Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{2 x + 1 - 3}}{\sqrt{x - 2 \sqrt{2}}}$

Etapa 1

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $4$ .

$\frac{lim_{x \to 4} \sqrt{2 x + 1 - 3}}{lim_{x \to 4} \sqrt{x - 2 \sqrt{2}}}$

Etapa 2

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 4} 2 x + 1 - 3}}{lim_{x \to 4} \sqrt{x - 2 \sqrt{2}}}$

Etapa 3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $4$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 4} 2 x + lim_{x \to 4} 1 - lim_{x \to 4} 3}}{lim_{x \to 4} \sqrt{x - 2 \sqrt{2}}}$

Etapa 4

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{\sqrt{2 lim_{x \to 4} x + lim_{x \to 4} 1 - lim_{x \to 4} 3}}{lim_{x \to 4} \sqrt{x - 2 \sqrt{2}}}$

Etapa 5

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $4$ .

$\frac{\sqrt{2 lim_{x \to 4} x + 1 - lim_{x \to 4} 3}}{lim_{x \to 4} \sqrt{x - 2 \sqrt{2}}}$

Etapa 6

Avalie o limite de $3$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $4$ .

$\frac{\sqrt{2 lim_{x \to 4} x + 1 - 1 \cdot 3}}{lim_{x \to 4} \sqrt{x - 2 \sqrt{2}}}$

Etapa 7

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{\sqrt{2 lim_{x \to 4} x + 1 - 1 \cdot 3}}{\sqrt{lim_{x \to 4} x - 2 \sqrt{2}}}$

Etapa 8

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $4$ .

$\frac{\sqrt{2 lim_{x \to 4} x + 1 - 1 \cdot 3}}{\sqrt{lim_{x \to 4} x - lim_{x \to 4} 2 \sqrt{2}}}$

Etapa 9

Avalie o limite de $2 \sqrt{2}$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $4$ .

$\frac{\sqrt{2 lim_{x \to 4} x + 1 - 1 \cdot 3}}{\sqrt{lim_{x \to 4} x - 2 \sqrt{2}}}$

Etapa 10

Avalie os limites substituindo $4$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 10.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $4$ por $x$ .

$\frac{\sqrt{2 \cdot 4 + 1 - 1 \cdot 3}}{\sqrt{lim_{x \to 4} x - 2 \sqrt{2}}}$

Etapa 10.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $4$ por $x$ .

$\frac{\sqrt{2 \cdot 4 + 1 - 1 \cdot 3}}{\sqrt{4 - 2 \sqrt{2}}}$

Etapa 11

Simplifique a resposta.

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Etapa 11.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 11.1.1

Multiplique $2$ por $4$ .

$\frac{\sqrt{8 + 1 - 1 \cdot 3}}{\sqrt{4 - 2 \sqrt{2}}}$

Etapa 11.1.2

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{\sqrt{8 + 1 - 3}}{\sqrt{4 - 2 \sqrt{2}}}$

Etapa 11.1.3

Some $8$ e $1$ .

$\frac{\sqrt{9 - 3}}{\sqrt{4 - 2 \sqrt{2}}}$

Etapa 11.1.4

Subtraia $3$ de $9$ .

$\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{4 - 2 \sqrt{2}}}$

Etapa 11.2

Combine $\sqrt{6}$ e $\sqrt{4 - 2 \sqrt{2}}$ em um único radical.

$\sqrt{\frac{6}{4 - 2 \sqrt{2}}}$

Etapa 11.3

Reduza a expressão $\frac{6}{4 - 2 \sqrt{2}}$ cancelando os fatores comuns.

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Etapa 11.3.1

Fatore $2$ de $6$ .

$\sqrt{\frac{2 (3)}{4 - 2 \sqrt{2}}}$

Etapa 11.3.2

Fatore $2$ de $4$ .

$\sqrt{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2 - 2 \sqrt{2}}}$

Etapa 11.3.3

Fatore $2$ de $- 2 \sqrt{2}$ .

$\sqrt{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2 + 2 (- \sqrt{2})}}$

Etapa 11.3.4

Fatore $2$ de $2 (2) + 2 (- \sqrt{2})$ .

$\sqrt{\frac{2 \cdot 3}{2 (2 - \sqrt{2})}}$

Etapa 11.3.5

Cancele o fator comum.

$\sqrt{\frac{2 \cdot 3}{2 (2 - \sqrt{2})}}$

Etapa 11.3.6

Reescreva a expressão.

$\sqrt{\frac{3}{2 - \sqrt{2}}}$

Etapa 11.4

Multiplique $\frac{3}{2 - \sqrt{2}}$ por $\frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}$ .

$\sqrt{\frac{3}{2 - \sqrt{2}} \cdot \frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}}$

Etapa 11.5

Multiplique $\frac{3}{2 - \sqrt{2}}$ por $\frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}$ .

$\sqrt{\frac{3 (2 + \sqrt{2})}{(2 - \sqrt{2}) (2 + \sqrt{2})}}$

Etapa 11.6

Expanda o denominador usando o método FOIL.

$\sqrt{\frac{3 (2 + \sqrt{2})}{4 + 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{2}}}$

Etapa 11.7

Simplifique.

$\sqrt{\frac{3 (2 + \sqrt{2})}{2}}$

Etapa 11.8

Reescreva $\sqrt{\frac{3 (2 + \sqrt{2})}{2}}$ como $\frac{\sqrt{3 (2 + \sqrt{2})}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{3 (2 + \sqrt{2})}}{\sqrt{2}}$

Etapa 11.9

Multiplique $\frac{\sqrt{3 (2 + \sqrt{2})}}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{3 (2 + \sqrt{2})}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Etapa 11.10

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 11.10.1

Multiplique $\frac{\sqrt{3 (2 + \sqrt{2})}}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{3 (2 + \sqrt{2})} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Etapa 11.10.2

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$\frac{\sqrt{3 (2 + \sqrt{2})} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Etapa 11.10.3

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$\frac{\sqrt{3 (2 + \sqrt{2})} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Etapa 11.10.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\sqrt{3 (2 + \sqrt{2})} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Etapa 11.10.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{\sqrt{3 (2 + \sqrt{2})} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Etapa 11.10.6

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Etapa 11.10.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{3 (2 + \sqrt{2})} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 11.10.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{3 (2 + \sqrt{2})} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 11.10.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{\sqrt{3 (2 + \sqrt{2})} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 11.10.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 11.10.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\sqrt{3 (2 + \sqrt{2})} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 11.10.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{\sqrt{3 (2 + \sqrt{2})} \sqrt{2}}{2^{1}}$

Etapa 11.10.6.5

Avalie o expoente.

$\frac{\sqrt{3 (2 + \sqrt{2})} \sqrt{2}}{2}$

Etapa 11.11

Simplifique o numerador.

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Etapa 11.11.1

Combine usando a regra do produto para radicais.

$\frac{\sqrt{3 (2 + \sqrt{2}) \cdot 2}}{2}$

Etapa 11.11.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{\sqrt{6 (2 + \sqrt{2})}}{2}$

Etapa 12

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{\sqrt{6 (2 + \sqrt{2})}}{2}$

Forma decimal:

$2.26303343 \dots$