Cálculo Exemplos

$f (x) = 2 x^{\frac{5}{2}} - x^{2}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x^{\frac{5}{2}} - x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{5}{2}}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{\frac{5}{2}}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{5}{2}$ .

$2 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Etapa 1.2.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Etapa 1.2.4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Etapa 1.2.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$2 (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Etapa 1.2.6

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$2 (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Etapa 1.2.6.2

Subtraia $2$ de $5$ .

$2 (\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Etapa 1.2.7

Combine $\frac{5}{2}$ e $x^{\frac{3}{2}}$ .

$2 \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Etapa 1.2.8

Combine $2$ e $\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$ .

$\frac{2 (5 x^{\frac{3}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Etapa 1.2.9

Multiplique $5$ por $2$ .

$\frac{10 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Etapa 1.2.10

Fatore $2$ de $10 x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 (5 x^{\frac{3}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Etapa 1.2.11

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.11.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 (5 x^{\frac{3}{2}})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Etapa 1.2.11.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (5 x^{\frac{3}{2}})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Etapa 1.2.11.3

Reescreva a expressão.

$\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{1} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Etapa 1.2.11.4

Divida $5 x^{\frac{3}{2}}$ por $1$ .

$5 x^{\frac{3}{2}} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$5 x^{\frac{3}{2}} - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$5 x^{\frac{3}{2}} - (2 x)$

Etapa 1.3.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$5 x^{\frac{3}{2}} - 2 x$

Etapa 1.4

Reordene os termos.

$- 2 x + 5 x^{\frac{3}{2}}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 2 x + 5 x^{\frac{3}{2}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [5 x^{\frac{3}{2}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (5 x^{\frac{3}{2}})$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (5 x^{\frac{3}{2}})$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (5 x^{\frac{3}{2}})$

Etapa 2.2.3

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$f'' (x) = - 2 + \frac{d}{d x} (5 x^{\frac{3}{2}})$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [5 x^{\frac{3}{2}}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x^{\frac{3}{2}}$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

$f'' (x) = - 2 + 5 \frac{d}{d x} (x^{\frac{3}{2}})$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{3}{2}$ .

$f'' (x) = - 2 + 5 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})$

Etapa 2.3.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - 2 + 5 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Etapa 2.3.4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - 2 + 5 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Etapa 2.3.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = - 2 + 5 (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})$

Etapa 2.3.6

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f'' (x) = - 2 + 5 (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}})$

Etapa 2.3.6.2

Subtraia $2$ de $3$ .

$f'' (x) = - 2 + 5 (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}})$

Etapa 2.3.7

Combine $\frac{3}{2}$ e $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - 2 + 5 (\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Etapa 2.3.8

Combine $5$ e $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$f'' (x) = - 2 + \frac{5 (3 x^{\frac{1}{2}})}{2}$

Etapa 2.3.9

Multiplique $3$ por $5$ .

$f'' (x) = - 2 + \frac{15 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$- 2 x + 5 x^{\frac{3}{2}} = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x^{\frac{5}{2}} - x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Etapa 4.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{5}{2}}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{\frac{5}{2}}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Etapa 4.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{5}{2}$ .

$2 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Etapa 4.1.2.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Etapa 4.1.2.4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Etapa 4.1.2.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$2 (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Etapa 4.1.2.6

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$2 (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Etapa 4.1.2.6.2

Subtraia $2$ de $5$ .

$2 (\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Etapa 4.1.2.7

Combine $\frac{5}{2}$ e $x^{\frac{3}{2}}$ .

$2 \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Etapa 4.1.2.8

Combine $2$ e $\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$ .

$\frac{2 (5 x^{\frac{3}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Etapa 4.1.2.9

Multiplique $5$ por $2$ .

$\frac{10 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Etapa 4.1.2.10

Fatore $2$ de $10 x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 (5 x^{\frac{3}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Etapa 4.1.2.11

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.11.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 (5 x^{\frac{3}{2}})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Etapa 4.1.2.11.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (5 x^{\frac{3}{2}})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Etapa 4.1.2.11.3

Reescreva a expressão.

$\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{1} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Etapa 4.1.2.11.4

Divida $5 x^{\frac{3}{2}}$ por $1$ .

$5 x^{\frac{3}{2}} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Etapa 4.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$5 x^{\frac{3}{2}} - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 4.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$5 x^{\frac{3}{2}} - (2 x)$

Etapa 4.1.3.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$5 x^{\frac{3}{2}} - 2 x$

Etapa 4.1.4

Reordene os termos.

$f' (x) = - 2 x + 5 x^{\frac{3}{2}}$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- 2 x + 5 x^{\frac{3}{2}}$ .

$- 2 x + 5 x^{\frac{3}{2}}$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- 2 x + 5 x^{\frac{3}{2}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- 2 x + 5 x^{\frac{3}{2}} = 0$

Etapa 5.2

Fatore $- x$ de $- 2 x + 5 x^{\frac{3}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Fatore $- x$ de $- 2 x$ .

$- x \cdot 2 + 5 x^{\frac{3}{2}} = 0$

Etapa 5.2.2

Fatore $- x$ de $5 x^{\frac{3}{2}}$ .

$- x \cdot 2 - x (- 5 x^{\frac{1}{2}}) = 0$

Etapa 5.2.3

Fatore $- x$ de $- x (2) - x (- 5 x^{\frac{1}{2}})$ .

$- x (2 - 5 x^{\frac{1}{2}}) = 0$

Etapa 5.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$2 - 5 x^{\frac{1}{2}} = 0$

Etapa 5.4

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 5.5

Defina $2 - 5 x^{\frac{1}{2}}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1

Defina $2 - 5 x^{\frac{1}{2}}$ como igual a $0$ .

$2 - 5 x^{\frac{1}{2}} = 0$

Etapa 5.5.2

Resolva $2 - 5 x^{\frac{1}{2}} = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.1

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$- 5 x^{\frac{1}{2}} = - 2$

Etapa 5.5.2.2

Eleve cada lado da equação à potência de $2$ para eliminar o expoente fracionário no lado esquerdo.

${(- 5 x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2)}^{2}$

Etapa 5.5.2.3

Simplifique o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.3.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.3.1.1

Simplifique ${(- 5 x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.3.1.1.1

Aplique a regra do produto a $- 5 x^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 5)}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2)}^{2}$

Etapa 5.5.2.3.1.1.2

Eleve $- 5$ à potência de $2$ .

$25 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2)}^{2}$

Etapa 5.5.2.3.1.1.3

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.3.1.1.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$25 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 2)}^{2}$

Etapa 5.5.2.3.1.1.3.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.3.1.1.3.2.1

Cancele o fator comum.

$25 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 2)}^{2}$

Etapa 5.5.2.3.1.1.3.2.2

Reescreva a expressão.

$25 x^{1} = {(- 2)}^{2}$

Etapa 5.5.2.3.1.1.4

Simplifique.

$25 x = {(- 2)}^{2}$

Etapa 5.5.2.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.3.2.1

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$25 x = 4$

Etapa 5.5.2.4

Divida cada termo em $25 x = 4$ por $25$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.4.1

Divida cada termo em $25 x = 4$ por $25$ .

$\frac{25 x}{25} = \frac{4}{25}$

Etapa 5.5.2.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.4.2.1

Cancele o fator comum de $25$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{25 x}{25} = \frac{4}{25}$

Etapa 5.5.2.4.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{4}{25}$

Etapa 5.6

A solução final são todos os valores que tornam $- x (2 - 5 x^{\frac{1}{2}}) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, \frac{4}{25}$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Aplique a regra $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescrever a exponenciação como um radical.

$- 2 x + 5 \sqrt{x^{3}}$

Etapa 6.2

Defina o radicando em $\sqrt{x^{3}}$ como menor do que $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x^{3} < 0$

Etapa 6.3

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da desigualdade para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$\sqrt[3]{x^{3}} < \sqrt[3]{0}$

Etapa 6.3.2

Simplifique a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1.1

Elimine os termos abaixo do radical.

$x < \sqrt[3]{0}$

Etapa 6.3.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.2.1

Simplifique $\sqrt[3]{0}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.2.1.1

Reescreva $0$ como $0^{3}$ .

$x < \sqrt[3]{0^{3}}$

Etapa 6.3.2.2.1.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$x < 0$

Etapa 6.4

A equação é indefinida quando o denominador é igual a $0$ , o argumento de uma raiz quadrada é menor do que $0$ ou o argumento de um logaritmo é menor do que ou igual a $0$ .

$x < 0$

$(- \infty, 0)$

$x < 0$

$(- \infty, 0)$

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = 0, \frac{4}{25}$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = 0$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- 2 + \frac{15 {(0)}^{\frac{1}{2}}}{2}$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$- 2 + \frac{15 \cdot {(0^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2}$

Etapa 9.1.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 + \frac{15 \cdot 0^{2 (\frac{1}{2})}}{2}$

Etapa 9.1.1.3

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1.3.1

Cancele o fator comum.

$- 2 + \frac{15 \cdot 0^{2 (\frac{1}{2})}}{2}$

Etapa 9.1.1.3.2

Reescreva a expressão.

$- 2 + \frac{15 \cdot 0^{1}}{2}$

Etapa 9.1.1.4

Avalie o expoente.

$- 2 + \frac{15 \cdot 0}{2}$

Etapa 9.1.2

Multiplique $15$ por $0$ .

$- 2 + \frac{0}{2}$

Etapa 9.1.3

Divida $0$ por $2$ .

$- 2 + 0$

Etapa 9.2

Some $- 2$ e $0$ .

$- 2$

Etapa 10

$x = 0$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 0$ é um máximo local

Etapa 11

Encontre o valor y quando $x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f (0) = 2 {(0)}^{\frac{5}{2}} - {(0)}^{2}$

Etapa 11.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$f (0) = 2 {(0^{2})}^{\frac{5}{2}} - {(0)}^{2}$

Etapa 11.2.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (0) = 2 \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})} - {(0)}^{2}$

Etapa 11.2.1.3

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.3.1

Cancele o fator comum.

$f (0) = 2 \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})} - {(0)}^{2}$

Etapa 11.2.1.3.2

Reescreva a expressão.

$f (0) = 2 \cdot 0^{5} - {(0)}^{2}$

Etapa 11.2.1.4

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = 2 \cdot 0 - {(0)}^{2}$

Etapa 11.2.1.5

Multiplique $2$ por $0$ .

$f (0) = 0 - {(0)}^{2}$

Etapa 11.2.1.6

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = 0 - 0$

Etapa 11.2.1.7

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Etapa 11.2.2

Some $0$ e $0$ .

$f (0) = 0$

Etapa 11.2.3

A resposta final é $0$ .

$y = 0$

Etapa 12

Avalie a segunda derivada em $x = \frac{4}{25}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- 2 + \frac{15 {(\frac{4}{25})}^{\frac{1}{2}}}{2}$

Etapa 13

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{4}{25}$ .

$- 2 + \frac{15 \frac{4^{\frac{1}{2}}}{25^{\frac{1}{2}}}}{2}$

Etapa 13.1.1.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.1.2.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$- 2 + \frac{15 \frac{{(2^{2})}^{\frac{1}{2}}}{25^{\frac{1}{2}}}}{2}$

Etapa 13.1.1.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 + \frac{15 \frac{2^{2 (\frac{1}{2})}}{25^{\frac{1}{2}}}}{2}$

Etapa 13.1.1.2.3

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.1.2.3.1

Cancele o fator comum.

$- 2 + \frac{15 \frac{2^{2 (\frac{1}{2})}}{25^{\frac{1}{2}}}}{2}$

Etapa 13.1.1.2.3.2

Reescreva a expressão.

$- 2 + \frac{15 \frac{2^{1}}{25^{\frac{1}{2}}}}{2}$

Etapa 13.1.1.2.4

Avalie o expoente.

$- 2 + \frac{15 \frac{2}{25^{\frac{1}{2}}}}{2}$

Etapa 13.1.1.3

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.1.3.1

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$- 2 + \frac{15 \frac{2}{{(5^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{2}$

Etapa 13.1.1.3.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 + \frac{15 \frac{2}{5^{2 (\frac{1}{2})}}}{2}$

Etapa 13.1.1.3.3

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.1.3.3.1

Cancele o fator comum.

$- 2 + \frac{15 \frac{2}{5^{2 (\frac{1}{2})}}}{2}$

Etapa 13.1.1.3.3.2

Reescreva a expressão.

$- 2 + \frac{15 \frac{2}{5^{1}}}{2}$

Etapa 13.1.1.3.4

Avalie o expoente.

$- 2 + \frac{15 (\frac{2}{5})}{2}$

Etapa 13.1.2

Combine $15$ e $\frac{2}{5}$ .

$- 2 + \frac{\frac{15 \cdot 2}{5}}{2}$

Etapa 13.1.3

Multiplique $15$ por $2$ .

$- 2 + \frac{\frac{30}{5}}{2}$

Etapa 13.1.4

Divida $30$ por $5$ .

$- 2 + \frac{6}{2}$

Etapa 13.1.5

Divida $6$ por $2$ .

$- 2 + 3$

Etapa 13.2

Some $- 2$ e $3$ .

$1$

Etapa 14

$x = \frac{4}{25}$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = \frac{4}{25}$ é um mínimo local

Etapa 15

Encontre o valor y quando $x = \frac{4}{25}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{4}{25}$ na expressão.

$f (\frac{4}{25}) = 2 {(\frac{4}{25})}^{\frac{5}{2}} - {(\frac{4}{25})}^{2}$

Etapa 15.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 15.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{4}{25}$ .

$f (\frac{4}{25}) = 2 (\frac{4^{\frac{5}{2}}}{25^{\frac{5}{2}}}) - {(\frac{4}{25})}^{2}$

Etapa 15.2.1.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.2.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$f (\frac{4}{25}) = 2 (\frac{{(2^{2})}^{\frac{5}{2}}}{25^{\frac{5}{2}}}) - {(\frac{4}{25})}^{2}$

Etapa 15.2.1.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{4}{25}) = 2 (\frac{2^{2 (\frac{5}{2})}}{25^{\frac{5}{2}}}) - {(\frac{4}{25})}^{2}$

Etapa 15.2.1.2.3

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.2.3.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{4}{25}) = 2 (\frac{2^{2 (\frac{5}{2})}}{25^{\frac{5}{2}}}) - {(\frac{4}{25})}^{2}$

Etapa 15.2.1.2.3.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{4}{25}) = 2 (\frac{2^{5}}{25^{\frac{5}{2}}}) - {(\frac{4}{25})}^{2}$

Etapa 15.2.1.2.4

Eleve $2$ à potência de $5$ .

$f (\frac{4}{25}) = 2 (\frac{32}{25^{\frac{5}{2}}}) - {(\frac{4}{25})}^{2}$

Etapa 15.2.1.3

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.3.1

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$f (\frac{4}{25}) = 2 (\frac{32}{{(5^{2})}^{\frac{5}{2}}}) - {(\frac{4}{25})}^{2}$

Etapa 15.2.1.3.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{4}{25}) = 2 (\frac{32}{5^{2 (\frac{5}{2})}}) - {(\frac{4}{25})}^{2}$

Etapa 15.2.1.3.3

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.3.3.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{4}{25}) = 2 (\frac{32}{5^{2 (\frac{5}{2})}}) - {(\frac{4}{25})}^{2}$

Etapa 15.2.1.3.3.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{4}{25}) = 2 (\frac{32}{5^{5}}) - {(\frac{4}{25})}^{2}$

Etapa 15.2.1.3.4

Eleve $5$ à potência de $5$ .

$f (\frac{4}{25}) = 2 (\frac{32}{3125}) - {(\frac{4}{25})}^{2}$

Etapa 15.2.1.4

Multiplique $2 (\frac{32}{3125})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.4.1

Combine $2$ e $\frac{32}{3125}$ .

$f (\frac{4}{25}) = \frac{2 \cdot 32}{3125} - {(\frac{4}{25})}^{2}$

Etapa 15.2.1.4.2

Multiplique $2$ por $32$ .

$f (\frac{4}{25}) = \frac{64}{3125} - {(\frac{4}{25})}^{2}$

Etapa 15.2.1.5

Aplique a regra do produto a $\frac{4}{25}$ .

$f (\frac{4}{25}) = \frac{64}{3125} - \frac{4^{2}}{25^{2}}$

Etapa 15.2.1.6

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$f (\frac{4}{25}) = \frac{64}{3125} - \frac{16}{25^{2}}$

Etapa 15.2.1.7

Eleve $25$ à potência de $2$ .

$f (\frac{4}{25}) = \frac{64}{3125} - \frac{16}{625}$

Etapa 15.2.2

Para escrever $- \frac{16}{625}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{5}{5}$ .

$f (\frac{4}{25}) = \frac{64}{3125} - \frac{16}{625} \cdot \frac{5}{5}$

Etapa 15.2.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $3125$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 15.2.3.1

Multiplique $\frac{16}{625}$ por $\frac{5}{5}$ .

$f (\frac{4}{25}) = \frac{64}{3125} - \frac{16 \cdot 5}{625 \cdot 5}$

Etapa 15.2.3.2

Multiplique $625$ por $5$ .

$f (\frac{4}{25}) = \frac{64}{3125} - \frac{16 \cdot 5}{3125}$

Etapa 15.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{4}{25}) = \frac{64 - 16 \cdot 5}{3125}$

Etapa 15.2.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 15.2.5.1

Multiplique $- 16$ por $5$ .

$f (\frac{4}{25}) = \frac{64 - 80}{3125}$

Etapa 15.2.5.2

Subtraia $80$ de $64$ .

$f (\frac{4}{25}) = \frac{- 16}{3125}$

Etapa 15.2.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (\frac{4}{25}) = - \frac{16}{3125}$

Etapa 15.2.7

A resposta final é $- \frac{16}{3125}$ .

$y = - \frac{16}{3125}$

Etapa 16

Esses são os extremos locais para $f (x) = 2 x^{\frac{5}{2}} - x^{2}$ .

$(0, 0)$ é um máximo local

$(\frac{4}{25}, - \frac{16}{3125})$ é um mínimo local

Etapa 17