Cálculo Exemplos

$f (x) = 2 \cos (x) + \sin^{2} (x)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

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Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 \cos (x) + \sin^{2} (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

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Etapa 1.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 \cos (x)$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Etapa 1.2.2

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$2 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Etapa 1.2.3

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- 2 \sin (x) + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ .

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Etapa 1.3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \sin (x)$ .

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Etapa 1.3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\sin (x)$ .

$- 2 \sin (x) + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 1.3.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- 2 \sin (x) + 2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 1.3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\sin (x)$ .

$- 2 \sin (x) + 2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 1.3.2

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$- 2 \sin (x) + 2 \sin (x) \cos (x)$

Etapa 1.4

Simplifique.

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Etapa 1.4.1

Reordene os termos.

$2 \cos (x) \sin (x) - 2 \sin (x)$

Etapa 1.4.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.4.2.1

Reordene $2 \cos (x)$ e $\sin (x)$ .

$\sin (x) (2 \cos (x)) - 2 \sin (x)$

Etapa 1.4.2.2

Reordene $\sin (x)$ e $2$ .

$2 \cdot \sin (x) \cos (x) - 2 \sin (x)$

Etapa 1.4.2.3

Aplique a fórmula do arco duplo do seno.

$\sin (2 x) - 2 \sin (x)$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\sin (2 x) - 2 \sin (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\sin (2 x)) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (x))$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

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Etapa 2.2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 2.2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (x))$

Etapa 2.2.1.2

A derivada de $\sin (u)$ em relação a $u$ é $\cos (u)$ .

$f'' (x) = \cos (u) \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (x))$

Etapa 2.2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x$ .

$f'' (x) = \cos (2 x) \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (x))$

Etapa 2.2.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (x))$

Etapa 2.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = \cos (2 x) (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (x))$

Etapa 2.2.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$f'' (x) = \cos (2 x) \cdot 2 + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (x))$

Etapa 2.2.5

Mova $2$ para a esquerda de $\cos (2 x)$ .

$f'' (x) = 2 \cos (2 x) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (x))$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 \sin (x)$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$f'' (x) = 2 \cos (2 x) - 2 \frac{d}{d x} \sin (x)$

Etapa 2.3.2

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$f'' (x) = 2 \cos (2 x) - 2 \cos (x)$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$\sin (2 x) - 2 \sin (x) = 0$

Etapa 4

Aplique a fórmula do arco duplo do seno.

$2 \sin (x) \cos (x) - 2 \sin (x) = 0$

Etapa 5

Fatore $2 \sin (x)$ de $2 \sin (x) \cos (x) - 2 \sin (x)$ .

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Etapa 5.1

Fatore $2 \sin (x)$ de $- 2 \sin (x)$ .

$2 \sin (x) \cos (x) + 2 \sin (x) \cdot - 1 = 0$

Etapa 5.2

Fatore $2 \sin (x)$ de $2 \sin (x) \cos (x) + 2 \sin (x) \cdot - 1$ .

$2 \sin (x) (\cos (x) - 1) = 0$

Etapa 6

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$\sin (x) = 0$

$\cos (x) - 1 = 0$

Etapa 7

Defina $\sin (x)$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 7.1

Defina $\sin (x)$ como igual a $0$ .

$\sin (x) = 0$

Etapa 7.2

Resolva $\sin (x) = 0$ para $x$ .

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Etapa 7.2.1

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$x = \arcsin (0)$

Etapa 7.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 7.2.2.1

O valor exato de $\arcsin (0)$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 7.2.3

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$x = π - 0$

Etapa 7.2.4

Subtraia $0$ de $π$ .

$x = π$

Etapa 7.2.5

A solução para a equação $x = 0$ .

$x = 0, π$

Etapa 8

Defina $\cos (x) - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 8.1

Defina $\cos (x) - 1$ como igual a $0$ .

$\cos (x) - 1 = 0$

Etapa 8.2

Resolva $\cos (x) - 1 = 0$ para $x$ .

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Etapa 8.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$\cos (x) = 1$

Etapa 8.2.2

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do cosseno.

$x = \arccos (1)$

Etapa 8.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 8.2.3.1

O valor exato de $\arccos (1)$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 8.2.4

A função do cosseno é positiva no primeiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$x = 2 π - 0$

Etapa 8.2.5

Subtraia $0$ de $2 π$ .

$x = 2 π$

Etapa 8.2.6

A solução para a equação $x = 0$ .

$x = 0, 2 π$

Etapa 9

A solução final são todos os valores que tornam $2 \sin (x) (\cos (x) - 1) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, π, 2 π$

Etapa 10

Avalie a segunda derivada em $x = 0$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$2 \cos (2 (0)) - 2 \cos (0)$

Etapa 11

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 11.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 11.1.1

Multiplique $2$ por $0$ .

$2 \cos (0) - 2 \cos (0)$

Etapa 11.1.2

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$2 \cdot 1 - 2 \cos (0)$

Etapa 11.1.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 - 2 \cos (0)$

Etapa 11.1.4

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$2 - 2 \cdot 1$

Etapa 11.1.5

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$2 - 2$

Etapa 11.2

Subtraia $2$ de $2$ .

$0$

Etapa 12

Como há pelo menos um ponto com $0$ ou segunda derivada indefinida, aplique o teste da primeira derivada.

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Etapa 12.1

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a primeira derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, 0) \cup (0, π) \cup (π, 2 π) \cup (2 π, \infty)$

Etapa 12.2

Substitua qualquer número, como $- 2$ , do intervalo $(- \infty, 0)$ na primeira derivada $\sin (2 x) - 2 \sin (x)$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

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Etapa 12.2.1

Substitua a variável $x$ por $- 2$ na expressão.

$f' (- 2) = \sin (2 (- 2)) - 2 \sin (- 2)$

Etapa 12.2.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 12.2.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 12.2.2.1.1

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$f' (- 2) = \sin (- 4) - 2 \sin (- 2)$

Etapa 12.2.2.1.2

Avalie $\sin (- 4)$ .

$f' (- 2) = 0.75680249 - 2 \sin (- 2)$

Etapa 12.2.2.1.3

Avalie $\sin (- 2)$ .

$f' (- 2) = 0.75680249 - 2 \cdot - 0.90929742$

Etapa 12.2.2.1.4

Multiplique $- 2$ por $- 0.90929742$ .

$f' (- 2) = 0.75680249 + 1.81859485$

Etapa 12.2.2.2

Some $0.75680249$ e $1.81859485$ .

$f' (- 2) = 2.57539734$

Etapa 12.2.2.3

A resposta final é $2.57539734$ .

$2.57539734$

Etapa 12.3

Substitua qualquer número, como $2$ , do intervalo $(0, π)$ na primeira derivada $\sin (2 x) - 2 \sin (x)$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

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Etapa 12.3.1

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$f' (2) = \sin (2 (2)) - 2 \sin (2)$

Etapa 12.3.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 12.3.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 12.3.2.1.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$f' (2) = \sin (4) - 2 \sin (2)$

Etapa 12.3.2.1.2

Avalie $\sin (4)$ .

$f' (2) = - 0.75680249 - 2 \sin (2)$

Etapa 12.3.2.1.3

Avalie $\sin (2)$ .

$f' (2) = - 0.75680249 - 2 \cdot 0.90929742$

Etapa 12.3.2.1.4

Multiplique $- 2$ por $0.90929742$ .

$f' (2) = - 0.75680249 - 1.81859485$

Etapa 12.3.2.2

Subtraia $1.81859485$ de $- 0.75680249$ .

$f' (2) = - 2.57539734$

Etapa 12.3.2.3

A resposta final é $- 2.57539734$ .

$- 2.57539734$

Etapa 12.4

Substitua qualquer número, como $5$ , do intervalo $(π, 2 π)$ na primeira derivada $\sin (2 x) - 2 \sin (x)$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

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Etapa 12.4.1

Substitua a variável $x$ por $5$ na expressão.

$f' (5) = \sin (2 (5)) - 2 \sin (5)$

Etapa 12.4.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 12.4.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 12.4.2.1.1

Multiplique $2$ por $5$ .

$f' (5) = \sin (10) - 2 \sin (5)$

Etapa 12.4.2.1.2

Avalie $\sin (10)$ .

$f' (5) = - 0.54402111 - 2 \sin (5)$

Etapa 12.4.2.1.3

Avalie $\sin (5)$ .

$f' (5) = - 0.54402111 - 2 \cdot - 0.95892427$

Etapa 12.4.2.1.4

Multiplique $- 2$ por $- 0.95892427$ .

$f' (5) = - 0.54402111 + 1.91784854$

Etapa 12.4.2.2

Some $- 0.54402111$ e $1.91784854$ .

$f' (5) = 1.37382743$

Etapa 12.4.2.3

A resposta final é $1.37382743$ .

$1.37382743$

Etapa 12.5

Substitua qualquer número, como $9$ , do intervalo $(2 π, \infty)$ na primeira derivada $\sin (2 x) - 2 \sin (x)$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

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Etapa 12.5.1

Substitua a variável $x$ por $9$ na expressão.

$f' (9) = \sin (2 (9)) - 2 \sin (9)$

Etapa 12.5.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.5.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 12.5.2.1.1

Multiplique $2$ por $9$ .

$f' (9) = \sin (18) - 2 \sin (9)$

Etapa 12.5.2.1.2

Avalie $\sin (18)$ .

$f' (9) = - 0.75098724 - 2 \sin (9)$

Etapa 12.5.2.1.3

Avalie $\sin (9)$ .

$f' (9) = - 0.75098724 - 2 \cdot 0.41211848$

Etapa 12.5.2.1.4

Multiplique $- 2$ por $0.41211848$ .

$f' (9) = - 0.75098724 - 0.82423697$

Etapa 12.5.2.2

Subtraia $0.82423697$ de $- 0.75098724$ .

$f' (9) = - 1.57522421$

Etapa 12.5.2.3

A resposta final é $- 1.57522421$ .

$- 1.57522421$

Etapa 12.6

Como a primeira derivada mudou os sinais de positivo para negativo em torno de $x = 0$ , então $x = 0$ é um máximo local.

$x = 0$ é um máximo local

Etapa 12.7

Como a primeira derivada mudou os sinais de negativo para positivo em torno de $x = π$ , então $x = π$ é um mínimo local.

$x = π$ é um mínimo local

Etapa 12.8

Como a primeira derivada mudou os sinais de positivo para negativo em torno de $x = 2 π$ , então $x = 2 π$ é um máximo local.

$x = 2 π$ é um máximo local

Etapa 12.9

Esses são os extremos locais para $f (x) = 2 \cos (x) + \sin^{2} (x)$ .

$x = 0$ é um máximo local

$x = π$ é um mínimo local

$x = 2 π$ é um máximo local

$x = 0$ é um máximo local

$x = π$ é um mínimo local

$x = 2 π$ é um máximo local

Etapa 13