Cálculo Exemplos

$f (x) = 2 x - \tan (x)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

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Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x - \tan (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Etapa 1.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]$

Etapa 1.2.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- \tan (x)]$ .

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Etapa 1.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \tan (x)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ .

$2 - \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Etapa 1.3.2

A derivada de $\tan (x)$ em relação a $x$ é $\sec^{2} (x)$ .

$2 - \sec^{2} (x)$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 2.1

Diferencie.

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Etapa 2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 - \sec^{2} (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- \sec^{2} (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2) + \frac{d}{d x} (- \sec^{2} (x))$

Etapa 2.1.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- \sec^{2} (x))$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- \sec^{2} (x)]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \sec^{2} (x)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{d}{d x} \sec^{2} (x)$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \sec (x)$ .

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Etapa 2.2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\sec (x)$ .

$f'' (x) = 0 - (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (\sec (x)))$

Etapa 2.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = 0 - (2 u \frac{d}{d x} (\sec (x)))$

Etapa 2.2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\sec (x)$ .

$f'' (x) = 0 - (2 \sec (x) \frac{d}{d x} (\sec (x)))$

Etapa 2.2.3

A derivada de $\sec (x)$ em relação a $x$ é $\sec (x) \tan (x)$ .

$f'' (x) = 0 - (2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x)))$

Etapa 2.2.4

Eleve $\sec (x)$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = 0 - (2 (\sec (x) \sec (x)) \tan (x))$

Etapa 2.2.5

Eleve $\sec (x)$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = 0 - (2 (\sec (x) \sec (x)) \tan (x))$

Etapa 2.2.6

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = 0 - (2 {\sec (x)}^{1 + 1} \tan (x))$

Etapa 2.2.7

Some $1$ e $1$ .

$f'' (x) = 0 - (2 \sec^{2} (x) \tan (x))$

Etapa 2.2.8

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 0 - 2 \sec^{2} (x) \tan (x)$

Etapa 2.3

Subtraia $2 \sec^{2} (x) \tan (x)$ de $0$ .

$f'' (x) = - 2 \sec^{2} (x) \tan (x)$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$2 - \sec^{2} (x) = 0$

Etapa 4

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$- \sec^{2} (x) = - 2$

Etapa 5

Divida cada termo em $- \sec^{2} (x) = - 2$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 5.1

Divida cada termo em $- \sec^{2} (x) = - 2$ por $- 1$ .

$\frac{- \sec^{2} (x)}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Etapa 5.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{\sec^{2} (x)}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Etapa 5.2.2

Divida $\sec^{2} (x)$ por $1$ .

$\sec^{2} (x) = \frac{- 2}{- 1}$

Etapa 5.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.1

Divida $- 2$ por $- 1$ .

$\sec^{2} (x) = 2$

Etapa 6

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$\sec (x) = \pm \sqrt{2}$

Etapa 7

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 7.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$\sec (x) = \sqrt{2}$

Etapa 7.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$\sec (x) = - \sqrt{2}$

Etapa 7.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$\sec (x) = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Etapa 8

Estabeleça cada uma das soluções para resolver $x$ .

$\sec (x) = \sqrt{2}$

$\sec (x) = - \sqrt{2}$

Etapa 9

Resolva $x$ em $\sec (x) = \sqrt{2}$ .

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Etapa 9.1

Obtenha a secante inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da secante.

$x = arcsec (\sqrt{2})$

Etapa 9.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 9.2.1

O valor exato de $arcsec (\sqrt{2})$ é $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Etapa 9.3

A função secante é positiva no primeiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{4}$

Etapa 9.4

Simplifique $2 π - \frac{π}{4}$ .

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Etapa 9.4.1

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Etapa 9.4.2

Combine frações.

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Etapa 9.4.2.1

Combine $2 π$ e $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Etapa 9.4.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

Etapa 9.4.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 9.4.3.1

Multiplique $4$ por $2$ .

$x = \frac{8 π - π}{4}$

Etapa 9.4.3.2

Subtraia $π$ de $8 π$ .

$x = \frac{7 π}{4}$

Etapa 9.5

A solução para a equação $x = \frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}, \frac{7 π}{4}$

Etapa 10

Resolva $x$ em $\sec (x) = - \sqrt{2}$ .

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Etapa 10.1

Obtenha a secante inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da secante.

$x = arcsec (- \sqrt{2})$

Etapa 10.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 10.2.1

O valor exato de $arcsec (- \sqrt{2})$ é $\frac{3 π}{4}$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Etapa 10.3

A função secante é negativa no segundo e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no terceiro quadrante.

$x = 2 π - \frac{3 π}{4}$

Etapa 10.4

Simplifique $2 π - \frac{3 π}{4}$ .

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Etapa 10.4.1

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{3 π}{4}$

Etapa 10.4.2

Combine frações.

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Etapa 10.4.2.1

Combine $2 π$ e $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{3 π}{4}$

Etapa 10.4.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{2 π \cdot 4 - 3 π}{4}$

Etapa 10.4.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.4.3.1

Multiplique $4$ por $2$ .

$x = \frac{8 π - 3 π}{4}$

Etapa 10.4.3.2

Subtraia $3 π$ de $8 π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Etapa 10.5

A solução para a equação $x = \frac{3 π}{4}$ .

$x = \frac{3 π}{4}, \frac{5 π}{4}$

Etapa 11

Liste todas as soluções.

$x = \frac{π}{4}, \frac{7 π}{4}, \frac{3 π}{4}, \frac{5 π}{4}$

Etapa 12

Exclua as soluções que não tornam $2 - \sec^{2} (x) = 0$ verdadeira.

$x = \frac{π}{4}, \frac{7 π}{4}, \frac{3 π}{4}, \frac{5 π}{4}$

Etapa 13

Avalie a segunda derivada em $x = \frac{π}{4}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- 2 \sec^{2} (\frac{π}{4}) \tan (\frac{π}{4})$

Etapa 14

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 14.1

O valor exato de $\sec (\frac{π}{4})$ é $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

$- 2 {(\frac{2}{\sqrt{2}})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

Etapa 14.2

Multiplique $\frac{2}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$- 2 {(\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

Etapa 14.3

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 14.3.1

Multiplique $\frac{2}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$- 2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

Etapa 14.3.2

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$- 2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

Etapa 14.3.3

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$- 2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

Etapa 14.3.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- 2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

Etapa 14.3.5

Some $1$ e $1$ .

$- 2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

Etapa 14.3.6

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.3.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- 2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

Etapa 14.3.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

Etapa 14.3.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$- 2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

Etapa 14.3.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.3.6.4.1

Cancele o fator comum.

$- 2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

Etapa 14.3.6.4.2

Reescreva a expressão.

$- 2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

Etapa 14.3.6.5

Avalie o expoente.

$- 2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{2})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

Etapa 14.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.4.1

Cancele o fator comum.

$- 2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{2})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

Etapa 14.4.2

Divida $\sqrt{2}$ por $1$ .

$- 2 {\sqrt{2}}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

Etapa 14.5

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- 2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

Etapa 14.5.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} \tan (\frac{π}{4})$

Etapa 14.5.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$- 2 \cdot 2^{\frac{2}{2}} \tan (\frac{π}{4})$

Etapa 14.5.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.5.4.1

Cancele o fator comum.

$- 2 \cdot 2^{\frac{2}{2}} \tan (\frac{π}{4})$

Etapa 14.5.4.2

Reescreva a expressão.

$- 2 \cdot 2^{1} \tan (\frac{π}{4})$

Etapa 14.5.5

Avalie o expoente.

$- 2 \cdot 2 \tan (\frac{π}{4})$

Etapa 14.6

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$- 4 \tan (\frac{π}{4})$

Etapa 14.7

O valor exato de $\tan (\frac{π}{4})$ é $1$ .

$- 4 \cdot 1$

Etapa 14.8

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$- 4$

Etapa 15

$x = \frac{π}{4}$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = \frac{π}{4}$ é um máximo local

Etapa 16

Encontre o valor y quando $x = \frac{π}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{π}{4}$ na expressão.

$f (\frac{π}{4}) = 2 (\frac{π}{4}) - \tan (\frac{π}{4})$

Etapa 16.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.2.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.2.1.1.1

Fatore $2$ de $4$ .

$f (\frac{π}{4}) = 2 (\frac{π}{2 (2)}) - \tan (\frac{π}{4})$

Etapa 16.2.1.1.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{π}{4}) = 2 (\frac{π}{2 \cdot 2}) - \tan (\frac{π}{4})$

Etapa 16.2.1.1.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{π}{2} - \tan (\frac{π}{4})$

Etapa 16.2.1.2

O valor exato de $\tan (\frac{π}{4})$ é $1$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{π}{2} - 1 \cdot 1$

Etapa 16.2.1.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{π}{2} - 1$

Etapa 16.2.2

A resposta final é $\frac{π}{2} - 1$ .

$y = \frac{π}{2} - 1$

Etapa 17

Avalie a segunda derivada em $x = \frac{7 π}{4}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- 2 \sec^{2} (\frac{7 π}{4}) \tan (\frac{7 π}{4})$

Etapa 18

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$- 2 \sec^{2} (\frac{π}{4}) \tan (\frac{7 π}{4})$

Etapa 18.2

O valor exato de $\sec (\frac{π}{4})$ é $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

$- 2 {(\frac{2}{\sqrt{2}})}^{2} \tan (\frac{7 π}{4})$

Etapa 18.3

Multiplique $\frac{2}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$- 2 {(\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})}^{2} \tan (\frac{7 π}{4})$

Etapa 18.4

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.4.1

Multiplique $\frac{2}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$- 2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}})}^{2} \tan (\frac{7 π}{4})$

Etapa 18.4.2

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$- 2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}})}^{2} \tan (\frac{7 π}{4})$

Etapa 18.4.3

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$- 2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}})}^{2} \tan (\frac{7 π}{4})$

Etapa 18.4.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- 2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}})}^{2} \tan (\frac{7 π}{4})$

Etapa 18.4.5

Some $1$ e $1$ .

$- 2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}})}^{2} \tan (\frac{7 π}{4})$

Etapa 18.4.6

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.4.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- 2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2} \tan (\frac{7 π}{4})$

Etapa 18.4.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2} \tan (\frac{7 π}{4})$

Etapa 18.4.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$- 2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2} \tan (\frac{7 π}{4})$

Etapa 18.4.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.4.6.4.1

Cancele o fator comum.

$- 2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2} \tan (\frac{7 π}{4})$

Etapa 18.4.6.4.2

Reescreva a expressão.

$- 2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}})}^{2} \tan (\frac{7 π}{4})$

Etapa 18.4.6.5

Avalie o expoente.

$- 2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{2})}^{2} \tan (\frac{7 π}{4})$

Etapa 18.5

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.5.1

Cancele o fator comum.

$- 2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{2})}^{2} \tan (\frac{7 π}{4})$

Etapa 18.5.2

Divida $\sqrt{2}$ por $1$ .

$- 2 {\sqrt{2}}^{2} \tan (\frac{7 π}{4})$

Etapa 18.6

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- 2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} \tan (\frac{7 π}{4})$

Etapa 18.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} \tan (\frac{7 π}{4})$

Etapa 18.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$- 2 \cdot 2^{\frac{2}{2}} \tan (\frac{7 π}{4})$

Etapa 18.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.6.4.1

Cancele o fator comum.

$- 2 \cdot 2^{\frac{2}{2}} \tan (\frac{7 π}{4})$

Etapa 18.6.4.2

Reescreva a expressão.

$- 2 \cdot 2^{1} \tan (\frac{7 π}{4})$

Etapa 18.6.5

Avalie o expoente.

$- 2 \cdot 2 \tan (\frac{7 π}{4})$

Etapa 18.7

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$- 4 \tan (\frac{7 π}{4})$

Etapa 18.8

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois a tangente é negativa no quarto quadrante.

$- 4 (- \tan (\frac{π}{4}))$

Etapa 18.9

O valor exato de $\tan (\frac{π}{4})$ é $1$ .

$- 4 (- 1 \cdot 1)$

Etapa 18.10

Multiplique $- 4 (- 1 \cdot 1)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.10.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 4 \cdot - 1$

Etapa 18.10.2

Multiplique $- 4$ por $- 1$ .

$4$

Etapa 19

$x = \frac{7 π}{4}$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = \frac{7 π}{4}$ é um mínimo local

Etapa 20

Encontre o valor y quando $x = \frac{7 π}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 20.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{7 π}{4}$ na expressão.

$f (\frac{7 π}{4}) = 2 (\frac{7 π}{4}) - \tan (\frac{7 π}{4})$

Etapa 20.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 20.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 20.2.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 20.2.1.1.1

Fatore $2$ de $4$ .

$f (\frac{7 π}{4}) = 2 (\frac{7 π}{2 (2)}) - \tan (\frac{7 π}{4})$

Etapa 20.2.1.1.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{7 π}{4}) = 2 (\frac{7 π}{2 \cdot 2}) - \tan (\frac{7 π}{4})$

Etapa 20.2.1.1.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{7 π}{4}) = \frac{7 π}{2} - \tan (\frac{7 π}{4})$

Etapa 20.2.1.2

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois a tangente é negativa no quarto quadrante.

$f (\frac{7 π}{4}) = \frac{7 π}{2} + \tan (\frac{π}{4})$

Etapa 20.2.1.3

O valor exato de $\tan (\frac{π}{4})$ é $1$ .

$f (\frac{7 π}{4}) = \frac{7 π}{2} - (- 1 \cdot 1)$

Etapa 20.2.1.4

Multiplique $- (- 1 \cdot 1)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 20.2.1.4.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f (\frac{7 π}{4}) = \frac{7 π}{2} + 1$

Etapa 20.2.1.4.2

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f (\frac{7 π}{4}) = \frac{7 π}{2} + 1$

Etapa 20.2.2

A resposta final é $\frac{7 π}{2} + 1$ .

$y = \frac{7 π}{2} + 1$

Etapa 21

Avalie a segunda derivada em $x = \frac{3 π}{4}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- 2 \sec^{2} (\frac{3 π}{4}) \tan (\frac{3 π}{4})$

Etapa 22

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 22.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois a secante é negativa no segundo quadrante.

$- 2 {(- \sec (\frac{π}{4}))}^{2} \tan (\frac{3 π}{4})$

Etapa 22.2

O valor exato de $\sec (\frac{π}{4})$ é $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

$- 2 {(- \frac{2}{\sqrt{2}})}^{2} \tan (\frac{3 π}{4})$

Etapa 22.3

Multiplique $\frac{2}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$- 2 {(- (\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}))}^{2} \tan (\frac{3 π}{4})$

Etapa 22.4

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 22.4.1

Multiplique $\frac{2}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$- 2 {(- \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}})}^{2} \tan (\frac{3 π}{4})$

Etapa 22.4.2

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$- 2 {(- \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}})}^{2} \tan (\frac{3 π}{4})$

Etapa 22.4.3

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$- 2 {(- \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}})}^{2} \tan (\frac{3 π}{4})$

Etapa 22.4.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- 2 {(- \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}})}^{2} \tan (\frac{3 π}{4})$

Etapa 22.4.5

Some $1$ e $1$ .

$- 2 {(- \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}})}^{2} \tan (\frac{3 π}{4})$

Etapa 22.4.6

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 22.4.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- 2 {(- \frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2} \tan (\frac{3 π}{4})$

Etapa 22.4.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 {(- \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2} \tan (\frac{3 π}{4})$

Etapa 22.4.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$- 2 {(- \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2} \tan (\frac{3 π}{4})$

Etapa 22.4.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 22.4.6.4.1

Cancele o fator comum.

$- 2 {(- \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2} \tan (\frac{3 π}{4})$

Etapa 22.4.6.4.2

Reescreva a expressão.

$- 2 {(- \frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}})}^{2} \tan (\frac{3 π}{4})$

Etapa 22.4.6.5

Avalie o expoente.

$- 2 {(- \frac{2 \sqrt{2}}{2})}^{2} \tan (\frac{3 π}{4})$

Etapa 22.5

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 22.5.1

Cancele o fator comum.

$- 2 {(- \frac{2 \sqrt{2}}{2})}^{2} \tan (\frac{3 π}{4})$

Etapa 22.5.2

Divida $\sqrt{2}$ por $1$ .

$- 2 {(- \sqrt{2})}^{2} \tan (\frac{3 π}{4})$

Etapa 22.6

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 22.6.1

Aplique a regra do produto a $- \sqrt{2}$ .

$- 2 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2}) \tan (\frac{3 π}{4})$

Etapa 22.6.2

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$- 2 (1 {\sqrt{2}}^{2}) \tan (\frac{3 π}{4})$

Etapa 22.6.3

Multiplique ${\sqrt{2}}^{2}$ por $1$ .

$- 2 {\sqrt{2}}^{2} \tan (\frac{3 π}{4})$

Etapa 22.7

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 22.7.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- 2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} \tan (\frac{3 π}{4})$

Etapa 22.7.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} \tan (\frac{3 π}{4})$

Etapa 22.7.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$- 2 \cdot 2^{\frac{2}{2}} \tan (\frac{3 π}{4})$

Etapa 22.7.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 22.7.4.1

Cancele o fator comum.

$- 2 \cdot 2^{\frac{2}{2}} \tan (\frac{3 π}{4})$

Etapa 22.7.4.2

Reescreva a expressão.

$- 2 \cdot 2^{1} \tan (\frac{3 π}{4})$

Etapa 22.7.5

Avalie o expoente.

$- 2 \cdot 2 \tan (\frac{3 π}{4})$

Etapa 22.8

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$- 4 \tan (\frac{3 π}{4})$

Etapa 22.9

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois a tangente é negativa no segundo quadrante.

$- 4 (- \tan (\frac{π}{4}))$

Etapa 22.10

O valor exato de $\tan (\frac{π}{4})$ é $1$ .

$- 4 (- 1 \cdot 1)$

Etapa 22.11

Multiplique $- 4 (- 1 \cdot 1)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 22.11.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 4 \cdot - 1$

Etapa 22.11.2

Multiplique $- 4$ por $- 1$ .

$4$

Etapa 23

$x = \frac{3 π}{4}$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = \frac{3 π}{4}$ é um mínimo local

Etapa 24

Encontre o valor y quando $x = \frac{3 π}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 24.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{3 π}{4}$ na expressão.

$f (\frac{3 π}{4}) = 2 (\frac{3 π}{4}) - \tan (\frac{3 π}{4})$

Etapa 24.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 24.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 24.2.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 24.2.1.1.1

Fatore $2$ de $4$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = 2 (\frac{3 π}{2 (2)}) - \tan (\frac{3 π}{4})$

Etapa 24.2.1.1.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{3 π}{4}) = 2 (\frac{3 π}{2 \cdot 2}) - \tan (\frac{3 π}{4})$

Etapa 24.2.1.1.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{3 π}{2} - \tan (\frac{3 π}{4})$

Etapa 24.2.1.2

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois a tangente é negativa no segundo quadrante.

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{3 π}{2} + \tan (\frac{π}{4})$

Etapa 24.2.1.3

O valor exato de $\tan (\frac{π}{4})$ é $1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{3 π}{2} - (- 1 \cdot 1)$

Etapa 24.2.1.4

Multiplique $- (- 1 \cdot 1)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 24.2.1.4.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{3 π}{2} + 1$

Etapa 24.2.1.4.2

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{3 π}{2} + 1$

Etapa 24.2.2

A resposta final é $\frac{3 π}{2} + 1$ .

$y = \frac{3 π}{2} + 1$

Etapa 25

Avalie a segunda derivada em $x = \frac{5 π}{4}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- 2 \sec^{2} (\frac{5 π}{4}) \tan (\frac{5 π}{4})$

Etapa 26

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 26.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois a secante é negativa no terceiro quadrante.

$- 2 {(- \sec (\frac{π}{4}))}^{2} \tan (\frac{5 π}{4})$

Etapa 26.2

O valor exato de $\sec (\frac{π}{4})$ é $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

$- 2 {(- \frac{2}{\sqrt{2}})}^{2} \tan (\frac{5 π}{4})$

Etapa 26.3

Multiplique $\frac{2}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$- 2 {(- (\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}))}^{2} \tan (\frac{5 π}{4})$

Etapa 26.4

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 26.4.1

Multiplique $\frac{2}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$- 2 {(- \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}})}^{2} \tan (\frac{5 π}{4})$

Etapa 26.4.2

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$- 2 {(- \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}})}^{2} \tan (\frac{5 π}{4})$

Etapa 26.4.3

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$- 2 {(- \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}})}^{2} \tan (\frac{5 π}{4})$

Etapa 26.4.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- 2 {(- \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}})}^{2} \tan (\frac{5 π}{4})$

Etapa 26.4.5

Some $1$ e $1$ .

$- 2 {(- \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}})}^{2} \tan (\frac{5 π}{4})$

Etapa 26.4.6

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 26.4.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- 2 {(- \frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2} \tan (\frac{5 π}{4})$

Etapa 26.4.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 {(- \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2} \tan (\frac{5 π}{4})$

Etapa 26.4.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$- 2 {(- \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2} \tan (\frac{5 π}{4})$

Etapa 26.4.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 26.4.6.4.1

Cancele o fator comum.

$- 2 {(- \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2} \tan (\frac{5 π}{4})$

Etapa 26.4.6.4.2

Reescreva a expressão.

$- 2 {(- \frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}})}^{2} \tan (\frac{5 π}{4})$

Etapa 26.4.6.5

Avalie o expoente.

$- 2 {(- \frac{2 \sqrt{2}}{2})}^{2} \tan (\frac{5 π}{4})$

Etapa 26.5

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 26.5.1

Cancele o fator comum.

$- 2 {(- \frac{2 \sqrt{2}}{2})}^{2} \tan (\frac{5 π}{4})$

Etapa 26.5.2

Divida $\sqrt{2}$ por $1$ .

$- 2 {(- \sqrt{2})}^{2} \tan (\frac{5 π}{4})$

Etapa 26.6

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 26.6.1

Aplique a regra do produto a $- \sqrt{2}$ .

$- 2 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2}) \tan (\frac{5 π}{4})$

Etapa 26.6.2

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$- 2 (1 {\sqrt{2}}^{2}) \tan (\frac{5 π}{4})$

Etapa 26.6.3

Multiplique ${\sqrt{2}}^{2}$ por $1$ .

$- 2 {\sqrt{2}}^{2} \tan (\frac{5 π}{4})$

Etapa 26.7

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 26.7.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- 2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} \tan (\frac{5 π}{4})$

Etapa 26.7.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} \tan (\frac{5 π}{4})$

Etapa 26.7.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$- 2 \cdot 2^{\frac{2}{2}} \tan (\frac{5 π}{4})$

Etapa 26.7.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 26.7.4.1

Cancele o fator comum.

$- 2 \cdot 2^{\frac{2}{2}} \tan (\frac{5 π}{4})$

Etapa 26.7.4.2

Reescreva a expressão.

$- 2 \cdot 2^{1} \tan (\frac{5 π}{4})$

Etapa 26.7.5

Avalie o expoente.

$- 2 \cdot 2 \tan (\frac{5 π}{4})$

Etapa 26.8

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$- 4 \tan (\frac{5 π}{4})$

Etapa 26.9

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$- 4 \tan (\frac{π}{4})$

Etapa 26.10

O valor exato de $\tan (\frac{π}{4})$ é $1$ .

$- 4 \cdot 1$

Etapa 26.11

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$- 4$

Etapa 27

$x = \frac{5 π}{4}$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = \frac{5 π}{4}$ é um máximo local

Etapa 28

Encontre o valor y quando $x = \frac{5 π}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 28.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{5 π}{4}$ na expressão.

$f (\frac{5 π}{4}) = 2 (\frac{5 π}{4}) - \tan (\frac{5 π}{4})$

Etapa 28.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 28.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 28.2.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 28.2.1.1.1

Fatore $2$ de $4$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = 2 (\frac{5 π}{2 (2)}) - \tan (\frac{5 π}{4})$

Etapa 28.2.1.1.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{5 π}{4}) = 2 (\frac{5 π}{2 \cdot 2}) - \tan (\frac{5 π}{4})$

Etapa 28.2.1.1.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{5 π}{2} - \tan (\frac{5 π}{4})$

Etapa 28.2.1.2

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{5 π}{2} - \tan (\frac{π}{4})$

Etapa 28.2.1.3

O valor exato de $\tan (\frac{π}{4})$ é $1$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{5 π}{2} - 1 \cdot 1$

Etapa 28.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{5 π}{2} - 1$

Etapa 28.2.2

A resposta final é $\frac{5 π}{2} - 1$ .

$y = \frac{5 π}{2} - 1$

Etapa 29

Esses são os extremos locais para $f (x) = 2 x - \tan (x)$ .

$(\frac{π}{4}, \frac{π}{2} - 1)$ é um máximo local

$(\frac{7 π}{4}, \frac{7 π}{2} + 1)$ é um mínimo local

$(\frac{3 π}{4}, \frac{3 π}{2} + 1)$ é um mínimo local

$(\frac{5 π}{4}, \frac{5 π}{2} - 1)$ é um máximo local

Etapa 30