Cálculo Exemplos

$y = \frac{\sqrt{x}}{2 + x}$

Etapa 1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2 + x}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 2 + x$ .

$\frac{(2 + x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 + x]}{{(2 + x)}^{2}}$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{(2 + x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 + x]}{{(2 + x)}^{2}}$

Etapa 4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(2 + x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 + x]}{{(2 + x)}^{2}}$

Etapa 5

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(2 + x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 + x]}{{(2 + x)}^{2}}$

Etapa 6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{(2 + x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 + x]}{{(2 + x)}^{2}}$

Etapa 7

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{(2 + x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 + x]}{{(2 + x)}^{2}}$

Etapa 7.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{(2 + x) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 + x]}{{(2 + x)}^{2}}$

Etapa 8

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{(2 + x) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 + x]}{{(2 + x)}^{2}}$

Etapa 8.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{(2 + x) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 + x]}{{(2 + x)}^{2}}$

Etapa 8.3

Mova $x^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{(2 + x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 + x]}{{(2 + x)}^{2}}$

Etapa 9

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 + x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(2 + x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x])}{{(2 + x)}^{2}}$

Etapa 10

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(2 + x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} (0 + \frac{d}{d x} [x])}{{(2 + x)}^{2}}$

Etapa 11

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(2 + x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{{(2 + x)}^{2}}$

Etapa 12

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(2 + x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} \cdot 1}{{(2 + x)}^{2}}$

Etapa 13

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{(2 + x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}}}{{(2 + x)}^{2}}$

Etapa 14

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}}}{{(2 + x)}^{2}}$

Etapa 14.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.2.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.2.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}}}{{(2 + x)}^{2}}$

Etapa 14.2.1.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}}}{{(2 + x)}^{2}}$

Etapa 14.2.1.2

Combine $x$ e $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}}}{{(2 + x)}^{2}}$

Etapa 14.2.1.3

Mova $x^{\frac{1}{2}}$ para o numerador usando a regra do expoente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{2} - x^{\frac{1}{2}}}{{(2 + x)}^{2}}$

Etapa 14.2.1.4

Multiplique $x$ por $x^{- \frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.2.1.4.1

Multiplique $x$ por $x^{- \frac{1}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.2.1.4.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}}{2} - x^{\frac{1}{2}}}{{(2 + x)}^{2}}$

Etapa 14.2.1.4.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{1 - \frac{1}{2}}}{2} - x^{\frac{1}{2}}}{{(2 + x)}^{2}}$

Etapa 14.2.1.4.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2} - x^{\frac{1}{2}}}{{(2 + x)}^{2}}$

Etapa 14.2.1.4.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{\frac{2 - 1}{2}}}{2} - x^{\frac{1}{2}}}{{(2 + x)}^{2}}$

Etapa 14.2.1.4.4

Subtraia $1$ de $2$ .

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - x^{\frac{1}{2}}}{{(2 + x)}^{2}}$

Etapa 14.2.2

Para escrever $- x^{\frac{1}{2}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{2}}{{(2 + x)}^{2}}$

Etapa 14.2.3

Combine $- x^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{- x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2}}{{(2 + x)}^{2}}$

Etapa 14.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2}}{{(2 + x)}^{2}}$

Etapa 14.2.5

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.2.5.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.2.5.1.1

Fatore $x^{\frac{1}{2}}$ de $x^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}} \cdot 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.2.5.1.1.1

Mova $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(2 + x)}^{2}}$

Etapa 14.2.5.1.1.2

Multiplique por $1$ .

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - 1 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(2 + x)}^{2}}$

Etapa 14.2.5.1.1.3

Fatore $x^{\frac{1}{2}}$ de $- 1 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + x^{\frac{1}{2}} (- 1 \cdot 2)}{2}}{{(2 + x)}^{2}}$

Etapa 14.2.5.1.1.4

Fatore $x^{\frac{1}{2}}$ de $x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + x^{\frac{1}{2}} (- 1 \cdot 2)$ .

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} (1 - 1 \cdot 2)}{2}}{{(2 + x)}^{2}}$

Etapa 14.2.5.1.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} (1 - 2)}{2}}{{(2 + x)}^{2}}$

Etapa 14.2.5.1.3

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot - 1}{2}}{{(2 + x)}^{2}}$

Etapa 14.2.5.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 1 \cdot x^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(2 + x)}^{2}}$

Etapa 14.2.5.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(2 + x)}^{2}}$

Etapa 14.3

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.3.1

Multiplique $\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(2 + x)}^{2}}$ por $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(2 + x)}^{2}}$

Etapa 14.3.2

Combine.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2})}{x^{\frac{1}{2}} {(2 + x)}^{2}}$

Etapa 14.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2})}{x^{\frac{1}{2}} {(2 + x)}^{2}}$

Etapa 14.3.4

Cancele o fator comum de $x^{\frac{1}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.3.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2})}{x^{\frac{1}{2}} {(2 + x)}^{2}}$

Etapa 14.3.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2})}{x^{\frac{1}{2}} {(2 + x)}^{2}}$

Etapa 14.3.5

Combine $x^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{1 - \frac{x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}{2}}{x^{\frac{1}{2}} {(2 + x)}^{2}}$

Etapa 14.3.6

Multiplique $x^{\frac{1}{2}}$ por $x^{\frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.3.6.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1 - \frac{x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{2}}{x^{\frac{1}{2}} {(2 + x)}^{2}}$

Etapa 14.3.6.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1 - \frac{x^{\frac{1 + 1}{2}}}{2}}{x^{\frac{1}{2}} {(2 + x)}^{2}}$

Etapa 14.3.6.3

Some $1$ e $1$ .

$\frac{1 - \frac{x^{\frac{2}{2}}}{2}}{x^{\frac{1}{2}} {(2 + x)}^{2}}$

Etapa 14.3.6.4

Divida $2$ por $2$ .

$\frac{1 - \frac{x^{1}}{2}}{x^{\frac{1}{2}} {(2 + x)}^{2}}$

Etapa 14.3.7

Simplifique $x^{1}$ .

$\frac{1 - \frac{x}{2}}{x^{\frac{1}{2}} {(2 + x)}^{2}}$

Etapa 14.4

Reordene os termos.

$\frac{- \frac{x}{2} + 1}{x^{\frac{1}{2}} {(2 + x)}^{2}}$

Etapa 14.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.5.1

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{- \frac{x}{2} + \frac{2}{2}}{x^{\frac{1}{2}} {(2 + x)}^{2}}$

Etapa 14.5.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\frac{- x + 2}{2}}{x^{\frac{1}{2}} {(2 + x)}^{2}}$

Etapa 14.6

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{- x + 2}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(2 + x)}^{2}}$

Etapa 14.7

Multiplique $\frac{- x + 2}{2}$ por $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(2 + x)}^{2}}$ .

$\frac{- x + 2}{2 (x^{\frac{1}{2}} {(2 + x)}^{2})}$

Etapa 14.8

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$\frac{- (x) + 2}{2 x^{\frac{1}{2}} {(2 + x)}^{2}}$

Etapa 14.9

Reescreva $2$ como $- 1 (- 2)$ .

$\frac{- (x) - 1 (- 2)}{2 x^{\frac{1}{2}} {(2 + x)}^{2}}$

Etapa 14.10

Fatore $- 1$ de $- (x) - 1 (- 2)$ .

$\frac{- (x - 2)}{2 x^{\frac{1}{2}} {(2 + x)}^{2}}$

Etapa 14.11

Reescreva $- (x - 2)$ como $- 1 (x - 2)$ .

$\frac{- 1 (x - 2)}{2 x^{\frac{1}{2}} {(2 + x)}^{2}}$

Etapa 14.12

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{x - 2}{2 x^{\frac{1}{2}} {(2 + x)}^{2}}$