Cálculo Exemplos

$f (x) = 3 \csc (4 x)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

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Etapa 1.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 \csc (4 x)$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [\csc (4 x)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\csc (4 x)]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \csc (x)$ e $g (x) = 4 x$ .

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Etapa 1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $4 x$ .

$3 (\frac{d}{d u} [\csc (u)] \frac{d}{d x} [4 x])$

Etapa 1.2.2

A derivada de $\csc (u)$ em relação a $u$ é $- \csc (u) \cot (u)$ .

$3 (- \csc (u) \cot (u) \frac{d}{d x} [4 x])$

Etapa 1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $4 x$ .

$3 (- \csc (4 x) \cot (4 x) \frac{d}{d x} [4 x])$

Etapa 1.3

Diferencie.

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Etapa 1.3.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$- 3 (\csc (4 x) \cot (4 x) \frac{d}{d x} [4 x])$

Etapa 1.3.2

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 \csc (4 x) \cot (4 x) (4 \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.3.3

Multiplique $4$ por $- 3$ .

$- 12 \csc (4 x) \cot (4 x) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 12 \csc (4 x) \cot (4 x) \cdot 1$

Etapa 1.3.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.3.5.1

Multiplique $- 12$ por $1$ .

$- 12 \csc (4 x) \cot (4 x)$

Etapa 1.3.5.2

Reordene os fatores de $- 12 \csc (4 x) \cot (4 x)$ .

$- 12 \cot (4 x) \csc (4 x)$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 2.1

Como $- 12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 12 \cot (4 x) \csc (4 x)$ em relação a $x$ é $- 12 \frac{d}{d x} [\cot (4 x) \csc (4 x)]$ .

$f'' (x) = - 12 \frac{d}{d x} (\cot (4 x) \csc (4 x))$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = \cot (4 x)$ e $g (x) = \csc (4 x)$ .

$f'' (x) = - 12 (\cot (4 x) \frac{d}{d x} (\csc (4 x)) + \csc (4 x) \frac{d}{d x} (\cot (4 x)))$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \csc (x)$ e $g (x) = 4 x$ .

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Etapa 2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $4 x$ .

$f'' (x) = - 12 (\cot (4 x) (\frac{d}{d u (1)} (\csc (u_{1})) \frac{d}{d x} (4 x)) + \csc (4 x) \frac{d}{d x} (\cot (4 x)))$

Etapa 2.3.2

A derivada de $\csc (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $- \csc (u_{1}) \cot (u_{1})$ .

$f'' (x) = - 12 (\cot (4 x) (- \csc (u_{1}) \cot (u_{1}) \frac{d}{d x} (4 x)) + \csc (4 x) \frac{d}{d x} (\cot (4 x)))$

Etapa 2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $4 x$ .

$f'' (x) = - 12 (\cot (4 x) (- \csc (4 x) \cot (4 x) \frac{d}{d x} (4 x)) + \csc (4 x) \frac{d}{d x} (\cot (4 x)))$

Etapa 2.4

Eleve $\cot (4 x)$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = - 12 (- \csc (4 x) (\cot (4 x) \cot (4 x)) \frac{d}{d x} (4 x) + \csc (4 x) \frac{d}{d x} (\cot (4 x)))$

Etapa 2.5

Eleve $\cot (4 x)$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = - 12 (- \csc (4 x) (\cot (4 x) \cot (4 x)) \frac{d}{d x} (4 x) + \csc (4 x) \frac{d}{d x} (\cot (4 x)))$

Etapa 2.6

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = - 12 (- \csc (4 x) {\cot (4 x)}^{1 + 1} \frac{d}{d x} (4 x) + \csc (4 x) \frac{d}{d x} (\cot (4 x)))$

Etapa 2.7

Diferencie.

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Etapa 2.7.1

Some $1$ e $1$ .

$f'' (x) = - 12 (- \csc (4 x) \cot^{2} (4 x) \frac{d}{d x} (4 x) + \csc (4 x) \frac{d}{d x} (\cot (4 x)))$

Etapa 2.7.2

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 12 (- \csc (4 x) \cot^{2} (4 x) (4 \frac{d}{d x} (x)) + \csc (4 x) \frac{d}{d x} (\cot (4 x)))$

Etapa 2.7.3

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - 12 (- 4 \csc (4 x) \cot^{2} (4 x) \frac{d}{d x} x + \csc (4 x) \frac{d}{d x} (\cot (4 x)))$

Etapa 2.7.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = - 12 (- 4 \csc (4 x) \cot^{2} (4 x) \cdot 1 + \csc (4 x) \frac{d}{d x} (\cot (4 x)))$

Etapa 2.7.5

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$f'' (x) = - 12 (- 4 \csc (4 x) \cot^{2} (4 x) + \csc (4 x) \frac{d}{d x} (\cot (4 x)))$

Etapa 2.8

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cot (x)$ e $g (x) = 4 x$ .

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Etapa 2.8.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $4 x$ .

$f'' (x) = - 12 (- 4 \csc (4 x) \cot^{2} (4 x) + \csc (4 x) (\frac{d}{d u (2)} (\cot (u_{2})) \frac{d}{d x} (4 x)))$

Etapa 2.8.2

A derivada de $\cot (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $- \csc^{2} (u_{2})$ .

$f'' (x) = - 12 (- 4 \csc (4 x) \cot^{2} (4 x) + \csc (4 x) (- \csc^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} (4 x)))$

Etapa 2.8.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $4 x$ .

$f'' (x) = - 12 (- 4 \csc (4 x) \cot^{2} (4 x) + \csc (4 x) (- \csc^{2} (4 x) \frac{d}{d x} (4 x)))$

Etapa 2.9

Eleve $\csc (4 x)$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = - 12 (- 4 \csc (4 x) \cot^{2} (4 x) - \csc (4 x) \csc^{2} (4 x) \frac{d}{d x} (4 x))$

Etapa 2.10

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = - 12 (- 4 \csc (4 x) \cot^{2} (4 x) - {\csc (4 x)}^{1 + 2} \frac{d}{d x} (4 x))$

Etapa 2.11

Some $1$ e $2$ .

$f'' (x) = - 12 (- 4 \csc (4 x) \cot^{2} (4 x) - \csc^{3} (4 x) \frac{d}{d x} (4 x))$

Etapa 2.12

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 12 (- 4 \csc (4 x) \cot^{2} (4 x) - \csc^{3} (4 x) (4 \frac{d}{d x} (x)))$

Etapa 2.13

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - 12 (- 4 \csc (4 x) \cot^{2} (4 x) - 4 \csc^{3} (4 x) \frac{d}{d x} x)$

Etapa 2.14

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = - 12 (- 4 \csc (4 x) \cot^{2} (4 x) - 4 \csc^{3} (4 x) \cdot 1)$

Etapa 2.15

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$f'' (x) = - 12 (- 4 \csc (4 x) \cot^{2} (4 x) - 4 \csc^{3} (4 x))$

Etapa 2.16

Simplifique.

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Etapa 2.16.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - 12 (- 4 \csc (4 x) \cot^{2} (4 x)) - 12 (- 4 \csc^{3} (4 x))$

Etapa 2.16.2

Combine os termos.

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Etapa 2.16.2.1

Multiplique $- 4$ por $- 12$ .

$f'' (x) = 48 (\csc (4 x) \cot^{2} (4 x)) - 12 (- 4 \csc^{3} (4 x))$

Etapa 2.16.2.2

Multiplique $- 4$ por $- 12$ .

$f'' (x) = 48 \csc (4 x) \cot^{2} (4 x) + 48 \csc^{3} (4 x)$

Etapa 2.16.3

Reordene os termos.

$f'' (x) = 48 \cot^{2} (4 x) \csc (4 x) + 48 \csc^{3} (4 x)$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$- 12 \cot (4 x) \csc (4 x) = 0$

Etapa 4

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$\cot (4 x) = 0$

$\csc (4 x) = 0$

Etapa 5

Defina $\cot (4 x)$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 5.1

Defina $\cot (4 x)$ como igual a $0$ .

$\cot (4 x) = 0$

Etapa 5.2

Resolva $\cot (4 x) = 0$ para $x$ .

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Etapa 5.2.1

Obtenha a cotangente inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da cotangente.

$4 x = arccot (0)$

Etapa 5.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.2.2.1

O valor exato de $arccot (0)$ é $\frac{π}{2}$ .

$4 x = \frac{π}{2}$

Etapa 5.2.3

Divida cada termo em $4 x = \frac{π}{2}$ por $4$ e simplifique.

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Etapa 5.2.3.1

Divida cada termo em $4 x = \frac{π}{2}$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{π}{2}}{4}$

Etapa 5.2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.3.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 5.2.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{π}{2}}{4}$

Etapa 5.2.3.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{2}}{4}$

Etapa 5.2.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.2.3.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{4}$

Etapa 5.2.3.3.2

Multiplique $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{4}$ .

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Etapa 5.2.3.3.2.1

Multiplique $\frac{π}{2}$ por $\frac{1}{4}$ .

$x = \frac{π}{2 \cdot 4}$

Etapa 5.2.3.3.2.2

Multiplique $2$ por $4$ .

$x = \frac{π}{8}$

Etapa 5.2.4

A função da cotangente é positiva no primeiro e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, some o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$4 x = π + \frac{π}{2}$

Etapa 5.2.5

Resolva $x$ .

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Etapa 5.2.5.1

Simplifique.

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Etapa 5.2.5.1.1

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$4 x = π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2}$

Etapa 5.2.5.1.2

Combine $π$ e $\frac{2}{2}$ .

$4 x = \frac{π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2}$

Etapa 5.2.5.1.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$4 x = \frac{π \cdot 2 + π}{2}$

Etapa 5.2.5.1.4

Some $π \cdot 2$ e $π$ .

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Etapa 5.2.5.1.4.1

Reordene $π$ e $2$ .

$4 x = \frac{2 \cdot π + π}{2}$

Etapa 5.2.5.1.4.2

Some $2 \cdot π$ e $π$ .

$4 x = \frac{3 \cdot π}{2}$

Etapa 5.2.5.2

Divida cada termo em $4 x = \frac{3 \cdot π}{2}$ por $4$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.5.2.1

Divida cada termo em $4 x = \frac{3 \cdot π}{2}$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{3 \cdot π}{2}}{4}$

Etapa 5.2.5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.5.2.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.5.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{3 \cdot π}{2}}{4}$

Etapa 5.2.5.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{3 \cdot π}{2}}{4}$

Etapa 5.2.5.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.2.5.2.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$x = \frac{3 \cdot π}{2} \cdot \frac{1}{4}$

Etapa 5.2.5.2.3.2

Multiplique $\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{4}$ .

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Etapa 5.2.5.2.3.2.1

Multiplique $\frac{3 π}{2}$ por $\frac{1}{4}$ .

$x = \frac{3 π}{2 \cdot 4}$

Etapa 5.2.5.2.3.2.2

Multiplique $2$ por $4$ .

$x = \frac{3 π}{8}$

Etapa 5.2.6

A solução para a equação $4 x = \frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{8}, \frac{3 π}{8}$

Etapa 6

Defina $\csc (4 x)$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 6.1

Defina $\csc (4 x)$ como igual a $0$ .

$\csc (4 x) = 0$

Etapa 6.2

O intervalo da cossecante é $y \leq - 1$ e $y \geq 1$ . Como $0$ não se enquadra nesse intervalo, não há solução.

Nenhuma solução

Etapa 7

A solução final são todos os valores que tornam $- 12 \cot (4 x) \csc (4 x) = 0$ verdadeiro.

$x = \frac{π}{8}, \frac{3 π}{8}$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = \frac{π}{8}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$48 \cot^{2} (4 (\frac{π}{8})) \csc (4 (\frac{π}{8})) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{π}{8}))$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1.1

Fatore $4$ de $8$ .

$48 \cot^{2} (4 \frac{π}{4 (2)}) \csc (4 (\frac{π}{8})) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{π}{8}))$

Etapa 9.1.1.2

Cancele o fator comum.

$48 \cot^{2} (4 \frac{π}{4 \cdot 2}) \csc (4 (\frac{π}{8})) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{π}{8}))$

Etapa 9.1.1.3

Reescreva a expressão.

$48 \cot^{2} (\frac{π}{2}) \csc (4 (\frac{π}{8})) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{π}{8}))$

Etapa 9.1.2

O valor exato de $\cot (\frac{π}{2})$ é $0$ .

$48 \cdot 0^{2} \csc (4 (\frac{π}{8})) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{π}{8}))$

Etapa 9.1.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$48 \cdot 0 \csc (4 (\frac{π}{8})) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{π}{8}))$

Etapa 9.1.4

Multiplique $48$ por $0$ .

$0 \csc (4 (\frac{π}{8})) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{π}{8}))$

Etapa 9.1.5

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.5.1

Fatore $4$ de $8$ .

$0 \csc (4 \frac{π}{4 (2)}) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{π}{8}))$

Etapa 9.1.5.2

Cancele o fator comum.

$0 \csc (4 \frac{π}{4 \cdot 2}) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{π}{8}))$

Etapa 9.1.5.3

Reescreva a expressão.

$0 \csc (\frac{π}{2}) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{π}{8}))$

Etapa 9.1.6

O valor exato de $\csc (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$0 \cdot 1 + 48 \csc^{3} (4 (\frac{π}{8}))$

Etapa 9.1.7

Multiplique $0$ por $1$ .

$0 + 48 \csc^{3} (4 (\frac{π}{8}))$

Etapa 9.1.8

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.8.1

Fatore $4$ de $8$ .

$0 + 48 \csc^{3} (4 \frac{π}{4 (2)})$

Etapa 9.1.8.2

Cancele o fator comum.

$0 + 48 \csc^{3} (4 \frac{π}{4 \cdot 2})$

Etapa 9.1.8.3

Reescreva a expressão.

$0 + 48 \csc^{3} (\frac{π}{2})$

Etapa 9.1.9

O valor exato de $\csc (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$0 + 48 \cdot 1^{3}$

Etapa 9.1.10

Um elevado a qualquer potência é um.

$0 + 48 \cdot 1$

Etapa 9.1.11

Multiplique $48$ por $1$ .

$0 + 48$

Etapa 9.2

Some $0$ e $48$ .

$48$

Etapa 10

$x = \frac{π}{8}$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = \frac{π}{8}$ é um mínimo local

Etapa 11

Encontre o valor y quando $x = \frac{π}{8}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{π}{8}$ na expressão.

$f (\frac{π}{8}) = 3 \csc (4 (\frac{π}{8}))$

Etapa 11.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.1

Fatore $4$ de $8$ .

$f (\frac{π}{8}) = 3 \csc (4 (\frac{π}{4 (2)}))$

Etapa 11.2.1.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{π}{8}) = 3 \csc (4 (\frac{π}{4 \cdot 2}))$

Etapa 11.2.1.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{π}{8}) = 3 \csc (\frac{π}{2})$

Etapa 11.2.2

O valor exato de $\csc (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$f (\frac{π}{8}) = 3 \cdot 1$

Etapa 11.2.3

Multiplique $3$ por $1$ .

$f (\frac{π}{8}) = 3$

Etapa 11.2.4

A resposta final é $3$ .

$y = 3$

Etapa 12

Avalie a segunda derivada em $x = \frac{3 π}{8}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$48 \cot^{2} (4 (\frac{3 π}{8})) \csc (4 (\frac{3 π}{8})) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{3 π}{8}))$

Etapa 13

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.1.1

Fatore $4$ de $8$ .

$48 \cot^{2} (4 \frac{3 π}{4 (2)}) \csc (4 (\frac{3 π}{8})) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{3 π}{8}))$

Etapa 13.1.1.2

Cancele o fator comum.

$48 \cot^{2} (4 \frac{3 π}{4 \cdot 2}) \csc (4 (\frac{3 π}{8})) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{3 π}{8}))$

Etapa 13.1.1.3

Reescreva a expressão.

$48 \cot^{2} (\frac{3 π}{2}) \csc (4 (\frac{3 π}{8})) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{3 π}{8}))$

Etapa 13.1.2

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois a cotangente é negativa no quarto quadrante.

$48 {(- \cot (\frac{π}{2}))}^{2} \csc (4 (\frac{3 π}{8})) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{3 π}{8}))$

Etapa 13.1.3

O valor exato de $\cot (\frac{π}{2})$ é $0$ .

$48 {(- 0)}^{2} \csc (4 (\frac{3 π}{8})) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{3 π}{8}))$

Etapa 13.1.4

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$48 \cdot 0^{2} \csc (4 (\frac{3 π}{8})) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{3 π}{8}))$

Etapa 13.1.5

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$48 \cdot 0 \csc (4 (\frac{3 π}{8})) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{3 π}{8}))$

Etapa 13.1.6

Multiplique $48$ por $0$ .

$0 \csc (4 (\frac{3 π}{8})) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{3 π}{8}))$

Etapa 13.1.7

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.7.1

Fatore $4$ de $8$ .

$0 \csc (4 \frac{3 π}{4 (2)}) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{3 π}{8}))$

Etapa 13.1.7.2

Cancele o fator comum.

$0 \csc (4 \frac{3 π}{4 \cdot 2}) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{3 π}{8}))$

Etapa 13.1.7.3

Reescreva a expressão.

$0 \csc (\frac{3 π}{2}) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{3 π}{8}))$

Etapa 13.1.8

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois a cossecante é negativa no quarto quadrante.

$0 (- \csc (\frac{π}{2})) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{3 π}{8}))$

Etapa 13.1.9

O valor exato de $\csc (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$0 (- 1 \cdot 1) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{3 π}{8}))$

Etapa 13.1.10

Multiplique $0 (- 1 \cdot 1)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.10.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$0 \cdot - 1 + 48 \csc^{3} (4 (\frac{3 π}{8}))$

Etapa 13.1.10.2

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$0 + 48 \csc^{3} (4 (\frac{3 π}{8}))$

Etapa 13.1.11

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.11.1

Fatore $4$ de $8$ .

$0 + 48 \csc^{3} (4 \frac{3 π}{4 (2)})$

Etapa 13.1.11.2

Cancele o fator comum.

$0 + 48 \csc^{3} (4 \frac{3 π}{4 \cdot 2})$

Etapa 13.1.11.3

Reescreva a expressão.

$0 + 48 \csc^{3} (\frac{3 π}{2})$

Etapa 13.1.12

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois a cossecante é negativa no quarto quadrante.

$0 + 48 {(- \csc (\frac{π}{2}))}^{3}$

Etapa 13.1.13

O valor exato de $\csc (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$0 + 48 {(- 1 \cdot 1)}^{3}$

Etapa 13.1.14

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$0 + 48 {(- 1)}^{3}$

Etapa 13.1.15

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$0 + 48 \cdot - 1$

Etapa 13.1.16

Multiplique $48$ por $- 1$ .

$0 - 48$

Etapa 13.2

Subtraia $48$ de $0$ .

$- 48$

Etapa 14

$x = \frac{3 π}{8}$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = \frac{3 π}{8}$ é um máximo local

Etapa 15

Encontre o valor y quando $x = \frac{3 π}{8}$ .

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Etapa 15.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{3 π}{8}$ na expressão.

$f (\frac{3 π}{8}) = 3 \csc (4 (\frac{3 π}{8}))$

Etapa 15.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 15.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 15.2.1.1

Fatore $4$ de $8$ .

$f (\frac{3 π}{8}) = 3 \csc (4 (\frac{3 π}{4 (2)}))$

Etapa 15.2.1.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{3 π}{8}) = 3 \csc (4 (\frac{3 π}{4 \cdot 2}))$

Etapa 15.2.1.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{3 π}{8}) = 3 \csc (\frac{3 π}{2})$

Etapa 15.2.2

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois a cossecante é negativa no quarto quadrante.

$f (\frac{3 π}{8}) = 3 (- \csc (\frac{π}{2}))$

Etapa 15.2.3

O valor exato de $\csc (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$f (\frac{3 π}{8}) = 3 (- 1 \cdot 1)$

Etapa 15.2.4

Multiplique $3 (- 1 \cdot 1)$ .

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Etapa 15.2.4.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f (\frac{3 π}{8}) = 3 \cdot - 1$

Etapa 15.2.4.2

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$f (\frac{3 π}{8}) = - 3$

Etapa 15.2.5

A resposta final é $- 3$ .

$y = - 3$

Etapa 16

Esses são os extremos locais para $f (x) = 3 \csc (4 x)$ .

$(\frac{π}{8}, 3)$ é um mínimo local

$(\frac{3 π}{8}, - 3)$ é um máximo local

Etapa 17