Cálculo Exemplos

$f (x) = 2 x e^{- 3 x^{2}}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x e^{- 3 x^{2}}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x e^{- 3 x^{2}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x e^{- 3 x^{2}}]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = e^{- 3 x^{2}}$ .

$2 (x \frac{d}{d x} [e^{- 3 x^{2}}] + e^{- 3 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - 3 x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $- 3 x^{2}$ .

$2 (x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]) + e^{- 3 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$2 (x (e^{u} \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]) + e^{- 3 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- 3 x^{2}$ .

$2 (x (e^{- 3 x^{2}} \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]) + e^{- 3 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.4

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 (x (e^{- 3 x^{2}} (- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}])) + e^{- 3 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 (x (e^{- 3 x^{2}} (- 3 (2 x))) + e^{- 3 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.4.3

Multiplique $2$ por $- 3$ .

$2 (x (e^{- 3 x^{2}} (- 6 x)) + e^{- 3 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.5

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$2 (x^{1} x (e^{- 3 x^{2}} \cdot (- 6)) + e^{- 3 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.6

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$2 (x^{1} x^{1} (e^{- 3 x^{2}} \cdot (- 6)) + e^{- 3 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2 (x^{1 + 1} (e^{- 3 x^{2}} \cdot (- 6)) + e^{- 3 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.8

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.8.1

Some $1$ e $1$ .

$2 (x^{2} (e^{- 3 x^{2}} \cdot (- 6)) + e^{- 3 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.8.2

Mova $- 6$ para a esquerda de $e^{- 3 x^{2}}$ .

$2 (x^{2} (- 6 \cdot e^{- 3 x^{2}}) + e^{- 3 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 (x^{2} (- 6 e^{- 3 x^{2}}) + e^{- 3 x^{2}} \cdot 1)$

Etapa 1.10

Multiplique $e^{- 3 x^{2}}$ por $1$ .

$2 (x^{2} (- 6 e^{- 3 x^{2}}) + e^{- 3 x^{2}})$

Etapa 1.11

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.11.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 (x^{2} (- 6 e^{- 3 x^{2}})) + 2 e^{- 3 x^{2}}$

Etapa 1.11.2

Multiplique $- 6$ por $2$ .

$- 12 x^{2} e^{- 3 x^{2}} + 2 e^{- 3 x^{2}}$

Etapa 1.11.3

Reordene os termos.

$- 12 e^{- 3 x^{2}} x^{2} + 2 e^{- 3 x^{2}}$

Etapa 1.11.4

Reordene os fatores em $- 12 e^{- 3 x^{2}} x^{2} + 2 e^{- 3 x^{2}}$ .

$- 12 x^{2} e^{- 3 x^{2}} + 2 e^{- 3 x^{2}}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 12 x^{2} e^{- 3 x^{2}} + 2 e^{- 3 x^{2}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 12 x^{2} e^{- 3 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [2 e^{- 3 x^{2}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 12 x^{2} e^{- 3 x^{2}}) + \frac{d}{d x} (2 e^{- 3 x^{2}})$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 12 x^{2} e^{- 3 x^{2}}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Como $- 12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 12 x^{2} e^{- 3 x^{2}}$ em relação a $x$ é $- 12 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- 3 x^{2}}]$ .

$f'' (x) = - 12 \frac{d}{d x} (x^{2} e^{- 3 x^{2}}) + \frac{d}{d x} (2 e^{- 3 x^{2}})$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = e^{- 3 x^{2}}$ .

$f'' (x) = - 12 (x^{2} \frac{d}{d x} (e^{- 3 x^{2}}) + e^{- 3 x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 e^{- 3 x^{2}})$

Etapa 2.2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - 3 x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $- 3 x^{2}$ .

$f'' (x) = - 12 (x^{2} (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (- 3 x^{2})) + e^{- 3 x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 e^{- 3 x^{2}})$

Etapa 2.2.3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ é $a^{u_{1}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - 12 (x^{2} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (- 3 x^{2})) + e^{- 3 x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 e^{- 3 x^{2}})$

Etapa 2.2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $- 3 x^{2}$ .

$f'' (x) = - 12 (x^{2} (e^{- 3 x^{2}} \frac{d}{d x} (- 3 x^{2})) + e^{- 3 x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 e^{- 3 x^{2}})$

Etapa 2.2.4

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 12 (x^{2} (e^{- 3 x^{2}} (- 3 \frac{d}{d x} x^{2})) + e^{- 3 x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 e^{- 3 x^{2}})$

Etapa 2.2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = - 12 (x^{2} (e^{- 3 x^{2}} (- 3 (2 x))) + e^{- 3 x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 e^{- 3 x^{2}})$

Etapa 2.2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = - 12 (x^{2} (e^{- 3 x^{2}} (- 3 (2 x))) + e^{- 3 x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (2 e^{- 3 x^{2}})$

Etapa 2.2.7

Multiplique $2$ por $- 3$ .

$f'' (x) = - 12 (x^{2} (e^{- 3 x^{2}} (- 6 x)) + e^{- 3 x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (2 e^{- 3 x^{2}})$

Etapa 2.2.8

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 2.2.8.1

Mova $x$ .

$f'' (x) = - 12 (x \cdot x^{2} (e^{- 3 x^{2}} \cdot (- 6)) + e^{- 3 x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (2 e^{- 3 x^{2}})$

Etapa 2.2.8.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

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Etapa 2.2.8.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = - 12 (x \cdot x^{2} (e^{- 3 x^{2}} \cdot (- 6)) + e^{- 3 x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (2 e^{- 3 x^{2}})$

Etapa 2.2.8.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = - 12 (x^{1 + 2} (e^{- 3 x^{2}} \cdot (- 6)) + e^{- 3 x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (2 e^{- 3 x^{2}})$

Etapa 2.2.8.3

Some $1$ e $2$ .

$f'' (x) = - 12 (x^{3} (e^{- 3 x^{2}} \cdot (- 6)) + e^{- 3 x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (2 e^{- 3 x^{2}})$

Etapa 2.2.9

Mova $- 6$ para a esquerda de $e^{- 3 x^{2}}$ .

$f'' (x) = - 12 (x^{3} (- 6 e^{- 3 x^{2}}) + e^{- 3 x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (2 e^{- 3 x^{2}})$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [2 e^{- 3 x^{2}}]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 e^{- 3 x^{2}}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [e^{- 3 x^{2}}]$ .

$f'' (x) = - 12 (x^{3} (- 6 e^{- 3 x^{2}}) + e^{- 3 x^{2}} (2 x)) + 2 \frac{d}{d x} (e^{- 3 x^{2}})$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - 3 x^{2}$ .

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Etapa 2.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $- 3 x^{2}$ .

$f'' (x) = - 12 (x^{3} (- 6 e^{- 3 x^{2}}) + e^{- 3 x^{2}} (2 x)) + 2 (\frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}))$

Etapa 2.3.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ é $a^{u_{2}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - 12 (x^{3} (- 6 e^{- 3 x^{2}}) + e^{- 3 x^{2}} (2 x)) + 2 (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}))$

Etapa 2.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $- 3 x^{2}$ .

$f'' (x) = - 12 (x^{3} (- 6 e^{- 3 x^{2}}) + e^{- 3 x^{2}} (2 x)) + 2 (e^{- 3 x^{2}} \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}))$

Etapa 2.3.3

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 12 (x^{3} (- 6 e^{- 3 x^{2}}) + e^{- 3 x^{2}} (2 x)) + 2 (e^{- 3 x^{2}} (- 3 \frac{d}{d x} x^{2}))$

Etapa 2.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = - 12 (x^{3} (- 6 e^{- 3 x^{2}}) + e^{- 3 x^{2}} (2 x)) + 2 (e^{- 3 x^{2}} (- 3 (2 x)))$

Etapa 2.3.5

Multiplique $2$ por $- 3$ .

$f'' (x) = - 12 (x^{3} (- 6 e^{- 3 x^{2}}) + e^{- 3 x^{2}} (2 x)) + 2 (e^{- 3 x^{2}} (- 6 x))$

Etapa 2.3.6

Multiplique $- 6$ por $2$ .

$f'' (x) = - 12 (x^{3} (- 6 e^{- 3 x^{2}}) + e^{- 3 x^{2}} (2 x)) - 12 e^{- 3 x^{2}} x$

Etapa 2.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - 12 (x^{3} (- 6 e^{- 3 x^{2}})) - 12 (e^{- 3 x^{2}} (2 x)) - 12 e^{- 3 x^{2}} x$

Etapa 2.4.2

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1

Multiplique $- 6$ por $- 12$ .

$f'' (x) = 72 (x^{3} (e^{- 3 x^{2}})) - 12 (e^{- 3 x^{2}} (2 x)) - 12 e^{- 3 x^{2}} x$

Etapa 2.4.2.2

Multiplique $2$ por $- 12$ .

$f'' (x) = 72 x^{3} e^{- 3 x^{2}} - 24 (e^{- 3 x^{2}} (x)) - 12 e^{- 3 x^{2}} x$

Etapa 2.4.2.3

Subtraia $12 e^{- 3 x^{2}} x$ de $- 24 e^{- 3 x^{2}} x$ .

$f'' (x) = 72 x^{3} e^{- 3 x^{2}} - 36 e^{- 3 x^{2}} x$

Etapa 2.4.3

Reordene os termos.

$f'' (x) = 72 e^{- 3 x^{2}} x^{3} - 36 e^{- 3 x^{2}} x$

Etapa 2.4.4

Reordene os fatores em $72 e^{- 3 x^{2}} x^{3} - 36 e^{- 3 x^{2}} x$ .

$f'' (x) = 72 x^{3} e^{- 3 x^{2}} - 36 x e^{- 3 x^{2}}$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$- 12 x^{2} e^{- 3 x^{2}} + 2 e^{- 3 x^{2}} = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x e^{- 3 x^{2}}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x e^{- 3 x^{2}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x e^{- 3 x^{2}}]$

Etapa 4.1.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = e^{- 3 x^{2}}$ .

$2 (x \frac{d}{d x} [e^{- 3 x^{2}}] + e^{- 3 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.1.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - 3 x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $- 3 x^{2}$ .

$2 (x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]) + e^{- 3 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.1.3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$2 (x (e^{u} \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]) + e^{- 3 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.1.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- 3 x^{2}$ .

$2 (x (e^{- 3 x^{2}} \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]) + e^{- 3 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.1.4

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.4.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 (x (e^{- 3 x^{2}} (- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}])) + e^{- 3 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 (x (e^{- 3 x^{2}} (- 3 (2 x))) + e^{- 3 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.1.4.3

Multiplique $2$ por $- 3$ .

$2 (x (e^{- 3 x^{2}} (- 6 x)) + e^{- 3 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.1.5

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$2 (x^{1} x (e^{- 3 x^{2}} \cdot (- 6)) + e^{- 3 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.1.6

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$2 (x^{1} x^{1} (e^{- 3 x^{2}} \cdot (- 6)) + e^{- 3 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.1.7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2 (x^{1 + 1} (e^{- 3 x^{2}} \cdot (- 6)) + e^{- 3 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.1.8

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.8.1

Some $1$ e $1$ .

$2 (x^{2} (e^{- 3 x^{2}} \cdot (- 6)) + e^{- 3 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.1.8.2

Mova $- 6$ para a esquerda de $e^{- 3 x^{2}}$ .

$2 (x^{2} (- 6 \cdot e^{- 3 x^{2}}) + e^{- 3 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.1.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 (x^{2} (- 6 e^{- 3 x^{2}}) + e^{- 3 x^{2}} \cdot 1)$

Etapa 4.1.10

Multiplique $e^{- 3 x^{2}}$ por $1$ .

$2 (x^{2} (- 6 e^{- 3 x^{2}}) + e^{- 3 x^{2}})$

Etapa 4.1.11

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.11.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 (x^{2} (- 6 e^{- 3 x^{2}})) + 2 e^{- 3 x^{2}}$

Etapa 4.1.11.2

Multiplique $- 6$ por $2$ .

$- 12 x^{2} e^{- 3 x^{2}} + 2 e^{- 3 x^{2}}$

Etapa 4.1.11.3

Reordene os termos.

$- 12 e^{- 3 x^{2}} x^{2} + 2 e^{- 3 x^{2}}$

Etapa 4.1.11.4

Reordene os fatores em $- 12 e^{- 3 x^{2}} x^{2} + 2 e^{- 3 x^{2}}$ .

$f' (x) = - 12 x^{2} e^{- 3 x^{2}} + 2 e^{- 3 x^{2}}$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- 12 x^{2} e^{- 3 x^{2}} + 2 e^{- 3 x^{2}}$ .

$- 12 x^{2} e^{- 3 x^{2}} + 2 e^{- 3 x^{2}}$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- 12 x^{2} e^{- 3 x^{2}} + 2 e^{- 3 x^{2}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- 12 x^{2} e^{- 3 x^{2}} + 2 e^{- 3 x^{2}} = 0$

Etapa 5.2

Fatore $2 e^{- 3 x^{2}}$ de $- 12 x^{2} e^{- 3 x^{2}} + 2 e^{- 3 x^{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Fatore $2 e^{- 3 x^{2}}$ de $- 12 x^{2} e^{- 3 x^{2}}$ .

$2 e^{- 3 x^{2}} (- 6 x^{2}) + 2 e^{- 3 x^{2}} = 0$

Etapa 5.2.2

Fatore $2 e^{- 3 x^{2}}$ de $2 e^{- 3 x^{2}}$ .

$2 e^{- 3 x^{2}} (- 6 x^{2}) + 2 e^{- 3 x^{2}} (1) = 0$

Etapa 5.2.3

Fatore $2 e^{- 3 x^{2}}$ de $2 e^{- 3 x^{2}} (- 6 x^{2}) + 2 e^{- 3 x^{2}} (1)$ .

$2 e^{- 3 x^{2}} (- 6 x^{2} + 1) = 0$

Etapa 5.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$e^{- 3 x^{2}} = 0$

$- 6 x^{2} + 1 = 0$

Etapa 5.4

Defina $e^{- 3 x^{2}}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1

Defina $e^{- 3 x^{2}}$ como igual a $0$ .

$e^{- 3 x^{2}} = 0$

Etapa 5.4.2

Resolva $e^{- 3 x^{2}} = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.1

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{- 3 x^{2}}) = \ln (0)$

Etapa 5.4.2.2

Não é possível resolver a equação, porque $\ln (0)$ é indefinida.

Indefinido

Etapa 5.4.2.3

Não há uma solução para $e^{- 3 x^{2}} = 0$

Nenhuma solução

Etapa 5.5

Defina $- 6 x^{2} + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1

Defina $- 6 x^{2} + 1$ como igual a $0$ .

$- 6 x^{2} + 1 = 0$

Etapa 5.5.2

Resolva $- 6 x^{2} + 1 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$- 6 x^{2} = - 1$

Etapa 5.5.2.2

Divida cada termo em $- 6 x^{2} = - 1$ por $- 6$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.2.1

Divida cada termo em $- 6 x^{2} = - 1$ por $- 6$ .

$\frac{- 6 x^{2}}{- 6} = \frac{- 1}{- 6}$

Etapa 5.5.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $- 6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 6 x^{2}}{- 6} = \frac{- 1}{- 6}$

Etapa 5.5.2.2.2.1.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{- 1}{- 6}$

Etapa 5.5.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.2.3.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$x^{2} = \frac{1}{6}$

Etapa 5.5.2.3

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{6}}$

Etapa 5.5.2.4

Simplifique $\pm \sqrt{\frac{1}{6}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.4.1

Reescreva $\sqrt{\frac{1}{6}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{6}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{6}}$

Etapa 5.5.2.4.2

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{6}}$

Etapa 5.5.2.4.3

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{6}}$ por $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$

Etapa 5.5.2.4.4

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.4.4.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{6}}$ por $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6} \sqrt{6}}$

Etapa 5.5.2.4.4.2

Eleve $\sqrt{6}$ à potência de $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1} \sqrt{6}}$

Etapa 5.5.2.4.4.3

Eleve $\sqrt{6}$ à potência de $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1} {\sqrt{6}}^{1}}$

Etapa 5.5.2.4.4.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x = \pm \frac{\sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1 + 1}}$

Etapa 5.5.2.4.4.5

Some $1$ e $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{2}}$

Etapa 5.5.2.4.4.6

Reescreva ${\sqrt{6}}^{2}$ como $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.4.4.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{6}$ como $6^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{6}}{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 5.5.2.4.4.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{6}}{6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 5.5.2.4.4.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 5.5.2.4.4.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.4.4.6.4.1

Cancele o fator comum.

$x = \pm \frac{\sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 5.5.2.4.4.6.4.2

Reescreva a expressão.

$x = \pm \frac{\sqrt{6}}{6^{1}}$

Etapa 5.5.2.4.4.6.5

Avalie o expoente.

$x = \pm \frac{\sqrt{6}}{6}$

Etapa 5.5.2.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \frac{\sqrt{6}}{6}$

Etapa 5.5.2.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \frac{\sqrt{6}}{6}$

Etapa 5.5.2.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \frac{\sqrt{6}}{6}, - \frac{\sqrt{6}}{6}$

Etapa 5.6

A solução final são todos os valores que tornam $2 e^{- 3 x^{2}} (- 6 x^{2} + 1) = 0$ verdadeiro.

$x = \frac{\sqrt{6}}{6}, - \frac{\sqrt{6}}{6}$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = \frac{\sqrt{6}}{6}, - \frac{\sqrt{6}}{6}$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = \frac{\sqrt{6}}{6}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$72 {(\frac{\sqrt{6}}{6})}^{3} e^{- 3 {(\frac{\sqrt{6}}{6})}^{2}} - 36 \frac{\sqrt{6}}{6} e^{- 3 {(\frac{\sqrt{6}}{6})}^{2}}$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt{6}}{6}$ .

$72 \frac{{\sqrt{6}}^{3}}{6^{3}} e^{- 3 {(\frac{\sqrt{6}}{6})}^{2}} - 36 \frac{\sqrt{6}}{6} e^{- 3 {(\frac{\sqrt{6}}{6})}^{2}}$

Etapa 9.1.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.2.1

Reescreva ${\sqrt{6}}^{3}$ como $\sqrt{6^{3}}$ .

$72 \frac{\sqrt{6^{3}}}{6^{3}} e^{- 3 {(\frac{\sqrt{6}}{6})}^{2}} - 36 \frac{\sqrt{6}}{6} e^{- 3 {(\frac{\sqrt{6}}{6})}^{2}}$

Etapa 9.1.2.2

Eleve $6$ à potência de $3$ .

$72 \frac{\sqrt{216}}{6^{3}} e^{- 3 {(\frac{\sqrt{6}}{6})}^{2}} - 36 \frac{\sqrt{6}}{6} e^{- 3 {(\frac{\sqrt{6}}{6})}^{2}}$

Etapa 9.1.2.3

Reescreva $216$ como $6^{2} \cdot 6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.2.3.1

Fatore $36$ de $216$ .

$72 \frac{\sqrt{36 (6)}}{6^{3}} e^{- 3 {(\frac{\sqrt{6}}{6})}^{2}} - 36 \frac{\sqrt{6}}{6} e^{- 3 {(\frac{\sqrt{6}}{6})}^{2}}$

Etapa 9.1.2.3.2

Reescreva $36$ como $6^{2}$ .

$72 \frac{\sqrt{6^{2} \cdot 6}}{6^{3}} e^{- 3 {(\frac{\sqrt{6}}{6})}^{2}} - 36 \frac{\sqrt{6}}{6} e^{- 3 {(\frac{\sqrt{6}}{6})}^{2}}$

Etapa 9.1.2.4

Elimine os termos abaixo do radical.

$72 \frac{6 \sqrt{6}}{6^{3}} e^{- 3 {(\frac{\sqrt{6}}{6})}^{2}} - 36 \frac{\sqrt{6}}{6} e^{- 3 {(\frac{\sqrt{6}}{6})}^{2}}$

Etapa 9.1.3

Eleve $6$ à potência de $3$ .

$72 \frac{6 \sqrt{6}}{216} e^{- 3 {(\frac{\sqrt{6}}{6})}^{2}} - 36 \frac{\sqrt{6}}{6} e^{- 3 {(\frac{\sqrt{6}}{6})}^{2}}$

Etapa 9.1.4

Cancele o fator comum de $72$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.4.1

Fatore $72$ de $216$ .

$72 \frac{6 \sqrt{6}}{72 (3)} e^{- 3 {(\frac{\sqrt{6}}{6})}^{2}} - 36 \frac{\sqrt{6}}{6} e^{- 3 {(\frac{\sqrt{6}}{6})}^{2}}$

Etapa 9.1.4.2

Cancele o fator comum.

$72 \frac{6 \sqrt{6}}{72 \cdot 3} e^{- 3 {(\frac{\sqrt{6}}{6})}^{2}} - 36 \frac{\sqrt{6}}{6} e^{- 3 {(\frac{\sqrt{6}}{6})}^{2}}$

Etapa 9.1.4.3

Reescreva a expressão.

$\frac{6 \sqrt{6}}{3} e^{- 3 {(\frac{\sqrt{6}}{6})}^{2}} - 36 \frac{\sqrt{6}}{6} e^{- 3 {(\frac{\sqrt{6}}{6})}^{2}}$

Etapa 9.1.5

Cancele o fator comum de $6$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.5.1

Fatore $3$ de $6 \sqrt{6}$ .

$\frac{3 (2 \sqrt{6})}{3} e^{- 3 {(\frac{\sqrt{6}}{6})}^{2}} - 36 \frac{\sqrt{6}}{6} e^{- 3 {(\frac{\sqrt{6}}{6})}^{2}}$

Etapa 9.1.5.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.5.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$\frac{3 (2 \sqrt{6})}{3 (1)} e^{- 3 {(\frac{\sqrt{6}}{6})}^{2}} - 36 \frac{\sqrt{6}}{6} e^{- 3 {(\frac{\sqrt{6}}{6})}^{2}}$

Etapa 9.1.5.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3 (2 \sqrt{6})}{3 \cdot 1} e^{- 3 {(\frac{\sqrt{6}}{6})}^{2}} - 36 \frac{\sqrt{6}}{6} e^{- 3 {(\frac{\sqrt{6}}{6})}^{2}}$

Etapa 9.1.5.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{2 \sqrt{6}}{1} e^{- 3 {(\frac{\sqrt{6}}{6})}^{2}} - 36 \frac{\sqrt{6}}{6} e^{- 3 {(\frac{\sqrt{6}}{6})}^{2}}$

Etapa 9.1.5.2.4

Divida $2 \sqrt{6}$ por $1$ .

$2 \sqrt{6} e^{- 3 {(\frac{\sqrt{6}}{6})}^{2}} - 36 \frac{\sqrt{6}}{6} e^{- 3 {(\frac{\sqrt{6}}{6})}^{2}}$

Etapa 9.1.6

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt{6}}{6}$ .

$2 \sqrt{6} e^{- 3 \frac{{\sqrt{6}}^{2}}{6^{2}}} - 36 \frac{\sqrt{6}}{6} e^{- 3 {(\frac{\sqrt{6}}{6})}^{2}}$

Etapa 9.1.7

Reescreva ${\sqrt{6}}^{2}$ como $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.7.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{6}$ como $6^{\frac{1}{2}}$ .

$2 \sqrt{6} e^{- 3 \frac{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}{6^{2}}} - 36 \frac{\sqrt{6}}{6} e^{- 3 {(\frac{\sqrt{6}}{6})}^{2}}$

Etapa 9.1.7.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \sqrt{6} e^{- 3 \frac{6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{6^{2}}} - 36 \frac{\sqrt{6}}{6} e^{- 3 {(\frac{\sqrt{6}}{6})}^{2}}$

Etapa 9.1.7.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$2 \sqrt{6} e^{- 3 \frac{6^{\frac{2}{2}}}{6^{2}}} - 36 \frac{\sqrt{6}}{6} e^{- 3 {(\frac{\sqrt{6}}{6})}^{2}}$

Etapa 9.1.7.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.7.4.1

Cancele o fator comum.

$2 \sqrt{6} e^{- 3 \frac{6^{\frac{2}{2}}}{6^{2}}} - 36 \frac{\sqrt{6}}{6} e^{- 3 {(\frac{\sqrt{6}}{6})}^{2}}$

Etapa 9.1.7.4.2

Reescreva a expressão.

$2 \sqrt{6} e^{- 3 \frac{6^{1}}{6^{2}}} - 36 \frac{\sqrt{6}}{6} e^{- 3 {(\frac{\sqrt{6}}{6})}^{2}}$

Etapa 9.1.7.5

Avalie o expoente.

$2 \sqrt{6} e^{- 3 \frac{6}{6^{2}}} - 36 \frac{\sqrt{6}}{6} e^{- 3 {(\frac{\sqrt{6}}{6})}^{2}}$

Etapa 9.1.8

Eleve $6$ à potência de $2$ .

$2 \sqrt{6} e^{- 3 (\frac{6}{36})} - 36 \frac{\sqrt{6}}{6} e^{- 3 {(\frac{\sqrt{6}}{6})}^{2}}$

Etapa 9.1.9

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.9.1

Fatore $3$ de $- 3$ .

$2 \sqrt{6} e^{3 (- 1) \frac{6}{36}} - 36 \frac{\sqrt{6}}{6} e^{- 3 {(\frac{\sqrt{6}}{6})}^{2}}$

Etapa 9.1.9.2

Fatore $3$ de $36$ .

$2 \sqrt{6} e^{3 \cdot - 1 \frac{6}{3 \cdot 12}} - 36 \frac{\sqrt{6}}{6} e^{- 3 {(\frac{\sqrt{6}}{6})}^{2}}$

Etapa 9.1.9.3

Cancele o fator comum.

$2 \sqrt{6} e^{3 \cdot - 1 \frac{6}{3 \cdot 12}} - 36 \frac{\sqrt{6}}{6} e^{- 3 {(\frac{\sqrt{6}}{6})}^{2}}$

Etapa 9.1.9.4

Reescreva a expressão.

$2 \sqrt{6} e^{- 1 (\frac{6}{12})} - 36 \frac{\sqrt{6}}{6} e^{- 3 {(\frac{\sqrt{6}}{6})}^{2}}$

Etapa 9.1.10

Cancele o fator comum de $6$ e $12$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.10.1

Fatore $6$ de $6$ .

$2 \sqrt{6} e^{- 1 \frac{6 (1)}{12}} - 36 \frac{\sqrt{6}}{6} e^{- 3 {(\frac{\sqrt{6}}{6})}^{2}}$

Etapa 9.1.10.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.10.2.1

Fatore $6$ de $12$ .

$2 \sqrt{6} e^{- 1 \frac{6 \cdot 1}{6 \cdot 2}} - 36 \frac{\sqrt{6}}{6} e^{- 3 {(\frac{\sqrt{6}}{6})}^{2}}$

Etapa 9.1.10.2.2

Cancele o fator comum.

$2 \sqrt{6} e^{- 1 \frac{6 \cdot 1}{6 \cdot 2}} - 36 \frac{\sqrt{6}}{6} e^{- 3 {(\frac{\sqrt{6}}{6})}^{2}}$

Etapa 9.1.10.2.3

Reescreva a expressão.

$2 \sqrt{6} e^{- 1 (\frac{1}{2})} - 36 \frac{\sqrt{6}}{6} e^{- 3 {(\frac{\sqrt{6}}{6})}^{2}}$

Etapa 9.1.11

Reescreva $- 1 (\frac{1}{2})$ como $- (\frac{1}{2})$ .

$2 \sqrt{6} e^{- (\frac{1}{2})} - 36 \frac{\sqrt{6}}{6} e^{- 3 {(\frac{\sqrt{6}}{6})}^{2}}$

Etapa 9.1.12

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 \sqrt{6} \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}} - 36 \frac{\sqrt{6}}{6} e^{- 3 {(\frac{\sqrt{6}}{6})}^{2}}$

Etapa 9.1.13

Multiplique $2 \sqrt{6} \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.13.1

Combine $\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ e $2$ .

$\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}} \sqrt{6} - 36 \frac{\sqrt{6}}{6} e^{- 3 {(\frac{\sqrt{6}}{6})}^{2}}$

Etapa 9.1.13.2

Combine $\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}$ e $\sqrt{6}$ .

$\frac{2 \sqrt{6}}{e^{\frac{1}{2}}} - 36 \frac{\sqrt{6}}{6} e^{- 3 {(\frac{\sqrt{6}}{6})}^{2}}$

Etapa 9.1.14

Cancele o fator comum de $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.14.1

Fatore $6$ de $- 36$ .

$\frac{2 \sqrt{6}}{e^{\frac{1}{2}}} + 6 (- 6) \frac{\sqrt{6}}{6} e^{- 3 {(\frac{\sqrt{6}}{6})}^{2}}$

Etapa 9.1.14.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \sqrt{6}}{e^{\frac{1}{2}}} + 6 \cdot - 6 \frac{\sqrt{6}}{6} e^{- 3 {(\frac{\sqrt{6}}{6})}^{2}}$

Etapa 9.1.14.3

Reescreva a expressão.

$\frac{2 \sqrt{6}}{e^{\frac{1}{2}}} - 6 \sqrt{6} e^{- 3 {(\frac{\sqrt{6}}{6})}^{2}}$

Etapa 9.1.15

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt{6}}{6}$ .

$\frac{2 \sqrt{6}}{e^{\frac{1}{2}}} - 6 \sqrt{6} e^{- 3 \frac{{\sqrt{6}}^{2}}{6^{2}}}$

Etapa 9.1.16

Reescreva ${\sqrt{6}}^{2}$ como $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.16.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{6}$ como $6^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \sqrt{6}}{e^{\frac{1}{2}}} - 6 \sqrt{6} e^{- 3 \frac{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}{6^{2}}}$

Etapa 9.1.16.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \sqrt{6}}{e^{\frac{1}{2}}} - 6 \sqrt{6} e^{- 3 \frac{6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{6^{2}}}$

Etapa 9.1.16.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{2 \sqrt{6}}{e^{\frac{1}{2}}} - 6 \sqrt{6} e^{- 3 \frac{6^{\frac{2}{2}}}{6^{2}}}$

Etapa 9.1.16.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.16.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \sqrt{6}}{e^{\frac{1}{2}}} - 6 \sqrt{6} e^{- 3 \frac{6^{\frac{2}{2}}}{6^{2}}}$

Etapa 9.1.16.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{2 \sqrt{6}}{e^{\frac{1}{2}}} - 6 \sqrt{6} e^{- 3 \frac{6^{1}}{6^{2}}}$

Etapa 9.1.16.5

Avalie o expoente.

$\frac{2 \sqrt{6}}{e^{\frac{1}{2}}} - 6 \sqrt{6} e^{- 3 \frac{6}{6^{2}}}$

Etapa 9.1.17

Eleve $6$ à potência de $2$ .

$\frac{2 \sqrt{6}}{e^{\frac{1}{2}}} - 6 \sqrt{6} e^{- 3 (\frac{6}{36})}$

Etapa 9.1.18

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.18.1

Fatore $3$ de $- 3$ .

$\frac{2 \sqrt{6}}{e^{\frac{1}{2}}} - 6 \sqrt{6} e^{3 (- 1) \frac{6}{36}}$

Etapa 9.1.18.2

Fatore $3$ de $36$ .

$\frac{2 \sqrt{6}}{e^{\frac{1}{2}}} - 6 \sqrt{6} e^{3 \cdot - 1 \frac{6}{3 \cdot 12}}$

Etapa 9.1.18.3

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \sqrt{6}}{e^{\frac{1}{2}}} - 6 \sqrt{6} e^{3 \cdot - 1 \frac{6}{3 \cdot 12}}$

Etapa 9.1.18.4

Reescreva a expressão.

$\frac{2 \sqrt{6}}{e^{\frac{1}{2}}} - 6 \sqrt{6} e^{- 1 (\frac{6}{12})}$

Etapa 9.1.19

Cancele o fator comum de $6$ e $12$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.19.1

Fatore $6$ de $6$ .

$\frac{2 \sqrt{6}}{e^{\frac{1}{2}}} - 6 \sqrt{6} e^{- 1 \frac{6 (1)}{12}}$

Etapa 9.1.19.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.19.2.1

Fatore $6$ de $12$ .

$\frac{2 \sqrt{6}}{e^{\frac{1}{2}}} - 6 \sqrt{6} e^{- 1 \frac{6 \cdot 1}{6 \cdot 2}}$

Etapa 9.1.19.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \sqrt{6}}{e^{\frac{1}{2}}} - 6 \sqrt{6} e^{- 1 \frac{6 \cdot 1}{6 \cdot 2}}$

Etapa 9.1.19.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{2 \sqrt{6}}{e^{\frac{1}{2}}} - 6 \sqrt{6} e^{- 1 (\frac{1}{2})}$

Etapa 9.1.20

Reescreva $- 1 (\frac{1}{2})$ como $- (\frac{1}{2})$ .

$\frac{2 \sqrt{6}}{e^{\frac{1}{2}}} - 6 \sqrt{6} e^{- (\frac{1}{2})}$

Etapa 9.1.21

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2 \sqrt{6}}{e^{\frac{1}{2}}} - 6 \sqrt{6} \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 9.1.22

Multiplique $- 6 \sqrt{6} \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.22.1

Combine $\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ e $- 6$ .

$\frac{2 \sqrt{6}}{e^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 6}{e^{\frac{1}{2}}} \sqrt{6}$

Etapa 9.1.22.2

Combine $\frac{- 6}{e^{\frac{1}{2}}}$ e $\sqrt{6}$ .

$\frac{2 \sqrt{6}}{e^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 6 \sqrt{6}}{e^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 9.1.23

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{2 \sqrt{6}}{e^{\frac{1}{2}}} - \frac{6 \sqrt{6}}{e^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 9.2

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 \sqrt{6} - 6 \sqrt{6}}{e^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 9.2.2

Subtraia $6 \sqrt{6}$ de $2 \sqrt{6}$ .

$\frac{- 4 \sqrt{6}}{e^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 9.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{4 \sqrt{6}}{e^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 10

$x = \frac{\sqrt{6}}{6}$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = \frac{\sqrt{6}}{6}$ é um máximo local

Etapa 11

Encontre o valor y quando $x = \frac{\sqrt{6}}{6}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{\sqrt{6}}{6}$ na expressão.

$f (\frac{\sqrt{6}}{6}) = 2 (\frac{\sqrt{6}}{6}) \cdot e^{- 3 {(\frac{\sqrt{6}}{6})}^{2}}$

Etapa 11.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.1

Fatore $2$ de $6$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{6}) = 2 (\frac{\sqrt{6}}{2 (3)}) \cdot e^{- 3 {(\frac{\sqrt{6}}{6})}^{2}}$

Etapa 11.2.1.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{\sqrt{6}}{6}) = 2 (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 3}) \cdot e^{- 3 {(\frac{\sqrt{6}}{6})}^{2}}$

Etapa 11.2.1.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{\sqrt{6}}{6}) = \frac{\sqrt{6}}{3} \cdot e^{- 3 {(\frac{\sqrt{6}}{6})}^{2}}$

Etapa 11.2.2

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt{6}}{6}$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{6}) = \frac{\sqrt{6}}{3} \cdot e^{- 3 \frac{{\sqrt{6}}^{2}}{6^{2}}}$

Etapa 11.2.3

Reescreva ${\sqrt{6}}^{2}$ como $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{6}$ como $6^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{6}) = \frac{\sqrt{6}}{3} \cdot e^{- 3 \frac{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}{6^{2}}}$

Etapa 11.2.3.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{6}) = \frac{\sqrt{6}}{3} \cdot e^{- 3 \frac{6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{6^{2}}}$

Etapa 11.2.3.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{6}) = \frac{\sqrt{6}}{3} \cdot e^{- 3 \frac{6^{\frac{2}{2}}}{6^{2}}}$

Etapa 11.2.3.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.3.4.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{\sqrt{6}}{6}) = \frac{\sqrt{6}}{3} \cdot e^{- 3 \frac{6^{\frac{2}{2}}}{6^{2}}}$

Etapa 11.2.3.4.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{\sqrt{6}}{6}) = \frac{\sqrt{6}}{3} \cdot e^{- 3 \frac{6^{1}}{6^{2}}}$

Etapa 11.2.3.5

Avalie o expoente.

$f (\frac{\sqrt{6}}{6}) = \frac{\sqrt{6}}{3} \cdot e^{- 3 \frac{6}{6^{2}}}$

Etapa 11.2.4

Eleve $6$ à potência de $2$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{6}) = \frac{\sqrt{6}}{3} \cdot e^{- 3 (\frac{6}{36})}$

Etapa 11.2.5

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.5.1

Fatore $3$ de $- 3$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{6}) = \frac{\sqrt{6}}{3} \cdot e^{3 (- 1) (\frac{6}{36})}$

Etapa 11.2.5.2

Fatore $3$ de $36$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{6}) = \frac{\sqrt{6}}{3} \cdot e^{3 \cdot (- 1 \frac{6}{3 \cdot 12})}$

Etapa 11.2.5.3

Cancele o fator comum.

$f (\frac{\sqrt{6}}{6}) = \frac{\sqrt{6}}{3} \cdot e^{3 \cdot (- 1 \frac{6}{3 \cdot 12})}$

Etapa 11.2.5.4

Reescreva a expressão.

$f (\frac{\sqrt{6}}{6}) = \frac{\sqrt{6}}{3} \cdot e^{- 1 (\frac{6}{12})}$

Etapa 11.2.6

Cancele o fator comum de $6$ e $12$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.6.1

Fatore $6$ de $6$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{6}) = \frac{\sqrt{6}}{3} \cdot e^{- 1 \frac{6 (1)}{12}}$

Etapa 11.2.6.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.6.2.1

Fatore $6$ de $12$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{6}) = \frac{\sqrt{6}}{3} \cdot e^{- 1 \frac{6 \cdot 1}{6 \cdot 2}}$

Etapa 11.2.6.2.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{\sqrt{6}}{6}) = \frac{\sqrt{6}}{3} \cdot e^{- 1 \frac{6 \cdot 1}{6 \cdot 2}}$

Etapa 11.2.6.2.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{\sqrt{6}}{6}) = \frac{\sqrt{6}}{3} \cdot e^{- 1 (\frac{1}{2})}$

Etapa 11.2.7

Reescreva $- 1 (\frac{1}{2})$ como $- (\frac{1}{2})$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{6}) = \frac{\sqrt{6}}{3} \cdot e^{- (\frac{1}{2})}$

Etapa 11.2.8

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{6}) = \frac{\sqrt{6}}{3} \cdot \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 11.2.9

Combine.

$f (\frac{\sqrt{6}}{6}) = \frac{\sqrt{6} \cdot 1}{3 e^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 11.2.10

Multiplique $\sqrt{6}$ por $1$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{6}) = \frac{\sqrt{6}}{3 e^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 11.2.11

A resposta final é $\frac{\sqrt{6}}{3 e^{\frac{1}{2}}}$ .

$y = \frac{\sqrt{6}}{3 e^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 12

Avalie a segunda derivada em $x = - \frac{\sqrt{6}}{6}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$72 {(- \frac{\sqrt{6}}{6})}^{3} e^{- 3 {(- \frac{\sqrt{6}}{6})}^{2}} - 36 (- \frac{\sqrt{6}}{6}) e^{- 3 {(- \frac{\sqrt{6}}{6})}^{2}}$

Etapa 13

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.1

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.1.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{\sqrt{6}}{6}$ .

$72 ({(- 1)}^{3} {(\frac{\sqrt{6}}{6})}^{3}) e^{- 3 {(- \frac{\sqrt{6}}{6})}^{2}} - 36 (- \frac{\sqrt{6}}{6}) e^{- 3 {(- \frac{\sqrt{6}}{6})}^{2}}$

Etapa 13.1.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt{6}}{6}$ .

$72 ({(- 1)}^{3} \frac{{\sqrt{6}}^{3}}{6^{3}}) e^{- 3 {(- \frac{\sqrt{6}}{6})}^{2}} - 36 (- \frac{\sqrt{6}}{6}) e^{- 3 {(- \frac{\sqrt{6}}{6})}^{2}}$

Etapa 13.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$72 (- \frac{{\sqrt{6}}^{3}}{6^{3}}) e^{- 3 {(- \frac{\sqrt{6}}{6})}^{2}} - 36 (- \frac{\sqrt{6}}{6}) e^{- 3 {(- \frac{\sqrt{6}}{6})}^{2}}$

Etapa 13.1.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.3.1

Reescreva ${\sqrt{6}}^{3}$ como $\sqrt{6^{3}}$ .

$72 (- \frac{\sqrt{6^{3}}}{6^{3}}) e^{- 3 {(- \frac{\sqrt{6}}{6})}^{2}} - 36 (- \frac{\sqrt{6}}{6}) e^{- 3 {(- \frac{\sqrt{6}}{6})}^{2}}$

Etapa 13.1.3.2

Eleve $6$ à potência de $3$ .

$72 (- \frac{\sqrt{216}}{6^{3}}) e^{- 3 {(- \frac{\sqrt{6}}{6})}^{2}} - 36 (- \frac{\sqrt{6}}{6}) e^{- 3 {(- \frac{\sqrt{6}}{6})}^{2}}$

Etapa 13.1.3.3

Reescreva $216$ como $6^{2} \cdot 6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.3.3.1

Fatore $36$ de $216$ .

$72 (- \frac{\sqrt{36 (6)}}{6^{3}}) e^{- 3 {(- \frac{\sqrt{6}}{6})}^{2}} - 36 (- \frac{\sqrt{6}}{6}) e^{- 3 {(- \frac{\sqrt{6}}{6})}^{2}}$

Etapa 13.1.3.3.2

Reescreva $36$ como $6^{2}$ .

$72 (- \frac{\sqrt{6^{2} \cdot 6}}{6^{3}}) e^{- 3 {(- \frac{\sqrt{6}}{6})}^{2}} - 36 (- \frac{\sqrt{6}}{6}) e^{- 3 {(- \frac{\sqrt{6}}{6})}^{2}}$

Etapa 13.1.3.4

Elimine os termos abaixo do radical.

$72 (- \frac{6 \sqrt{6}}{6^{3}}) e^{- 3 {(- \frac{\sqrt{6}}{6})}^{2}} - 36 (- \frac{\sqrt{6}}{6}) e^{- 3 {(- \frac{\sqrt{6}}{6})}^{2}}$

Etapa 13.1.4

Eleve $6$ à potência de $3$ .

$72 (- \frac{6 \sqrt{6}}{216}) e^{- 3 {(- \frac{\sqrt{6}}{6})}^{2}} - 36 (- \frac{\sqrt{6}}{6}) e^{- 3 {(- \frac{\sqrt{6}}{6})}^{2}}$

Etapa 13.1.5

Cancele o fator comum de $72$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.5.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{6 \sqrt{6}}{216}$ para o numerador.

$72 \frac{- 6 \sqrt{6}}{216} e^{- 3 {(- \frac{\sqrt{6}}{6})}^{2}} - 36 (- \frac{\sqrt{6}}{6}) e^{- 3 {(- \frac{\sqrt{6}}{6})}^{2}}$

Etapa 13.1.5.2

Fatore $72$ de $216$ .

$72 \frac{- 6 \sqrt{6}}{72 (3)} e^{- 3 {(- \frac{\sqrt{6}}{6})}^{2}} - 36 (- \frac{\sqrt{6}}{6}) e^{- 3 {(- \frac{\sqrt{6}}{6})}^{2}}$

Etapa 13.1.5.3

Cancele o fator comum.

$72 \frac{- 6 \sqrt{6}}{72 \cdot 3} e^{- 3 {(- \frac{\sqrt{6}}{6})}^{2}} - 36 (- \frac{\sqrt{6}}{6}) e^{- 3 {(- \frac{\sqrt{6}}{6})}^{2}}$

Etapa 13.1.5.4

Reescreva a expressão.

$\frac{- 6 \sqrt{6}}{3} e^{- 3 {(- \frac{\sqrt{6}}{6})}^{2}} - 36 (- \frac{\sqrt{6}}{6}) e^{- 3 {(- \frac{\sqrt{6}}{6})}^{2}}$

Etapa 13.1.6

Cancele o fator comum de $- 6$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.6.1

Fatore $3$ de $- 6 \sqrt{6}$ .

$\frac{3 (- 2 \sqrt{6})}{3} e^{- 3 {(- \frac{\sqrt{6}}{6})}^{2}} - 36 (- \frac{\sqrt{6}}{6}) e^{- 3 {(- \frac{\sqrt{6}}{6})}^{2}}$

Etapa 13.1.6.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.6.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$\frac{3 (- 2 \sqrt{6})}{3 (1)} e^{- 3 {(- \frac{\sqrt{6}}{6})}^{2}} - 36 (- \frac{\sqrt{6}}{6}) e^{- 3 {(- \frac{\sqrt{6}}{6})}^{2}}$

Etapa 13.1.6.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3 (- 2 \sqrt{6})}{3 \cdot 1} e^{- 3 {(- \frac{\sqrt{6}}{6})}^{2}} - 36 (- \frac{\sqrt{6}}{6}) e^{- 3 {(- \frac{\sqrt{6}}{6})}^{2}}$

Etapa 13.1.6.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- 2 \sqrt{6}}{1} e^{- 3 {(- \frac{\sqrt{6}}{6})}^{2}} - 36 (- \frac{\sqrt{6}}{6}) e^{- 3 {(- \frac{\sqrt{6}}{6})}^{2}}$

Etapa 13.1.6.2.4

Divida $- 2 \sqrt{6}$ por $1$ .

$- 2 \sqrt{6} e^{- 3 {(- \frac{\sqrt{6}}{6})}^{2}} - 36 (- \frac{\sqrt{6}}{6}) e^{- 3 {(- \frac{\sqrt{6}}{6})}^{2}}$

Etapa 13.1.7

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.7.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{\sqrt{6}}{6}$ .

$- 2 \sqrt{6} e^{- 3 ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{6}}{6})}^{2})} - 36 (- \frac{\sqrt{6}}{6}) e^{- 3 {(- \frac{\sqrt{6}}{6})}^{2}}$

Etapa 13.1.7.2

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt{6}}{6}$ .

$- 2 \sqrt{6} e^{- 3 ({(- 1)}^{2} \frac{{\sqrt{6}}^{2}}{6^{2}})} - 36 (- \frac{\sqrt{6}}{6}) e^{- 3 {(- \frac{\sqrt{6}}{6})}^{2}}$

Etapa 13.1.8

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$- 2 \sqrt{6} e^{- 3 (1 \frac{{\sqrt{6}}^{2}}{6^{2}})} - 36 (- \frac{\sqrt{6}}{6}) e^{- 3 {(- \frac{\sqrt{6}}{6})}^{2}}$

Etapa 13.1.9

Multiplique $\frac{{\sqrt{6}}^{2}}{6^{2}}$ por $1$ .

$- 2 \sqrt{6} e^{- 3 \frac{{\sqrt{6}}^{2}}{6^{2}}} - 36 (- \frac{\sqrt{6}}{6}) e^{- 3 {(- \frac{\sqrt{6}}{6})}^{2}}$

Etapa 13.1.10

Reescreva ${\sqrt{6}}^{2}$ como $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.10.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{6}$ como $6^{\frac{1}{2}}$ .

$- 2 \sqrt{6} e^{- 3 \frac{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}{6^{2}}} - 36 (- \frac{\sqrt{6}}{6}) e^{- 3 {(- \frac{\sqrt{6}}{6})}^{2}}$

Etapa 13.1.10.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 \sqrt{6} e^{- 3 \frac{6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{6^{2}}} - 36 (- \frac{\sqrt{6}}{6}) e^{- 3 {(- \frac{\sqrt{6}}{6})}^{2}}$

Etapa 13.1.10.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$- 2 \sqrt{6} e^{- 3 \frac{6^{\frac{2}{2}}}{6^{2}}} - 36 (- \frac{\sqrt{6}}{6}) e^{- 3 {(- \frac{\sqrt{6}}{6})}^{2}}$

Etapa 13.1.10.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.10.4.1

Cancele o fator comum.

$- 2 \sqrt{6} e^{- 3 \frac{6^{\frac{2}{2}}}{6^{2}}} - 36 (- \frac{\sqrt{6}}{6}) e^{- 3 {(- \frac{\sqrt{6}}{6})}^{2}}$

Etapa 13.1.10.4.2

Reescreva a expressão.

$- 2 \sqrt{6} e^{- 3 \frac{6^{1}}{6^{2}}} - 36 (- \frac{\sqrt{6}}{6}) e^{- 3 {(- \frac{\sqrt{6}}{6})}^{2}}$

Etapa 13.1.10.5

Avalie o expoente.

$- 2 \sqrt{6} e^{- 3 \frac{6}{6^{2}}} - 36 (- \frac{\sqrt{6}}{6}) e^{- 3 {(- \frac{\sqrt{6}}{6})}^{2}}$

Etapa 13.1.11

Eleve $6$ à potência de $2$ .

$- 2 \sqrt{6} e^{- 3 (\frac{6}{36})} - 36 (- \frac{\sqrt{6}}{6}) e^{- 3 {(- \frac{\sqrt{6}}{6})}^{2}}$

Etapa 13.1.12

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.12.1

Fatore $3$ de $- 3$ .

$- 2 \sqrt{6} e^{3 (- 1) \frac{6}{36}} - 36 (- \frac{\sqrt{6}}{6}) e^{- 3 {(- \frac{\sqrt{6}}{6})}^{2}}$

Etapa 13.1.12.2

Fatore $3$ de $36$ .

$- 2 \sqrt{6} e^{3 \cdot - 1 \frac{6}{3 \cdot 12}} - 36 (- \frac{\sqrt{6}}{6}) e^{- 3 {(- \frac{\sqrt{6}}{6})}^{2}}$

Etapa 13.1.12.3

Cancele o fator comum.

$- 2 \sqrt{6} e^{3 \cdot - 1 \frac{6}{3 \cdot 12}} - 36 (- \frac{\sqrt{6}}{6}) e^{- 3 {(- \frac{\sqrt{6}}{6})}^{2}}$

Etapa 13.1.12.4

Reescreva a expressão.

$- 2 \sqrt{6} e^{- 1 (\frac{6}{12})} - 36 (- \frac{\sqrt{6}}{6}) e^{- 3 {(- \frac{\sqrt{6}}{6})}^{2}}$

Etapa 13.1.13

Cancele o fator comum de $6$ e $12$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.13.1

Fatore $6$ de $6$ .

$- 2 \sqrt{6} e^{- 1 \frac{6 (1)}{12}} - 36 (- \frac{\sqrt{6}}{6}) e^{- 3 {(- \frac{\sqrt{6}}{6})}^{2}}$

Etapa 13.1.13.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.13.2.1

Fatore $6$ de $12$ .

$- 2 \sqrt{6} e^{- 1 \frac{6 \cdot 1}{6 \cdot 2}} - 36 (- \frac{\sqrt{6}}{6}) e^{- 3 {(- \frac{\sqrt{6}}{6})}^{2}}$

Etapa 13.1.13.2.2

Cancele o fator comum.

$- 2 \sqrt{6} e^{- 1 \frac{6 \cdot 1}{6 \cdot 2}} - 36 (- \frac{\sqrt{6}}{6}) e^{- 3 {(- \frac{\sqrt{6}}{6})}^{2}}$

Etapa 13.1.13.2.3

Reescreva a expressão.

$- 2 \sqrt{6} e^{- 1 (\frac{1}{2})} - 36 (- \frac{\sqrt{6}}{6}) e^{- 3 {(- \frac{\sqrt{6}}{6})}^{2}}$

Etapa 13.1.14

Reescreva $- 1 (\frac{1}{2})$ como $- (\frac{1}{2})$ .

$- 2 \sqrt{6} e^{- (\frac{1}{2})} - 36 (- \frac{\sqrt{6}}{6}) e^{- 3 {(- \frac{\sqrt{6}}{6})}^{2}}$

Etapa 13.1.15

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \sqrt{6} \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}} - 36 (- \frac{\sqrt{6}}{6}) e^{- 3 {(- \frac{\sqrt{6}}{6})}^{2}}$

Etapa 13.1.16

Multiplique $- 2 \sqrt{6} \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.16.1

Combine $\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ e $- 2$ .

$\frac{- 2}{e^{\frac{1}{2}}} \sqrt{6} - 36 (- \frac{\sqrt{6}}{6}) e^{- 3 {(- \frac{\sqrt{6}}{6})}^{2}}$

Etapa 13.1.16.2

Combine $\frac{- 2}{e^{\frac{1}{2}}}$ e $\sqrt{6}$ .

$\frac{- 2 \sqrt{6}}{e^{\frac{1}{2}}} - 36 (- \frac{\sqrt{6}}{6}) e^{- 3 {(- \frac{\sqrt{6}}{6})}^{2}}$

Etapa 13.1.17

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{2 \sqrt{6}}{e^{\frac{1}{2}}} - 36 (- \frac{\sqrt{6}}{6}) e^{- 3 {(- \frac{\sqrt{6}}{6})}^{2}}$

Etapa 13.1.18

Cancele o fator comum de $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.18.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{\sqrt{6}}{6}$ para o numerador.

$- \frac{2 \sqrt{6}}{e^{\frac{1}{2}}} - 36 \frac{- \sqrt{6}}{6} e^{- 3 {(- \frac{\sqrt{6}}{6})}^{2}}$

Etapa 13.1.18.2

Fatore $6$ de $- 36$ .

$- \frac{2 \sqrt{6}}{e^{\frac{1}{2}}} + 6 (- 6) \frac{- \sqrt{6}}{6} e^{- 3 {(- \frac{\sqrt{6}}{6})}^{2}}$

Etapa 13.1.18.3

Cancele o fator comum.

$- \frac{2 \sqrt{6}}{e^{\frac{1}{2}}} + 6 \cdot - 6 \frac{- \sqrt{6}}{6} e^{- 3 {(- \frac{\sqrt{6}}{6})}^{2}}$

Etapa 13.1.18.4

Reescreva a expressão.

$- \frac{2 \sqrt{6}}{e^{\frac{1}{2}}} - 6 (- \sqrt{6}) e^{- 3 {(- \frac{\sqrt{6}}{6})}^{2}}$

Etapa 13.1.19

Multiplique $- 1$ por $- 6$ .

$- \frac{2 \sqrt{6}}{e^{\frac{1}{2}}} + 6 \sqrt{6} e^{- 3 {(- \frac{\sqrt{6}}{6})}^{2}}$

Etapa 13.1.20

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.20.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{\sqrt{6}}{6}$ .

$- \frac{2 \sqrt{6}}{e^{\frac{1}{2}}} + 6 \sqrt{6} e^{- 3 ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{6}}{6})}^{2})}$

Etapa 13.1.20.2

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt{6}}{6}$ .

$- \frac{2 \sqrt{6}}{e^{\frac{1}{2}}} + 6 \sqrt{6} e^{- 3 ({(- 1)}^{2} \frac{{\sqrt{6}}^{2}}{6^{2}})}$

Etapa 13.1.21

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$- \frac{2 \sqrt{6}}{e^{\frac{1}{2}}} + 6 \sqrt{6} e^{- 3 (1 \frac{{\sqrt{6}}^{2}}{6^{2}})}$

Etapa 13.1.22

Multiplique $\frac{{\sqrt{6}}^{2}}{6^{2}}$ por $1$ .

$- \frac{2 \sqrt{6}}{e^{\frac{1}{2}}} + 6 \sqrt{6} e^{- 3 \frac{{\sqrt{6}}^{2}}{6^{2}}}$

Etapa 13.1.23

Reescreva ${\sqrt{6}}^{2}$ como $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.23.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{6}$ como $6^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{2 \sqrt{6}}{e^{\frac{1}{2}}} + 6 \sqrt{6} e^{- 3 \frac{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}{6^{2}}}$

Etapa 13.1.23.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{2 \sqrt{6}}{e^{\frac{1}{2}}} + 6 \sqrt{6} e^{- 3 \frac{6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{6^{2}}}$

Etapa 13.1.23.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$- \frac{2 \sqrt{6}}{e^{\frac{1}{2}}} + 6 \sqrt{6} e^{- 3 \frac{6^{\frac{2}{2}}}{6^{2}}}$

Etapa 13.1.23.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.23.4.1

Cancele o fator comum.

$- \frac{2 \sqrt{6}}{e^{\frac{1}{2}}} + 6 \sqrt{6} e^{- 3 \frac{6^{\frac{2}{2}}}{6^{2}}}$

Etapa 13.1.23.4.2

Reescreva a expressão.

$- \frac{2 \sqrt{6}}{e^{\frac{1}{2}}} + 6 \sqrt{6} e^{- 3 \frac{6^{1}}{6^{2}}}$

Etapa 13.1.23.5

Avalie o expoente.

$- \frac{2 \sqrt{6}}{e^{\frac{1}{2}}} + 6 \sqrt{6} e^{- 3 \frac{6}{6^{2}}}$

Etapa 13.1.24

Eleve $6$ à potência de $2$ .

$- \frac{2 \sqrt{6}}{e^{\frac{1}{2}}} + 6 \sqrt{6} e^{- 3 (\frac{6}{36})}$

Etapa 13.1.25

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.25.1

Fatore $3$ de $- 3$ .

$- \frac{2 \sqrt{6}}{e^{\frac{1}{2}}} + 6 \sqrt{6} e^{3 (- 1) \frac{6}{36}}$

Etapa 13.1.25.2

Fatore $3$ de $36$ .

$- \frac{2 \sqrt{6}}{e^{\frac{1}{2}}} + 6 \sqrt{6} e^{3 \cdot - 1 \frac{6}{3 \cdot 12}}$

Etapa 13.1.25.3

Cancele o fator comum.

$- \frac{2 \sqrt{6}}{e^{\frac{1}{2}}} + 6 \sqrt{6} e^{3 \cdot - 1 \frac{6}{3 \cdot 12}}$

Etapa 13.1.25.4

Reescreva a expressão.

$- \frac{2 \sqrt{6}}{e^{\frac{1}{2}}} + 6 \sqrt{6} e^{- 1 (\frac{6}{12})}$

Etapa 13.1.26

Cancele o fator comum de $6$ e $12$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.26.1

Fatore $6$ de $6$ .

$- \frac{2 \sqrt{6}}{e^{\frac{1}{2}}} + 6 \sqrt{6} e^{- 1 \frac{6 (1)}{12}}$

Etapa 13.1.26.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.26.2.1

Fatore $6$ de $12$ .

$- \frac{2 \sqrt{6}}{e^{\frac{1}{2}}} + 6 \sqrt{6} e^{- 1 \frac{6 \cdot 1}{6 \cdot 2}}$

Etapa 13.1.26.2.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{2 \sqrt{6}}{e^{\frac{1}{2}}} + 6 \sqrt{6} e^{- 1 \frac{6 \cdot 1}{6 \cdot 2}}$

Etapa 13.1.26.2.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{2 \sqrt{6}}{e^{\frac{1}{2}}} + 6 \sqrt{6} e^{- 1 (\frac{1}{2})}$

Etapa 13.1.27

Reescreva $- 1 (\frac{1}{2})$ como $- (\frac{1}{2})$ .

$- \frac{2 \sqrt{6}}{e^{\frac{1}{2}}} + 6 \sqrt{6} e^{- (\frac{1}{2})}$

Etapa 13.1.28

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{2 \sqrt{6}}{e^{\frac{1}{2}}} + 6 \sqrt{6} \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 13.1.29

Multiplique $6 \sqrt{6} \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.29.1

Combine $\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ e $6$ .

$- \frac{2 \sqrt{6}}{e^{\frac{1}{2}}} + \frac{6}{e^{\frac{1}{2}}} \sqrt{6}$

Etapa 13.1.29.2

Combine $\frac{6}{e^{\frac{1}{2}}}$ e $\sqrt{6}$ .

$- \frac{2 \sqrt{6}}{e^{\frac{1}{2}}} + \frac{6 \sqrt{6}}{e^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 13.2

Simplifique os termos.

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Etapa 13.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- 2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{6}}{e^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 13.2.2

Some $- 2 \sqrt{6}$ e $6 \sqrt{6}$ .

$\frac{4 \sqrt{6}}{e^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 14

$x = - \frac{\sqrt{6}}{6}$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = - \frac{\sqrt{6}}{6}$ é um mínimo local

Etapa 15

Encontre o valor y quando $x = - \frac{\sqrt{6}}{6}$ .

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Etapa 15.1

Substitua a variável $x$ por $- \frac{\sqrt{6}}{6}$ na expressão.

$f (- \frac{\sqrt{6}}{6}) = 2 (- \frac{\sqrt{6}}{6}) \cdot e^{- 3 {(- \frac{\sqrt{6}}{6})}^{2}}$

Etapa 15.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 15.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 15.2.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{\sqrt{6}}{6}$ para o numerador.

$f (- \frac{\sqrt{6}}{6}) = 2 (\frac{- \sqrt{6}}{6}) \cdot e^{- 3 {(- \frac{\sqrt{6}}{6})}^{2}}$

Etapa 15.2.1.2

Fatore $2$ de $6$ .

$f (- \frac{\sqrt{6}}{6}) = 2 (\frac{- \sqrt{6}}{2 (3)}) \cdot e^{- 3 {(- \frac{\sqrt{6}}{6})}^{2}}$

Etapa 15.2.1.3

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{\sqrt{6}}{6}) = 2 (\frac{- \sqrt{6}}{2 \cdot 3}) \cdot e^{- 3 {(- \frac{\sqrt{6}}{6})}^{2}}$

Etapa 15.2.1.4

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{\sqrt{6}}{6}) = \frac{- \sqrt{6}}{3} \cdot e^{- 3 {(- \frac{\sqrt{6}}{6})}^{2}}$

Etapa 15.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (- \frac{\sqrt{6}}{6}) = - \frac{\sqrt{6}}{3} \cdot e^{- 3 {(- \frac{\sqrt{6}}{6})}^{2}}$

Etapa 15.2.3

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

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Etapa 15.2.3.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{\sqrt{6}}{6}$ .

$f (- \frac{\sqrt{6}}{6}) = - \frac{\sqrt{6}}{3} \cdot e^{- 3 ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{6}}{6})}^{2})}$

Etapa 15.2.3.2

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt{6}}{6}$ .

$f (- \frac{\sqrt{6}}{6}) = - \frac{\sqrt{6}}{3} \cdot e^{- 3 ({(- 1)}^{2} (\frac{{\sqrt{6}}^{2}}{6^{2}}))}$

Etapa 15.2.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 15.2.4.1

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{6}}{6}) = - \frac{\sqrt{6}}{3} \cdot e^{- 3 (1 (\frac{{\sqrt{6}}^{2}}{6^{2}}))}$

Etapa 15.2.4.2

Multiplique $\frac{{\sqrt{6}}^{2}}{6^{2}}$ por $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{6}}{6}) = - \frac{\sqrt{6}}{3} \cdot e^{- 3 \frac{{\sqrt{6}}^{2}}{6^{2}}}$

Etapa 15.2.5

Reescreva ${\sqrt{6}}^{2}$ como $6$ .

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Etapa 15.2.5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{6}$ como $6^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{\sqrt{6}}{6}) = - \frac{\sqrt{6}}{3} \cdot e^{- 3 \frac{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}{6^{2}}}$

Etapa 15.2.5.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{\sqrt{6}}{6}) = - \frac{\sqrt{6}}{3} \cdot e^{- 3 \frac{6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{6^{2}}}$

Etapa 15.2.5.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{6}}{6}) = - \frac{\sqrt{6}}{3} \cdot e^{- 3 \frac{6^{\frac{2}{2}}}{6^{2}}}$

Etapa 15.2.5.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 15.2.5.4.1

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{\sqrt{6}}{6}) = - \frac{\sqrt{6}}{3} \cdot e^{- 3 \frac{6^{\frac{2}{2}}}{6^{2}}}$

Etapa 15.2.5.4.2

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{\sqrt{6}}{6}) = - \frac{\sqrt{6}}{3} \cdot e^{- 3 \frac{6^{1}}{6^{2}}}$

Etapa 15.2.5.5

Avalie o expoente.

$f (- \frac{\sqrt{6}}{6}) = - \frac{\sqrt{6}}{3} \cdot e^{- 3 \frac{6}{6^{2}}}$

Etapa 15.2.6

Eleve $6$ à potência de $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{6}}{6}) = - \frac{\sqrt{6}}{3} \cdot e^{- 3 (\frac{6}{36})}$

Etapa 15.2.7

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 15.2.7.1

Fatore $3$ de $- 3$ .

$f (- \frac{\sqrt{6}}{6}) = - \frac{\sqrt{6}}{3} \cdot e^{3 (- 1) (\frac{6}{36})}$

Etapa 15.2.7.2

Fatore $3$ de $36$ .

$f (- \frac{\sqrt{6}}{6}) = - \frac{\sqrt{6}}{3} \cdot e^{3 \cdot (- 1 \frac{6}{3 \cdot 12})}$

Etapa 15.2.7.3

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{\sqrt{6}}{6}) = - \frac{\sqrt{6}}{3} \cdot e^{3 \cdot (- 1 \frac{6}{3 \cdot 12})}$

Etapa 15.2.7.4

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{\sqrt{6}}{6}) = - \frac{\sqrt{6}}{3} \cdot e^{- 1 (\frac{6}{12})}$

Etapa 15.2.8

Cancele o fator comum de $6$ e $12$ .

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Etapa 15.2.8.1

Fatore $6$ de $6$ .

$f (- \frac{\sqrt{6}}{6}) = - \frac{\sqrt{6}}{3} \cdot e^{- 1 \frac{6 (1)}{12}}$

Etapa 15.2.8.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 15.2.8.2.1

Fatore $6$ de $12$ .

$f (- \frac{\sqrt{6}}{6}) = - \frac{\sqrt{6}}{3} \cdot e^{- 1 \frac{6 \cdot 1}{6 \cdot 2}}$

Etapa 15.2.8.2.2

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{\sqrt{6}}{6}) = - \frac{\sqrt{6}}{3} \cdot e^{- 1 \frac{6 \cdot 1}{6 \cdot 2}}$

Etapa 15.2.8.2.3

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{\sqrt{6}}{6}) = - \frac{\sqrt{6}}{3} \cdot e^{- 1 (\frac{1}{2})}$

Etapa 15.2.9

Reescreva $- 1 (\frac{1}{2})$ como $- (\frac{1}{2})$ .

$f (- \frac{\sqrt{6}}{6}) = - \frac{\sqrt{6}}{3} \cdot e^{- (\frac{1}{2})}$

Etapa 15.2.10

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (- \frac{\sqrt{6}}{6}) = - \frac{\sqrt{6}}{3} \cdot \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 15.2.11

Multiplique $\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{\sqrt{6}}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt{6}}{6}) = - \frac{\sqrt{6}}{e^{\frac{1}{2}} \cdot 3}$

Etapa 15.2.12

Mova $3$ para a esquerda de $e^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{\sqrt{6}}{6}) = - \frac{\sqrt{6}}{3 e^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 15.2.13

A resposta final é $- \frac{\sqrt{6}}{3 e^{\frac{1}{2}}}$ .

$y = - \frac{\sqrt{6}}{3 e^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 16

Esses são os extremos locais para $f (x) = 2 x e^{- 3 x^{2}}$ .

$(\frac{\sqrt{6}}{6}, \frac{\sqrt{6}}{3 e^{\frac{1}{2}}})$ é um máximo local

$(- \frac{\sqrt{6}}{6}, - \frac{\sqrt{6}}{3 e^{\frac{1}{2}}})$ é um mínimo local

Etapa 17