Cálculo Exemplos

$f (x) = 2 \cos (x) + \cos (2 x)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

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Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 \cos (x) + \cos (2 x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

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Etapa 1.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 \cos (x)$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Etapa 1.2.2

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$2 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Etapa 1.2.3

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- 2 \sin (x) + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

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Etapa 1.3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 1.3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x$ .

$- 2 \sin (x) + \frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 1.3.1.2

A derivada de $\cos (u)$ em relação a $u$ é $- \sin (u)$ .

$- 2 \sin (x) - \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 1.3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x$ .

$- 2 \sin (x) - \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 1.3.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \sin (x) - \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 2 \sin (x) - \sin (2 x) (2 \cdot 1)$

Etapa 1.3.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$- 2 \sin (x) - \sin (2 x) \cdot 2$

Etapa 1.3.5

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- 2 \sin (x) - 2 \sin (2 x)$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 2 \sin (x) - 2 \sin (2 x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (2 x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 2 \sin (x)) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (2 x))$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 \sin (x)$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} \sin (x) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (2 x))$

Etapa 2.2.2

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 2 \cos (x) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (2 x))$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2 \sin (2 x)]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 \sin (2 x)$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$f'' (x) = - 2 \cos (x) - 2 \frac{d}{d x} \sin (2 x)$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 2.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x$ .

$f'' (x) = - 2 \cos (x) - 2 (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (2 x))$

Etapa 2.3.2.2

A derivada de $\sin (u)$ em relação a $u$ é $\cos (u)$ .

$f'' (x) = - 2 \cos (x) - 2 (\cos (u) \frac{d}{d x} (2 x))$

Etapa 2.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x$ .

$f'' (x) = - 2 \cos (x) - 2 (\cos (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

Etapa 2.3.3

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 2 \cos (x) - 2 (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x)))$

Etapa 2.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = - 2 \cos (x) - 2 (\cos (2 x) (2 \cdot 1))$

Etapa 2.3.5

Multiplique $2$ por $1$ .

$f'' (x) = - 2 \cos (x) - 2 (\cos (2 x) \cdot 2)$

Etapa 2.3.6

Mova $2$ para a esquerda de $\cos (2 x)$ .

$f'' (x) = - 2 \cos (x) - 2 (2 \cdot \cos (2 x))$

Etapa 2.3.7

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$f'' (x) = - 2 \cos (x) - 4 \cos (2 x)$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$- 2 \sin (x) - 2 \sin (2 x) = 0$

Etapa 4

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1

Aplique a fórmula do arco duplo do seno.

$- 2 \sin (x) - 2 (2 \sin (x) \cos (x)) = 0$

Etapa 4.2

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$- 2 \sin (x) - 4 \sin (x) \cos (x) = 0$

Etapa 5

Fatore $2 \sin (x)$ de $- 2 \sin (x) - 4 \sin (x) \cos (x)$ .

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Etapa 5.1

Fatore $2 \sin (x)$ de $- 2 \sin (x)$ .

$2 \sin (x) \cdot - 1 - 4 \sin (x) \cos (x) = 0$

Etapa 5.2

Fatore $2 \sin (x)$ de $- 4 \sin (x) \cos (x)$ .

$2 \sin (x) \cdot - 1 + 2 \sin (x) (- 2 \cos (x)) = 0$

Etapa 5.3

Fatore $2 \sin (x)$ de $2 \sin (x) \cdot - 1 + 2 \sin (x) (- 2 \cos (x))$ .

$2 \sin (x) (- 1 - 2 \cos (x)) = 0$

Etapa 6

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$\sin (x) = 0$

$- 1 - 2 \cos (x) = 0$

Etapa 7

Defina $\sin (x)$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 7.1

Defina $\sin (x)$ como igual a $0$ .

$\sin (x) = 0$

Etapa 7.2

Resolva $\sin (x) = 0$ para $x$ .

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Etapa 7.2.1

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$x = \arcsin (0)$

Etapa 7.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 7.2.2.1

O valor exato de $\arcsin (0)$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 7.2.3

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$x = π - 0$

Etapa 7.2.4

Subtraia $0$ de $π$ .

$x = π$

Etapa 7.2.5

A solução para a equação $x = 0$ .

$x = 0, π$

Etapa 8

Defina $- 1 - 2 \cos (x)$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 8.1

Defina $- 1 - 2 \cos (x)$ como igual a $0$ .

$- 1 - 2 \cos (x) = 0$

Etapa 8.2

Resolva $- 1 - 2 \cos (x) = 0$ para $x$ .

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Etapa 8.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$- 2 \cos (x) = 1$

Etapa 8.2.2

Divida cada termo em $- 2 \cos (x) = 1$ por $- 2$ e simplifique.

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Etapa 8.2.2.1

Divida cada termo em $- 2 \cos (x) = 1$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 \cos (x)}{- 2} = \frac{1}{- 2}$

Etapa 8.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 8.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $- 2$ .

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Etapa 8.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 2 \cos (x)}{- 2} = \frac{1}{- 2}$

Etapa 8.2.2.2.1.2

Divida $\cos (x)$ por $1$ .

$\cos (x) = \frac{1}{- 2}$

Etapa 8.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 8.2.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\cos (x) = - \frac{1}{2}$

Etapa 8.2.3

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do cosseno.

$x = \arccos (- \frac{1}{2})$

Etapa 8.2.4

Simplifique o lado direito.

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Etapa 8.2.4.1

O valor exato de $\arccos (- \frac{1}{2})$ é $\frac{2 π}{3}$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Etapa 8.2.5

A função do cosseno é negativa no segundo e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no terceiro quadrante.

$x = 2 π - \frac{2 π}{3}$

Etapa 8.2.6

Simplifique $2 π - \frac{2 π}{3}$ .

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Etapa 8.2.6.1

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Etapa 8.2.6.2

Combine frações.

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Etapa 8.2.6.2.1

Combine $2 π$ e $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Etapa 8.2.6.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

Etapa 8.2.6.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 8.2.6.3.1

Multiplique $3$ por $2$ .

$x = \frac{6 π - 2 π}{3}$

Etapa 8.2.6.3.2

Subtraia $2 π$ de $6 π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Etapa 8.2.7

A solução para a equação $x = \frac{2 π}{3}$ .

$x = \frac{2 π}{3}, \frac{4 π}{3}$

Etapa 9

A solução final são todos os valores que tornam $2 \sin (x) (- 1 - 2 \cos (x)) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, π, \frac{2 π}{3}, \frac{4 π}{3}$

Etapa 10

Avalie a segunda derivada em $x = 0$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- 2 \cos (0) - 4 \cos (2 (0))$

Etapa 11

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 11.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 11.1.1

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$- 2 \cdot 1 - 4 \cos (2 (0))$

Etapa 11.1.2

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$- 2 - 4 \cos (2 (0))$

Etapa 11.1.3

Multiplique $2$ por $0$ .

$- 2 - 4 \cos (0)$

Etapa 11.1.4

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$- 2 - 4 \cdot 1$

Etapa 11.1.5

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$- 2 - 4$

Etapa 11.2

Subtraia $4$ de $- 2$ .

$- 6$

Etapa 12

$x = 0$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 0$ é um máximo local

Etapa 13

Encontre o valor y quando $x = 0$ .

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Etapa 13.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f (0) = 2 \cos (0) + \cos (2 (0))$

Etapa 13.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 13.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.1.1

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$f (0) = 2 \cdot 1 + \cos (2 (0))$

Etapa 13.2.1.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$f (0) = 2 + \cos (2 (0))$

Etapa 13.2.1.3

Multiplique $2$ por $0$ .

$f (0) = 2 + \cos (0)$

Etapa 13.2.1.4

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$f (0) = 2 + 1$

Etapa 13.2.2

Some $2$ e $1$ .

$f (0) = 3$

Etapa 13.2.3

A resposta final é $3$ .

$y = 3$

Etapa 14

Avalie a segunda derivada em $x = π$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- 2 \cos (π) - 4 \cos (2 (π))$

Etapa 15

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 15.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.1.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$- 2 (- \cos (0)) - 4 \cos (2 (π))$

Etapa 15.1.2

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$- 2 (- 1 \cdot 1) - 4 \cos (2 (π))$

Etapa 15.1.3

Multiplique $- 2 (- 1 \cdot 1)$ .

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Etapa 15.1.3.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 2 \cdot - 1 - 4 \cos (2 (π))$

Etapa 15.1.3.2

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$2 - 4 \cos (2 (π))$

Etapa 15.1.4

Subtraia as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$2 - 4 \cos (0)$

Etapa 15.1.5

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$2 - 4 \cdot 1$

Etapa 15.1.6

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$2 - 4$

Etapa 15.2

Subtraia $4$ de $2$ .

$- 2$

Etapa 16

$x = π$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = π$ é um máximo local

Etapa 17

Encontre o valor y quando $x = π$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.1

Substitua a variável $x$ por $π$ na expressão.

$f (π) = 2 \cos (π) + \cos (2 (π))$

Etapa 17.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.2.1.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$f (π) = 2 (- \cos (0)) + \cos (2 (π))$

Etapa 17.2.1.2

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$f (π) = 2 (- 1 \cdot 1) + \cos (2 (π))$

Etapa 17.2.1.3

Multiplique $2 (- 1 \cdot 1)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.2.1.3.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f (π) = 2 \cdot - 1 + \cos (2 (π))$

Etapa 17.2.1.3.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f (π) = - 2 + \cos (2 (π))$

Etapa 17.2.1.4

Subtraia as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$f (π) = - 2 + \cos (0)$

Etapa 17.2.1.5

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$f (π) = - 2 + 1$

Etapa 17.2.2

Some $- 2$ e $1$ .

$f (π) = - 1$

Etapa 17.2.3

A resposta final é $- 1$ .

$y = - 1$

Etapa 18

Avalie a segunda derivada em $x = \frac{2 π}{3}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- 2 \cos (\frac{2 π}{3}) - 4 \cos (2 (\frac{2 π}{3}))$

Etapa 19

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 19.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.1.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$- 2 (- \cos (\frac{π}{3})) - 4 \cos (2 (\frac{2 π}{3}))$

Etapa 19.1.2

O valor exato de $\cos (\frac{π}{3})$ é $\frac{1}{2}$ .

$- 2 (- \frac{1}{2}) - 4 \cos (2 (\frac{2 π}{3}))$

Etapa 19.1.3

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.1.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{2}$ para o numerador.

$- 2 (\frac{- 1}{2}) - 4 \cos (2 (\frac{2 π}{3}))$

Etapa 19.1.3.2

Fatore $2$ de $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{- 1}{2} - 4 \cos (2 (\frac{2 π}{3}))$

Etapa 19.1.3.3

Cancele o fator comum.

$2 \cdot - 1 \frac{- 1}{2} - 4 \cos (2 (\frac{2 π}{3}))$

Etapa 19.1.3.4

Reescreva a expressão.

$- 1 \cdot - 1 - 4 \cos (2 (\frac{2 π}{3}))$

Etapa 19.1.4

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 - 4 \cos (2 (\frac{2 π}{3}))$

Etapa 19.1.5

Multiplique $2 (\frac{2 π}{3})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.1.5.1

Combine $2$ e $\frac{2 π}{3}$ .

$1 - 4 \cos (\frac{2 (2 π)}{3})$

Etapa 19.1.5.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$1 - 4 \cos (\frac{4 π}{3})$

Etapa 19.1.6

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no terceiro quadrante.

$1 - 4 (- \cos (\frac{π}{3}))$

Etapa 19.1.7

O valor exato de $\cos (\frac{π}{3})$ é $\frac{1}{2}$ .

$1 - 4 (- \frac{1}{2})$

Etapa 19.1.8

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.1.8.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{2}$ para o numerador.

$1 - 4 (\frac{- 1}{2})$

Etapa 19.1.8.2

Fatore $2$ de $- 4$ .

$1 + 2 (- 2) \frac{- 1}{2}$

Etapa 19.1.8.3

Cancele o fator comum.

$1 + 2 \cdot - 2 \frac{- 1}{2}$

Etapa 19.1.8.4

Reescreva a expressão.

$1 - 2 \cdot - 1$

Etapa 19.1.9

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$1 + 2$

Etapa 19.2

Some $1$ e $2$ .

$3$

Etapa 20

$x = \frac{2 π}{3}$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = \frac{2 π}{3}$ é um mínimo local

Etapa 21

Encontre o valor y quando $x = \frac{2 π}{3}$ .

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Etapa 21.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{2 π}{3}$ na expressão.

$f (\frac{2 π}{3}) = 2 \cos (\frac{2 π}{3}) + \cos (2 (\frac{2 π}{3}))$

Etapa 21.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 21.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 21.2.1.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$f (\frac{2 π}{3}) = 2 (- \cos (\frac{π}{3})) + \cos (2 (\frac{2 π}{3}))$

Etapa 21.2.1.2

O valor exato de $\cos (\frac{π}{3})$ é $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 2 (- \frac{1}{2}) + \cos (2 (\frac{2 π}{3}))$

Etapa 21.2.1.3

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 21.2.1.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{2}$ para o numerador.

$f (\frac{2 π}{3}) = 2 (\frac{- 1}{2}) + \cos (2 (\frac{2 π}{3}))$

Etapa 21.2.1.3.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{2 π}{3}) = 2 (\frac{- 1}{2}) + \cos (2 (\frac{2 π}{3}))$

Etapa 21.2.1.3.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{2 π}{3}) = - 1 + \cos (2 (\frac{2 π}{3}))$

Etapa 21.2.1.4

Multiplique $2 (\frac{2 π}{3})$ .

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Etapa 21.2.1.4.1

Combine $2$ e $\frac{2 π}{3}$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = - 1 + \cos (\frac{2 (2 π)}{3})$

Etapa 21.2.1.4.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = - 1 + \cos (\frac{4 π}{3})$

Etapa 21.2.1.5

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no terceiro quadrante.

$f (\frac{2 π}{3}) = - 1 - \cos (\frac{π}{3})$

Etapa 21.2.1.6

O valor exato de $\cos (\frac{π}{3})$ é $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = - 1 - \frac{1}{2}$

Etapa 21.2.2

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = - 1 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Etapa 21.2.3

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{- 1 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}$

Etapa 21.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{- 1 \cdot 2 - 1}{2}$

Etapa 21.2.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 21.2.5.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{- 2 - 1}{2}$

Etapa 21.2.5.2

Subtraia $1$ de $- 2$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{- 3}{2}$

Etapa 21.2.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (\frac{2 π}{3}) = - \frac{3}{2}$

Etapa 21.2.7

A resposta final é $- \frac{3}{2}$ .

$y = - \frac{3}{2}$

Etapa 22

Avalie a segunda derivada em $x = \frac{4 π}{3}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- 2 \cos (\frac{4 π}{3}) - 4 \cos (2 (\frac{4 π}{3}))$

Etapa 23

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 23.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 23.1.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no terceiro quadrante.

$- 2 (- \cos (\frac{π}{3})) - 4 \cos (2 (\frac{4 π}{3}))$

Etapa 23.1.2

O valor exato de $\cos (\frac{π}{3})$ é $\frac{1}{2}$ .

$- 2 (- \frac{1}{2}) - 4 \cos (2 (\frac{4 π}{3}))$

Etapa 23.1.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 23.1.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{2}$ para o numerador.

$- 2 (\frac{- 1}{2}) - 4 \cos (2 (\frac{4 π}{3}))$

Etapa 23.1.3.2

Fatore $2$ de $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{- 1}{2} - 4 \cos (2 (\frac{4 π}{3}))$

Etapa 23.1.3.3

Cancele o fator comum.

$2 \cdot - 1 \frac{- 1}{2} - 4 \cos (2 (\frac{4 π}{3}))$

Etapa 23.1.3.4

Reescreva a expressão.

$- 1 \cdot - 1 - 4 \cos (2 (\frac{4 π}{3}))$

Etapa 23.1.4

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 - 4 \cos (2 (\frac{4 π}{3}))$

Etapa 23.1.5

Multiplique $2 (\frac{4 π}{3})$ .

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Etapa 23.1.5.1

Combine $2$ e $\frac{4 π}{3}$ .

$1 - 4 \cos (\frac{2 (4 π)}{3})$

Etapa 23.1.5.2

Multiplique $4$ por $2$ .

$1 - 4 \cos (\frac{8 π}{3})$

Etapa 23.1.6

Subtraia as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$1 - 4 \cos (\frac{2 π}{3})$

Etapa 23.1.7

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$1 - 4 (- \cos (\frac{π}{3}))$

Etapa 23.1.8

O valor exato de $\cos (\frac{π}{3})$ é $\frac{1}{2}$ .

$1 - 4 (- \frac{1}{2})$

Etapa 23.1.9

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 23.1.9.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{2}$ para o numerador.

$1 - 4 (\frac{- 1}{2})$

Etapa 23.1.9.2

Fatore $2$ de $- 4$ .

$1 + 2 (- 2) \frac{- 1}{2}$

Etapa 23.1.9.3

Cancele o fator comum.

$1 + 2 \cdot - 2 \frac{- 1}{2}$

Etapa 23.1.9.4

Reescreva a expressão.

$1 - 2 \cdot - 1$

Etapa 23.1.10

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$1 + 2$

Etapa 23.2

Some $1$ e $2$ .

$3$

Etapa 24

$x = \frac{4 π}{3}$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = \frac{4 π}{3}$ é um mínimo local

Etapa 25

Encontre o valor y quando $x = \frac{4 π}{3}$ .

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Etapa 25.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{4 π}{3}$ na expressão.

$f (\frac{4 π}{3}) = 2 \cos (\frac{4 π}{3}) + \cos (2 (\frac{4 π}{3}))$

Etapa 25.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 25.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 25.2.1.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no terceiro quadrante.

$f (\frac{4 π}{3}) = 2 (- \cos (\frac{π}{3})) + \cos (2 (\frac{4 π}{3}))$

Etapa 25.2.1.2

O valor exato de $\cos (\frac{π}{3})$ é $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = 2 (- \frac{1}{2}) + \cos (2 (\frac{4 π}{3}))$

Etapa 25.2.1.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 25.2.1.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{2}$ para o numerador.

$f (\frac{4 π}{3}) = 2 (\frac{- 1}{2}) + \cos (2 (\frac{4 π}{3}))$

Etapa 25.2.1.3.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{4 π}{3}) = 2 (\frac{- 1}{2}) + \cos (2 (\frac{4 π}{3}))$

Etapa 25.2.1.3.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{4 π}{3}) = - 1 + \cos (2 (\frac{4 π}{3}))$

Etapa 25.2.1.4

Multiplique $2 (\frac{4 π}{3})$ .

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Etapa 25.2.1.4.1

Combine $2$ e $\frac{4 π}{3}$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = - 1 + \cos (\frac{2 (4 π)}{3})$

Etapa 25.2.1.4.2

Multiplique $4$ por $2$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = - 1 + \cos (\frac{8 π}{3})$

Etapa 25.2.1.5

Subtraia as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = - 1 + \cos (\frac{2 π}{3})$

Etapa 25.2.1.6

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$f (\frac{4 π}{3}) = - 1 - \cos (\frac{π}{3})$

Etapa 25.2.1.7

O valor exato de $\cos (\frac{π}{3})$ é $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = - 1 - \frac{1}{2}$

Etapa 25.2.2

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = - 1 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Etapa 25.2.3

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{- 1 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}$

Etapa 25.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{- 1 \cdot 2 - 1}{2}$

Etapa 25.2.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 25.2.5.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{- 2 - 1}{2}$

Etapa 25.2.5.2

Subtraia $1$ de $- 2$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{- 3}{2}$

Etapa 25.2.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (\frac{4 π}{3}) = - \frac{3}{2}$

Etapa 25.2.7

A resposta final é $- \frac{3}{2}$ .

$y = - \frac{3}{2}$

Etapa 26

Esses são os extremos locais para $f (x) = 2 \cos (x) + \cos (2 x)$ .

$(0, 3)$ é um máximo local

$(π, - 1)$ é um máximo local

$(\frac{2 π}{3}, - \frac{3}{2})$ é um mínimo local

$(\frac{4 π}{3}, - \frac{3}{2})$ é um mínimo local

Etapa 27