Cálculo Exemplos

$f (x) = 3 \cos (x) - \cos^{3} (x)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

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Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 \cos (x) - \cos^{3} (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{3} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [3 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{3} (x)]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$ .

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Etapa 1.2.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 \cos (x)$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{3} (x)]$

Etapa 1.2.2

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$3 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [- \cos^{3} (x)]$

Etapa 1.2.3

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$- 3 \sin (x) + \frac{d}{d x} [- \cos^{3} (x)]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- \cos^{3} (x)]$ .

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Etapa 1.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \cos^{3} (x)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [\cos^{3} (x)]$ .

$- 3 \sin (x) - \frac{d}{d x} [\cos^{3} (x)]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = \cos (x)$ .

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Etapa 1.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\cos (x)$ .

$- 3 \sin (x) - (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Etapa 1.3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$- 3 \sin (x) - (3 u^{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Etapa 1.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\cos (x)$ .

$- 3 \sin (x) - (3 \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Etapa 1.3.3

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$- 3 \sin (x) - (3 \cos^{2} (x) (- \sin (x)))$

Etapa 1.3.4

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$- 3 \sin (x) - (- 3 \cos^{2} (x) \sin (x))$

Etapa 1.3.5

Multiplique $- 3$ por $- 1$ .

$- 3 \sin (x) + 3 \cos^{2} (x) \sin (x)$

Etapa 1.4

Simplifique.

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Etapa 1.4.1

Reordene os termos.

$3 \cos^{2} (x) \sin (x) - 3 \sin (x)$

Etapa 1.4.2

Fatore $3 \sin (x)$ de $3 \cos^{2} (x) \sin (x) - 3 \sin (x)$ .

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Etapa 1.4.2.1

Fatore $3 \sin (x)$ de $3 \cos^{2} (x) \sin (x)$ .

$3 \sin (x) (\cos^{2} (x)) - 3 \sin (x)$

Etapa 1.4.2.2

Fatore $3 \sin (x)$ de $- 3 \sin (x)$ .

$3 \sin (x) (\cos^{2} (x)) + 3 \sin (x) (- 1)$

Etapa 1.4.2.3

Fatore $3 \sin (x)$ de $3 \sin (x) (\cos^{2} (x)) + 3 \sin (x) (- 1)$ .

$3 \sin (x) (\cos^{2} (x) - 1)$

Etapa 1.4.3

Reordene $\cos^{2} (x)$ e $- 1$ .

$3 \sin (x) (- 1 + \cos^{2} (x))$

Etapa 1.4.4

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$3 \sin (x) (- 1 (1) + \cos^{2} (x))$

Etapa 1.4.5

Fatore $- 1$ de $\cos^{2} (x)$ .

$3 \sin (x) (- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x)))$

Etapa 1.4.6

Fatore $- 1$ de $- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x))$ .

$3 \sin (x) (- 1 (1 - \cos^{2} (x)))$

Etapa 1.4.7

Reescreva $- 1 (1 - \cos^{2} (x))$ como $- (1 - \cos^{2} (x))$ .

$3 \sin (x) (- (1 - \cos^{2} (x)))$

Etapa 1.4.8

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$3 \sin (x) (- \sin^{2} (x))$

Etapa 1.4.9

Multiplique $\sin (x)$ por $\sin^{2} (x)$ somando os expoentes.

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Etapa 1.4.9.1

Mova $\sin^{2} (x)$ .

$3 (\sin^{2} (x) \sin (x)) \cdot - 1$

Etapa 1.4.9.2

Multiplique $\sin^{2} (x)$ por $\sin (x)$ .

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Etapa 1.4.9.2.1

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$3 (\sin^{2} (x) \sin^{1} (x)) \cdot - 1$

Etapa 1.4.9.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$3 {\sin (x)}^{2 + 1} \cdot - 1$

Etapa 1.4.9.3

Some $2$ e $1$ .

$3 \sin^{3} (x) \cdot - 1$

Etapa 1.4.10

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$- 3 \sin^{3} (x)$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 2.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 \sin^{3} (x)$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)]$ .

$f'' (x) = - 3 \frac{d}{d x} \sin^{3} (x)$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = \sin (x)$ .

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Etapa 2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\sin (x)$ .

$f'' (x) = - 3 (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (\sin (x)))$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f'' (x) = - 3 (3 u^{2} \frac{d}{d x} (\sin (x)))$

Etapa 2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\sin (x)$ .

$f'' (x) = - 3 (3 \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} (\sin (x)))$

Etapa 2.3

Multiplique $3$ por $- 3$ .

$f'' (x) = - 9 (\sin^{2} (x) \frac{d}{d x} (\sin (x)))$

Etapa 2.4

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 9 \sin^{2} (x) \cos (x)$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$- 3 \sin^{3} (x) = 0$

Etapa 4

Divida cada termo em $- 3 \sin^{3} (x) = 0$ por $- 3$ e simplifique.

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Etapa 4.1

Divida cada termo em $- 3 \sin^{3} (x) = 0$ por $- 3$ .

$\frac{- 3 \sin^{3} (x)}{- 3} = \frac{0}{- 3}$

Etapa 4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.2.1

Cancele o fator comum de $- 3$ .

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Etapa 4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 3 \sin^{3} (x)}{- 3} = \frac{0}{- 3}$

Etapa 4.2.1.2

Divida $\sin^{3} (x)$ por $1$ .

$\sin^{3} (x) = \frac{0}{- 3}$

Etapa 4.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.3.1

Divida $0$ por $- 3$ .

$\sin^{3} (x) = 0$

Etapa 5

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$\sin (x) = \sqrt[3]{0}$

Etapa 6

Simplifique $\sqrt[3]{0}$ .

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Etapa 6.1

Reescreva $0$ como $0^{3}$ .

$\sin (x) = \sqrt[3]{0^{3}}$

Etapa 6.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais.

$\sin (x) = 0$

Etapa 7

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$x = \arcsin (0)$

Etapa 8

Simplifique o lado direito.

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Etapa 8.1

O valor exato de $\arcsin (0)$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 9

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$x = π - 0$

Etapa 10

Subtraia $0$ de $π$ .

$x = π$

Etapa 11

A solução para a equação $x = 0$ .

$x = 0, π$

Etapa 12

Avalie a segunda derivada em $x = 0$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- 9 \sin^{2} (0) \cos (0)$

Etapa 13

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 13.1

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$- 9 \cdot 0^{2} \cos (0)$

Etapa 13.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$- 9 \cdot 0 \cos (0)$

Etapa 13.3

Multiplique $- 9$ por $0$ .

$0 \cos (0)$

Etapa 13.4

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$0 \cdot 1$

Etapa 13.5

Multiplique $0$ por $1$ .

$0$

Etapa 14

Como há pelo menos um ponto com $0$ ou segunda derivada indefinida, aplique o teste da primeira derivada.

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Etapa 14.1

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a primeira derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, 0) \cup (0, π) \cup (π, \infty)$

Etapa 14.2

Substitua qualquer número, como $- 2$ , do intervalo $(- \infty, 0)$ na primeira derivada $- 3 \sin^{3} (x)$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

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Etapa 14.2.1

Substitua a variável $x$ por $- 2$ na expressão.

$f' (- 2) = - 3 \sin^{3} (- 2)$

Etapa 14.2.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 14.2.2.1

Avalie $\sin (- 2)$ .

$f' (- 2) = - 3 {(- 0.90929742)}^{3}$

Etapa 14.2.2.2

Eleve $- 0.90929742$ à potência de $3$ .

$f' (- 2) = - 3 \cdot - 0.75182694$

Etapa 14.2.2.3

Multiplique $- 3$ por $- 0.75182694$ .

$f' (- 2) = 2.25548083$

Etapa 14.2.2.4

A resposta final é $2.25548083$ .

$2.25548083$

Etapa 14.3

Substitua qualquer número, como $2$ , do intervalo $(0, π)$ na primeira derivada $- 3 \sin^{3} (x)$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

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Etapa 14.3.1

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$f' (2) = - 3 \sin^{3} (2)$

Etapa 14.3.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 14.3.2.1

Avalie $\sin (2)$ .

$f' (2) = - 3 \cdot {0.90929742}^{3}$

Etapa 14.3.2.2

Eleve $0.90929742$ à potência de $3$ .

$f' (2) = - 3 \cdot 0.75182694$

Etapa 14.3.2.3

Multiplique $- 3$ por $0.75182694$ .

$f' (2) = - 2.25548083$

Etapa 14.3.2.4

A resposta final é $- 2.25548083$ .

$- 2.25548083$

Etapa 14.4

Substitua qualquer número, como $6$ , do intervalo $(π, \infty)$ na primeira derivada $- 3 \sin^{3} (x)$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

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Etapa 14.4.1

Substitua a variável $x$ por $6$ na expressão.

$f' (6) = - 3 \sin^{3} (6)$

Etapa 14.4.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 14.4.2.1

Avalie $\sin (6)$ .

$f' (6) = - 3 {(- 0.27941549)}^{3}$

Etapa 14.4.2.2

Eleve $- 0.27941549$ à potência de $3$ .

$f' (6) = - 3 \cdot - 0.02181481$

Etapa 14.4.2.3

Multiplique $- 3$ por $- 0.02181481$ .

$f' (6) = 0.06544443$

Etapa 14.4.2.4

A resposta final é $0.06544443$ .

$0.06544443$

Etapa 14.5

Como a primeira derivada mudou os sinais de positivo para negativo em torno de $x = 0$ , então $x = 0$ é um máximo local.

$x = 0$ é um máximo local

Etapa 14.6

Como a primeira derivada mudou os sinais de negativo para positivo em torno de $x = π$ , então $x = π$ é um mínimo local.

$x = π$ é um mínimo local

Etapa 14.7

Esses são os extremos locais para $f (x) = 3 \cos (x) - \cos^{3} (x)$ .

$x = 0$ é um máximo local

$x = π$ é um mínimo local

$x = 0$ é um máximo local

$x = π$ é um mínimo local

Etapa 15