Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 4} \frac{5 (x - 4) \sqrt{x + 12}}{4 - \sqrt{x + 12}}$

Etapa 1

Mova o termo $5$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{(x - 4) \sqrt{x + 12}}{4 - \sqrt{x + 12}}$

Etapa 2

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 2.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 2.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$5 \frac{lim_{x \to 4} (x - 4) \sqrt{x + 12}}{lim_{x \to 4} 4 - \sqrt{x + 12}}$

Etapa 2.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 2.1.2.1

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $4$ .

$5 \frac{lim_{x \to 4} x - 4 \cdot lim_{x \to 4} \sqrt{x + 12}}{lim_{x \to 4} 4 - \sqrt{x + 12}}$

Etapa 2.1.2.2

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $4$ .

$5 \frac{(lim_{x \to 4} x - lim_{x \to 4} 4) \cdot lim_{x \to 4} \sqrt{x + 12}}{lim_{x \to 4} 4 - \sqrt{x + 12}}$

Etapa 2.1.2.3

Avalie o limite de $4$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $4$ .

$5 \frac{(lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 4) \cdot lim_{x \to 4} \sqrt{x + 12}}{lim_{x \to 4} 4 - \sqrt{x + 12}}$

Etapa 2.1.2.4

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$5 \frac{(lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 4) \cdot \sqrt{lim_{x \to 4} x + 12}}{lim_{x \to 4} 4 - \sqrt{x + 12}}$

Etapa 2.1.2.5

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $4$ .

$5 \frac{(lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 4) \cdot \sqrt{lim_{x \to 4} x + lim_{x \to 4} 12}}{lim_{x \to 4} 4 - \sqrt{x + 12}}$

Etapa 2.1.2.6

Avalie o limite de $12$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $4$ .

$5 \frac{(lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 4) \cdot \sqrt{lim_{x \to 4} x + 12}}{lim_{x \to 4} 4 - \sqrt{x + 12}}$

Etapa 2.1.2.7

Avalie os limites substituindo $4$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 2.1.2.7.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $4$ por $x$ .

$5 \frac{(4 - 1 \cdot 4) \cdot \sqrt{lim_{x \to 4} x + 12}}{lim_{x \to 4} 4 - \sqrt{x + 12}}$

Etapa 2.1.2.7.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $4$ por $x$ .

$5 \frac{(4 - 1 \cdot 4) \cdot \sqrt{4 + 12}}{lim_{x \to 4} 4 - \sqrt{x + 12}}$

Etapa 2.1.2.8

Simplifique a resposta.

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Etapa 2.1.2.8.1

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$5 \frac{(4 - 4) \cdot \sqrt{4 + 12}}{lim_{x \to 4} 4 - \sqrt{x + 12}}$

Etapa 2.1.2.8.2

Subtraia $4$ de $4$ .

$5 \frac{0 \cdot \sqrt{4 + 12}}{lim_{x \to 4} 4 - \sqrt{x + 12}}$

Etapa 2.1.2.8.3

Some $4$ e $12$ .

$5 \frac{0 \cdot \sqrt{16}}{lim_{x \to 4} 4 - \sqrt{x + 12}}$

Etapa 2.1.2.8.4

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$5 \frac{0 \cdot \sqrt{4^{2}}}{lim_{x \to 4} 4 - \sqrt{x + 12}}$

Etapa 2.1.2.8.5

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$5 \frac{0 \cdot 4}{lim_{x \to 4} 4 - \sqrt{x + 12}}$

Etapa 2.1.2.8.6

Multiplique $0$ por $4$ .

$5 \frac{0}{lim_{x \to 4} 4 - \sqrt{x + 12}}$

Etapa 2.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 2.1.3.1

Avalie o limite.

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Etapa 2.1.3.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $4$ .

$5 \frac{0}{lim_{x \to 4} 4 - lim_{x \to 4} \sqrt{x + 12}}$

Etapa 2.1.3.1.2

Avalie o limite de $4$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $4$ .

$5 \frac{0}{4 - lim_{x \to 4} \sqrt{x + 12}}$

Etapa 2.1.3.1.3

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$5 \frac{0}{4 - \sqrt{lim_{x \to 4} x + 12}}$

Etapa 2.1.3.1.4

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $4$ .

$5 \frac{0}{4 - \sqrt{lim_{x \to 4} x + lim_{x \to 4} 12}}$

Etapa 2.1.3.1.5

Avalie o limite de $12$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $4$ .

$5 \frac{0}{4 - \sqrt{lim_{x \to 4} x + 12}}$

Etapa 2.1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $4$ por $x$ .

$5 \frac{0}{4 - \sqrt{4 + 12}}$

Etapa 2.1.3.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 2.1.3.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1.3.3.1.1

Some $4$ e $12$ .

$5 \frac{0}{4 - \sqrt{16}}$

Etapa 2.1.3.3.1.2

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$5 \frac{0}{4 - \sqrt{4^{2}}}$

Etapa 2.1.3.3.1.3

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$5 \frac{0}{4 - 1 \cdot 4}$

Etapa 2.1.3.3.1.4

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$5 \frac{0}{4 - 4}$

Etapa 2.1.3.3.2

Subtraia $4$ de $4$ .

$5 (\frac{0}{0})$

Etapa 2.1.3.3.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$5 (\frac{0}{0})$

Etapa 2.1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$5 (\frac{0}{0})$

Etapa 2.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$5 (\frac{0}{0})$

Etapa 2.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 4} \frac{(x - 4) \sqrt{x + 12}}{4 - \sqrt{x + 12}} = lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [(x - 4) \sqrt{x + 12}]}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

Etapa 2.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 2.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$5 lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [(x - 4) \sqrt{x + 12}]}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

Etapa 2.3.2

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x + 12}$ como ${(x + 12)}^{\frac{1}{2}}$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [(x - 4) {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

Etapa 2.3.3

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x - 4$ e $g (x) = {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{(x - 4) \frac{d}{d x} [{(x + 12)}^{\frac{1}{2}}] + {(x + 12)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 4]}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

Etapa 2.3.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x + 12$ .

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Etapa 2.3.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x + 12$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{(x - 4) \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 12] + {(x + 12)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 4]}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

Etapa 2.3.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{(x - 4) \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 12] + {(x + 12)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 4]}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

Etapa 2.3.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + 12$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{(x - 4) \frac{1}{2} {(x + 12)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 12] + {(x + 12)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 4]}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

Etapa 2.3.5

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{(x - 4) \frac{1}{2} {(x + 12)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 12] + {(x + 12)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 4]}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

Etapa 2.3.6

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{(x - 4) \frac{1}{2} {(x + 12)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 12] + {(x + 12)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 4]}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

Etapa 2.3.7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$5 lim_{x \to 4} \frac{(x - 4) \frac{1}{2} {(x + 12)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 12] + {(x + 12)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 4]}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

Etapa 2.3.8

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.3.8.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{(x - 4) \frac{1}{2} {(x + 12)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 12] + {(x + 12)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 4]}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

Etapa 2.3.8.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{(x - 4) \frac{1}{2} {(x + 12)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 12] + {(x + 12)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 4]}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

Etapa 2.3.9

Mova o número negativo para a frente da fração.

$5 lim_{x \to 4} \frac{(x - 4) \frac{1}{2} {(x + 12)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 12] + {(x + 12)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 4]}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

Etapa 2.3.10

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(x + 12)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{(x - 4) \frac{{(x + 12)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x + 12] + {(x + 12)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 4]}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

Etapa 2.3.11

Mova ${(x + 12)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{(x - 4) \frac{1}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 12] + {(x + 12)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 4]}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

Etapa 2.3.12

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 12$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [12]$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{(x - 4) \frac{1}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [12]) + {(x + 12)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 4]}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

Etapa 2.3.13

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{(x - 4) \frac{1}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [12]) + {(x + 12)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 4]}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

Etapa 2.3.14

Como $12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $12$ em relação a $x$ é $0$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{(x - 4) \frac{1}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0) + {(x + 12)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 4]}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

Etapa 2.3.15

Some $1$ e $0$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{(x - 4) \frac{1}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + {(x + 12)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 4]}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

Etapa 2.3.16

Multiplique $x - 4$ por $1$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{(x - 4) \frac{1}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 12)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 4]}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

Etapa 2.3.17

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{(x - 4) \frac{1}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 12)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

Etapa 2.3.18

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{(x - 4) \frac{1}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 12)}^{\frac{1}{2}} (1 + \frac{d}{d x} [- 4])}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

Etapa 2.3.19

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4$ em relação a $x$ é $0$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{(x - 4) \frac{1}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 12)}^{\frac{1}{2}} (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

Etapa 2.3.20

Some $1$ e $0$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{(x - 4) \frac{1}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 12)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

Etapa 2.3.21

Multiplique ${(x + 12)}^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{(x - 4) \frac{1}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

Etapa 2.3.22

Simplifique.

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Etapa 2.3.22.1

Multiplique $x - 4$ por $\frac{1}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{\frac{x - 4}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

Etapa 2.3.22.2

Para escrever ${(x + 12)}^{\frac{1}{2}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{\frac{x - 4}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 12)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

Etapa 2.3.22.3

Combine ${(x + 12)}^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{\frac{x - 4}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(x + 12)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

Etapa 2.3.22.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$5 lim_{x \to 4} \frac{\frac{x - 4 + {(x + 12)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

Etapa 2.3.22.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.3.22.5.1

Multiplique ${(x + 12)}^{\frac{1}{2}}$ por ${(x + 12)}^{\frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.3.22.5.1.1

Mova ${(x + 12)}^{\frac{1}{2}}$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{\frac{x - 4 + {(x + 12)}^{\frac{1}{2}} {(x + 12)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

Etapa 2.3.22.5.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$5 lim_{x \to 4} \frac{\frac{x - 4 + {(x + 12)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

Etapa 2.3.22.5.1.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$5 lim_{x \to 4} \frac{\frac{x - 4 + {(x + 12)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

Etapa 2.3.22.5.1.4

Some $1$ e $1$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{\frac{x - 4 + {(x + 12)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

Etapa 2.3.22.5.1.5

Divida $2$ por $2$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{\frac{x - 4 + {(x + 12)}^{1} \cdot 2}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

Etapa 2.3.22.5.2

Simplifique ${(x + 12)}^{1} \cdot 2$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{\frac{x - 4 + (x + 12) \cdot 2}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

Etapa 2.3.22.5.3

Aplique a propriedade distributiva.

$5 lim_{x \to 4} \frac{\frac{x - 4 + x \cdot 2 + 12 \cdot 2}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

Etapa 2.3.22.5.4

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{\frac{x - 4 + 2 \cdot x + 12 \cdot 2}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

Etapa 2.3.22.5.5

Multiplique $12$ por $2$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{\frac{x - 4 + 2 \cdot x + 24}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

Etapa 2.3.22.5.6

Some $x$ e $2 x$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{\frac{3 x - 4 + 24}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

Etapa 2.3.22.5.7

Some $- 4$ e $24$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{\frac{3 x + 20}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

Etapa 2.3.23

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 - \sqrt{x + 12}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 12}]$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{\frac{3 x + 20}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 12}]}$

Etapa 2.3.24

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{\frac{3 x + 20}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{0 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 12}]}$

Etapa 2.3.25

Avalie $\frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 12}]$ .

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Etapa 2.3.25.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x + 12}$ como ${(x + 12)}^{\frac{1}{2}}$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{\frac{3 x + 20}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{0 + \frac{d}{d x} [- {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}]}$

Etapa 2.3.25.2

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [{(x + 12)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{\frac{3 x + 20}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{0 - \frac{d}{d x} [{(x + 12)}^{\frac{1}{2}}]}$

Etapa 2.3.25.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x + 12$ .

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Etapa 2.3.25.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x + 12$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{\frac{3 x + 20}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{0 - \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 12]}$

Etapa 2.3.25.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{\frac{3 x + 20}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{0 - \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 12]}$

Etapa 2.3.25.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + 12$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{\frac{3 x + 20}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{0 - \frac{1}{2} {(x + 12)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 12]}$

Etapa 2.3.25.4

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 12$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [12]$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{\frac{3 x + 20}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{0 - \frac{1}{2} {(x + 12)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [12])}$

Etapa 2.3.25.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{\frac{3 x + 20}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{0 - \frac{1}{2} {(x + 12)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [12])}$

Etapa 2.3.25.6

Como $12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $12$ em relação a $x$ é $0$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{\frac{3 x + 20}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{0 - \frac{1}{2} {(x + 12)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0)}$

Etapa 2.3.25.7

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{\frac{3 x + 20}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{0 - \frac{1}{2} {(x + 12)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (1 + 0)}$

Etapa 2.3.25.8

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{\frac{3 x + 20}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{0 - \frac{1}{2} {(x + 12)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0)}$

Etapa 2.3.25.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$5 lim_{x \to 4} \frac{\frac{3 x + 20}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{0 - \frac{1}{2} {(x + 12)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0)}$

Etapa 2.3.25.10

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.3.25.10.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{\frac{3 x + 20}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{0 - \frac{1}{2} {(x + 12)}^{\frac{1 - 2}{2}} (1 + 0)}$

Etapa 2.3.25.10.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{\frac{3 x + 20}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{0 - \frac{1}{2} {(x + 12)}^{\frac{- 1}{2}} (1 + 0)}$

Etapa 2.3.25.11

Mova o número negativo para a frente da fração.

$5 lim_{x \to 4} \frac{\frac{3 x + 20}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{0 - \frac{1}{2} {(x + 12)}^{- \frac{1}{2}} (1 + 0)}$

Etapa 2.3.25.12

Some $1$ e $0$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{\frac{3 x + 20}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{0 - \frac{1}{2} {(x + 12)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1}$

Etapa 2.3.25.13

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(x + 12)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{\frac{3 x + 20}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{0 - \frac{{(x + 12)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 1}$

Etapa 2.3.25.14

Multiplique $\frac{{(x + 12)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ por $1$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{\frac{3 x + 20}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{0 - \frac{{(x + 12)}^{- \frac{1}{2}}}{2}}$

Etapa 2.3.25.15

Mova ${(x + 12)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{\frac{3 x + 20}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{0 - \frac{1}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}}$

Etapa 2.3.26

Subtraia $\frac{1}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}$ de $0$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{\frac{3 x + 20}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{- \frac{1}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}}$

Etapa 2.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$5 lim_{x \to 4} \frac{3 x + 20}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 1 \cdot 2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 2.5

Converta expoentes fracionários em radicais.

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Etapa 2.5.1

Reescreva ${(x + 12)}^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{x + 12}$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{3 x + 20}{2 \sqrt{x + 12}} \cdot - 1 \cdot 2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 2.5.2

Reescreva ${(x + 12)}^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{x + 12}$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{3 x + 20}{2 \sqrt{x + 12}} \cdot - 1 \cdot 2 \sqrt{x + 12}$

Etapa 2.6

Combine os fatores.

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Etapa 2.6.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{3 x + 20}{2 \sqrt{x + 12}} \cdot - 2 \sqrt{x + 12}$

Etapa 2.6.2

Combine $- 2$ e $\frac{3 x + 20}{2 \sqrt{x + 12}}$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{- 2 (3 x + 20)}{2 \sqrt{x + 12}} \sqrt{x + 12}$

Etapa 2.6.3

Combine $\frac{- 2 (3 x + 20)}{2 \sqrt{x + 12}}$ e $\sqrt{x + 12}$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{- 2 (3 x + 20) \sqrt{x + 12}}{2 \sqrt{x + 12}}$

Etapa 2.7

Reduza.

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Etapa 2.7.1

Cancele o fator comum de $- 2$ e $2$ .

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Etapa 2.7.1.1

Fatore $2$ de $- 2 (3 x + 20) \sqrt{x + 12}$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{2 \cdot - 1 (3 x + 20) \sqrt{x + 12}}{2 \sqrt{x + 12}}$

Etapa 2.7.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.7.1.2.1

Fatore $2$ de $2 \sqrt{x + 12}$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{2 \cdot - 1 (3 x + 20) \sqrt{x + 12}}{2 (\sqrt{x + 12})}$

Etapa 2.7.1.2.2

Cancele o fator comum.

$5 lim_{x \to 4} \frac{2 \cdot - 1 (3 x + 20) \sqrt{x + 12}}{2 \sqrt{x + 12}}$

Etapa 2.7.1.2.3

Reescreva a expressão.

$5 lim_{x \to 4} \frac{- (3 x + 20) \sqrt{x + 12}}{\sqrt{x + 12}}$

Etapa 2.7.2

Cancele o fator comum de $\sqrt{x + 12}$ .

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Etapa 2.7.2.1

Cancele o fator comum.

$5 lim_{x \to 4} \frac{- (3 x + 20) \sqrt{x + 12}}{\sqrt{x + 12}}$

Etapa 2.7.2.2

Divida $- (3 x + 20)$ por $1$ .

$5 lim_{x \to 4} - (3 x + 20)$

Etapa 3

Avalie o limite.

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Etapa 3.1

Mova o termo $- 1$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$5 \cdot - 1 lim_{x \to 4} 3 x + 20$

Etapa 3.2

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $4$ .

$5 \cdot - 1 (lim_{x \to 4} 3 x + lim_{x \to 4} 20)$

Etapa 3.3

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$5 \cdot - 1 (3 lim_{x \to 4} x + lim_{x \to 4} 20)$

Etapa 3.4

Avalie o limite de $20$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $4$ .

$5 \cdot - 1 (3 lim_{x \to 4} x + 20)$

Etapa 4

Avalie o limite de $x$ substituindo $4$ por $x$ .

$5 \cdot - 1 (3 \cdot 4 + 20)$

Etapa 5

Simplifique a resposta.

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Etapa 5.1

Multiplique $5$ por $- 1$ .

$- 5 (3 \cdot 4 + 20)$

Etapa 5.2

Multiplique $3$ por $4$ .

$- 5 (12 + 20)$

Etapa 5.3

Some $12$ e $20$ .

$- 5 \cdot 32$

Etapa 5.4

Multiplique $- 5$ por $32$ .

$- 160$