Cálculo Exemplos

$lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{3 x + 2}{6 x - 9}}$

Etapa 1

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{3 x + 2}{6 x - 9}}$

Etapa 2

Divida o numerador e o denominador pela potência mais alta de $x$ no denominador, que é $x$ .

$\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 x}{x} + \frac{2}{x}}{\frac{6 x}{x} + \frac{- 9}{x}}}$

Etapa 3

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Cancele o fator comum.

$\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 x}{x} + \frac{2}{x}}{\frac{6 x}{x} + \frac{- 9}{x}}}$

Etapa 3.1.2

Divida $3$ por $1$ .

$\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{3 + \frac{2}{x}}{\frac{6 x}{x} + \frac{- 9}{x}}}$

Etapa 3.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{3 + \frac{2}{x}}{\frac{6 x}{x} + \frac{- 9}{x}}}$

Etapa 3.2.1.2

Divida $6$ por $1$ .

$\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{3 + \frac{2}{x}}{6 + \frac{- 9}{x}}}$

Etapa 3.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{3 + \frac{2}{x}}{6 - \frac{9}{x}}}$

Etapa 3.3

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 3 + \frac{2}{x}}{lim_{x \to \infty} 6 - \frac{9}{x}}}$

Etapa 3.4

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 3 + lim_{x \to \infty} \frac{2}{x}}{lim_{x \to \infty} 6 - \frac{9}{x}}}$

Etapa 3.5

Avalie o limite de $3$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\sqrt{\frac{3 + lim_{x \to \infty} \frac{2}{x}}{lim_{x \to \infty} 6 - \frac{9}{x}}}$

Etapa 3.6

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\sqrt{\frac{3 + 2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 6 - \frac{9}{x}}}$

Etapa 4

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{x}$ se aproxima de $0$ .

$\sqrt{\frac{3 + 2 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 6 - \frac{9}{x}}}$

Etapa 5

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\sqrt{\frac{3 + 2 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 6 - lim_{x \to \infty} \frac{9}{x}}}$

Etapa 5.2

Avalie o limite de $6$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\sqrt{\frac{3 + 2 \cdot 0}{6 - lim_{x \to \infty} \frac{9}{x}}}$

Etapa 5.3

Mova o termo $9$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\sqrt{\frac{3 + 2 \cdot 0}{6 - 9 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Etapa 6

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{x}$ se aproxima de $0$ .

$\sqrt{\frac{3 + 2 \cdot 0}{6 - 9 \cdot 0}}$

Etapa 7

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Multiplique $2$ por $0$ .

$\sqrt{\frac{3 + 0}{6 - 9 \cdot 0}}$

Etapa 7.2

Some $3$ e $0$ .

$\sqrt{\frac{3}{6 - 9 \cdot 0}}$

Etapa 7.3

Multiplique $- 9$ por $0$ .

$\sqrt{\frac{3}{6 + 0}}$

Etapa 7.4

Some $6$ e $0$ .

$\sqrt{\frac{3}{6}}$

Etapa 7.5

Cancele o fator comum de $3$ e $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.5.1

Fatore $3$ de $3$ .

$\sqrt{\frac{3 (1)}{6}}$

Etapa 7.5.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.5.2.1

Fatore $3$ de $6$ .

$\sqrt{\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2}}$

Etapa 7.5.2.2

Cancele o fator comum.

$\sqrt{\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2}}$

Etapa 7.5.2.3

Reescreva a expressão.

$\sqrt{\frac{1}{2}}$

Etapa 7.6

Reescreva $\sqrt{\frac{1}{2}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Etapa 7.7

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{2}}$

Etapa 7.8

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Etapa 7.9

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.9.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Etapa 7.9.2

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Etapa 7.9.3

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Etapa 7.9.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Etapa 7.9.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Etapa 7.9.6

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.9.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 7.9.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 7.9.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 7.9.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.9.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 7.9.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Etapa 7.9.6.5

Avalie o expoente.

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 8

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Forma decimal:

$0.70710678 \dots$