Cálculo Exemplos

$f (x) = arccot (3 x^{2} - 1)$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = arccot (x)$ e $g (x) = 3 x^{2} - 1$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $3 x^{2} - 1$ .

$\frac{d}{d u} [arccot (u)] \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 1]$

Etapa 1.2

A derivada de $arccot (u)$ em relação a $u$ é $- \frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$- \frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 1]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $3 x^{2} - 1$ .

$- \frac{1}{1 + {(3 x^{2} - 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 1]$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x^{2} - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$- \frac{1}{1 + {(3 x^{2} - 1)}^{2}} (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Etapa 2.2

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{2}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{1}{1 + {(3 x^{2} - 1)}^{2}} (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- \frac{1}{1 + {(3 x^{2} - 1)}^{2}} (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 1])$

Etapa 2.4

Multiplique $2$ por $3$ .

$- \frac{1}{1 + {(3 x^{2} - 1)}^{2}} (6 x + \frac{d}{d x} [- 1])$

Etapa 2.5

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$- \frac{1}{1 + {(3 x^{2} - 1)}^{2}} (6 x + 0)$

Etapa 2.6

Combine frações.

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Etapa 2.6.1

Some $6 x$ e $0$ .

$- \frac{1}{1 + {(3 x^{2} - 1)}^{2}} (6 x)$

Etapa 2.6.2

Multiplique $6$ por $- 1$ .

$- 6 \frac{1}{1 + {(3 x^{2} - 1)}^{2}} x$

Etapa 2.6.3

Combine $- 6$ e $\frac{1}{1 + {(3 x^{2} - 1)}^{2}}$ .

$\frac{- 6}{1 + {(3 x^{2} - 1)}^{2}} x$

Etapa 2.6.4

Combine $\frac{- 6}{1 + {(3 x^{2} - 1)}^{2}}$ e $x$ .

$\frac{- 6 x}{1 + {(3 x^{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 2.6.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{6 x}{1 + {(3 x^{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 3

Simplifique o denominador.

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Etapa 3.1

Reescreva ${(3 x^{2} - 1)}^{2}$ como $(3 x^{2} - 1) (3 x^{2} - 1)$ .

$- \frac{6 x}{1 + (3 x^{2} - 1) (3 x^{2} - 1)}$

Etapa 3.2

Expanda $(3 x^{2} - 1) (3 x^{2} - 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 3.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{6 x}{1 + 3 x^{2} (3 x^{2} - 1) - 1 (3 x^{2} - 1)}$

Etapa 3.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{6 x}{1 + 3 x^{2} (3 x^{2}) + 3 x^{2} \cdot - 1 - 1 (3 x^{2} - 1)}$

Etapa 3.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{6 x}{1 + 3 x^{2} (3 x^{2}) + 3 x^{2} \cdot - 1 - 1 (3 x^{2}) - 1 \cdot - 1}$

Etapa 3.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 3.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.3.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$- \frac{6 x}{1 + 3 \cdot 3 x^{2} x^{2} + 3 x^{2} \cdot - 1 - 1 (3 x^{2}) - 1 \cdot - 1}$

Etapa 3.3.1.2

Multiplique $x^{2}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.3.1.2.1

Mova $x^{2}$ .

$- \frac{6 x}{1 + 3 \cdot 3 (x^{2} x^{2}) + 3 x^{2} \cdot - 1 - 1 (3 x^{2}) - 1 \cdot - 1}$

Etapa 3.3.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{6 x}{1 + 3 \cdot 3 x^{2 + 2} + 3 x^{2} \cdot - 1 - 1 (3 x^{2}) - 1 \cdot - 1}$

Etapa 3.3.1.2.3

Some $2$ e $2$ .

$- \frac{6 x}{1 + 3 \cdot 3 x^{4} + 3 x^{2} \cdot - 1 - 1 (3 x^{2}) - 1 \cdot - 1}$

Etapa 3.3.1.3

Multiplique $3$ por $3$ .

$- \frac{6 x}{1 + 9 x^{4} + 3 x^{2} \cdot - 1 - 1 (3 x^{2}) - 1 \cdot - 1}$

Etapa 3.3.1.4

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$- \frac{6 x}{1 + 9 x^{4} - 3 x^{2} - 1 (3 x^{2}) - 1 \cdot - 1}$

Etapa 3.3.1.5

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$- \frac{6 x}{1 + 9 x^{4} - 3 x^{2} - 3 x^{2} - 1 \cdot - 1}$

Etapa 3.3.1.6

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$- \frac{6 x}{1 + 9 x^{4} - 3 x^{2} - 3 x^{2} + 1}$

Etapa 3.3.2

Subtraia $3 x^{2}$ de $- 3 x^{2}$ .

$- \frac{6 x}{1 + 9 x^{4} - 6 x^{2} + 1}$

Etapa 3.4

Some $1$ e $1$ .

$- \frac{6 x}{9 x^{4} - 6 x^{2} + 2}$