Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 5} \frac{\sin (3 x)}{2 x}$

Etapa 1

Mova o termo $\frac{1}{2}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 5} \frac{\sin (3 x)}{x}$

Etapa 2

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $5$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 5} \sin (3 x)}{lim_{x \to 5} x}$

Etapa 3

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (lim_{x \to 5} 3 x)}{lim_{x \to 5} x}$

Etapa 4

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (3 lim_{x \to 5} x)}{lim_{x \to 5} x}$

Etapa 5

Avalie os limites substituindo $5$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 5.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $5$ por $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (3 \cdot 5)}{lim_{x \to 5} x}$

Etapa 5.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $5$ por $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (3 \cdot 5)}{5}$

Etapa 6

Simplifique a resposta.

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Etapa 6.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.1.1

Multiplique $3$ por $5$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (15)}{5}$

Etapa 6.1.2

O valor exato de $\sin (15)$ é $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

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Etapa 6.1.2.1

Divida $15$ em dois ângulos em que os valores das seis funções trigonométricas sejam conhecidos.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (45 - 30)}{5}$

Etapa 6.1.2.2

Separar negativação.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (45 - (30))}{5}$

Etapa 6.1.2.3

Aplique a fórmula da diferença dos ângulos.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (45) \cos (30) - \cos (45) \sin (30)}{5}$

Etapa 6.1.2.4

O valor exato de $\sin (45)$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (30) - \cos (45) \sin (30)}{5}$

Etapa 6.1.2.5

O valor exato de $\cos (30)$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos (45) \sin (30)}{5}$

Etapa 6.1.2.6

O valor exato de $\cos (45)$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (30)}{5}$

Etapa 6.1.2.7

O valor exato de $\sin (30)$ é $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{5}$

Etapa 6.1.2.8

Simplifique $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Etapa 6.1.2.8.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.1.2.8.1.1

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Etapa 6.1.2.8.1.1.1

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{5}$

Etapa 6.1.2.8.1.1.2

Combine usando a regra do produto para radicais.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{5}$

Etapa 6.1.2.8.1.1.3

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{5}$

Etapa 6.1.2.8.1.1.4

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{5}$

Etapa 6.1.2.8.1.2

Multiplique $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Etapa 6.1.2.8.1.2.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}}{5}$

Etapa 6.1.2.8.1.2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}}{5}$

Etapa 6.1.2.8.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}}{5}$

Etapa 6.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{1}{2} (\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{1}{5})$

Etapa 6.3

Multiplique $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{1}{5}$ .

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Etapa 6.3.1

Multiplique $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ por $\frac{1}{5}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 \cdot 5}$

Etapa 6.3.2

Multiplique $4$ por $5$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{20}$

Etapa 6.4

Multiplique $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{20}$ .

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Etapa 6.4.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{20}$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2 \cdot 20}$

Etapa 6.4.2

Multiplique $2$ por $20$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{40}$

Etapa 7

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{40}$

Forma decimal:

$0.02588190 \dots$