Cálculo Exemplos

$f (x) = 3 x^{2} - 6 \ln (x)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

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Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x^{2} - 6 \ln (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 \ln (x)]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Etapa 1.2.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{2}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 \ln (x)]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 6 \ln (x)]$

Etapa 1.2.3

Multiplique $2$ por $3$ .

$6 x + \frac{d}{d x} [- 6 \ln (x)]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 6 \ln (x)]$ .

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Etapa 1.3.1

Como $- 6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 6 \ln (x)$ em relação a $x$ é $- 6 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$6 x - 6 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Etapa 1.3.2

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$6 x - 6 \frac{1}{x}$

Etapa 1.3.3

Combine $- 6$ e $\frac{1}{x}$ .

$6 x + \frac{- 6}{x}$

Etapa 1.3.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$6 x - \frac{6}{x}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $6 x - \frac{6}{x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (- \frac{6}{x})$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 x$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 6 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- \frac{6}{x})$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- \frac{6}{x})$

Etapa 2.2.3

Multiplique $6$ por $1$ .

$f'' (x) = 6 + \frac{d}{d x} (- \frac{6}{x})$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{6}{x}]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $- 6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{6}{x}$ em relação a $x$ é $- 6 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$f'' (x) = 6 - 6 \frac{d}{d x} \frac{1}{x}$

Etapa 2.3.2

Reescreva $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$f'' (x) = 6 - 6 \frac{d}{d x} x^{- 1}$

Etapa 2.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$f'' (x) = 6 - 6 (- x^{- 2})$

Etapa 2.3.4

Multiplique $- 1$ por $- 6$ .

$f'' (x) = 6 + 6 x^{- 2}$

Etapa 2.4

Simplifique.

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Etapa 2.4.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 6 + 6 (\frac{1}{x^{2}})$

Etapa 2.4.2

Combine $6$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$f'' (x) = 6 + \frac{6}{x^{2}}$

Etapa 2.4.3

Reordene os termos.

$f'' (x) = \frac{6}{x^{2}} + 6$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$6 x - \frac{6}{x} = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 4.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x^{2} - 6 \ln (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 \ln (x)]$

Etapa 4.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Etapa 4.1.2.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{2}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 \ln (x)]$

Etapa 4.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 6 \ln (x)]$

Etapa 4.1.2.3

Multiplique $2$ por $3$ .

$6 x + \frac{d}{d x} [- 6 \ln (x)]$

Etapa 4.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 6 \ln (x)]$ .

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Etapa 4.1.3.1

Como $- 6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 6 \ln (x)$ em relação a $x$ é $- 6 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$6 x - 6 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Etapa 4.1.3.2

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$6 x - 6 \frac{1}{x}$

Etapa 4.1.3.3

Combine $- 6$ e $\frac{1}{x}$ .

$6 x + \frac{- 6}{x}$

Etapa 4.1.3.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = 6 x - \frac{6}{x}$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $6 x - \frac{6}{x}$ .

$6 x - \frac{6}{x}$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $6 x - \frac{6}{x} = 0$ .

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Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$6 x - \frac{6}{x} = 0$

Etapa 5.2

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 5.2.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$1, x, 1$

Etapa 5.2.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$x$

Etapa 5.3

Multiplique cada termo em $6 x - \frac{6}{x} = 0$ por $x$ para eliminar as frações.

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Etapa 5.3.1

Multiplique cada termo em $6 x - \frac{6}{x} = 0$ por $x$ .

$6 x \cdot x - \frac{6}{x} x = 0 x$

Etapa 5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.3.2.1.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 5.3.2.1.1.1

Mova $x$ .

$6 (x \cdot x) - \frac{6}{x} x = 0 x$

Etapa 5.3.2.1.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$6 x^{2} - \frac{6}{x} x = 0 x$

Etapa 5.3.2.1.2

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 5.3.2.1.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{6}{x}$ para o numerador.

$6 x^{2} + \frac{- 6}{x} x = 0 x$

Etapa 5.3.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$6 x^{2} + \frac{- 6}{x} x = 0 x$

Etapa 5.3.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$6 x^{2} - 6 = 0 x$

Etapa 5.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.3.1

Multiplique $0$ por $x$ .

$6 x^{2} - 6 = 0$

Etapa 5.4

Resolva a equação.

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Etapa 5.4.1

Some $6$ aos dois lados da equação.

$6 x^{2} = 6$

Etapa 5.4.2

Divida cada termo em $6 x^{2} = 6$ por $6$ e simplifique.

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Etapa 5.4.2.1

Divida cada termo em $6 x^{2} = 6$ por $6$ .

$\frac{6 x^{2}}{6} = \frac{6}{6}$

Etapa 5.4.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.4.2.2.1

Cancele o fator comum de $6$ .

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Etapa 5.4.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{6 x^{2}}{6} = \frac{6}{6}$

Etapa 5.4.2.2.1.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{6}{6}$

Etapa 5.4.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.4.2.3.1

Divida $6$ por $6$ .

$x^{2} = 1$

Etapa 5.4.3

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{1}$

Etapa 5.4.4

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$x = \pm 1$

Etapa 5.4.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 5.4.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 1$

Etapa 5.4.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 1$

Etapa 5.4.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 1, - 1$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 6.1

Defina o denominador em $\frac{6}{x}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x = 0$

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = 1$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = 1$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$\frac{6}{{(1)}^{2}} + 6$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 9.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 9.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{6}{1} + 6$

Etapa 9.1.2

Divida $6$ por $1$ .

$6 + 6$

Etapa 9.2

Some $6$ e $6$ .

$12$

Etapa 10

$x = 1$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 1$ é um mínimo local

Etapa 11

Encontre o valor y quando $x = 1$ .

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Etapa 11.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f (1) = 3 {(1)}^{2} - 6 \ln (1)$

Etapa 11.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 11.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 11.2.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$f (1) = 3 \cdot 1 - 6 \ln (1)$

Etapa 11.2.1.2

Multiplique $3$ por $1$ .

$f (1) = 3 - 6 \ln (1)$

Etapa 11.2.1.3

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$f (1) = 3 - 6 \cdot 0$

Etapa 11.2.1.4

Multiplique $- 6$ por $0$ .

$f (1) = 3 + 0$

Etapa 11.2.2

Some $3$ e $0$ .

$f (1) = 3$

Etapa 11.2.3

A resposta final é $3$ .

$y = 3$

Etapa 12

Esses são os extremos locais para $f (x) = 3 x^{2} - 6 \ln (x)$ .

$(1, 3)$ é um mínimo local

Etapa 13