Cálculo Exemplos

$f (x) = 2 x - \sqrt{16 - x^{2}}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x - \sqrt{16 - x^{2}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{16 - x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{16 - x^{2}}]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{16 - x^{2}}]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{16 - x^{2}}]$

Etapa 1.2.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{16 - x^{2}}]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- \sqrt{16 - x^{2}}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{16 - x^{2}}$ como ${(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 1.3.2

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$ .

$2 - \frac{d}{d x} [{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 1.3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 16 - x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $16 - x^{2}$ .

$2 - (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [16 - x^{2}])$

Etapa 1.3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$2 - (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [16 - x^{2}])$

Etapa 1.3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $16 - x^{2}$ .

$2 - (\frac{1}{2} {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [16 - x^{2}])$

Etapa 1.3.4

De acordo com a regra da soma, a derivada de $16 - x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$2 - (\frac{1}{2} {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]))$

Etapa 1.3.5

Como $16$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $16$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 - (\frac{1}{2} {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]))$

Etapa 1.3.6

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 - (\frac{1}{2} {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]))$

Etapa 1.3.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 - (\frac{1}{2} {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - (2 x)))$

Etapa 1.3.8

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$2 - (\frac{1}{2} {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 - (2 x)))$

Etapa 1.3.9

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$2 - (\frac{1}{2} {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 - (2 x)))$

Etapa 1.3.10

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$2 - (\frac{1}{2} {(16 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 - (2 x)))$

Etapa 1.3.11

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.11.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$2 - (\frac{1}{2} {(16 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 - (2 x)))$

Etapa 1.3.11.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$2 - (\frac{1}{2} {(16 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} (0 - (2 x)))$

Etapa 1.3.12

Mova o número negativo para a frente da fração.

$2 - (\frac{1}{2} {(16 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (0 - (2 x)))$

Etapa 1.3.13

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$2 - (\frac{1}{2} {(16 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (0 - 2 x))$

Etapa 1.3.14

Subtraia $2 x$ de $0$ .

$2 - (\frac{1}{2} {(16 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (- 2 x))$

Etapa 1.3.15

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(16 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$2 - (\frac{{(16 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} (- 2 x))$

Etapa 1.3.16

Combine $- 2$ e $\frac{{(16 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$2 - (\frac{- 2 {(16 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} x)$

Etapa 1.3.17

Combine $\frac{- 2 {(16 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ e $x$ .

$2 - \frac{- 2 {(16 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} x}{2}$

Etapa 1.3.18

Mova ${(16 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 - \frac{- 2 x}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.3.19

Fatore $2$ de $- 2 x$ .

$2 - \frac{2 (- x)}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.3.20

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.20.1

Fatore $2$ de $2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$2 - \frac{2 (- x)}{2 ({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

Etapa 1.3.20.2

Cancele o fator comum.

$2 - \frac{2 (- x)}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.3.20.3

Reescreva a expressão.

$2 - \frac{- x}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.3.21

Mova o número negativo para a frente da fração.

$2 - - \frac{x}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.3.22

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$2 + 1 \frac{x}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.3.23

Multiplique $\frac{x}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ por $1$ .

$2 + \frac{x}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.4

Reordene os termos.

$\frac{x}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + 2$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{x}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{x}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{x}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d x} (2)$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{x}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (2)$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (2)$

Etapa 2.2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 16 - x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $16 - x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (16 - x^{2}))}{{({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (2)$

Etapa 2.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (16 - x^{2}))}{{({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (2)$

Etapa 2.2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $16 - x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x (\frac{1}{2} \cdot {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (16 - x^{2}))}{{({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (2)$

Etapa 2.2.4

De acordo com a regra da soma, a derivada de $16 - x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x (\frac{1}{2} \cdot ({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} (16) + \frac{d}{d x} (- x^{2}))))}{{({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (2)$

Etapa 2.2.5

Como $16$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $16$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x (\frac{1}{2} \cdot ({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d x} (- x^{2}))))}{{({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (2)$

Etapa 2.2.6

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x (\frac{1}{2} \cdot ({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - \frac{d}{d x} x^{2})))}{{({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (2)$

Etapa 2.2.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x (\frac{1}{2} \cdot ({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - (2 x))))}{{({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (2)$

Etapa 2.2.8

Multiplique ${(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot ({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - (2 x))))}{{({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (2)$

Etapa 2.2.9

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot ({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 - (2 x))))}{{({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (2)$

Etapa 2.2.10

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot ({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 - (2 x))))}{{({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (2)$

Etapa 2.2.11

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = \frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot ({(16 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 - (2 x))))}{{({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (2)$

Etapa 2.2.12

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.12.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot ({(16 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 - (2 x))))}{{({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (2)$

Etapa 2.2.12.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot ({(16 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} (0 - (2 x))))}{{({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (2)$

Etapa 2.2.13

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = \frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot ({(16 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (0 - (2 x))))}{{({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (2)$

Etapa 2.2.14

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot ({(16 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (0 - 2 x)))}{{({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (2)$

Etapa 2.2.15

Subtraia $2 x$ de $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot ({(16 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (- 2 x)))}{{({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (2)$

Etapa 2.2.16

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(16 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{{(16 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot (- 2 x))}{{({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (2)$

Etapa 2.2.17

Combine $- 2$ e $\frac{{(16 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{- 2 {(16 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot x)}{{({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (2)$

Etapa 2.2.18

Combine $\frac{- 2 {(16 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ e $x$ .

$f'' (x) = \frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x \frac{- 2 {(16 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} x}{2}}{{({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (2)$

Etapa 2.2.19

Mova ${(16 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x \frac{- 2 x}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (2)$

Etapa 2.2.20

Fatore $2$ de $- 2 x$ .

$f'' (x) = \frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x \frac{2 (- x)}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (2)$

Etapa 2.2.21

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.21.1

Fatore $2$ de $2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x \frac{2 (- x)}{2 ({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}}{{({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (2)$

Etapa 2.2.21.2

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = \frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x \frac{2 (- x)}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (2)$

Etapa 2.2.21.3

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = \frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x \frac{- x}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (2)$

Etapa 2.2.22

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = \frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (- \frac{x}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}{{({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (2)$

Etapa 2.2.23

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + 1 x (\frac{x}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}{{({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (2)$

Etapa 2.2.24

Multiplique $x$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + x (\frac{x}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}{{({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (2)$

Etapa 2.2.25

Combine $x$ e $\frac{x}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x \cdot x}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (2)$

Etapa 2.2.26

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x \cdot x}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (2)$

Etapa 2.2.27

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x \cdot x}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (2)$

Etapa 2.2.28

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{1 + 1}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (2)$

Etapa 2.2.29

Some $1$ e $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{2}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (2)$

Etapa 2.2.30

Para escrever ${(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{2}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (2)$

Etapa 2.2.31

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = \frac{\frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + x^{2}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (2)$

Etapa 2.2.32

Multiplique ${(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ por ${(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.32.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{\frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + x^{2}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (2)$

Etapa 2.2.32.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = \frac{\frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}} + x^{2}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (2)$

Etapa 2.2.32.3

Some $1$ e $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{2}{2}} + x^{2}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (2)$

Etapa 2.2.32.4

Divida $2$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{(16 - x^{2}) + x^{2}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (2)$

Etapa 2.2.33

Simplifique ${(16 - x^{2})}^{1}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{16 - x^{2} + x^{2}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (2)$

Etapa 2.2.34

Some $- x^{2}$ e $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{16 + 0}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (2)$

Etapa 2.2.35

Some $16$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{16}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (2)$

Etapa 2.2.36

Multiplique os expoentes em ${({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.36.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{16}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + \frac{d}{d x} (2)$

Etapa 2.2.36.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.36.2.1

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = \frac{\frac{16}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + \frac{d}{d x} (2)$

Etapa 2.2.36.2.2

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = \frac{\frac{16}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{16 - x^{2}} + \frac{d}{d x} (2)$

Etapa 2.2.37

Simplifique.

$f'' (x) = \frac{\frac{16}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{16 - x^{2}} + \frac{d}{d x} (2)$

Etapa 2.2.38

Reescreva $\frac{\frac{16}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{16 - x^{2}}$ como um produto.

$f'' (x) = \frac{16}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{16 - x^{2}} + \frac{d}{d x} (2)$

Etapa 2.2.39

Multiplique $\frac{16}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{1}{16 - x^{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{16}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (16 - x^{2})} + \frac{d}{d x} (2)$

Etapa 2.2.40

Multiplique ${(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ por $16 - x^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.40.1

Multiplique ${(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ por $16 - x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.40.1.1

Eleve $16 - x^{2}$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = \frac{16}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (16 - x^{2})} + \frac{d}{d x} (2)$

Etapa 2.2.40.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{16}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + 1}} + \frac{d}{d x} (2)$

Etapa 2.2.40.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$f'' (x) = \frac{16}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}} + \frac{d}{d x} (2)$

Etapa 2.2.40.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = \frac{16}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1 + 2}{2}}} + \frac{d}{d x} (2)$

Etapa 2.2.40.4

Some $1$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{16}{{(16 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d x} (2)$

Etapa 2.3

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = \frac{16}{{(16 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + 0$

Etapa 2.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Some $\frac{16}{{(16 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{16}{{(16 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 2.4.2

Reordene os termos.

$f'' (x) = \frac{16}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$\frac{x}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + 2 = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x - \sqrt{16 - x^{2}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{16 - x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{16 - x^{2}}]$

Etapa 4.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{16 - x^{2}}]$

Etapa 4.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{16 - x^{2}}]$

Etapa 4.1.2.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{16 - x^{2}}]$

Etapa 4.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- \sqrt{16 - x^{2}}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{16 - x^{2}}$ como ${(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 4.1.3.2

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$ .

$2 - \frac{d}{d x} [{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 4.1.3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 16 - x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $16 - x^{2}$ .

$2 - (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [16 - x^{2}])$

Etapa 4.1.3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$2 - (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [16 - x^{2}])$

Etapa 4.1.3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $16 - x^{2}$ .

$2 - (\frac{1}{2} {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [16 - x^{2}])$

Etapa 4.1.3.4

De acordo com a regra da soma, a derivada de $16 - x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$2 - (\frac{1}{2} {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]))$

Etapa 4.1.3.5

Como $16$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $16$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 - (\frac{1}{2} {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]))$

Etapa 4.1.3.6

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 - (\frac{1}{2} {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]))$

Etapa 4.1.3.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 - (\frac{1}{2} {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - (2 x)))$

Etapa 4.1.3.8

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$2 - (\frac{1}{2} {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 - (2 x)))$

Etapa 4.1.3.9

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$2 - (\frac{1}{2} {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 - (2 x)))$

Etapa 4.1.3.10

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$2 - (\frac{1}{2} {(16 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 - (2 x)))$

Etapa 4.1.3.11

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.11.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$2 - (\frac{1}{2} {(16 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 - (2 x)))$

Etapa 4.1.3.11.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$2 - (\frac{1}{2} {(16 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} (0 - (2 x)))$

Etapa 4.1.3.12

Mova o número negativo para a frente da fração.

$2 - (\frac{1}{2} {(16 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (0 - (2 x)))$

Etapa 4.1.3.13

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$2 - (\frac{1}{2} {(16 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (0 - 2 x))$

Etapa 4.1.3.14

Subtraia $2 x$ de $0$ .

$2 - (\frac{1}{2} {(16 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (- 2 x))$

Etapa 4.1.3.15

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(16 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$2 - (\frac{{(16 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} (- 2 x))$

Etapa 4.1.3.16

Combine $- 2$ e $\frac{{(16 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$2 - (\frac{- 2 {(16 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} x)$

Etapa 4.1.3.17

Combine $\frac{- 2 {(16 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ e $x$ .

$2 - \frac{- 2 {(16 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} x}{2}$

Etapa 4.1.3.18

Mova ${(16 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 - \frac{- 2 x}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.1.3.19

Fatore $2$ de $- 2 x$ .

$2 - \frac{2 (- x)}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.1.3.20

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.20.1

Fatore $2$ de $2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$2 - \frac{2 (- x)}{2 ({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

Etapa 4.1.3.20.2

Cancele o fator comum.

$2 - \frac{2 (- x)}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.1.3.20.3

Reescreva a expressão.

$2 - \frac{- x}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.1.3.21

Mova o número negativo para a frente da fração.

$2 - - \frac{x}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.1.3.22

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$2 + 1 \frac{x}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.1.3.23

Multiplique $\frac{x}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ por $1$ .

$2 + \frac{x}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.1.4

Reordene os termos.

$f' (x) = \frac{x}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + 2$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{x}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + 2$ .

$\frac{x}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + 2$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{x}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + 2 = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\frac{x}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + 2 = 0$

Etapa 5.2

Represente cada lado da equação em um gráfico. A solução é o valor x do ponto de intersecção.

$x \approx - 3.57770876$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Converta expressões com expoentes fracionários em radicais.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1

Aplique a regra $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescrever a exponenciação como um radical.

$\frac{x}{\sqrt{{(16 - x^{2})}^{1}}} + 2$

Etapa 6.1.2

Qualquer número elevado a $1$ é a própria base.

$\frac{x}{\sqrt{16 - x^{2}}} + 2$

Etapa 6.2

Defina o denominador em $\frac{x}{\sqrt{16 - x^{2}}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$\sqrt{16 - x^{2}} = 0$

Etapa 6.3

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao quadrado os dois lados da equação.

${\sqrt{16 - x^{2}}}^{2} = 0^{2}$

Etapa 6.3.2

Simplifique cada lado da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{16 - x^{2}}$ como ${(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Etapa 6.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.2.1

Simplifique ${({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.2.1.1

Multiplique os expoentes em ${({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.2.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Etapa 6.3.2.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

${(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Etapa 6.3.2.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

${(16 - x^{2})}^{1} = 0^{2}$

Etapa 6.3.2.2.1.2

Simplifique.

$16 - x^{2} = 0^{2}$

Etapa 6.3.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$16 - x^{2} = 0$

Etapa 6.3.3

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.1

Subtraia $16$ dos dois lados da equação.

$- x^{2} = - 16$

Etapa 6.3.3.2

Divida cada termo em $- x^{2} = - 16$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.2.1

Divida cada termo em $- x^{2} = - 16$ por $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 16}{- 1}$

Etapa 6.3.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 16}{- 1}$

Etapa 6.3.3.2.2.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{- 16}{- 1}$

Etapa 6.3.3.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.2.3.1

Divida $- 16$ por $- 1$ .

$x^{2} = 16$

Etapa 6.3.3.3

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{16}$

Etapa 6.3.3.4

Simplifique $\pm \sqrt{16}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.4.1

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{4^{2}}$

Etapa 6.3.3.4.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 4$

Etapa 6.3.3.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 4$

Etapa 6.3.3.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 4$

Etapa 6.3.3.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 4, - 4$

Etapa 6.4

Defina o radicando em $\sqrt{16 - x^{2}}$ como menor do que $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$16 - x^{2} < 0$

Etapa 6.5

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.1

Subtraia $16$ dos dois lados da desigualdade.

$- x^{2} < - 16$

Etapa 6.5.2

Divida cada termo em $- x^{2} < - 16$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.2.1

Divida cada termo em $- x^{2} < - 16$ por $- 1$ . Ao multiplicar ou dividir os dois lados de uma desigualdade por um valor negativo, inverta a direção do sinal de desigualdade.

$\frac{- x^{2}}{- 1} > \frac{- 16}{- 1}$

Etapa 6.5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x^{2}}{1} > \frac{- 16}{- 1}$

Etapa 6.5.2.2.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} > \frac{- 16}{- 1}$

Etapa 6.5.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.2.3.1

Divida $- 16$ por $- 1$ .

$x^{2} > 16$

Etapa 6.5.3

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da desigualdade para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$\sqrt{x^{2}} > \sqrt{16}$

Etapa 6.5.4

Simplifique a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.4.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.4.1.1

Elimine os termos abaixo do radical.

$| x | > \sqrt{16}$

Etapa 6.5.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.4.2.1

Simplifique $\sqrt{16}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.4.2.1.1

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$| x | > \sqrt{4^{2}}$

Etapa 6.5.4.2.1.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$| x | > | 4 |$

Etapa 6.5.4.2.1.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $4$ é $4$ .

$| x | > 4$

Etapa 6.5.5

Escreva $| x | > 4$ em partes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.5.1

Para encontrar o intervalo da primeira parte, identifique onde o interior do valor absoluto é não negativo.

$x \geq 0$

Etapa 6.5.5.2

Na parte em que $x$ é não negativo, remova o valor absoluto.

$x > 4$

Etapa 6.5.5.3

Para encontrar o intervalo da segunda parte, identifique onde o interior do valor absoluto é negativo.

$x < 0$

Etapa 6.5.5.4

Na parte em que $x$ é negativo, remova o valor absoluto e multiplique por $- 1$ .

$- x > 4$

Etapa 6.5.5.5

Escreva em partes.

${\begin{cases} x > 4 & x \geq 0 \\ - x > 4 & x < 0 \end{cases}$

Etapa 6.5.6

Encontre a intersecção de $x > 4$ e $x \geq 0$ .

$x > 4$

Etapa 6.5.7

Divida cada termo em $- x > 4$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.7.1

Divida cada termo em $- x > 4$ por $- 1$ . Ao multiplicar ou dividir os dois lados de uma desigualdade por um valor negativo, inverta a direção do sinal de desigualdade.

$\frac{- x}{- 1} < \frac{4}{- 1}$

Etapa 6.5.7.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.7.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x}{1} < \frac{4}{- 1}$

Etapa 6.5.7.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$x < \frac{4}{- 1}$

Etapa 6.5.7.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.7.3.1

Divida $4$ por $- 1$ .

$x < - 4$

Etapa 6.5.8

Encontre a união das soluções.

$x < - 4$ ou $x > 4$

Etapa 6.6

A equação é indefinida quando o denominador é igual a $0$ , o argumento de uma raiz quadrada é menor do que $0$ ou o argumento de um logaritmo é menor do que ou igual a $0$ .

$x \leq - 4, x \geq 4$

$(- \infty, - 4] \cup [4, \infty)$

$x \leq - 4, x \geq 4$

$(- \infty, - 4] \cup [4, \infty)$

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = - 3.57770876, - 4, 4$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = - 3.57770876$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$\frac{16}{{(- {(- 3.57770876)}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1.1

Eleve $- 3.57770876$ à potência de $2$ .

$\frac{16}{{(- 1 \cdot 12.8 + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 9.1.1.2

Multiplique $- 1$ por $12.8$ .

$\frac{16}{{(- 12.8 + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 9.1.2

Some $- 12.8$ e $16$ .

$\frac{16}{{3.19999999}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 9.1.3

Reescreva $3.19999999$ como ${1.78885438}^{2}$ .

$\frac{16}{{({1.78885438}^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 9.1.4

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{16}{{1.78885438}^{2 (\frac{3}{2})}}$

Etapa 9.1.5

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{16}{{1.78885438}^{2 (\frac{3}{2})}}$

Etapa 9.1.5.2

Reescreva a expressão.

$\frac{16}{{1.78885438}^{3}}$

Etapa 9.1.6

Eleve $1.78885438$ à potência de $3$ .

$\frac{16}{5.72433402}$

Etapa 9.2

Divida $16$ por $5.72433402$ .

$2.79508497$

Etapa 10

$x = - 3.57770876$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = - 3.57770876$ é um mínimo local

Etapa 11

Encontre o valor y quando $x = - 3.57770876$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Substitua a variável $x$ por $- 3.57770876$ na expressão.

$f (- 3.57770876) = 2 (- 3.57770876) - \sqrt{16 - {(- 3.57770876)}^{2}}$

Etapa 11.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.1

Multiplique $2$ por $- 3.57770876$ .

$f (- 3.57770876) = - 7.15541752 - \sqrt{16 - {(- 3.57770876)}^{2}}$

Etapa 11.2.1.2

Eleve $- 3.57770876$ à potência de $2$ .

$f (- 3.57770876) = - 7.15541752 - \sqrt{16 - 1 \cdot 12.8}$

Etapa 11.2.1.3

Multiplique $- 1$ por $12.8$ .

$f (- 3.57770876) = - 7.15541752 - \sqrt{16 - 12.8}$

Etapa 11.2.1.4

Subtraia $12.8$ de $16$ .

$f (- 3.57770876) = - 7.15541752 - \sqrt{3.19999999}$

Etapa 11.2.2

Subtraia $\sqrt{3.19999999}$ de $- 7.15541752$ .

$f (- 3.57770876) = - 8.9442719$

Etapa 11.2.3

A resposta final é $- 8.9442719$ .

$y = - 8.9442719$

Etapa 12

Avalie a segunda derivada em $x = - 4$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$\frac{16}{{(- {(- 4)}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 13

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.1

Eleve $- 4$ à potência de $2$ .

$\frac{16}{{(- 1 \cdot 16 + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 13.1.2

Multiplique $- 1$ por $16$ .

$\frac{16}{{(- 16 + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 13.2

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.1

Some $- 16$ e $16$ .

$\frac{16}{0^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 13.2.2

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.2.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$\frac{16}{{(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 13.2.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{16}{0^{2 (\frac{3}{2})}}$

Etapa 13.2.3

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{16}{0^{2 (\frac{3}{2})}}$

Etapa 13.2.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{16}{0^{3}}$

Etapa 13.2.4

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{16}{0}$

Etapa 13.2.5

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{16}{0}$

Etapa 13.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

Etapa 14

Como o teste da primeira derivada falhou, não há um extremo local.

Nenhum extremo local

Etapa 15