Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 4} \frac{{(2 x - 5)}^{5} - 243}{{(5 x - 12)}^{3} - {(x + 4)}^{3}}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 4} {(2 x - 5)}^{5} - 243}{lim_{x \to 4} {(5 x - 12)}^{3} - {(x + 4)}^{3}}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $4$ .

$\frac{lim_{x \to 4} {(2 x - 5)}^{5} - lim_{x \to 4} 243}{lim_{x \to 4} {(5 x - 12)}^{3} - {(x + 4)}^{3}}$

Etapa 1.1.2.1.2

Mova o expoente $5$ de ${(2 x - 5)}^{5}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{{(lim_{x \to 4} 2 x - 5)}^{5} - lim_{x \to 4} 243}{lim_{x \to 4} {(5 x - 12)}^{3} - {(x + 4)}^{3}}$

Etapa 1.1.2.1.3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $4$ .

$\frac{{(lim_{x \to 4} 2 x - lim_{x \to 4} 5)}^{5} - lim_{x \to 4} 243}{lim_{x \to 4} {(5 x - 12)}^{3} - {(x + 4)}^{3}}$

Etapa 1.1.2.1.4

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{{(2 lim_{x \to 4} x - lim_{x \to 4} 5)}^{5} - lim_{x \to 4} 243}{lim_{x \to 4} {(5 x - 12)}^{3} - {(x + 4)}^{3}}$

Etapa 1.1.2.1.5

Avalie o limite de $5$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $4$ .

$\frac{{(2 lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 5)}^{5} - lim_{x \to 4} 243}{lim_{x \to 4} {(5 x - 12)}^{3} - {(x + 4)}^{3}}$

Etapa 1.1.2.1.6

Avalie o limite de $243$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $4$ .

$\frac{{(2 lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 5)}^{5} - 1 \cdot 243}{lim_{x \to 4} {(5 x - 12)}^{3} - {(x + 4)}^{3}}$

Etapa 1.1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $4$ por $x$ .

$\frac{{(2 \cdot 4 - 1 \cdot 5)}^{5} - 1 \cdot 243}{lim_{x \to 4} {(5 x - 12)}^{3} - {(x + 4)}^{3}}$

Etapa 1.1.2.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.2.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.3.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.2.3.1.1.1

Multiplique $2$ por $4$ .

$\frac{{(8 - 1 \cdot 5)}^{5} - 1 \cdot 243}{lim_{x \to 4} {(5 x - 12)}^{3} - {(x + 4)}^{3}}$

Etapa 1.1.2.3.1.1.2

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$\frac{{(8 - 5)}^{5} - 1 \cdot 243}{lim_{x \to 4} {(5 x - 12)}^{3} - {(x + 4)}^{3}}$

Etapa 1.1.2.3.1.2

Subtraia $5$ de $8$ .

$\frac{3^{5} - 1 \cdot 243}{lim_{x \to 4} {(5 x - 12)}^{3} - {(x + 4)}^{3}}$

Etapa 1.1.2.3.1.3

Eleve $3$ à potência de $5$ .

$\frac{243 - 1 \cdot 243}{lim_{x \to 4} {(5 x - 12)}^{3} - {(x + 4)}^{3}}$

Etapa 1.1.2.3.1.4

Multiplique $- 1$ por $243$ .

$\frac{243 - 243}{lim_{x \to 4} {(5 x - 12)}^{3} - {(x + 4)}^{3}}$

Etapa 1.1.2.3.2

Subtraia $243$ de $243$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 4} {(5 x - 12)}^{3} - {(x + 4)}^{3}}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 1.1.3.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $4$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 4} {(5 x - 12)}^{3} - lim_{x \to 4} {(x + 4)}^{3}}$

Etapa 1.1.3.2

Mova o expoente $3$ de ${(5 x - 12)}^{3}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 4} 5 x - 12)}^{3} - lim_{x \to 4} {(x + 4)}^{3}}$

Etapa 1.1.3.3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $4$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to 4} 5 x - lim_{x \to 4} 12)}^{3} - lim_{x \to 4} {(x + 4)}^{3}}$

Etapa 1.1.3.4

Mova o termo $5$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{0}{{(5 lim_{x \to 4} x - lim_{x \to 4} 12)}^{3} - lim_{x \to 4} {(x + 4)}^{3}}$

Etapa 1.1.3.5

Avalie o limite de $12$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $4$ .

$\frac{0}{{(5 lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 12)}^{3} - lim_{x \to 4} {(x + 4)}^{3}}$

Etapa 1.1.3.6

Mova o expoente $3$ de ${(x + 4)}^{3}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{0}{{(5 lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 12)}^{3} - {(lim_{x \to 4} x + 4)}^{3}}$

Etapa 1.1.3.7

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $4$ .

$\frac{0}{{(5 lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 12)}^{3} - {(lim_{x \to 4} x + lim_{x \to 4} 4)}^{3}}$

Etapa 1.1.3.8

Avalie o limite de $4$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $4$ .

$\frac{0}{{(5 lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 12)}^{3} - {(lim_{x \to 4} x + 4)}^{3}}$

Etapa 1.1.3.9

Avalie os limites substituindo $4$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 1.1.3.9.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $4$ por $x$ .

$\frac{0}{{(5 \cdot 4 - 1 \cdot 12)}^{3} - {(lim_{x \to 4} x + 4)}^{3}}$

Etapa 1.1.3.9.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $4$ por $x$ .

$\frac{0}{{(5 \cdot 4 - 1 \cdot 12)}^{3} - {(4 + 4)}^{3}}$

Etapa 1.1.3.10

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.3.10.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.3.10.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.3.10.1.1.1

Multiplique $5$ por $4$ .

$\frac{0}{{(20 - 1 \cdot 12)}^{3} - {(4 + 4)}^{3}}$

Etapa 1.1.3.10.1.1.2

Multiplique $- 1$ por $12$ .

$\frac{0}{{(20 - 12)}^{3} - {(4 + 4)}^{3}}$

Etapa 1.1.3.10.1.2

Subtraia $12$ de $20$ .

$\frac{0}{8^{3} - {(4 + 4)}^{3}}$

Etapa 1.1.3.10.1.3

Eleve $8$ à potência de $3$ .

$\frac{0}{512 - {(4 + 4)}^{3}}$

Etapa 1.1.3.10.1.4

Some $4$ e $4$ .

$\frac{0}{512 - 8^{3}}$

Etapa 1.1.3.10.1.5

Eleve $8$ à potência de $3$ .

$\frac{0}{512 - 1 \cdot 512}$

Etapa 1.1.3.10.1.6

Multiplique $- 1$ por $512$ .

$\frac{0}{512 - 512}$

Etapa 1.1.3.10.2

Subtraia $512$ de $512$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.10.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.11

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 4} \frac{{(2 x - 5)}^{5} - 243}{{(5 x - 12)}^{3} - {(x + 4)}^{3}} = lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{5} - 243]}{\frac{d}{d x} [{(5 x - 12)}^{3} - {(x + 4)}^{3}]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{5} - 243]}{\frac{d}{d x} [{(5 x - 12)}^{3} - {(x + 4)}^{3}]}$

Etapa 1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de ${(2 x - 5)}^{5} - 243$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{5}] + \frac{d}{d x} [- 243]$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{5}] + \frac{d}{d x} [- 243]}{\frac{d}{d x} [{(5 x - 12)}^{3} - {(x + 4)}^{3}]}$

Etapa 1.3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{5}]$ .

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Etapa 1.3.3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{5}$ e $g (x) = 2 x - 5$ .

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Etapa 1.3.3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x - 5$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [2 x - 5] + \frac{d}{d x} [- 243]}{\frac{d}{d x} [{(5 x - 12)}^{3} - {(x + 4)}^{3}]}$

Etapa 1.3.3.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$lim_{x \to 4} \frac{5 u^{4} \frac{d}{d x} [2 x - 5] + \frac{d}{d x} [- 243]}{\frac{d}{d x} [{(5 x - 12)}^{3} - {(x + 4)}^{3}]}$

Etapa 1.3.3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x - 5$ .

$lim_{x \to 4} \frac{5 {(2 x - 5)}^{4} \frac{d}{d x} [2 x - 5] + \frac{d}{d x} [- 243]}{\frac{d}{d x} [{(5 x - 12)}^{3} - {(x + 4)}^{3}]}$

Etapa 1.3.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x - 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$lim_{x \to 4} \frac{5 {(2 x - 5)}^{4} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5]) + \frac{d}{d x} [- 243]}{\frac{d}{d x} [{(5 x - 12)}^{3} - {(x + 4)}^{3}]}$

Etapa 1.3.3.3

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 4} \frac{5 {(2 x - 5)}^{4} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]) + \frac{d}{d x} [- 243]}{\frac{d}{d x} [{(5 x - 12)}^{3} - {(x + 4)}^{3}]}$

Etapa 1.3.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 4} \frac{5 {(2 x - 5)}^{4} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5]) + \frac{d}{d x} [- 243]}{\frac{d}{d x} [{(5 x - 12)}^{3} - {(x + 4)}^{3}]}$

Etapa 1.3.3.5

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{5 {(2 x - 5)}^{4} (2 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 243]}{\frac{d}{d x} [{(5 x - 12)}^{3} - {(x + 4)}^{3}]}$

Etapa 1.3.3.6

Multiplique $2$ por $1$ .

$lim_{x \to 4} \frac{5 {(2 x - 5)}^{4} (2 + 0) + \frac{d}{d x} [- 243]}{\frac{d}{d x} [{(5 x - 12)}^{3} - {(x + 4)}^{3}]}$

Etapa 1.3.3.7

Some $2$ e $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{5 {(2 x - 5)}^{4} \cdot 2 + \frac{d}{d x} [- 243]}{\frac{d}{d x} [{(5 x - 12)}^{3} - {(x + 4)}^{3}]}$

Etapa 1.3.3.8

Multiplique $2$ por $5$ .

$lim_{x \to 4} \frac{10 {(2 x - 5)}^{4} + \frac{d}{d x} [- 243]}{\frac{d}{d x} [{(5 x - 12)}^{3} - {(x + 4)}^{3}]}$

Etapa 1.3.4

Como $- 243$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 243$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{10 {(2 x - 5)}^{4} + 0}{\frac{d}{d x} [{(5 x - 12)}^{3} - {(x + 4)}^{3}]}$

Etapa 1.3.5

Some $10 {(2 x - 5)}^{4}$ e $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{10 {(2 x - 5)}^{4}}{\frac{d}{d x} [{(5 x - 12)}^{3} - {(x + 4)}^{3}]}$

Etapa 1.3.6

De acordo com a regra da soma, a derivada de ${(5 x - 12)}^{3} - {(x + 4)}^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [{(5 x - 12)}^{3}] + \frac{d}{d x} [- {(x + 4)}^{3}]$ .

$lim_{x \to 4} \frac{10 {(2 x - 5)}^{4}}{\frac{d}{d x} [{(5 x - 12)}^{3}] + \frac{d}{d x} [- {(x + 4)}^{3}]}$

Etapa 1.3.7

Avalie $\frac{d}{d x} [{(5 x - 12)}^{3}]$ .

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Etapa 1.3.7.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = 5 x - 12$ .

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Etapa 1.3.7.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $5 x - 12$ .

$lim_{x \to 4} \frac{10 {(2 x - 5)}^{4}}{\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [5 x - 12] + \frac{d}{d x} [- {(x + 4)}^{3}]}$

Etapa 1.3.7.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$lim_{x \to 4} \frac{10 {(2 x - 5)}^{4}}{3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [5 x - 12] + \frac{d}{d x} [- {(x + 4)}^{3}]}$

Etapa 1.3.7.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $5 x - 12$ .

$lim_{x \to 4} \frac{10 {(2 x - 5)}^{4}}{3 {(5 x - 12)}^{2} \frac{d}{d x} [5 x - 12] + \frac{d}{d x} [- {(x + 4)}^{3}]}$

Etapa 1.3.7.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 x - 12$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 12]$ .

$lim_{x \to 4} \frac{10 {(2 x - 5)}^{4}}{3 {(5 x - 12)}^{2} (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 12]) + \frac{d}{d x} [- {(x + 4)}^{3}]}$

Etapa 1.3.7.3

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 4} \frac{10 {(2 x - 5)}^{4}}{3 {(5 x - 12)}^{2} (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 12]) + \frac{d}{d x} [- {(x + 4)}^{3}]}$

Etapa 1.3.7.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 4} \frac{10 {(2 x - 5)}^{4}}{3 {(5 x - 12)}^{2} (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 12]) + \frac{d}{d x} [- {(x + 4)}^{3}]}$

Etapa 1.3.7.5

Como $- 12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 12$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{10 {(2 x - 5)}^{4}}{3 {(5 x - 12)}^{2} (5 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- {(x + 4)}^{3}]}$

Etapa 1.3.7.6

Multiplique $5$ por $1$ .

$lim_{x \to 4} \frac{10 {(2 x - 5)}^{4}}{3 {(5 x - 12)}^{2} (5 + 0) + \frac{d}{d x} [- {(x + 4)}^{3}]}$

Etapa 1.3.7.7

Some $5$ e $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{10 {(2 x - 5)}^{4}}{3 {(5 x - 12)}^{2} \cdot 5 + \frac{d}{d x} [- {(x + 4)}^{3}]}$

Etapa 1.3.7.8

Multiplique $5$ por $3$ .

$lim_{x \to 4} \frac{10 {(2 x - 5)}^{4}}{15 {(5 x - 12)}^{2} + \frac{d}{d x} [- {(x + 4)}^{3}]}$

Etapa 1.3.8

Avalie $\frac{d}{d x} [- {(x + 4)}^{3}]$ .

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Etapa 1.3.8.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- {(x + 4)}^{3}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{3}]$ .

$lim_{x \to 4} \frac{10 {(2 x - 5)}^{4}}{15 {(5 x - 12)}^{2} - \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{3}]}$

Etapa 1.3.8.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = x + 4$ .

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Etapa 1.3.8.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $x + 4$ .

$lim_{x \to 4} \frac{10 {(2 x - 5)}^{4}}{15 {(5 x - 12)}^{2} - (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [x + 4])}$

Etapa 1.3.8.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$lim_{x \to 4} \frac{10 {(2 x - 5)}^{4}}{15 {(5 x - 12)}^{2} - (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [x + 4])}$

Etapa 1.3.8.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $x + 4$ .

$lim_{x \to 4} \frac{10 {(2 x - 5)}^{4}}{15 {(5 x - 12)}^{2} - (3 {(x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 4])}$

Etapa 1.3.8.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$lim_{x \to 4} \frac{10 {(2 x - 5)}^{4}}{15 {(5 x - 12)}^{2} - (3 {(x + 4)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]))}$

Etapa 1.3.8.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 4} \frac{10 {(2 x - 5)}^{4}}{15 {(5 x - 12)}^{2} - (3 {(x + 4)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [4]))}$

Etapa 1.3.8.5

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{10 {(2 x - 5)}^{4}}{15 {(5 x - 12)}^{2} - (3 {(x + 4)}^{2} (1 + 0))}$

Etapa 1.3.8.6

Some $1$ e $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{10 {(2 x - 5)}^{4}}{15 {(5 x - 12)}^{2} - (3 {(x + 4)}^{2} \cdot 1)}$

Etapa 1.3.8.7

Multiplique $3$ por $1$ .

$lim_{x \to 4} \frac{10 {(2 x - 5)}^{4}}{15 {(5 x - 12)}^{2} - (3 {(x + 4)}^{2})}$

Etapa 1.3.8.8

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$lim_{x \to 4} \frac{10 {(2 x - 5)}^{4}}{15 {(5 x - 12)}^{2} - 3 {(x + 4)}^{2}}$

Etapa 1.3.9

Simplifique.

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Etapa 1.3.9.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.3.9.1.1

Reescreva ${(5 x - 12)}^{2}$ como $(5 x - 12) (5 x - 12)$ .

$lim_{x \to 4} \frac{10 {(2 x - 5)}^{4}}{15 ((5 x - 12) (5 x - 12)) - 3 {(x + 4)}^{2}}$

Etapa 1.3.9.1.2

Expanda $(5 x - 12) (5 x - 12)$ usando o método FOIL.

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Etapa 1.3.9.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$lim_{x \to 4} \frac{10 {(2 x - 5)}^{4}}{15 (5 x (5 x - 12) - 12 (5 x - 12)) - 3 {(x + 4)}^{2}}$

Etapa 1.3.9.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$lim_{x \to 4} \frac{10 {(2 x - 5)}^{4}}{15 (5 x (5 x) + 5 x \cdot - 12 - 12 (5 x - 12)) - 3 {(x + 4)}^{2}}$

Etapa 1.3.9.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$lim_{x \to 4} \frac{10 {(2 x - 5)}^{4}}{15 (5 x (5 x) + 5 x \cdot - 12 - 12 (5 x) - 12 \cdot - 12) - 3 {(x + 4)}^{2}}$

Etapa 1.3.9.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 1.3.9.1.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.9.1.3.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$lim_{x \to 4} \frac{10 {(2 x - 5)}^{4}}{15 (5 \cdot 5 x \cdot x + 5 x \cdot - 12 - 12 (5 x) - 12 \cdot - 12) - 3 {(x + 4)}^{2}}$

Etapa 1.3.9.1.3.1.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.9.1.3.1.2.1

Mova $x$ .

$lim_{x \to 4} \frac{10 {(2 x - 5)}^{4}}{15 (5 \cdot 5 (x \cdot x) + 5 x \cdot - 12 - 12 (5 x) - 12 \cdot - 12) - 3 {(x + 4)}^{2}}$

Etapa 1.3.9.1.3.1.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$lim_{x \to 4} \frac{10 {(2 x - 5)}^{4}}{15 (5 \cdot 5 x^{2} + 5 x \cdot - 12 - 12 (5 x) - 12 \cdot - 12) - 3 {(x + 4)}^{2}}$

Etapa 1.3.9.1.3.1.3

Multiplique $5$ por $5$ .

$lim_{x \to 4} \frac{10 {(2 x - 5)}^{4}}{15 (25 x^{2} + 5 x \cdot - 12 - 12 (5 x) - 12 \cdot - 12) - 3 {(x + 4)}^{2}}$

Etapa 1.3.9.1.3.1.4

Multiplique $- 12$ por $5$ .

$lim_{x \to 4} \frac{10 {(2 x - 5)}^{4}}{15 (25 x^{2} - 60 x - 12 (5 x) - 12 \cdot - 12) - 3 {(x + 4)}^{2}}$

Etapa 1.3.9.1.3.1.5

Multiplique $5$ por $- 12$ .

$lim_{x \to 4} \frac{10 {(2 x - 5)}^{4}}{15 (25 x^{2} - 60 x - 60 x - 12 \cdot - 12) - 3 {(x + 4)}^{2}}$

Etapa 1.3.9.1.3.1.6

Multiplique $- 12$ por $- 12$ .

$lim_{x \to 4} \frac{10 {(2 x - 5)}^{4}}{15 (25 x^{2} - 60 x - 60 x + 144) - 3 {(x + 4)}^{2}}$

Etapa 1.3.9.1.3.2

Subtraia $60 x$ de $- 60 x$ .

$lim_{x \to 4} \frac{10 {(2 x - 5)}^{4}}{15 (25 x^{2} - 120 x + 144) - 3 {(x + 4)}^{2}}$

Etapa 1.3.9.1.4

Aplique a propriedade distributiva.

$lim_{x \to 4} \frac{10 {(2 x - 5)}^{4}}{15 (25 x^{2}) + 15 (- 120 x) + 15 \cdot 144 - 3 {(x + 4)}^{2}}$

Etapa 1.3.9.1.5

Simplifique.

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Etapa 1.3.9.1.5.1

Multiplique $25$ por $15$ .

$lim_{x \to 4} \frac{10 {(2 x - 5)}^{4}}{375 x^{2} + 15 (- 120 x) + 15 \cdot 144 - 3 {(x + 4)}^{2}}$

Etapa 1.3.9.1.5.2

Multiplique $- 120$ por $15$ .

$lim_{x \to 4} \frac{10 {(2 x - 5)}^{4}}{375 x^{2} - 1800 x + 15 \cdot 144 - 3 {(x + 4)}^{2}}$

Etapa 1.3.9.1.5.3

Multiplique $15$ por $144$ .

$lim_{x \to 4} \frac{10 {(2 x - 5)}^{4}}{375 x^{2} - 1800 x + 2160 - 3 {(x + 4)}^{2}}$

Etapa 1.3.9.1.6

Reescreva ${(x + 4)}^{2}$ como $(x + 4) (x + 4)$ .

$lim_{x \to 4} \frac{10 {(2 x - 5)}^{4}}{375 x^{2} - 1800 x + 2160 - 3 ((x + 4) (x + 4))}$

Etapa 1.3.9.1.7

Expanda $(x + 4) (x + 4)$ usando o método FOIL.

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Etapa 1.3.9.1.7.1

Aplique a propriedade distributiva.

$lim_{x \to 4} \frac{10 {(2 x - 5)}^{4}}{375 x^{2} - 1800 x + 2160 - 3 (x (x + 4) + 4 (x + 4))}$

Etapa 1.3.9.1.7.2

Aplique a propriedade distributiva.

$lim_{x \to 4} \frac{10 {(2 x - 5)}^{4}}{375 x^{2} - 1800 x + 2160 - 3 (x \cdot x + x \cdot 4 + 4 (x + 4))}$

Etapa 1.3.9.1.7.3

Aplique a propriedade distributiva.

$lim_{x \to 4} \frac{10 {(2 x - 5)}^{4}}{375 x^{2} - 1800 x + 2160 - 3 (x \cdot x + x \cdot 4 + 4 x + 4 \cdot 4)}$

Etapa 1.3.9.1.8

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 1.3.9.1.8.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.3.9.1.8.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$lim_{x \to 4} \frac{10 {(2 x - 5)}^{4}}{375 x^{2} - 1800 x + 2160 - 3 (x^{2} + x \cdot 4 + 4 x + 4 \cdot 4)}$

Etapa 1.3.9.1.8.1.2

Mova $4$ para a esquerda de $x$ .

$lim_{x \to 4} \frac{10 {(2 x - 5)}^{4}}{375 x^{2} - 1800 x + 2160 - 3 (x^{2} + 4 \cdot x + 4 x + 4 \cdot 4)}$

Etapa 1.3.9.1.8.1.3

Multiplique $4$ por $4$ .

$lim_{x \to 4} \frac{10 {(2 x - 5)}^{4}}{375 x^{2} - 1800 x + 2160 - 3 (x^{2} + 4 x + 4 x + 16)}$

Etapa 1.3.9.1.8.2

Some $4 x$ e $4 x$ .

$lim_{x \to 4} \frac{10 {(2 x - 5)}^{4}}{375 x^{2} - 1800 x + 2160 - 3 (x^{2} + 8 x + 16)}$

Etapa 1.3.9.1.9

Aplique a propriedade distributiva.

$lim_{x \to 4} \frac{10 {(2 x - 5)}^{4}}{375 x^{2} - 1800 x + 2160 - 3 x^{2} - 3 (8 x) - 3 \cdot 16}$

Etapa 1.3.9.1.10

Simplifique.

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Etapa 1.3.9.1.10.1

Multiplique $8$ por $- 3$ .

$lim_{x \to 4} \frac{10 {(2 x - 5)}^{4}}{375 x^{2} - 1800 x + 2160 - 3 x^{2} - 24 x - 3 \cdot 16}$

Etapa 1.3.9.1.10.2

Multiplique $- 3$ por $16$ .

$lim_{x \to 4} \frac{10 {(2 x - 5)}^{4}}{375 x^{2} - 1800 x + 2160 - 3 x^{2} - 24 x - 48}$

Etapa 1.3.9.2

Subtraia $3 x^{2}$ de $375 x^{2}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{10 {(2 x - 5)}^{4}}{372 x^{2} - 1800 x + 2160 - 24 x - 48}$

Etapa 1.3.9.3

Subtraia $24 x$ de $- 1800 x$ .

$lim_{x \to 4} \frac{10 {(2 x - 5)}^{4}}{372 x^{2} - 1824 x + 2160 - 48}$

Etapa 1.3.9.4

Subtraia $48$ de $2160$ .

$lim_{x \to 4} \frac{10 {(2 x - 5)}^{4}}{372 x^{2} - 1824 x + 2112}$

Etapa 1.4

Cancele o fator comum de $10$ e $372 x^{2} - 1824 x + 2112$ .

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Etapa 1.4.1

Fatore $2$ de $10 {(2 x - 5)}^{4}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{2 (5 {(2 x - 5)}^{4})}{372 x^{2} - 1824 x + 2112}$

Etapa 1.4.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.4.2.1

Fatore $2$ de $372 x^{2}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{2 (5 {(2 x - 5)}^{4})}{2 (186 x^{2}) - 1824 x + 2112}$

Etapa 1.4.2.2

Fatore $2$ de $- 1824 x$ .

$lim_{x \to 4} \frac{2 (5 {(2 x - 5)}^{4})}{2 (186 x^{2}) + 2 (- 912 x) + 2112}$

Etapa 1.4.2.3

Fatore $2$ de $2 (186 x^{2}) + 2 (- 912 x)$ .

$lim_{x \to 4} \frac{2 (5 {(2 x - 5)}^{4})}{2 (186 x^{2} - 912 x) + 2112}$

Etapa 1.4.2.4

Fatore $2$ de $2112$ .

$lim_{x \to 4} \frac{2 (5 {(2 x - 5)}^{4})}{2 (186 x^{2} - 912 x) + 2 (1056)}$

Etapa 1.4.2.5

Fatore $2$ de $2 (186 x^{2} - 912 x) + 2 (1056)$ .

$lim_{x \to 4} \frac{2 (5 {(2 x - 5)}^{4})}{2 (186 x^{2} - 912 x + 1056)}$

Etapa 1.4.2.6

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to 4} \frac{2 (5 {(2 x - 5)}^{4})}{2 (186 x^{2} - 912 x + 1056)}$

Etapa 1.4.2.7

Reescreva a expressão.

$lim_{x \to 4} \frac{5 {(2 x - 5)}^{4}}{186 x^{2} - 912 x + 1056}$

Etapa 2

Avalie o limite.

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Etapa 2.1

Mova o termo $5$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{{(2 x - 5)}^{4}}{186 x^{2} - 912 x + 1056}$

Etapa 2.2

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $4$ .

$5 \frac{lim_{x \to 4} {(2 x - 5)}^{4}}{lim_{x \to 4} 186 x^{2} - 912 x + 1056}$

Etapa 2.3

Mova o expoente $4$ de ${(2 x - 5)}^{4}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$5 \frac{{(lim_{x \to 4} 2 x - 5)}^{4}}{lim_{x \to 4} 186 x^{2} - 912 x + 1056}$

Etapa 2.4

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $4$ .

$5 \frac{{(lim_{x \to 4} 2 x - lim_{x \to 4} 5)}^{4}}{lim_{x \to 4} 186 x^{2} - 912 x + 1056}$

Etapa 2.5

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$5 \frac{{(2 lim_{x \to 4} x - lim_{x \to 4} 5)}^{4}}{lim_{x \to 4} 186 x^{2} - 912 x + 1056}$

Etapa 2.6

Avalie o limite de $5$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $4$ .

$5 \frac{{(2 lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 5)}^{4}}{lim_{x \to 4} 186 x^{2} - 912 x + 1056}$

Etapa 2.7

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $4$ .

$5 \frac{{(2 lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 5)}^{4}}{lim_{x \to 4} 186 x^{2} - lim_{x \to 4} 912 x + lim_{x \to 4} 1056}$

Etapa 2.8

Mova o termo $186$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$5 \frac{{(2 lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 5)}^{4}}{186 lim_{x \to 4} x^{2} - lim_{x \to 4} 912 x + lim_{x \to 4} 1056}$

Etapa 2.9

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$5 \frac{{(2 lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 5)}^{4}}{186 {(lim_{x \to 4} x)}^{2} - lim_{x \to 4} 912 x + lim_{x \to 4} 1056}$

Etapa 2.10

Mova o termo $912$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$5 \frac{{(2 lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 5)}^{4}}{186 {(lim_{x \to 4} x)}^{2} - 912 lim_{x \to 4} x + lim_{x \to 4} 1056}$

Etapa 2.11

Avalie o limite de $1056$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $4$ .

$5 \frac{{(2 lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 5)}^{4}}{186 {(lim_{x \to 4} x)}^{2} - 912 lim_{x \to 4} x + 1056}$

Etapa 3

Avalie os limites substituindo $4$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 3.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $4$ por $x$ .

$5 \frac{{(2 \cdot 4 - 1 \cdot 5)}^{4}}{186 {(lim_{x \to 4} x)}^{2} - 912 lim_{x \to 4} x + 1056}$

Etapa 3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $4$ por $x$ .

$5 \frac{{(2 \cdot 4 - 1 \cdot 5)}^{4}}{186 \cdot 4^{2} - 912 lim_{x \to 4} x + 1056}$

Etapa 3.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $4$ por $x$ .

$5 \frac{{(2 \cdot 4 - 1 \cdot 5)}^{4}}{186 \cdot 4^{2} - 912 \cdot 4 + 1056}$

Etapa 4

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.1.1

Multiplique $2$ por $4$ .

$5 \frac{{(8 - 1 \cdot 5)}^{4}}{186 \cdot 4^{2} - 912 \cdot 4 + 1056}$

Etapa 4.1.2

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$5 \frac{{(8 - 5)}^{4}}{186 \cdot 4^{2} - 912 \cdot 4 + 1056}$

Etapa 4.1.3

Subtraia $5$ de $8$ .

$5 \frac{3^{4}}{186 \cdot 4^{2} - 912 \cdot 4 + 1056}$

Etapa 4.1.4

Eleve $3$ à potência de $4$ .

$5 \frac{81}{186 \cdot 4^{2} - 912 \cdot 4 + 1056}$

Etapa 4.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 4.2.1

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$5 \frac{81}{186 \cdot 16 - 912 \cdot 4 + 1056}$

Etapa 4.2.2

Multiplique $186$ por $16$ .

$5 \frac{81}{2976 - 912 \cdot 4 + 1056}$

Etapa 4.2.3

Multiplique $- 912$ por $4$ .

$5 \frac{81}{2976 - 3648 + 1056}$

Etapa 4.2.4

Subtraia $3648$ de $2976$ .

$5 \frac{81}{- 672 + 1056}$

Etapa 4.2.5

Some $- 672$ e $1056$ .

$5 (\frac{81}{384})$

Etapa 4.3

Cancele o fator comum de $81$ e $384$ .

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Etapa 4.3.1

Fatore $3$ de $81$ .

$5 \frac{3 (27)}{384}$

Etapa 4.3.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 4.3.2.1

Fatore $3$ de $384$ .

$5 \frac{3 \cdot 27}{3 \cdot 128}$

Etapa 4.3.2.2

Cancele o fator comum.

$5 \frac{3 \cdot 27}{3 \cdot 128}$

Etapa 4.3.2.3

Reescreva a expressão.

$5 (\frac{27}{128})$

Etapa 4.4

Multiplique $5 (\frac{27}{128})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.1

Combine $5$ e $\frac{27}{128}$ .

$\frac{5 \cdot 27}{128}$

Etapa 4.4.2

Multiplique $5$ por $27$ .

$\frac{135}{128}$

Etapa 5

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{135}{128}$

Forma decimal:

$1.0546875$