17 \cdot 4^{3} + 4^{3} + 2)}{4^{2} {(1 + 4^{2})}^{2}}$

Etapa 13.2.2

Multiplique $2$ por $256$ .

$- \frac{2 (512 - 17 \cdot 4^{3} + 4^{3} + 2)}{4^{2} {(1 + 4^{2})}^{2}}$

Etapa 13.2.3

Eleve $4$ à potência de $3$ .

$- \frac{2 (512 - 17 \cdot 64 + 4^{3} + 2)}{4^{2} {(1 + 4^{2})}^{2}}$

Etapa 13.2.4

Multiplique $- 17$ por $64$ .

$- \frac{2 (512 - 1088 + 4^{3} + 2)}{4^{2} {(1 + 4^{2})}^{2}}$

Etapa 13.2.5

Eleve $4$ à potência de $3$ .

$- \frac{2 (512 - 1088 + 64 + 2)}{4^{2} {(1 + 4^{2})}^{2}}$

Etapa 13.2.6

Subtraia $1088$ de $512$ .

$- \frac{2 (- 576 + 64 + 2)}{4^{2} {(1 + 4^{2})}^{2}}$

Etapa 13.2.7

Some $- 576$ e $64$ .

$- \frac{2 (- 512 + 2)}{4^{2} {(1 + 4^{2})}^{2}}$

Etapa 13.2.8

Some $- 512$ e $2$ .

$- \frac{2 \cdot - 510}{4^{2} {(1 + 4^{2})}^{2}}$

Etapa 13.3

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.3.1

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$- \frac{2 \cdot - 510}{4^{2} {(1 + 16)}^{2}}$

Etapa 13.3.2

Some $1$ e $16$ .

$- \frac{2 \cdot - 510}{4^{2} \cdot 17^{2}}$

Etapa 13.3.3

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$- \frac{2 \cdot - 510}{16 \cdot 17^{2}}$

Etapa 13.3.4

Eleve $17$ à potência de $2$ .

$- \frac{2 \cdot - 510}{16 \cdot 289}$

Etapa 13.4

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.4.1

Multiplique $2$ por $- 510$ .

$- \frac{- 1020}{16 \cdot 289}$

Etapa 13.4.2

Multiplique $16$ por $289$ .

$- \frac{- 1020}{4624}$

Etapa 13.4.3

Cancele o fator comum de $- 1020$ e $4624$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.4.3.1

Fatore $68$ de $- 1020$ .

$- \frac{68 (- 15)}{4624}$

Etapa 13.4.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.4.3.2.1

Fatore $68$ de $4624$ .

$- \frac{68 \cdot - 15}{68 \cdot 68}$

Etapa 13.4.3.2.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{68 \cdot - 15}{68 \cdot 68}$

Etapa 13.4.3.2.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{- 15}{68}$

Etapa 13.4.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- - \frac{15}{68}$

Etapa 13.5

Multiplique $- - \frac{15}{68}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.5.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 (\frac{15}{68})$

Etapa 13.5.2

Multiplique $\frac{15}{68}$ por $1$ .

$\frac{15}{68}$

Etapa 14

$x = 4$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 4$ é um mínimo local

Etapa 15

Encontre o valor y quando $x = 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.1

Substitua a variável $x$ por $4$ na expressão.

$f (4) = 4 \ln (4) - 17 \arctan (4)$

Etapa 15.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.1

Simplifique $4 \ln (4)$ movendo $4$ para dentro do logaritmo.

$f (4) = \ln (4^{4}) - 17 \arctan (4)$

Etapa 15.2.1.2

Eleve $4$ à potência de $4$ .

$f (4) = \ln (256) - 17 \arctan (4)$

Etapa 15.2.1.3

Avalie $\arctan (4)$ .

$f (4) = \ln (256) - 17 \cdot 1.32581766$

Etapa 15.2.1.4

Multiplique $- 17$ por $1.32581766$ .

$f (4) = \ln (256) - 22.53890028$

Etapa 15.2.2

Subtraia $22.53890028$ de $\ln (256)$ .

$f (4) = - 16.99372283$

Etapa 15.2.3

A resposta final é $- 16.99372283$ .

$y = - 16.99372283$

Etapa 16

Esses são os extremos locais para $f (x) = 4 \ln (x) - 17 \arctan (x)$ .

$(\frac{1}{4}, - 9.70981471)$ é um máximo local

$(4, - 16.99372283)$ é um mínimo local

Etapa 17