Cálculo Exemplos

$f (x) = 2 (x - 1) (15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 (x - 1) (15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1)$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [(x - 1) (15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [(x - 1) (15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1)]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x - 1$ e $g (x) = 15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1$ .

$2 ((x - 1) \frac{d}{d x} [15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1] + (15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1])$

Etapa 1.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [15 x^{3}] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$2 ((x - 1) (\frac{d}{d x} [15 x^{3}] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1])$

Etapa 1.3.2

Como $15$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $15 x^{3}$ em relação a $x$ é $15 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 ((x - 1) (15 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1])$

Etapa 1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$2 ((x - 1) (15 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1])$

Etapa 1.3.4

Multiplique $3$ por $15$ .

$2 ((x - 1) (45 x^{2} + \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1])$

Etapa 1.3.5

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x^{2}$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 ((x - 1) (45 x^{2} + 5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1])$

Etapa 1.3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 ((x - 1) (45 x^{2} + 5 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1])$

Etapa 1.3.7

Multiplique $2$ por $5$ .

$2 ((x - 1) (45 x^{2} + 10 x + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1])$

Etapa 1.3.8

Como $- 7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 7 x$ em relação a $x$ é $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 ((x - 1) (45 x^{2} + 10 x - 7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1])$

Etapa 1.3.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 ((x - 1) (45 x^{2} + 10 x - 7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1])$

Etapa 1.3.10

Multiplique $- 7$ por $1$ .

$2 ((x - 1) (45 x^{2} + 10 x - 7 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1])$

Etapa 1.3.11

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 ((x - 1) (45 x^{2} + 10 x - 7 + 0) + (15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1])$

Etapa 1.3.12

Some $45 x^{2} + 10 x - 7$ e $0$ .

$2 ((x - 1) (45 x^{2} + 10 x - 7) + (15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1])$

Etapa 1.3.13

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$2 ((x - 1) (45 x^{2} + 10 x - 7) + (15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]))$

Etapa 1.3.14

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 ((x - 1) (45 x^{2} + 10 x - 7) + (15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]))$

Etapa 1.3.15

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 ((x - 1) (45 x^{2} + 10 x - 7) + (15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1) (1 + 0))$

Etapa 1.3.16

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.3.16.1

Some $1$ e $0$ .

$2 ((x - 1) (45 x^{2} + 10 x - 7) + (15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1) \cdot 1)$

Etapa 1.3.16.2

Multiplique $15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1$ por $1$ .

$2 ((x - 1) (45 x^{2} + 10 x - 7) + 15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1)$

Etapa 1.4

Simplifique.

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Etapa 1.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 ((x - 1) (45 x^{2} + 10 x - 7)) + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Etapa 1.4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$2 ((x - 1) (45 x^{2}) + (x - 1) (10 x) + (x - 1) \cdot - 7) + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Etapa 1.4.3

Aplique a propriedade distributiva.

$2 (x (45 x^{2}) - 1 (45 x^{2}) + (x - 1) (10 x) + (x - 1) \cdot - 7) + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Etapa 1.4.4

Aplique a propriedade distributiva.

$2 (x (45 x^{2}) - 1 (45 x^{2}) + x (10 x) - 1 (10 x) + (x - 1) \cdot - 7) + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Etapa 1.4.5

Aplique a propriedade distributiva.

$2 (x (45 x^{2}) - 1 (45 x^{2}) + x (10 x) - 1 (10 x) + x \cdot - 7 - 1 \cdot - 7) + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Etapa 1.4.6

Aplique a propriedade distributiva.

$2 (x (45 x^{2})) + 2 (- 1 (45 x^{2})) + 2 (x (10 x)) + 2 (- 1 (10 x)) + 2 (x \cdot - 7) + 2 (- 1 \cdot - 7) + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Etapa 1.4.7

Combine os termos.

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Etapa 1.4.7.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$2 (45 (x^{1} x^{2})) + 2 (- 1 (45 x^{2})) + 2 (x (10 x)) + 2 (- 1 (10 x)) + 2 (x \cdot - 7) + 2 (- 1 \cdot - 7) + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Etapa 1.4.7.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2 (45 x^{1 + 2}) + 2 (- 1 (45 x^{2})) + 2 (x (10 x)) + 2 (- 1 (10 x)) + 2 (x \cdot - 7) + 2 (- 1 \cdot - 7) + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Etapa 1.4.7.3

Some $1$ e $2$ .

$2 (45 x^{3}) + 2 (- 1 (45 x^{2})) + 2 (x (10 x)) + 2 (- 1 (10 x)) + 2 (x \cdot - 7) + 2 (- 1 \cdot - 7) + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Etapa 1.4.7.4

Multiplique $45$ por $2$ .

$90 x^{3} + 2 (- 1 (45 x^{2})) + 2 (x (10 x)) + 2 (- 1 (10 x)) + 2 (x \cdot - 7) + 2 (- 1 \cdot - 7) + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Etapa 1.4.7.5

Multiplique $45$ por $- 1$ .

$90 x^{3} + 2 (- 45 x^{2}) + 2 (x (10 x)) + 2 (- 1 (10 x)) + 2 (x \cdot - 7) + 2 (- 1 \cdot - 7) + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Etapa 1.4.7.6

Multiplique $- 45$ por $2$ .

$90 x^{3} - 90 x^{2} + 2 (x (10 x)) + 2 (- 1 (10 x)) + 2 (x \cdot - 7) + 2 (- 1 \cdot - 7) + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Etapa 1.4.7.7

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$90 x^{3} - 90 x^{2} + 2 (10 (x^{1} x)) + 2 (- 1 (10 x)) + 2 (x \cdot - 7) + 2 (- 1 \cdot - 7) + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Etapa 1.4.7.8

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$90 x^{3} - 90 x^{2} + 2 (10 (x^{1} x^{1})) + 2 (- 1 (10 x)) + 2 (x \cdot - 7) + 2 (- 1 \cdot - 7) + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Etapa 1.4.7.9

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$90 x^{3} - 90 x^{2} + 2 (10 x^{1 + 1}) + 2 (- 1 (10 x)) + 2 (x \cdot - 7) + 2 (- 1 \cdot - 7) + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Etapa 1.4.7.10

Some $1$ e $1$ .

$90 x^{3} - 90 x^{2} + 2 (10 x^{2}) + 2 (- 1 (10 x)) + 2 (x \cdot - 7) + 2 (- 1 \cdot - 7) + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Etapa 1.4.7.11

Multiplique $10$ por $2$ .

$90 x^{3} - 90 x^{2} + 20 x^{2} + 2 (- 1 (10 x)) + 2 (x \cdot - 7) + 2 (- 1 \cdot - 7) + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Etapa 1.4.7.12

Multiplique $10$ por $- 1$ .

$90 x^{3} - 90 x^{2} + 20 x^{2} + 2 (- 10 x) + 2 (x \cdot - 7) + 2 (- 1 \cdot - 7) + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Etapa 1.4.7.13

Multiplique $- 10$ por $2$ .

$90 x^{3} - 90 x^{2} + 20 x^{2} - 20 x + 2 (x \cdot - 7) + 2 (- 1 \cdot - 7) + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Etapa 1.4.7.14

Some $- 90 x^{2}$ e $20 x^{2}$ .

$90 x^{3} - 70 x^{2} - 20 x + 2 (x \cdot - 7) + 2 (- 1 \cdot - 7) + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Etapa 1.4.7.15

Mova $- 7$ para a esquerda de $x$ .

$90 x^{3} - 70 x^{2} - 20 x + 2 (- 7 \cdot x) + 2 (- 1 \cdot - 7) + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Etapa 1.4.7.16

Multiplique $- 7$ por $2$ .

$90 x^{3} - 70 x^{2} - 20 x - 14 x + 2 (- 1 \cdot - 7) + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Etapa 1.4.7.17

Multiplique $- 1$ por $- 7$ .

$90 x^{3} - 70 x^{2} - 20 x - 14 x + 2 \cdot 7 + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Etapa 1.4.7.18

Multiplique $2$ por $7$ .

$90 x^{3} - 70 x^{2} - 20 x - 14 x + 14 + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Etapa 1.4.7.19

Subtraia $14 x$ de $- 20 x$ .

$90 x^{3} - 70 x^{2} - 34 x + 14 + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Etapa 1.4.7.20

Multiplique $15$ por $2$ .

$90 x^{3} - 70 x^{2} - 34 x + 14 + 30 x^{3} + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Etapa 1.4.7.21

Some $90 x^{3}$ e $30 x^{3}$ .

$120 x^{3} - 70 x^{2} - 34 x + 14 + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Etapa 1.4.7.22

Multiplique $5$ por $2$ .

$120 x^{3} - 70 x^{2} - 34 x + 14 + 10 x^{2} + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Etapa 1.4.7.23

Some $- 70 x^{2}$ e $10 x^{2}$ .

$120 x^{3} - 60 x^{2} - 34 x + 14 + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Etapa 1.4.7.24

Multiplique $- 7$ por $2$ .

$120 x^{3} - 60 x^{2} - 34 x + 14 - 14 x + 2 \cdot - 1$

Etapa 1.4.7.25

Subtraia $14 x$ de $- 34 x$ .

$120 x^{3} - 60 x^{2} - 48 x + 14 + 2 \cdot - 1$

Etapa 1.4.7.26

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$120 x^{3} - 60 x^{2} - 48 x + 14 - 2$

Etapa 1.4.7.27

Subtraia $2$ de $14$ .

$120 x^{3} - 60 x^{2} - 48 x + 12$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $120 x^{3} - 60 x^{2} - 48 x + 12$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [120 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 60 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 48 x] + \frac{d}{d x} [12]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (120 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 60 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 48 x) + \frac{d}{d x} (12)$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [120 x^{3}]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $120$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $120 x^{3}$ em relação a $x$ é $120 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 120 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 60 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 48 x) + \frac{d}{d x} (12)$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f'' (x) = 120 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 60 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 48 x) + \frac{d}{d x} (12)$

Etapa 2.2.3

Multiplique $3$ por $120$ .

$f'' (x) = 360 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 60 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 48 x) + \frac{d}{d x} (12)$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 60 x^{2}]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $- 60$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 60 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 60 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 360 x^{2} - 60 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 48 x) + \frac{d}{d x} (12)$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = 360 x^{2} - 60 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 48 x) + \frac{d}{d x} (12)$

Etapa 2.3.3

Multiplique $2$ por $- 60$ .

$f'' (x) = 360 x^{2} - 120 x + \frac{d}{d x} (- 48 x) + \frac{d}{d x} (12)$

Etapa 2.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- 48 x]$ .

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Etapa 2.4.1

Como $- 48$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 48 x$ em relação a $x$ é $- 48 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 360 x^{2} - 120 x - 48 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (12)$

Etapa 2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 360 x^{2} - 120 x - 48 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (12)$

Etapa 2.4.3

Multiplique $- 48$ por $1$ .

$f'' (x) = 360 x^{2} - 120 x - 48 + \frac{d}{d x} (12)$

Etapa 2.5

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 2.5.1

Como $12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $12$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 360 x^{2} - 120 x - 48 + 0$

Etapa 2.5.2

Some $360 x^{2} - 120 x - 48$ e $0$ .

$f'' (x) = 360 x^{2} - 120 x - 48$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$120 x^{3} - 60 x^{2} - 48 x + 12 = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 4.1.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 (x - 1) (15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1)$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [(x - 1) (15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [(x - 1) (15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1)]$

Etapa 4.1.2

$2 ((x - 1) \frac{d}{d x} [15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1] + (15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1])$

Etapa 4.1.3

Diferencie.

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Etapa 4.1.3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [15 x^{3}] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$2 ((x - 1) (\frac{d}{d x} [15 x^{3}] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1])$

Etapa 4.1.3.2

Como $15$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $15 x^{3}$ em relação a $x$ é $15 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 ((x - 1) (15 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1])$

Etapa 4.1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$2 ((x - 1) (15 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1])$

Etapa 4.1.3.4

Multiplique $3$ por $15$ .

$2 ((x - 1) (45 x^{2} + \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1])$

Etapa 4.1.3.5

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x^{2}$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 ((x - 1) (45 x^{2} + 5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1])$

Etapa 4.1.3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 ((x - 1) (45 x^{2} + 5 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1])$

Etapa 4.1.3.7

Multiplique $2$ por $5$ .

$2 ((x - 1) (45 x^{2} + 10 x + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1])$

Etapa 4.1.3.8

Como $- 7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 7 x$ em relação a $x$ é $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 ((x - 1) (45 x^{2} + 10 x - 7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1])$

Etapa 4.1.3.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 ((x - 1) (45 x^{2} + 10 x - 7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1])$

Etapa 4.1.3.10

Multiplique $- 7$ por $1$ .

$2 ((x - 1) (45 x^{2} + 10 x - 7 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1])$

Etapa 4.1.3.11

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 ((x - 1) (45 x^{2} + 10 x - 7 + 0) + (15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1])$

Etapa 4.1.3.12

Some $45 x^{2} + 10 x - 7$ e $0$ .

$2 ((x - 1) (45 x^{2} + 10 x - 7) + (15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1])$

Etapa 4.1.3.13

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$2 ((x - 1) (45 x^{2} + 10 x - 7) + (15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]))$

Etapa 4.1.3.14

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 ((x - 1) (45 x^{2} + 10 x - 7) + (15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]))$

Etapa 4.1.3.15

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 ((x - 1) (45 x^{2} + 10 x - 7) + (15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1) (1 + 0))$

Etapa 4.1.3.16

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.1.3.16.1

Some $1$ e $0$ .

$2 ((x - 1) (45 x^{2} + 10 x - 7) + (15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1) \cdot 1)$

Etapa 4.1.3.16.2

Multiplique $15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1$ por $1$ .

$2 ((x - 1) (45 x^{2} + 10 x - 7) + 15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1)$

Etapa 4.1.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 ((x - 1) (45 x^{2} + 10 x - 7)) + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Etapa 4.1.4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$2 ((x - 1) (45 x^{2}) + (x - 1) (10 x) + (x - 1) \cdot - 7) + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Etapa 4.1.4.3

Aplique a propriedade distributiva.

$2 (x (45 x^{2}) - 1 (45 x^{2}) + (x - 1) (10 x) + (x - 1) \cdot - 7) + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Etapa 4.1.4.4

Aplique a propriedade distributiva.

$2 (x (45 x^{2}) - 1 (45 x^{2}) + x (10 x) - 1 (10 x) + (x - 1) \cdot - 7) + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Etapa 4.1.4.5

Aplique a propriedade distributiva.

$2 (x (45 x^{2}) - 1 (45 x^{2}) + x (10 x) - 1 (10 x) + x \cdot - 7 - 1 \cdot - 7) + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Etapa 4.1.4.6

Aplique a propriedade distributiva.

$2 (x (45 x^{2})) + 2 (- 1 (45 x^{2})) + 2 (x (10 x)) + 2 (- 1 (10 x)) + 2 (x \cdot - 7) + 2 (- 1 \cdot - 7) + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Etapa 4.1.4.7

Combine os termos.

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Etapa 4.1.4.7.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$2 (45 (x^{1} x^{2})) + 2 (- 1 (45 x^{2})) + 2 (x (10 x)) + 2 (- 1 (10 x)) + 2 (x \cdot - 7) + 2 (- 1 \cdot - 7) + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Etapa 4.1.4.7.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2 (45 x^{1 + 2}) + 2 (- 1 (45 x^{2})) + 2 (x (10 x)) + 2 (- 1 (10 x)) + 2 (x \cdot - 7) + 2 (- 1 \cdot - 7) + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Etapa 4.1.4.7.3

Some $1$ e $2$ .

$2 (45 x^{3}) + 2 (- 1 (45 x^{2})) + 2 (x (10 x)) + 2 (- 1 (10 x)) + 2 (x \cdot - 7) + 2 (- 1 \cdot - 7) + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Etapa 4.1.4.7.4

Multiplique $45$ por $2$ .

$90 x^{3} + 2 (- 1 (45 x^{2})) + 2 (x (10 x)) + 2 (- 1 (10 x)) + 2 (x \cdot - 7) + 2 (- 1 \cdot - 7) + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Etapa 4.1.4.7.5

Multiplique $45$ por $- 1$ .

$90 x^{3} + 2 (- 45 x^{2}) + 2 (x (10 x)) + 2 (- 1 (10 x)) + 2 (x \cdot - 7) + 2 (- 1 \cdot - 7) + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Etapa 4.1.4.7.6

Multiplique $- 45$ por $2$ .

$90 x^{3} - 90 x^{2} + 2 (x (10 x)) + 2 (- 1 (10 x)) + 2 (x \cdot - 7) + 2 (- 1 \cdot - 7) + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Etapa 4.1.4.7.7

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$90 x^{3} - 90 x^{2} + 2 (10 (x^{1} x)) + 2 (- 1 (10 x)) + 2 (x \cdot - 7) + 2 (- 1 \cdot - 7) + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Etapa 4.1.4.7.8

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$90 x^{3} - 90 x^{2} + 2 (10 (x^{1} x^{1})) + 2 (- 1 (10 x)) + 2 (x \cdot - 7) + 2 (- 1 \cdot - 7) + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Etapa 4.1.4.7.9

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$90 x^{3} - 90 x^{2} + 2 (10 x^{1 + 1}) + 2 (- 1 (10 x)) + 2 (x \cdot - 7) + 2 (- 1 \cdot - 7) + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Etapa 4.1.4.7.10

Some $1$ e $1$ .

$90 x^{3} - 90 x^{2} + 2 (10 x^{2}) + 2 (- 1 (10 x)) + 2 (x \cdot - 7) + 2 (- 1 \cdot - 7) + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Etapa 4.1.4.7.11

Multiplique $10$ por $2$ .

$90 x^{3} - 90 x^{2} + 20 x^{2} + 2 (- 1 (10 x)) + 2 (x \cdot - 7) + 2 (- 1 \cdot - 7) + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Etapa 4.1.4.7.12

Multiplique $10$ por $- 1$ .

$90 x^{3} - 90 x^{2} + 20 x^{2} + 2 (- 10 x) + 2 (x \cdot - 7) + 2 (- 1 \cdot - 7) + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Etapa 4.1.4.7.13

Multiplique $- 10$ por $2$ .

$90 x^{3} - 90 x^{2} + 20 x^{2} - 20 x + 2 (x \cdot - 7) + 2 (- 1 \cdot - 7) + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Etapa 4.1.4.7.14

Some $- 90 x^{2}$ e $20 x^{2}$ .

$90 x^{3} - 70 x^{2} - 20 x + 2 (x \cdot - 7) + 2 (- 1 \cdot - 7) + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Etapa 4.1.4.7.15

Mova $- 7$ para a esquerda de $x$ .

$90 x^{3} - 70 x^{2} - 20 x + 2 (- 7 \cdot x) + 2 (- 1 \cdot - 7) + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Etapa 4.1.4.7.16

Multiplique $- 7$ por $2$ .

$90 x^{3} - 70 x^{2} - 20 x - 14 x + 2 (- 1 \cdot - 7) + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Etapa 4.1.4.7.17

Multiplique $- 1$ por $- 7$ .

$90 x^{3} - 70 x^{2} - 20 x - 14 x + 2 \cdot 7 + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Etapa 4.1.4.7.18

Multiplique $2$ por $7$ .

$90 x^{3} - 70 x^{2} - 20 x - 14 x + 14 + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Etapa 4.1.4.7.19

Subtraia $14 x$ de $- 20 x$ .

$90 x^{3} - 70 x^{2} - 34 x + 14 + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Etapa 4.1.4.7.20

Multiplique $15$ por $2$ .

$90 x^{3} - 70 x^{2} - 34 x + 14 + 30 x^{3} + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Etapa 4.1.4.7.21

Some $90 x^{3}$ e $30 x^{3}$ .

$120 x^{3} - 70 x^{2} - 34 x + 14 + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Etapa 4.1.4.7.22

Multiplique $5$ por $2$ .

$120 x^{3} - 70 x^{2} - 34 x + 14 + 10 x^{2} + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Etapa 4.1.4.7.23

Some $- 70 x^{2}$ e $10 x^{2}$ .

$120 x^{3} - 60 x^{2} - 34 x + 14 + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Etapa 4.1.4.7.24

Multiplique $- 7$ por $2$ .

$120 x^{3} - 60 x^{2} - 34 x + 14 - 14 x + 2 \cdot - 1$

Etapa 4.1.4.7.25

Subtraia $14 x$ de $- 34 x$ .

$120 x^{3} - 60 x^{2} - 48 x + 14 + 2 \cdot - 1$

Etapa 4.1.4.7.26

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$120 x^{3} - 60 x^{2} - 48 x + 14 - 2$

Etapa 4.1.4.7.27

Subtraia $2$ de $14$ .

$f' (x) = 120 x^{3} - 60 x^{2} - 48 x + 12$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $120 x^{3} - 60 x^{2} - 48 x + 12$ .

$120 x^{3} - 60 x^{2} - 48 x + 12$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $120 x^{3} - 60 x^{2} - 48 x + 12 = 0$ .

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Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$120 x^{3} - 60 x^{2} - 48 x + 12 = 0$

Etapa 5.2

Represente cada lado da equação em um gráfico. A solução é o valor x do ponto de intersecção.

$x \approx - 0.55223569, 0.21673477, 0.83550091$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 6.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = - 0.55223569, 0.21673477, 0.83550091$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = - 0.55223569$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$360 {(- 0.55223569)}^{2} - 120 \cdot - 0.55223569 - 48$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 9.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 9.1.1

Eleve $- 0.55223569$ à potência de $2$ .

$360 \cdot 0.30496425 - 120 \cdot - 0.55223569 - 48$

Etapa 9.1.2

Multiplique $360$ por $0.30496425$ .

$109.78713273 - 120 \cdot - 0.55223569 - 48$

Etapa 9.1.3

Multiplique $- 120$ por $- 0.55223569$ .

$109.78713273 + 66.26828283 - 48$

Etapa 9.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 9.2.1

Some $109.78713273$ e $66.26828283$ .

$176.05541557 - 48$

Etapa 9.2.2

Subtraia $48$ de $176.05541557$ .

$128.05541557$

Etapa 10

$x = - 0.55223569$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = - 0.55223569$ é um mínimo local

Etapa 11

Encontre o valor y quando $x = - 0.55223569$ .

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Etapa 11.1

Substitua a variável $x$ por $- 0.55223569$ na expressão.

$f (- 0.55223569) = 2 ((- 0.55223569) - 1) (15 {(- 0.55223569)}^{3} + 5 {(- 0.55223569)}^{2} - 7 \cdot - 0.55223569 - 1)$

Etapa 11.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 11.2.1

Simplifique a expressão.

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Etapa 11.2.1.1

Subtraia $1$ de $- 0.55223569$ .

$f (- 0.55223569) = 2 \cdot (- 1.55223569 (15 {(- 0.55223569)}^{3} + 5 {(- 0.55223569)}^{2} - 7 \cdot - 0.55223569 - 1))$

Etapa 11.2.1.2

Multiplique $2$ por $- 1.55223569$ .

$f (- 0.55223569) = - 3.10447138 (15 {(- 0.55223569)}^{3} + 5 {(- 0.55223569)}^{2} - 7 \cdot - 0.55223569 - 1)$

Etapa 11.2.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 11.2.2.1

Eleve $- 0.55223569$ à potência de $3$ .

$f (- 0.55223569) = - 3.10447138 (15 \cdot - 0.16841214 + 5 {(- 0.55223569)}^{2} - 7 \cdot - 0.55223569 - 1)$

Etapa 11.2.2.2

Multiplique $15$ por $- 0.16841214$ .

$f (- 0.55223569) = - 3.10447138 (- 2.5261822 + 5 {(- 0.55223569)}^{2} - 7 \cdot - 0.55223569 - 1)$

Etapa 11.2.2.3

Eleve $- 0.55223569$ à potência de $2$ .

$f (- 0.55223569) = - 3.10447138 (- 2.5261822 + 5 \cdot 0.30496425 - 7 \cdot - 0.55223569 - 1)$

Etapa 11.2.2.4

Multiplique $5$ por $0.30496425$ .

$f (- 0.55223569) = - 3.10447138 (- 2.5261822 + 1.52482128 - 7 \cdot - 0.55223569 - 1)$

Etapa 11.2.2.5

Multiplique $- 7$ por $- 0.55223569$ .

$f (- 0.55223569) = - 3.10447138 (- 2.5261822 + 1.52482128 + 3.86564983 - 1)$

Etapa 11.2.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 11.2.3.1

Some $- 2.5261822$ e $1.52482128$ .

$f (- 0.55223569) = - 3.10447138 (- 1.00136092 + 3.86564983 - 1)$

Etapa 11.2.3.2

Some $- 1.00136092$ e $3.86564983$ .

$f (- 0.55223569) = - 3.10447138 (2.86428891 - 1)$

Etapa 11.2.3.3

Subtraia $1$ de $2.86428891$ .

$f (- 0.55223569) = - 3.10447138 \cdot 1.86428891$

Etapa 11.2.3.4

Multiplique $- 3.10447138$ por $1.86428891$ .

$f (- 0.55223569) = - 5.78763156$

Etapa 11.2.4

A resposta final é $- 5.78763156$ .

$y = - 5.78763156$

Etapa 12

Avalie a segunda derivada em $x = 0.21673477$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$360 {(0.21673477)}^{2} - 120 \cdot 0.21673477 - 48$

Etapa 13

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.1

Eleve $0.21673477$ à potência de $2$ .

$360 \cdot 0.04697396 - 120 \cdot 0.21673477 - 48$

Etapa 13.1.2

Multiplique $360$ por $0.04697396$ .

$16.91062653 - 120 \cdot 0.21673477 - 48$

Etapa 13.1.3

Multiplique $- 120$ por $0.21673477$ .

$16.91062653 - 26.00817297 - 48$

Etapa 13.2

Simplifique subtraindo os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.1

Subtraia $26.00817297$ de $16.91062653$ .

$- 9.09754643 - 48$

Etapa 13.2.2

Subtraia $48$ de $- 9.09754643$ .

$- 57.09754643$

Etapa 14

$x = 0.21673477$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 0.21673477$ é um máximo local

Etapa 15

Encontre o valor y quando $x = 0.21673477$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.1

Substitua a variável $x$ por $0.21673477$ na expressão.

$f (0.21673477) = 2 ((0.21673477) - 1) (15 {(0.21673477)}^{3} + 5 {(0.21673477)}^{2} - 7 \cdot 0.21673477 - 1)$

Etapa 15.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.1

Subtraia $1$ de $0.21673477$ .

$f (0.21673477) = 2 \cdot (- 0.78326522 (15 {(0.21673477)}^{3} + 5 {(0.21673477)}^{2} - 7 \cdot 0.21673477 - 1))$

Etapa 15.2.1.2

Multiplique $2$ por $- 0.78326522$ .

$f (0.21673477) = - 1.56653045 (15 {(0.21673477)}^{3} + 5 {(0.21673477)}^{2} - 7 \cdot 0.21673477 - 1)$

Etapa 15.2.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.2.1

Eleve $0.21673477$ à potência de $3$ .

$f (0.21673477) = - 1.56653045 (15 \cdot 0.01018089 + 5 {(0.21673477)}^{2} - 7 \cdot 0.21673477 - 1)$

Etapa 15.2.2.2

Multiplique $15$ por $0.01018089$ .

$f (0.21673477) = - 1.56653045 (0.15271336 + 5 {(0.21673477)}^{2} - 7 \cdot 0.21673477 - 1)$

Etapa 15.2.2.3

Eleve $0.21673477$ à potência de $2$ .

$f (0.21673477) = - 1.56653045 (0.15271336 + 5 \cdot 0.04697396 - 7 \cdot 0.21673477 - 1)$

Etapa 15.2.2.4

Multiplique $5$ por $0.04697396$ .

$f (0.21673477) = - 1.56653045 (0.15271336 + 0.23486981 - 7 \cdot 0.21673477 - 1)$

Etapa 15.2.2.5

Multiplique $- 7$ por $0.21673477$ .

$f (0.21673477) = - 1.56653045 (0.15271336 + 0.23486981 - 1.51714342 - 1)$

Etapa 15.2.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.3.1

Some $0.15271336$ e $0.23486981$ .

$f (0.21673477) = - 1.56653045 (0.38758318 - 1.51714342 - 1)$

Etapa 15.2.3.2

Subtraia $1.51714342$ de $0.38758318$ .

$f (0.21673477) = - 1.56653045 (- 1.12956024 - 1)$

Etapa 15.2.3.3

Subtraia $1$ de $- 1.12956024$ .

$f (0.21673477) = - 1.56653045 \cdot - 2.12956024$

Etapa 15.2.3.4

Multiplique $- 1.56653045$ por $- 2.12956024$ .

$f (0.21673477) = 3.33602096$

Etapa 15.2.4

A resposta final é $3.33602096$ .

$y = 3.33602096$

Etapa 16

Avalie a segunda derivada em $x = 0.83550091$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$360 {(0.83550091)}^{2} - 120 \cdot 0.83550091 - 48$

Etapa 17

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.1.1

Eleve $0.83550091$ à potência de $2$ .

$360 \cdot 0.69806177 - 120 \cdot 0.83550091 - 48$

Etapa 17.1.2

Multiplique $360$ por $0.69806177$ .

$251.30224072 - 120 \cdot 0.83550091 - 48$

Etapa 17.1.3

Multiplique $- 120$ por $0.83550091$ .

$251.30224072 - 100.26010986 - 48$

Etapa 17.2

Simplifique subtraindo os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.2.1

Subtraia $100.26010986$ de $251.30224072$ .

$151.04213086 - 48$

Etapa 17.2.2

Subtraia $48$ de $151.04213086$ .

$103.04213086$

Etapa 18

$x = 0.83550091$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 0.83550091$ é um mínimo local

Etapa 19

Encontre o valor y quando $x = 0.83550091$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.1

Substitua a variável $x$ por $0.83550091$ na expressão.

$f (0.83550091) = 2 ((0.83550091) - 1) (15 {(0.83550091)}^{3} + 5 {(0.83550091)}^{2} - 7 \cdot 0.83550091 - 1)$

Etapa 19.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.2.1

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.2.1.1

Subtraia $1$ de $0.83550091$ .

$f (0.83550091) = 2 \cdot (- 0.16449908 (15 {(0.83550091)}^{3} + 5 {(0.83550091)}^{2} - 7 \cdot 0.83550091 - 1))$

Etapa 19.2.1.2

Multiplique $2$ por $- 0.16449908$ .

$f (0.83550091) = - 0.32899816 (15 {(0.83550091)}^{3} + 5 {(0.83550091)}^{2} - 7 \cdot 0.83550091 - 1)$

Etapa 19.2.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.2.2.1

Eleve $0.83550091$ à potência de $3$ .

$f (0.83550091) = - 0.32899816 (15 \cdot 0.58323125 + 5 {(0.83550091)}^{2} - 7 \cdot 0.83550091 - 1)$

Etapa 19.2.2.2

Multiplique $15$ por $0.58323125$ .

$f (0.83550091) = - 0.32899816 (8.74846884 + 5 {(0.83550091)}^{2} - 7 \cdot 0.83550091 - 1)$

Etapa 19.2.2.3

Eleve $0.83550091$ à potência de $2$ .

$f (0.83550091) = - 0.32899816 (8.74846884 + 5 \cdot 0.69806177 - 7 \cdot 0.83550091 - 1)$

Etapa 19.2.2.4

Multiplique $5$ por $0.69806177$ .

$f (0.83550091) = - 0.32899816 (8.74846884 + 3.49030889 - 7 \cdot 0.83550091 - 1)$

Etapa 19.2.2.5

Multiplique $- 7$ por $0.83550091$ .

$f (0.83550091) = - 0.32899816 (8.74846884 + 3.49030889 - 5.8485064 - 1)$

Etapa 19.2.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.2.3.1

Some $8.74846884$ e $3.49030889$ .

$f (0.83550091) = - 0.32899816 (12.23877774 - 5.8485064 - 1)$

Etapa 19.2.3.2

Subtraia $5.8485064$ de $12.23877774$ .

$f (0.83550091) = - 0.32899816 (6.39027133 - 1)$

Etapa 19.2.3.3

Subtraia $1$ de $6.39027133$ .

$f (0.83550091) = - 0.32899816 \cdot 5.39027133$

Etapa 19.2.3.4

Multiplique $- 0.32899816$ por $5.39027133$ .

$f (0.83550091) = - 1.77338939$

Etapa 19.2.4

A resposta final é $- 1.77338939$ .

$y = - 1.77338939$

Etapa 20

Esses são os extremos locais para $f (x) = 2 (x - 1) (15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1)$ .

$(- 0.55223569, - 5.78763156)$ é um mínimo local

$(0.21673477, 3.33602096)$ é um máximo local

$(0.83550091, - 1.77338939)$ é um mínimo local

Etapa 21