Cálculo Exemplos

$f (x) = 32 x^{0.25}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Como $32$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $32 x^{0.25}$ em relação a $x$ é $32 \frac{d}{d x} [x^{0.25}]$ .

$32 \frac{d}{d x} [x^{0.25}]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 0.25$ .

$32 (0.25 x^{- 0.75})$

Etapa 1.3

Multiplique $0.25$ por $32$ .

$8 x^{- 0.75}$

Etapa 1.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$8 \frac{1}{x^{0.75}}$

Etapa 1.4.2

Combine $8$ e $\frac{1}{x^{0.75}}$ .

$\frac{8}{x^{0.75}}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{8}{x^{0.75}}$ em relação a $x$ é $8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{0.75}}]$ .

$f'' (x) = 8 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{0.75}})$

Etapa 2.2

Aplique regras básicas de expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Reescreva $\frac{1}{x^{0.75}}$ como ${(x^{0.75})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = 8 \frac{d}{d x} ({(x^{0.75})}^{- 1})$

Etapa 2.2.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{0.75})}^{- 1}$ .

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Etapa 2.2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 8 \frac{d}{d x} (x^{0.75 \cdot - 1})$

Etapa 2.2.2.2

Multiplique $0.75$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 8 \frac{d}{d x} (x^{- 0.75})$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 0.75$ .

$f'' (x) = 8 (- 0.75 x^{- 1.75})$

Etapa 2.4

Multiplique $- 0.75$ por $8$ .

$f'' (x) = - 6 x^{- 1.75}$

Etapa 2.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - 6 \frac{1}{x^{1.75}}$

Etapa 2.5.2

Combine os termos.

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Etapa 2.5.2.1

Combine $- 6$ e $\frac{1}{x^{1.75}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 6}{x^{1.75}}$

Etapa 2.5.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = - \frac{6}{x^{1.75}}$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$\frac{8}{x^{0.75}} = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Como $32$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $32 x^{0.25}$ em relação a $x$ é $32 \frac{d}{d x} [x^{0.25}]$ .

$32 \frac{d}{d x} [x^{0.25}]$

Etapa 4.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 0.25$ .

$32 (0.25 x^{- 0.75})$

Etapa 4.1.3

Multiplique $0.25$ por $32$ .

$8 x^{- 0.75}$

Etapa 4.1.4

Simplifique.

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Etapa 4.1.4.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$8 \frac{1}{x^{0.75}}$

Etapa 4.1.4.2

Combine $8$ e $\frac{1}{x^{0.75}}$ .

$f' (x) = \frac{8}{x^{0.75}}$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{8}{x^{0.75}}$ .

$\frac{8}{x^{0.75}}$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{8}{x^{0.75}} = 0$ .

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Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\frac{8}{x^{0.75}} = 0$

Etapa 5.2

Defina o numerador como igual a zero.

$8 = 0$

Etapa 5.3

Como $8 \neq 0$ , não há soluções.

Nenhuma solução

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 6.1

Converta expressões com expoentes fracionários em radicais.

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Etapa 6.1.1

Altere $0.75$ em uma fração.

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Etapa 6.1.1.1

Multiplique por $\frac{100}{100}$ para remover o decimal.

$\frac{8}{x^{\frac{100 \cdot 0.75}{100}}}$

Etapa 6.1.1.2

Multiplique $100$ por $0.75$ .

$\frac{8}{x^{\frac{75}{100}}}$

Etapa 6.1.1.3

Cancele o fator comum de $75$ e $100$ .

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Etapa 6.1.1.3.1

Fatore $25$ de $75$ .

$\frac{8}{x^{\frac{25 (3)}{100}}}$

Etapa 6.1.1.3.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 6.1.1.3.2.1

Fatore $25$ de $100$ .

$\frac{8}{x^{\frac{25 \cdot 3}{25 \cdot 4}}}$

Etapa 6.1.1.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{8}{x^{\frac{25 \cdot 3}{25 \cdot 4}}}$

Etapa 6.1.1.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{8}{x^{\frac{3}{4}}}$

Etapa 6.1.2

Aplique a regra $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescrever a exponenciação como um radical.

$\frac{8}{\sqrt[4]{x^{3}}}$

Etapa 6.2

Defina o denominador em $\frac{8}{\sqrt[4]{x^{3}}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$\sqrt[4]{x^{3}} = 0$

Etapa 6.3

Resolva $x$ .

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Etapa 6.3.1

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve os dois lados da equação à $4$ ª potência.

${\sqrt[4]{x^{3}}}^{4} = 0^{4}$

Etapa 6.3.2

Simplifique cada lado da equação.

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Etapa 6.3.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[4]{x^{3}}$ como $x^{\frac{3}{4}}$ .

${(x^{\frac{3}{4}})}^{4} = 0^{4}$

Etapa 6.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.3.2.2.1

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{3}{4}})}^{4}$ .

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Etapa 6.3.2.2.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{3}{4} \cdot 4} = 0^{4}$

Etapa 6.3.2.2.1.2

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 6.3.2.2.1.2.1

Cancele o fator comum.

$x^{\frac{3}{4} \cdot 4} = 0^{4}$

Etapa 6.3.2.2.1.2.2

Reescreva a expressão.

$x^{3} = 0^{4}$

Etapa 6.3.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.3.2.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$x^{3} = 0$

Etapa 6.3.3

Resolva $x$ .

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Etapa 6.3.3.1

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \sqrt[3]{0}$

Etapa 6.3.3.2

Simplifique $\sqrt[3]{0}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.2.1

Reescreva $0$ como $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Etapa 6.3.3.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais.

$x = 0$

Etapa 6.4

Defina o radicando em $\sqrt[4]{x^{3}}$ como menor do que $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x^{3} < 0$

Etapa 6.5

Resolva $x$ .

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Etapa 6.5.1

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da desigualdade para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$\sqrt[3]{x^{3}} < \sqrt[3]{0}$

Etapa 6.5.2

Simplifique a equação.

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Etapa 6.5.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.5.2.1.1

Elimine os termos abaixo do radical.

$x < \sqrt[3]{0}$

Etapa 6.5.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.5.2.2.1

Simplifique $\sqrt[3]{0}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.2.2.1.1

Reescreva $0$ como $0^{3}$ .

$x < \sqrt[3]{0^{3}}$

Etapa 6.5.2.2.1.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$x < 0$

Etapa 6.6

A equação é indefinida quando o denominador é igual a $0$ , o argumento de uma raiz quadrada é menor do que $0$ ou o argumento de um logaritmo é menor do que ou igual a $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = 0$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = 0$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- \frac{6}{{(0)}^{1.75}}$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$- \frac{6}{0}$

Etapa 9.2

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

Etapa 10

Como o teste da primeira derivada falhou, não há um extremo local.

Nenhum extremo local

Etapa 11