Cálculo Exemplos

$f (x) = 2 x - \sin (2 x)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

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Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x - \sin (2 x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \sin (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \sin (2 x)]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Etapa 1.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin (2 x)]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \sin (2 x)]$

Etapa 1.2.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- \sin (2 x)]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- \sin (2 x)]$ .

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Etapa 1.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \sin (2 x)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$2 - \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 1.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x$ .

$2 - (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 1.3.2.2

A derivada de $\sin (u)$ em relação a $u$ é $\cos (u)$ .

$2 - (\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 1.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x$ .

$2 - (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 1.3.3

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 - (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 1.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 - (\cos (2 x) (2 \cdot 1))$

Etapa 1.3.5

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 - (\cos (2 x) \cdot 2)$

Etapa 1.3.6

Mova $2$ para a esquerda de $\cos (2 x)$ .

$2 - (2 \cdot \cos (2 x))$

Etapa 1.3.7

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$2 - 2 \cos (2 x)$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 2.1

Diferencie.

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Etapa 2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 - 2 \cos (2 x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (2 x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2) + \frac{d}{d x} (- 2 \cos (2 x))$

Etapa 2.1.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- 2 \cos (2 x))$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2 \cos (2 x)]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 \cos (2 x)$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$f'' (x) = 0 - 2 \frac{d}{d x} \cos (2 x)$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 2.2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (2 x))$

Etapa 2.2.2.2

A derivada de $\cos (u)$ em relação a $u$ é $- \sin (u)$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (- \sin (u) \frac{d}{d x} (2 x))$

Etapa 2.2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

Etapa 2.2.3

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x)))$

Etapa 2.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (- \sin (2 x) (2 \cdot 1))$

Etapa 2.2.5

Multiplique $2$ por $1$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (- \sin (2 x) \cdot 2)$

Etapa 2.2.6

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (- 2 \sin (2 x))$

Etapa 2.2.7

Multiplique $- 2$ por $- 2$ .

$f'' (x) = 0 + 4 \sin (2 x)$

Etapa 2.3

Some $0$ e $4 \sin (2 x)$ .

$f'' (x) = 4 \sin (2 x)$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$2 - 2 \cos (2 x) = 0$

Etapa 4

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$- 2 \cos (2 x) = - 2$

Etapa 5

Divida cada termo em $- 2 \cos (2 x) = - 2$ por $- 2$ e simplifique.

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Etapa 5.1

Divida cada termo em $- 2 \cos (2 x) = - 2$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 \cos (2 x)}{- 2} = \frac{- 2}{- 2}$

Etapa 5.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.1

Cancele o fator comum de $- 2$ .

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Etapa 5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 2 \cos (2 x)}{- 2} = \frac{- 2}{- 2}$

Etapa 5.2.1.2

Divida $\cos (2 x)$ por $1$ .

$\cos (2 x) = \frac{- 2}{- 2}$

Etapa 5.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.1

Divida $- 2$ por $- 2$ .

$\cos (2 x) = 1$

Etapa 6

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do cosseno.

$2 x = \arccos (1)$

Etapa 7

Simplifique o lado direito.

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Etapa 7.1

O valor exato de $\arccos (1)$ é $0$ .

$2 x = 0$

Etapa 8

Divida cada termo em $2 x = 0$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 8.1

Divida cada termo em $2 x = 0$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Etapa 8.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 8.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 8.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Etapa 8.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Etapa 8.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 8.3.1

Divida $0$ por $2$ .

$x = 0$

Etapa 9

A função do cosseno é positiva no primeiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$2 x = 2 π - 0$

Etapa 10

Resolva $x$ .

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Etapa 10.1

Simplifique.

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Etapa 10.1.1

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$2 x = 2 π + 0$

Etapa 10.1.2

Some $2 π$ e $0$ .

$2 x = 2 π$

Etapa 10.2

Divida cada termo em $2 x = 2 π$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 10.2.1

Divida cada termo em $2 x = 2 π$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{2 π}{2}$

Etapa 10.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 10.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 10.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{2 π}{2}$

Etapa 10.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{2 π}{2}$

Etapa 10.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 10.2.3.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 10.2.3.1.1

Cancele o fator comum.

$x = \frac{2 π}{2}$

Etapa 10.2.3.1.2

Divida $π$ por $1$ .

$x = π$

Etapa 11

A solução para a equação $2 x = 0$ .

$x = 0, π$

Etapa 12

Avalie a segunda derivada em $x = 0$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$4 \sin (2 (0))$

Etapa 13

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 13.1

Multiplique $2$ por $0$ .

$4 \sin (0)$

Etapa 13.2

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$4 \cdot 0$

Etapa 13.3

Multiplique $4$ por $0$ .

$0$

Etapa 14

Como há pelo menos um ponto com $0$ ou segunda derivada indefinida, aplique o teste da primeira derivada.

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Etapa 14.1

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a primeira derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, 0) \cup (0, π) \cup (π, \infty)$

Etapa 14.2

Substitua qualquer número, como $- 2$ , do intervalo $(- \infty, 0)$ na primeira derivada $2 - 2 \cos (2 x)$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

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Etapa 14.2.1

Substitua a variável $x$ por $- 2$ na expressão.

$f' (- 2) = 2 - 2 \cos (2 (- 2))$

Etapa 14.2.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 14.2.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 14.2.2.1.1

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$f' (- 2) = 2 - 2 \cos (- 4)$

Etapa 14.2.2.1.2

Avalie $\cos (- 4)$ .

$f' (- 2) = 2 - 2 \cdot - 0.65364362$

Etapa 14.2.2.1.3

Multiplique $- 2$ por $- 0.65364362$ .

$f' (- 2) = 2 + 1.30728724$

Etapa 14.2.2.2

Some $2$ e $1.30728724$ .

$f' (- 2) = 3.30728724$

Etapa 14.2.2.3

A resposta final é $3.30728724$ .

$3.30728724$

Etapa 14.3

Substitua qualquer número, como $2$ , do intervalo $(0, π)$ na primeira derivada $2 - 2 \cos (2 x)$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

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Etapa 14.3.1

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$f' (2) = 2 - 2 \cos (2 (2))$

Etapa 14.3.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 14.3.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 14.3.2.1.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$f' (2) = 2 - 2 \cos (4)$

Etapa 14.3.2.1.2

Avalie $\cos (4)$ .

$f' (2) = 2 - 2 \cdot - 0.65364362$

Etapa 14.3.2.1.3

Multiplique $- 2$ por $- 0.65364362$ .

$f' (2) = 2 + 1.30728724$

Etapa 14.3.2.2

Some $2$ e $1.30728724$ .

$f' (2) = 3.30728724$

Etapa 14.3.2.3

A resposta final é $3.30728724$ .

$3.30728724$

Etapa 14.4

Substitua qualquer número, como $6$ , do intervalo $(π, \infty)$ na primeira derivada $2 - 2 \cos (2 x)$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

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Etapa 14.4.1

Substitua a variável $x$ por $6$ na expressão.

$f' (6) = 2 - 2 \cos (2 (6))$

Etapa 14.4.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 14.4.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 14.4.2.1.1

Multiplique $2$ por $6$ .

$f' (6) = 2 - 2 \cos (12)$

Etapa 14.4.2.1.2

Avalie $\cos (12)$ .

$f' (6) = 2 - 2 \cdot 0.84385395$

Etapa 14.4.2.1.3

Multiplique $- 2$ por $0.84385395$ .

$f' (6) = 2 - 1.68770791$

Etapa 14.4.2.2

Subtraia $1.68770791$ de $2$ .

$f' (6) = 0.31229208$

Etapa 14.4.2.3

A resposta final é $0.31229208$ .

$0.31229208$

Etapa 14.5

Como a primeira derivada não mudou os sinais em torno de $x = 0$ , este não é um máximo local nem um mínimo local.

Não é um máximo nem um mínimo local

Etapa 14.6

Nenhum máximo ou mínimo local encontrado para $f (x) = 2 x - \sin (2 x)$ .

Nenhum máximo ou mínimo local

Etapa 15