Cálculo Exemplos

$f (x) = 48 x^{\frac{2}{3}} - 9 x^{2}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $48 x^{\frac{2}{3}} - 9 x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [48 x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [48 x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [48 x^{\frac{2}{3}}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Como $48$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $48 x^{\frac{2}{3}}$ em relação a $x$ é $48 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ .

$48 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{2}{3}$ .

$48 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Etapa 1.2.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$48 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Etapa 1.2.4

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$48 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Etapa 1.2.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$48 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Etapa 1.2.6

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$48 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Etapa 1.2.6.2

Subtraia $3$ de $2$ .

$48 (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Etapa 1.2.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$48 (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Etapa 1.2.8

Combine $\frac{2}{3}$ e $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$48 \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Etapa 1.2.9

Combine $48$ e $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ .

$\frac{48 (2 x^{- \frac{1}{3}})}{3} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Etapa 1.2.10

Multiplique $2$ por $48$ .

$\frac{96 x^{- \frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Etapa 1.2.11

Mova $x^{- \frac{1}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{96}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Etapa 1.2.12

Fatore $3$ de $96$ .

$\frac{3 \cdot 32}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Etapa 1.2.13

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.2.13.1

Fatore $3$ de $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{3 \cdot 32}{3 (x^{\frac{1}{3}})} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Etapa 1.2.13.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3 \cdot 32}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Etapa 1.2.13.3

Reescreva a expressão.

$\frac{32}{x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ .

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Etapa 1.3.1

Como $- 9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 9 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{32}{x^{\frac{1}{3}}} - 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{32}{x^{\frac{1}{3}}} - 9 (2 x)$

Etapa 1.3.3

Multiplique $2$ por $- 9$ .

$\frac{32}{x^{\frac{1}{3}}} - 18 x$

Etapa 1.4

Reordene os termos.

$- 18 x + \frac{32}{x^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 18 x + \frac{32}{x^{\frac{1}{3}}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 18 x] + \frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{\frac{1}{3}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 18 x) + \frac{d}{d x} (\frac{32}{x^{\frac{1}{3}}})$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 18 x]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $- 18$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 18 x$ em relação a $x$ é $- 18 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 18 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (\frac{32}{x^{\frac{1}{3}}})$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = - 18 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (\frac{32}{x^{\frac{1}{3}}})$

Etapa 2.2.3

Multiplique $- 18$ por $1$ .

$f'' (x) = - 18 + \frac{d}{d x} (\frac{32}{x^{\frac{1}{3}}})$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{\frac{1}{3}}}]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $32$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{32}{x^{\frac{1}{3}}}$ em relação a $x$ é $32 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}]$ .

$f'' (x) = - 18 + 32 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}})$

Etapa 2.3.2

Reescreva $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ como ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = - 18 + 32 \frac{d}{d x} ({(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1})$

Etapa 2.3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{\frac{1}{3}}$ .

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Etapa 2.3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = - 18 + 32 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}}))$

Etapa 2.3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$f'' (x) = - 18 + 32 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{3}})$

Etapa 2.3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = - 18 + 32 (- {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{3}})$

Etapa 2.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{3}$ .

$f'' (x) = - 18 + 32 (- {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

Etapa 2.3.5

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2}$ .

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Etapa 2.3.5.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 18 + 32 (- x^{\frac{1}{3} \cdot - 2} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

Etapa 2.3.5.2

Combine $\frac{1}{3}$ e $- 2$ .

$f'' (x) = - 18 + 32 (- x^{\frac{- 2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

Etapa 2.3.5.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = - 18 + 32 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

Etapa 2.3.6

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = - 18 + 32 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}))$

Etapa 2.3.7

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = - 18 + 32 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}))$

Etapa 2.3.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = - 18 + 32 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}))$

Etapa 2.3.9

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.3.9.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$f'' (x) = - 18 + 32 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}}))$

Etapa 2.3.9.2

Subtraia $3$ de $1$ .

$f'' (x) = - 18 + 32 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}))$

Etapa 2.3.10

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = - 18 + 32 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}))$

Etapa 2.3.11

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = - 18 + 32 (- x^{- \frac{2}{3}} \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3})$

Etapa 2.3.12

Combine $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ e $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = - 18 + 32 (- \frac{x^{- \frac{2}{3}} x^{- \frac{2}{3}}}{3})$

Etapa 2.3.13

Multiplique $x^{- \frac{2}{3}}$ por $x^{- \frac{2}{3}}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.3.13.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = - 18 + 32 (- \frac{x^{- \frac{2}{3} - \frac{2}{3}}}{3})$

Etapa 2.3.13.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = - 18 + 32 (- \frac{x^{\frac{- 2 - 2}{3}}}{3})$

Etapa 2.3.13.3

Subtraia $2$ de $- 2$ .

$f'' (x) = - 18 + 32 (- \frac{x^{\frac{- 4}{3}}}{3})$

Etapa 2.3.13.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = - 18 + 32 (- \frac{x^{- \frac{4}{3}}}{3})$

Etapa 2.3.14

Mova $x^{- \frac{4}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - 18 + 32 (- \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}})$

Etapa 2.3.15

Multiplique $- 1$ por $32$ .

$f'' (x) = - 18 - 32 \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.3.16

Combine $- 32$ e $\frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$ .

$f'' (x) = - 18 + \frac{- 32}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.3.17

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = - 18 - \frac{32}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$- 18 x + \frac{32}{x^{\frac{1}{3}}} = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $48 x^{\frac{2}{3}} - 9 x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [48 x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [48 x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Etapa 4.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [48 x^{\frac{2}{3}}]$ .

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Etapa 4.1.2.1

Como $48$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $48 x^{\frac{2}{3}}$ em relação a $x$ é $48 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ .

$48 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Etapa 4.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{2}{3}$ .

$48 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Etapa 4.1.2.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$48 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Etapa 4.1.2.4

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$48 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Etapa 4.1.2.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$48 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Etapa 4.1.2.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.1.2.6.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$48 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Etapa 4.1.2.6.2

Subtraia $3$ de $2$ .

$48 (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Etapa 4.1.2.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$48 (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Etapa 4.1.2.8

Combine $\frac{2}{3}$ e $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$48 \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Etapa 4.1.2.9

Combine $48$ e $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ .

$\frac{48 (2 x^{- \frac{1}{3}})}{3} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Etapa 4.1.2.10

Multiplique $2$ por $48$ .

$\frac{96 x^{- \frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Etapa 4.1.2.11

Mova $x^{- \frac{1}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{96}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Etapa 4.1.2.12

Fatore $3$ de $96$ .

$\frac{3 \cdot 32}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Etapa 4.1.2.13

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.13.1

Fatore $3$ de $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{3 \cdot 32}{3 (x^{\frac{1}{3}})} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Etapa 4.1.2.13.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3 \cdot 32}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Etapa 4.1.2.13.3

Reescreva a expressão.

$\frac{32}{x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Etapa 4.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ .

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Etapa 4.1.3.1

Como $- 9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 9 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{32}{x^{\frac{1}{3}}} - 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 4.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{32}{x^{\frac{1}{3}}} - 9 (2 x)$

Etapa 4.1.3.3

Multiplique $2$ por $- 9$ .

$\frac{32}{x^{\frac{1}{3}}} - 18 x$

Etapa 4.1.4

Reordene os termos.

$f' (x) = - 18 x + \frac{32}{x^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- 18 x + \frac{32}{x^{\frac{1}{3}}}$ .

$- 18 x + \frac{32}{x^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- 18 x + \frac{32}{x^{\frac{1}{3}}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- 18 x + \frac{32}{x^{\frac{1}{3}}} = 0$

Etapa 5.2

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 5.2.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$1, x^{\frac{1}{3}}, 1$

Etapa 5.2.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$x^{\frac{1}{3}}$

Etapa 5.3

Multiplique cada termo em $- 18 x + \frac{32}{x^{\frac{1}{3}}} = 0$ por $x^{\frac{1}{3}}$ para eliminar as frações.

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Etapa 5.3.1

Multiplique cada termo em $- 18 x + \frac{32}{x^{\frac{1}{3}}} = 0$ por $x^{\frac{1}{3}}$ .

$- 18 x \cdot x^{\frac{1}{3}} + \frac{32}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = 0 x^{\frac{1}{3}}$

Etapa 5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1.1

Multiplique $x$ por $x^{\frac{1}{3}}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1.1.1

Mova $x^{\frac{1}{3}}$ .

$- 18 (x^{\frac{1}{3}} x) + \frac{32}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = 0 x^{\frac{1}{3}}$

Etapa 5.3.2.1.1.2

Multiplique $x^{\frac{1}{3}}$ por $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$- 18 (x^{\frac{1}{3}} x^{1}) + \frac{32}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = 0 x^{\frac{1}{3}}$

Etapa 5.3.2.1.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- 18 x^{\frac{1}{3} + 1} + \frac{32}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = 0 x^{\frac{1}{3}}$

Etapa 5.3.2.1.1.3

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$- 18 x^{\frac{1}{3} + \frac{3}{3}} + \frac{32}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = 0 x^{\frac{1}{3}}$

Etapa 5.3.2.1.1.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- 18 x^{\frac{1 + 3}{3}} + \frac{32}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = 0 x^{\frac{1}{3}}$

Etapa 5.3.2.1.1.5

Some $1$ e $3$ .

$- 18 x^{\frac{4}{3}} + \frac{32}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = 0 x^{\frac{1}{3}}$

Etapa 5.3.2.1.2

Cancele o fator comum de $x^{\frac{1}{3}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1.2.1

Cancele o fator comum.

$- 18 x^{\frac{4}{3}} + \frac{32}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = 0 x^{\frac{1}{3}}$

Etapa 5.3.2.1.2.2

Reescreva a expressão.

$- 18 x^{\frac{4}{3}} + 32 = 0 x^{\frac{1}{3}}$

Etapa 5.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1

Multiplique $0$ por $x^{\frac{1}{3}}$ .

$- 18 x^{\frac{4}{3}} + 32 = 0$

Etapa 5.4

Resolva a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1

Subtraia $32$ dos dois lados da equação.

$- 18 x^{\frac{4}{3}} = - 32$

Etapa 5.4.2

Eleve cada lado da equação à potência de $\frac{3}{4}$ para eliminar o expoente fracionário no lado esquerdo.

${(- 18 x^{\frac{4}{3}})}^{\frac{3}{4}} = \pm {(- 32)}^{\frac{3}{4}}$

Etapa 5.4.3

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.3.1

Simplifique ${(- 18 x^{\frac{4}{3}})}^{\frac{3}{4}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.3.1.1

Aplique a regra do produto a $- 18 x^{\frac{4}{3}}$ .

${(- 18)}^{\frac{3}{4}} {(x^{\frac{4}{3}})}^{\frac{3}{4}} = \pm {(- 32)}^{\frac{3}{4}}$

Etapa 5.4.3.1.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{4}{3}})}^{\frac{3}{4}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.3.1.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- 18)}^{\frac{3}{4}} x^{\frac{4}{3} \cdot \frac{3}{4}} = \pm {(- 32)}^{\frac{3}{4}}$

Etapa 5.4.3.1.2.2

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.3.1.2.2.1

Cancele o fator comum.

${(- 18)}^{\frac{3}{4}} x^{\frac{4}{3} \cdot \frac{3}{4}} = \pm {(- 32)}^{\frac{3}{4}}$

Etapa 5.4.3.1.2.2.2

Reescreva a expressão.

${(- 18)}^{\frac{3}{4}} x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm {(- 32)}^{\frac{3}{4}}$

Etapa 5.4.3.1.2.3

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.3.1.2.3.1

Cancele o fator comum.

${(- 18)}^{\frac{3}{4}} x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm {(- 32)}^{\frac{3}{4}}$

Etapa 5.4.3.1.2.3.2

Reescreva a expressão.

${(- 18)}^{\frac{3}{4}} x^{1} = \pm {(- 32)}^{\frac{3}{4}}$

Etapa 5.4.3.1.3

Simplifique.

${(- 18)}^{\frac{3}{4}} x = \pm {(- 32)}^{\frac{3}{4}}$

Etapa 5.4.3.1.4

Reordene os fatores em ${(- 18)}^{\frac{3}{4}} x$ .

$x {(- 18)}^{\frac{3}{4}} = \pm {(- 32)}^{\frac{3}{4}}$

Etapa 5.4.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x {(- 18)}^{\frac{3}{4}} = {(- 32)}^{\frac{3}{4}}$

Etapa 5.4.4.2

Divida cada termo em $x {(- 18)}^{\frac{3}{4}} = {(- 32)}^{\frac{3}{4}}$ por ${(- 18)}^{\frac{3}{4}}$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.4.2.1

Divida cada termo em $x {(- 18)}^{\frac{3}{4}} = {(- 32)}^{\frac{3}{4}}$ por ${(- 18)}^{\frac{3}{4}}$ .

$\frac{x {(- 18)}^{\frac{3}{4}}}{{(- 18)}^{\frac{3}{4}}} = \frac{{(- 32)}^{\frac{3}{4}}}{{(- 18)}^{\frac{3}{4}}}$

Etapa 5.4.4.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.4.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x {(- 18)}^{\frac{3}{4}}}{{(- 18)}^{\frac{3}{4}}} = \frac{{(- 32)}^{\frac{3}{4}}}{{(- 18)}^{\frac{3}{4}}}$

Etapa 5.4.4.2.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{{(- 32)}^{\frac{3}{4}}}{{(- 18)}^{\frac{3}{4}}}$

Etapa 5.4.4.3

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x {(- 18)}^{\frac{3}{4}} = - {(- 32)}^{\frac{3}{4}}$

Etapa 5.4.4.4

Divida cada termo em $x {(- 18)}^{\frac{3}{4}} = - {(- 32)}^{\frac{3}{4}}$ por ${(- 18)}^{\frac{3}{4}}$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.4.4.1

Divida cada termo em $x {(- 18)}^{\frac{3}{4}} = - {(- 32)}^{\frac{3}{4}}$ por ${(- 18)}^{\frac{3}{4}}$ .

$\frac{x {(- 18)}^{\frac{3}{4}}}{{(- 18)}^{\frac{3}{4}}} = \frac{- {(- 32)}^{\frac{3}{4}}}{{(- 18)}^{\frac{3}{4}}}$

Etapa 5.4.4.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.4.4.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x {(- 18)}^{\frac{3}{4}}}{{(- 18)}^{\frac{3}{4}}} = \frac{- {(- 32)}^{\frac{3}{4}}}{{(- 18)}^{\frac{3}{4}}}$

Etapa 5.4.4.4.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- {(- 32)}^{\frac{3}{4}}}{{(- 18)}^{\frac{3}{4}}}$

Etapa 5.4.4.4.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.4.4.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{{(- 32)}^{\frac{3}{4}}}{{(- 18)}^{\frac{3}{4}}}$

Etapa 5.4.4.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \frac{{(- 32)}^{\frac{3}{4}}}{{(- 18)}^{\frac{3}{4}}}, - \frac{{(- 32)}^{\frac{3}{4}}}{{(- 18)}^{\frac{3}{4}}}$

Etapa 5.5

Exclua as soluções que não tornam $- 18 x + \frac{32}{x^{\frac{1}{3}}} = 0$ verdadeira.

$Nenhuma solução$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 6.1

Converta expressões com expoentes fracionários em radicais.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1

Aplique a regra $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescrever a exponenciação como um radical.

$- 18 x + \frac{32}{\sqrt[3]{x^{1}}}$

Etapa 6.1.2

Qualquer número elevado a $1$ é a própria base.

$- 18 x + \frac{32}{\sqrt[3]{x}}$

Etapa 6.2

Defina o denominador em $\frac{32}{\sqrt[3]{x}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$\sqrt[3]{x} = 0$

Etapa 6.3

Resolva $x$ .

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Etapa 6.3.1

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao cubo os dois lados da equação.

${\sqrt[3]{x}}^{3} = 0^{3}$

Etapa 6.3.2

Simplifique cada lado da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{x}$ como $x^{\frac{1}{3}}$ .

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Etapa 6.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.2.1

Simplifique ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.2.1.1

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.2.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Etapa 6.3.2.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Etapa 6.3.2.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$x^{1} = 0^{3}$

Etapa 6.3.2.2.1.2

Simplifique.

$x = 0^{3}$

Etapa 6.3.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$x = 0$

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = 0$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = 0$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- 18 - \frac{32}{3 {(0)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 9.1

Simplifique a expressão.

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Etapa 9.1.1

Reescreva $0$ como $0^{3}$ .

$- 18 - \frac{32}{3 {(0^{3})}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 9.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 18 - \frac{32}{3 \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}}$

Etapa 9.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1

Cancele o fator comum.

$- 18 - \frac{32}{3 \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}}$

Etapa 9.2.2

Reescreva a expressão.

$- 18 - \frac{32}{3 \cdot 0^{4}}$

Etapa 9.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$- 18 - \frac{32}{3 \cdot 0}$

Etapa 9.3.2

Multiplique $3$ por $0$ .

$- 18 - \frac{32}{0}$

Etapa 9.3.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$- 18 - \frac{32}{0}$

Etapa 9.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

Etapa 10

Como há pelo menos um ponto com $0$ ou segunda derivada indefinida, aplique o teste da primeira derivada.

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Etapa 10.1

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a primeira derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Etapa 10.2

Substitua qualquer número, como $- 2$ , do intervalo $(- \infty, 0)$ na primeira derivada $- 18 x + \frac{32}{x^{\frac{1}{3}}}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.1

Substitua a variável $x$ por $- 2$ na expressão.

$f' (- 2) = - 18 \cdot - 2 + \frac{32}{{(- 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 10.2.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.2.1

Multiplique $- 18$ por $- 2$ .

$f' (- 2) = 36 + \frac{32}{{(- 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 10.2.2.2

A resposta final é $36 + \frac{32}{{(- 2)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$36 + \frac{32}{{(- 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 10.3

Substitua qualquer número, como $2$ , do intervalo $(0, \infty)$ na primeira derivada $- 18 x + \frac{32}{x^{\frac{1}{3}}}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.3.1

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$f' (2) = - 18 \cdot 2 + \frac{32}{{(2)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 10.3.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.3.2.1

Multiplique $- 18$ por $2$ .

$f' (2) = - 36 + \frac{32}{2^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 10.3.2.2

A resposta final é $- 36 + \frac{32}{2^{\frac{1}{3}}}$ .

$- 36 + \frac{32}{2^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 10.4

Como a primeira derivada mudou os sinais de positivo para negativo em torno de $x = 0$ , então $x = 0$ é um máximo local.

$x = 0$ é um máximo local

Etapa 11