Cálculo Exemplos

$f (x) = 4 x^{3} - 21 x^{2} - 24 x$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x^{3} - 21 x^{2} - 24 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 21 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 21 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x^{3}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 21 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 21 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Etapa 1.2.3

Multiplique $3$ por $4$ .

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 21 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 21 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Como $- 21$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 21 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 21 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$12 x^{2} - 21 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$12 x^{2} - 21 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Etapa 1.3.3

Multiplique $2$ por $- 21$ .

$12 x^{2} - 42 x + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Etapa 1.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- 24 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Como $- 24$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 24 x$ em relação a $x$ é $- 24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 x^{2} - 42 x - 24 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$12 x^{2} - 42 x - 24 \cdot 1$

Etapa 1.4.3

Multiplique $- 24$ por $1$ .

$12 x^{2} - 42 x - 24$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $12 x^{2} - 42 x - 24$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 42 x] + \frac{d}{d x} [- 24]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 42 x) + \frac{d}{d x} (- 24)$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Como $12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $12 x^{2}$ em relação a $x$ é $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 12 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 42 x) + \frac{d}{d x} (- 24)$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = 12 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 42 x) + \frac{d}{d x} (- 24)$

Etapa 2.2.3

Multiplique $2$ por $12$ .

$f'' (x) = 24 x + \frac{d}{d x} (- 42 x) + \frac{d}{d x} (- 24)$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 42 x]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $- 42$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 42 x$ em relação a $x$ é $- 42 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 24 x - 42 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 24)$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 24 x - 42 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 24)$

Etapa 2.3.3

Multiplique $- 42$ por $1$ .

$f'' (x) = 24 x - 42 + \frac{d}{d x} (- 24)$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Como $- 24$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 24$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 24 x - 42 + 0$

Etapa 2.4.2

Some $24 x - 42$ e $0$ .

$f'' (x) = 24 x - 42$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$12 x^{2} - 42 x - 24 = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x^{3} - 21 x^{2} - 24 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 21 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 21 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Etapa 4.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Etapa 4.1.2.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x^{3}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 21 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Etapa 4.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 21 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Etapa 4.1.2.3

Multiplique $3$ por $4$ .

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 21 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Etapa 4.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 21 x^{2}]$ .

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Etapa 4.1.3.1

Como $- 21$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 21 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 21 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$12 x^{2} - 21 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Etapa 4.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$12 x^{2} - 21 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Etapa 4.1.3.3

Multiplique $2$ por $- 21$ .

$12 x^{2} - 42 x + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Etapa 4.1.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- 24 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.4.1

Como $- 24$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 24 x$ em relação a $x$ é $- 24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 x^{2} - 42 x - 24 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$12 x^{2} - 42 x - 24 \cdot 1$

Etapa 4.1.4.3

Multiplique $- 24$ por $1$ .

$f' (x) = 12 x^{2} - 42 x - 24$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $12 x^{2} - 42 x - 24$ .

$12 x^{2} - 42 x - 24$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $12 x^{2} - 42 x - 24 = 0$ .

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Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$12 x^{2} - 42 x - 24 = 0$

Etapa 5.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Fatore $6$ de $12 x^{2} - 42 x - 24$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Fatore $6$ de $12 x^{2}$ .

$6 (2 x^{2}) - 42 x - 24 = 0$

Etapa 5.2.1.2

Fatore $6$ de $- 42 x$ .

$6 (2 x^{2}) + 6 (- 7 x) - 24 = 0$

Etapa 5.2.1.3

Fatore $6$ de $- 24$ .

$6 (2 x^{2}) + 6 (- 7 x) + 6 (- 4) = 0$

Etapa 5.2.1.4

Fatore $6$ de $6 (2 x^{2}) + 6 (- 7 x)$ .

$6 (2 x^{2} - 7 x) + 6 (- 4) = 0$

Etapa 5.2.1.5

Fatore $6$ de $6 (2 x^{2} - 7 x) + 6 (- 4)$ .

$6 (2 x^{2} - 7 x - 4) = 0$

Etapa 5.2.2

Fatore.

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Etapa 5.2.2.1

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 2 \cdot - 4 = - 8$ e cuja soma é $b = - 7$ .

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Etapa 5.2.2.1.1.1

Fatore $- 7$ de $- 7 x$ .

$6 (2 x^{2} - 7 x - 4) = 0$

Etapa 5.2.2.1.1.2

Reescreva $- 7$ como $1$ mais $- 8$

$6 (2 x^{2} + (1 - 8) x - 4) = 0$

Etapa 5.2.2.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$6 (2 x^{2} + 1 x - 8 x - 4) = 0$

Etapa 5.2.2.1.1.4

Multiplique $x$ por $1$ .

$6 (2 x^{2} + x - 8 x - 4) = 0$

Etapa 5.2.2.1.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 5.2.2.1.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$6 ((2 x^{2} + x) - 8 x - 4) = 0$

Etapa 5.2.2.1.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$6 (x (2 x + 1) - 4 (2 x + 1)) = 0$

Etapa 5.2.2.1.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $2 x + 1$ .

$6 ((2 x + 1) (x - 4)) = 0$

Etapa 5.2.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$6 (2 x + 1) (x - 4) = 0$

Etapa 5.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$2 x + 1 = 0$

$x - 4 = 0$

Etapa 5.4

Defina $2 x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1

Defina $2 x + 1$ como igual a $0$ .

$2 x + 1 = 0$

Etapa 5.4.2

Resolva $2 x + 1 = 0$ para $x$ .

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Etapa 5.4.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$2 x = - 1$

Etapa 5.4.2.2

Divida cada termo em $2 x = - 1$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 5.4.2.2.1

Divida cada termo em $2 x = - 1$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Etapa 5.4.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Etapa 5.4.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Etapa 5.4.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.4.2.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{1}{2}$

Etapa 5.5

Defina $x - 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 5.5.1

Defina $x - 4$ como igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Etapa 5.5.2

Some $4$ aos dois lados da equação.

$x = 4$

Etapa 5.6

A solução final são todos os valores que tornam $6 (2 x + 1) (x - 4) = 0$ verdadeiro.

$x = - \frac{1}{2}, 4$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 6.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = - \frac{1}{2}, 4$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = - \frac{1}{2}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$24 (- \frac{1}{2}) - 42$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 9.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 9.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 9.1.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{2}$ para o numerador.

$24 (\frac{- 1}{2}) - 42$

Etapa 9.1.1.2

Fatore $2$ de $24$ .

$2 (12) \frac{- 1}{2} - 42$

Etapa 9.1.1.3

Cancele o fator comum.

$2 \cdot 12 \frac{- 1}{2} - 42$

Etapa 9.1.1.4

Reescreva a expressão.

$12 \cdot - 1 - 42$

Etapa 9.1.2

Multiplique $12$ por $- 1$ .

$- 12 - 42$

Etapa 9.2

Subtraia $42$ de $- 12$ .

$- 54$

Etapa 10

$x = - \frac{1}{2}$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = - \frac{1}{2}$ é um máximo local

Etapa 11

Encontre o valor y quando $x = - \frac{1}{2}$ .

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Etapa 11.1

Substitua a variável $x$ por $- \frac{1}{2}$ na expressão.

$f (- \frac{1}{2}) = 4 {(- \frac{1}{2})}^{3} - 21 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 24 (- \frac{1}{2})$

Etapa 11.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 11.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 11.2.1.1

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

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Etapa 11.2.1.1.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = 4 ({(- 1)}^{3} {(\frac{1}{2})}^{3}) - 21 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 24 (- \frac{1}{2})$

Etapa 11.2.1.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = 4 ({(- 1)}^{3} (\frac{1^{3}}{2^{3}})) - 21 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 24 (- \frac{1}{2})$

Etapa 11.2.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$f (- \frac{1}{2}) = 4 (- \frac{1^{3}}{2^{3}}) - 21 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 24 (- \frac{1}{2})$

Etapa 11.2.1.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$f (- \frac{1}{2}) = 4 (- \frac{1}{2^{3}}) - 21 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 24 (- \frac{1}{2})$

Etapa 11.2.1.4

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$f (- \frac{1}{2}) = 4 (- \frac{1}{8}) - 21 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 24 (- \frac{1}{2})$

Etapa 11.2.1.5

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 11.2.1.5.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{8}$ para o numerador.

$f (- \frac{1}{2}) = 4 (\frac{- 1}{8}) - 21 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 24 (- \frac{1}{2})$

Etapa 11.2.1.5.2

Fatore $4$ de $8$ .

$f (- \frac{1}{2}) = 4 (\frac{- 1}{4 (2)}) - 21 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 24 (- \frac{1}{2})$

Etapa 11.2.1.5.3

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{1}{2}) = 4 (\frac{- 1}{4 \cdot 2}) - 21 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 24 (- \frac{1}{2})$

Etapa 11.2.1.5.4

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{- 1}{2} - 21 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 24 (- \frac{1}{2})$

Etapa 11.2.1.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{2} - 21 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 24 (- \frac{1}{2})$

Etapa 11.2.1.7

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.7.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{2} - 21 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}) - 24 (- \frac{1}{2})$

Etapa 11.2.1.7.2

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{2} - 21 ({(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{2^{2}})) - 24 (- \frac{1}{2})$

Etapa 11.2.1.8

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{2} - 21 (1 (\frac{1^{2}}{2^{2}})) - 24 (- \frac{1}{2})$

Etapa 11.2.1.9

Multiplique $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ por $1$ .

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{2} - 21 \frac{1^{2}}{2^{2}} - 24 (- \frac{1}{2})$

Etapa 11.2.1.10

Um elevado a qualquer potência é um.

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{2} - 21 \frac{1}{2^{2}} - 24 (- \frac{1}{2})$

Etapa 11.2.1.11

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{2} - 21 (\frac{1}{4}) - 24 (- \frac{1}{2})$

Etapa 11.2.1.12

Combine $- 21$ e $\frac{1}{4}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{2} + \frac{- 21}{4} - 24 (- \frac{1}{2})$

Etapa 11.2.1.13

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{2} - \frac{21}{4} - 24 (- \frac{1}{2})$

Etapa 11.2.1.14

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.14.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{2}$ para o numerador.

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{2} - \frac{21}{4} - 24 (\frac{- 1}{2})$

Etapa 11.2.1.14.2

Fatore $2$ de $- 24$ .

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{2} - \frac{21}{4} + 2 (- 12) (\frac{- 1}{2})$

Etapa 11.2.1.14.3

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{2} - \frac{21}{4} + 2 \cdot (- 12 (\frac{- 1}{2}))$

Etapa 11.2.1.14.4

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{2} - \frac{21}{4} - 12 \cdot - 1$

Etapa 11.2.1.15

Multiplique $- 12$ por $- 1$ .

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{2} - \frac{21}{4} + 12$

Etapa 11.2.2

Encontre o denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.2.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = - (\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2}) - \frac{21}{4} + 12$

Etapa 11.2.2.2

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{2}{2 \cdot 2} - \frac{21}{4} + 12$

Etapa 11.2.2.3

Escreva $12$ como uma fração com denominador $1$ .

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{2}{2 \cdot 2} - \frac{21}{4} + \frac{12}{1}$

Etapa 11.2.2.4

Multiplique $\frac{12}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{2}{2 \cdot 2} - \frac{21}{4} + \frac{12}{1} \cdot \frac{4}{4}$

Etapa 11.2.2.5

Multiplique $\frac{12}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{2}{2 \cdot 2} - \frac{21}{4} + \frac{12 \cdot 4}{4}$

Etapa 11.2.2.6

Multiplique $2$ por $2$ .

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{2}{4} - \frac{21}{4} + \frac{12 \cdot 4}{4}$

Etapa 11.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{- 2 - 21 + 12 \cdot 4}{4}$

Etapa 11.2.4

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.4.1

Multiplique $12$ por $4$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{- 2 - 21 + 48}{4}$

Etapa 11.2.4.2

Subtraia $21$ de $- 2$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{- 23 + 48}{4}$

Etapa 11.2.4.3

Some $- 23$ e $48$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{25}{4}$

Etapa 11.2.5

A resposta final é $\frac{25}{4}$ .

$y = \frac{25}{4}$

Etapa 12

Avalie a segunda derivada em $x = 4$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$24 (4) - 42$

Etapa 13

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 13.1

Multiplique $24$ por $4$ .

$96 - 42$

Etapa 13.2

Subtraia $42$ de $96$ .

$54$

Etapa 14

$x = 4$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 4$ é um mínimo local

Etapa 15

Encontre o valor y quando $x = 4$ .

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Etapa 15.1

Substitua a variável $x$ por $4$ na expressão.

$f (4) = 4 {(4)}^{3} - 21 {(4)}^{2} - 24 \cdot 4$

Etapa 15.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 15.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.1

Multiplique $4$ por ${(4)}^{3}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.1.1

Multiplique $4$ por ${(4)}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.1.1.1

Eleve $4$ à potência de $1$ .

$f (4) = 4 {(4)}^{3} - 21 {(4)}^{2} - 24 \cdot 4$

Etapa 15.2.1.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f (4) = 4^{1 + 3} - 21 {(4)}^{2} - 24 \cdot 4$

Etapa 15.2.1.1.2

Some $1$ e $3$ .

$f (4) = 4^{4} - 21 {(4)}^{2} - 24 \cdot 4$

Etapa 15.2.1.2

Eleve $4$ à potência de $4$ .

$f (4) = 256 - 21 {(4)}^{2} - 24 \cdot 4$

Etapa 15.2.1.3

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$f (4) = 256 - 21 \cdot 16 - 24 \cdot 4$

Etapa 15.2.1.4

Multiplique $- 21$ por $16$ .

$f (4) = 256 - 336 - 24 \cdot 4$

Etapa 15.2.1.5

Multiplique $- 24$ por $4$ .

$f (4) = 256 - 336 - 96$

Etapa 15.2.2

Simplifique subtraindo os números.

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Etapa 15.2.2.1

Subtraia $336$ de $256$ .

$f (4) = - 80 - 96$

Etapa 15.2.2.2

Subtraia $96$ de $- 80$ .

$f (4) = - 176$

Etapa 15.2.3

A resposta final é $- 176$ .

$y = - 176$

Etapa 16

Esses são os extremos locais para $f (x) = 4 x^{3} - 21 x^{2} - 24 x$ .

$(- \frac{1}{2}, \frac{25}{4})$ é um máximo local

$(4, - 176)$ é um mínimo local

Etapa 17