Cálculo Exemplos

$f (x) = - 3 x + 6 \ln (2 x)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

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Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 3 x + 6 \ln (2 x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [6 \ln (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [6 \ln (2 x)]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

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Etapa 1.2.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6 \ln (2 x)]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [6 \ln (2 x)]$

Etapa 1.2.3

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$- 3 + \frac{d}{d x} [6 \ln (2 x)]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [6 \ln (2 x)]$ .

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Etapa 1.3.1

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 \ln (2 x)$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [\ln (2 x)]$ .

$- 3 + 6 \frac{d}{d x} [\ln (2 x)]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 1.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x$ .

$- 3 + 6 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 1.3.2.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$- 3 + 6 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 1.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x$ .

$- 3 + 6 (\frac{1}{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 1.3.3

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 + 6 (\frac{1}{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 1.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 3 + 6 (\frac{1}{2 x} (2 \cdot 1))$

Etapa 1.3.5

Multiplique $2$ por $1$ .

$- 3 + 6 (\frac{1}{2 x} \cdot 2)$

Etapa 1.3.6

Combine $\frac{1}{2 x}$ e $2$ .

$- 3 + 6 \frac{2}{2 x}$

Etapa 1.3.7

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.3.7.1

Cancele o fator comum.

$- 3 + 6 \frac{2}{2 x}$

Etapa 1.3.7.2

Reescreva a expressão.

$- 3 + 6 \frac{1}{x}$

Etapa 1.3.8

Combine $6$ e $\frac{1}{x}$ .

$- 3 + \frac{6}{x}$

Etapa 1.4

Reordene os termos.

$\frac{6}{x} - 3$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{6}{x} - 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{6}{x}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{6}{x}) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{6}{x}]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{6}{x}$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$f'' (x) = 6 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x}) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Etapa 2.2.2

Reescreva $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$f'' (x) = 6 \frac{d}{d x} (x^{- 1}) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Etapa 2.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$f'' (x) = 6 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Etapa 2.2.4

Multiplique $- 1$ por $6$ .

$f'' (x) = - 6 x^{- 2} + \frac{d}{d x} (- 3)$

Etapa 2.3

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = - 6 x^{- 2} + 0$

Etapa 2.4

Simplifique.

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Etapa 2.4.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - 6 \frac{1}{x^{2}} + 0$

Etapa 2.4.2

Combine os termos.

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Etapa 2.4.2.1

Combine $- 6$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 6}{x^{2}} + 0$

Etapa 2.4.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = - \frac{6}{x^{2}} + 0$

Etapa 2.4.2.3

Some $- \frac{6}{x^{2}}$ e $0$ .

$f'' (x) = - \frac{6}{x^{2}}$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$\frac{6}{x} - 3 = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 4.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 3 x + 6 \ln (2 x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [6 \ln (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [6 \ln (2 x)]$

Etapa 4.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

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Etapa 4.1.2.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6 \ln (2 x)]$

Etapa 4.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [6 \ln (2 x)]$

Etapa 4.1.2.3

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$- 3 + \frac{d}{d x} [6 \ln (2 x)]$

Etapa 4.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [6 \ln (2 x)]$ .

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Etapa 4.1.3.1

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 \ln (2 x)$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [\ln (2 x)]$ .

$- 3 + 6 \frac{d}{d x} [\ln (2 x)]$

Etapa 4.1.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 4.1.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x$ .

$- 3 + 6 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 4.1.3.2.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$- 3 + 6 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 4.1.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x$ .

$- 3 + 6 (\frac{1}{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 4.1.3.3

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 + 6 (\frac{1}{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 4.1.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 3 + 6 (\frac{1}{2 x} (2 \cdot 1))$

Etapa 4.1.3.5

Multiplique $2$ por $1$ .

$- 3 + 6 (\frac{1}{2 x} \cdot 2)$

Etapa 4.1.3.6

Combine $\frac{1}{2 x}$ e $2$ .

$- 3 + 6 \frac{2}{2 x}$

Etapa 4.1.3.7

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.1.3.7.1

Cancele o fator comum.

$- 3 + 6 \frac{2}{2 x}$

Etapa 4.1.3.7.2

Reescreva a expressão.

$- 3 + 6 \frac{1}{x}$

Etapa 4.1.3.8

Combine $6$ e $\frac{1}{x}$ .

$- 3 + \frac{6}{x}$

Etapa 4.1.4

Reordene os termos.

$f' (x) = \frac{6}{x} - 3$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{6}{x} - 3$ .

$\frac{6}{x} - 3$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{6}{x} - 3 = 0$ .

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Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\frac{6}{x} - 3 = 0$

Etapa 5.2

Some $3$ aos dois lados da equação.

$\frac{6}{x} = 3$

Etapa 5.3

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 5.3.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$x, 1$

Etapa 5.3.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$x$

Etapa 5.4

Multiplique cada termo em $\frac{6}{x} = 3$ por $x$ para eliminar as frações.

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Etapa 5.4.1

Multiplique cada termo em $\frac{6}{x} = 3$ por $x$ .

$\frac{6}{x} x = 3 x$

Etapa 5.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.4.2.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 5.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{6}{x} x = 3 x$

Etapa 5.4.2.1.2

Reescreva a expressão.

$6 = 3 x$

Etapa 5.5

Resolva a equação.

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Etapa 5.5.1

Reescreva a equação como $3 x = 6$ .

$3 x = 6$

Etapa 5.5.2

Divida cada termo em $3 x = 6$ por $3$ e simplifique.

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Etapa 5.5.2.1

Divida cada termo em $3 x = 6$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{6}{3}$

Etapa 5.5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.5.2.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x}{3} = \frac{6}{3}$

Etapa 5.5.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{6}{3}$

Etapa 5.5.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.5.2.3.1

Divida $6$ por $3$ .

$x = 2$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 6.1

Defina o denominador em $\frac{6}{x}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x = 0$

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = 2$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = 2$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- \frac{6}{{(2)}^{2}}$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 9.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$- \frac{6}{4}$

Etapa 9.2

Cancele o fator comum de $6$ e $4$ .

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Etapa 9.2.1

Fatore $2$ de $6$ .

$- \frac{2 (3)}{4}$

Etapa 9.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 9.2.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$- \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2}$

Etapa 9.2.2.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2}$

Etapa 9.2.2.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{3}{2}$

Etapa 10

$x = 2$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 2$ é um máximo local

Etapa 11

Encontre o valor y quando $x = 2$ .

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Etapa 11.1

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$f (2) = - 3 \cdot 2 + 6 \ln (2 (2))$

Etapa 11.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 11.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 11.2.1.1

Multiplique $- 3$ por $2$ .

$f (2) = - 6 + 6 \ln (2 (2))$

Etapa 11.2.1.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$f (2) = - 6 + 6 \ln (4)$

Etapa 11.2.1.3

Simplifique $6 \ln (4)$ movendo $6$ para dentro do logaritmo.

$f (2) = - 6 + \ln (4^{6})$

Etapa 11.2.1.4

Eleve $4$ à potência de $6$ .

$f (2) = - 6 + \ln (4096)$

Etapa 11.2.2

A resposta final é $- 6 + \ln (4096)$ .

$y = - 6 + \ln (4096)$

Etapa 12

Esses são os extremos locais para $f (x) = - 3 x + 6 \ln (2 x)$ .

$(2, - 6 + \ln (4096))$ é um máximo local

Etapa 13