Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 3} (4 x - \frac{2}{x - 3}) (6 + x - x^{2})$

Etapa 1

Combine os termos.

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Etapa 1.1

Para escrever $4 x$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$lim_{x \to 3} (\frac{4 x (x - 3)}{x - 3} - \frac{2}{x - 3}) (6 + x - x^{2})$

Etapa 1.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{x \to 3} \frac{4 x (x - 3) - 2}{x - 3} (6 + x - x^{2})$

Etapa 2

Multiplique $\frac{4 x (x - 3) - 2}{x - 3}$ por $6 + x - x^{2}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{(4 x (x - 3) - 2) (6 + x - x^{2})}{x - 3}$

Etapa 3

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 3.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 3.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 3} (4 x (x - 3) - 2) (6 + x - x^{2})}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Etapa 3.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 3.1.2.1

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $3$ .

$\frac{lim_{x \to 3} 4 x (x - 3) - 2 \cdot lim_{x \to 3} 6 + x - x^{2}}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Etapa 3.1.2.2

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $3$ .

$\frac{(lim_{x \to 3} 4 x (x - 3) - lim_{x \to 3} 2) \cdot lim_{x \to 3} 6 + x - x^{2}}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Etapa 3.1.2.3

Mova o termo $4$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{(4 lim_{x \to 3} x (x - 3) - lim_{x \to 3} 2) \cdot lim_{x \to 3} 6 + x - x^{2}}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Etapa 3.1.2.4

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $3$ .

$\frac{(4 lim_{x \to 3} x \cdot lim_{x \to 3} x - 3 - lim_{x \to 3} 2) \cdot lim_{x \to 3} 6 + x - x^{2}}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Etapa 3.1.2.5

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $3$ .

$\frac{(4 lim_{x \to 3} x \cdot (lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 3) - lim_{x \to 3} 2) \cdot lim_{x \to 3} 6 + x - x^{2}}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Etapa 3.1.2.6

Avalie o limite de $3$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $3$ .

$\frac{(4 lim_{x \to 3} x \cdot (lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3) - lim_{x \to 3} 2) \cdot lim_{x \to 3} 6 + x - x^{2}}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Etapa 3.1.2.7

Avalie o limite de $2$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $3$ .

$\frac{(4 lim_{x \to 3} x \cdot (lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3) - 1 \cdot 2) \cdot lim_{x \to 3} 6 + x - x^{2}}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Etapa 3.1.2.8

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $3$ .

$\frac{(4 lim_{x \to 3} x \cdot (lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3) - 1 \cdot 2) \cdot (lim_{x \to 3} 6 + lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} x^{2})}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Etapa 3.1.2.9

Avalie o limite de $6$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $3$ .

$\frac{(4 lim_{x \to 3} x \cdot (lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3) - 1 \cdot 2) \cdot (6 + lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} x^{2})}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Etapa 3.1.2.10

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{(4 lim_{x \to 3} x \cdot (lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3) - 1 \cdot 2) \cdot (6 + lim_{x \to 3} x - {(lim_{x \to 3} x)}^{2})}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Etapa 3.1.2.11

Avalie os limites substituindo $3$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 3.1.2.11.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $3$ por $x$ .

$\frac{(4 \cdot 3 \cdot (lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3) - 1 \cdot 2) \cdot (6 + lim_{x \to 3} x - {(lim_{x \to 3} x)}^{2})}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Etapa 3.1.2.11.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $3$ por $x$ .

$\frac{(4 \cdot 3 \cdot (3 - 1 \cdot 3) - 1 \cdot 2) \cdot (6 + lim_{x \to 3} x - {(lim_{x \to 3} x)}^{2})}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Etapa 3.1.2.11.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $3$ por $x$ .

$\frac{(4 \cdot 3 \cdot (3 - 1 \cdot 3) - 1 \cdot 2) \cdot (6 + 3 - {(lim_{x \to 3} x)}^{2})}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Etapa 3.1.2.11.4

Avalie o limite de $x$ substituindo $3$ por $x$ .

$\frac{(4 \cdot 3 \cdot (3 - 1 \cdot 3) - 1 \cdot 2) \cdot (6 + 3 - 3^{2})}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Etapa 3.1.2.12

Simplifique a resposta.

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Etapa 3.1.2.12.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.1.2.12.1.1

Multiplique $4$ por $3$ .

$\frac{(12 \cdot (3 - 1 \cdot 3) - 1 \cdot 2) \cdot (6 + 3 - 3^{2})}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Etapa 3.1.2.12.1.2

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{(12 \cdot (3 - 3) - 1 \cdot 2) \cdot (6 + 3 - 3^{2})}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Etapa 3.1.2.12.1.3

Subtraia $3$ de $3$ .

$\frac{(12 \cdot 0 - 1 \cdot 2) \cdot (6 + 3 - 3^{2})}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Etapa 3.1.2.12.1.4

Multiplique $12$ por $0$ .

$\frac{(0 - 1 \cdot 2) \cdot (6 + 3 - 3^{2})}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Etapa 3.1.2.12.1.5

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{(0 - 2) \cdot (6 + 3 - 3^{2})}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Etapa 3.1.2.12.2

Subtraia $2$ de $0$ .

$\frac{- 2 \cdot (6 + 3 - 3^{2})}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Etapa 3.1.2.12.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.1.2.12.3.1

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$\frac{- 2 \cdot (6 + 3 - 1 \cdot 9)}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Etapa 3.1.2.12.3.2

Multiplique $- 1$ por $9$ .

$\frac{- 2 \cdot (6 + 3 - 9)}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Etapa 3.1.2.12.4

Some $6$ e $3$ .

$\frac{- 2 \cdot (9 - 9)}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Etapa 3.1.2.12.5

Subtraia $9$ de $9$ .

$\frac{- 2 \cdot 0}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Etapa 3.1.2.12.6

Multiplique $- 2$ por $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Etapa 3.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 3.1.3.1

Avalie o limite.

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Etapa 3.1.3.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $3$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 3}$

Etapa 3.1.3.1.2

Avalie o limite de $3$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $3$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3}$

Etapa 3.1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $3$ por $x$ .

$\frac{0}{3 - 1 \cdot 3}$

Etapa 3.1.3.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 3.1.3.3.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{0}{3 - 3}$

Etapa 3.1.3.3.2

Subtraia $3$ de $3$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 3.1.3.3.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 3.1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 3.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 3.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 3} \frac{(4 x (x - 3) - 2) (6 + x - x^{2})}{x - 3} = lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [(4 x (x - 3) - 2) (6 + x - x^{2})]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Etapa 3.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 3.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [(4 x (x - 3) - 2) (6 + x - x^{2})]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Etapa 3.3.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.3.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [(4 x \cdot x + 4 x \cdot - 3 - 2) (6 + x - x^{2})]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Etapa 3.3.2.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 3.3.2.2.1

Mova $x$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [(4 (x \cdot x) + 4 x \cdot - 3 - 2) (6 + x - x^{2})]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Etapa 3.3.2.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [(4 x^{2} + 4 x \cdot - 3 - 2) (6 + x - x^{2})]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Etapa 3.3.2.3

Multiplique $- 3$ por $4$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [(4 x^{2} - 12 x - 2) (6 + x - x^{2})]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Etapa 3.3.3

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = 4 x^{2} - 12 x - 2$ e $g (x) = 6 + x - x^{2}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{(4 x^{2} - 12 x - 2) \frac{d}{d x} [6 + x - x^{2}] + (6 + x - x^{2}) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 12 x - 2]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Etapa 3.3.4

De acordo com a regra da soma, a derivada de $6 + x - x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{(4 x^{2} - 12 x - 2) (\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (6 + x - x^{2}) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 12 x - 2]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Etapa 3.3.5

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{(4 x^{2} - 12 x - 2) (0 + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (6 + x - x^{2}) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 12 x - 2]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Etapa 3.3.6

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{(4 x^{2} - 12 x - 2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (6 + x - x^{2}) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 12 x - 2]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Etapa 3.3.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{(4 x^{2} - 12 x - 2) (1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (6 + x - x^{2}) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 12 x - 2]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Etapa 3.3.8

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{(4 x^{2} - 12 x - 2) (1 - \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (6 + x - x^{2}) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 12 x - 2]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Etapa 3.3.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to 3} \frac{(4 x^{2} - 12 x - 2) (1 - (2 x)) + (6 + x - x^{2}) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 12 x - 2]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Etapa 3.3.10

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{(4 x^{2} - 12 x - 2) (1 - 2 x) + (6 + x - x^{2}) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 12 x - 2]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Etapa 3.3.11

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x^{2} - 12 x - 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{(4 x^{2} - 12 x - 2) (1 - 2 x) + (6 + x - x^{2}) (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Etapa 3.3.12

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x^{2}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{(4 x^{2} - 12 x - 2) (1 - 2 x) + (6 + x - x^{2}) (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Etapa 3.3.13

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to 3} \frac{(4 x^{2} - 12 x - 2) (1 - 2 x) + (6 + x - x^{2}) (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Etapa 3.3.14

Multiplique $2$ por $4$ .

$lim_{x \to 3} \frac{(4 x^{2} - 12 x - 2) (1 - 2 x) + (6 + x - x^{2}) (8 x + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Etapa 3.3.15

Como $- 12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 12 x$ em relação a $x$ é $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{(4 x^{2} - 12 x - 2) (1 - 2 x) + (6 + x - x^{2}) (8 x - 12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Etapa 3.3.16

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{(4 x^{2} - 12 x - 2) (1 - 2 x) + (6 + x - x^{2}) (8 x - 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2])}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Etapa 3.3.17

Multiplique $- 12$ por $1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{(4 x^{2} - 12 x - 2) (1 - 2 x) + (6 + x - x^{2}) (8 x - 12 + \frac{d}{d x} [- 2])}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Etapa 3.3.18

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{(4 x^{2} - 12 x - 2) (1 - 2 x) + (6 + x - x^{2}) (8 x - 12 + 0)}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Etapa 3.3.19

Some $8 x - 12$ e $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{(4 x^{2} - 12 x - 2) (1 - 2 x) + (6 + x - x^{2}) (8 x - 12)}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Etapa 3.3.20

Simplifique.

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Etapa 3.3.20.1

Fatore $1$ de $(4 x^{2} - 12 x - 2) (1 - 2 x) + (6 + x - x^{2}) (8 x - 12)$ .

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Etapa 3.3.20.1.1

Fatore $1$ de $(4 x^{2} - 12 x - 2) (1 - 2 x)$ .

$lim_{x \to 3} \frac{1 ((4 x^{2} - 12 x - 2) (1 - 2 x)) + (6 + x - x^{2}) (8 x - 12)}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Etapa 3.3.20.1.2

Fatore $1$ de $(6 + x - x^{2}) (8 x - 12)$ .

$lim_{x \to 3} \frac{1 ((4 x^{2} - 12 x - 2) (1 - 2 x)) + 1 ((6 + x - x^{2}) (8 x - 12))}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Etapa 3.3.20.1.3

Fatore $1$ de $1 ((4 x^{2} - 12 x - 2) (1 - 2 x)) + 1 ((6 + x - x^{2}) (8 x - 12))$ .

$lim_{x \to 3} \frac{1 ((4 x^{2} - 12 x - 2) (1 - 2 x) + (6 + x - x^{2}) (8 x - 12))}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Etapa 3.3.20.2

Multiplique $(4 x^{2} - 12 x - 2) (1 - 2 x) + (6 + x - x^{2}) (8 x - 12)$ por $1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{(4 x^{2} - 12 x - 2) (1 - 2 x) + (6 + x - x^{2}) (8 x - 12)}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Etapa 3.3.20.3

Reordene os termos.

$lim_{x \to 3} \frac{(1 - 2 x) (4 x^{2} - 12 x - 2) + (6 + x - x^{2}) (8 x - 12)}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Etapa 3.3.20.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.3.20.4.1

Expanda $(1 - 2 x) (4 x^{2} - 12 x - 2)$ multiplicando cada termo na primeira expressão por cada um dos termos na segunda expressão.

$lim_{x \to 3} \frac{1 (4 x^{2}) + 1 (- 12 x) + 1 \cdot - 2 - 2 x (4 x^{2}) - 2 x (- 12 x) - 2 x \cdot - 2 + (6 + x - x^{2}) (8 x - 12)}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Etapa 3.3.20.4.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.3.20.4.2.1

Multiplique $4 x^{2}$ por $1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{4 x^{2} + 1 (- 12 x) + 1 \cdot - 2 - 2 x (4 x^{2}) - 2 x (- 12 x) - 2 x \cdot - 2 + (6 + x - x^{2}) (8 x - 12)}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Etapa 3.3.20.4.2.2

Multiplique $- 12 x$ por $1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{4 x^{2} - 12 x + 1 \cdot - 2 - 2 x (4 x^{2}) - 2 x (- 12 x) - 2 x \cdot - 2 + (6 + x - x^{2}) (8 x - 12)}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Etapa 3.3.20.4.2.3

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{4 x^{2} - 12 x - 2 - 2 x (4 x^{2}) - 2 x (- 12 x) - 2 x \cdot - 2 + (6 + x - x^{2}) (8 x - 12)}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Etapa 3.3.20.4.2.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$lim_{x \to 3} \frac{4 x^{2} - 12 x - 2 - 2 \cdot 4 x \cdot x^{2} - 2 x (- 12 x) - 2 x \cdot - 2 + (6 + x - x^{2}) (8 x - 12)}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Etapa 3.3.20.4.2.5

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.3.20.4.2.5.1

Mova $x^{2}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{4 x^{2} - 12 x - 2 - 2 \cdot 4 (x^{2} x) - 2 x (- 12 x) - 2 x \cdot - 2 + (6 + x - x^{2}) (8 x - 12)}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Etapa 3.3.20.4.2.5.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

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Etapa 3.3.20.4.2.5.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{4 x^{2} - 12 x - 2 - 2 \cdot 4 (x^{2} x^{1}) - 2 x (- 12 x) - 2 x \cdot - 2 + (6 + x - x^{2}) (8 x - 12)}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Etapa 3.3.20.4.2.5.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$lim_{x \to 3} \frac{4 x^{2} - 12 x - 2 - 2 \cdot 4 x^{2 + 1} - 2 x (- 12 x) - 2 x \cdot - 2 + (6 + x - x^{2}) (8 x - 12)}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Etapa 3.3.20.4.2.5.3

Some $2$ e $1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{4 x^{2} - 12 x - 2 - 2 \cdot 4 x^{3} - 2 x (- 12 x) - 2 x \cdot - 2 + (6 + x - x^{2}) (8 x - 12)}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Etapa 3.3.20.4.2.6

Multiplique $- 2$ por $4$ .

$lim_{x \to 3} \frac{4 x^{2} - 12 x - 2 - 8 x^{3} - 2 x (- 12 x) - 2 x \cdot - 2 + (6 + x - x^{2}) (8 x - 12)}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Etapa 3.3.20.4.2.7

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$lim_{x \to 3} \frac{4 x^{2} - 12 x - 2 - 8 x^{3} - 2 \cdot - 12 x \cdot x - 2 x \cdot - 2 + (6 + x - x^{2}) (8 x - 12)}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Etapa 3.3.20.4.2.8

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 3.3.20.4.2.8.1

Mova $x$ .

$lim_{x \to 3} \frac{4 x^{2} - 12 x - 2 - 8 x^{3} - 2 \cdot - 12 (x \cdot x) - 2 x \cdot - 2 + (6 + x - x^{2}) (8 x - 12)}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Etapa 3.3.20.4.2.8.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$lim_{x \to 3} \frac{4 x^{2} - 12 x - 2 - 8 x^{3} - 2 \cdot - 12 x^{2} - 2 x \cdot - 2 + (6 + x - x^{2}) (8 x - 12)}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Etapa 3.3.20.4.2.9

Multiplique $- 2$ por $- 12$ .

$lim_{x \to 3} \frac{4 x^{2} - 12 x - 2 - 8 x^{3} + 24 x^{2} - 2 x \cdot - 2 + (6 + x - x^{2}) (8 x - 12)}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Etapa 3.3.20.4.2.10

Multiplique $- 2$ por $- 2$ .

$lim_{x \to 3} \frac{4 x^{2} - 12 x - 2 - 8 x^{3} + 24 x^{2} + 4 x + (6 + x - x^{2}) (8 x - 12)}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Etapa 3.3.20.4.3

Some $4 x^{2}$ e $24 x^{2}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{28 x^{2} - 12 x - 2 - 8 x^{3} + 4 x + (6 + x - x^{2}) (8 x - 12)}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Etapa 3.3.20.4.4

Some $- 12 x$ e $4 x$ .

$lim_{x \to 3} \frac{28 x^{2} - 8 x - 2 - 8 x^{3} + (6 + x - x^{2}) (8 x - 12)}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Etapa 3.3.20.4.5

Expanda $(6 + x - x^{2}) (8 x - 12)$ multiplicando cada termo na primeira expressão por cada um dos termos na segunda expressão.

$lim_{x \to 3} \frac{28 x^{2} - 8 x - 2 - 8 x^{3} + 6 (8 x) + 6 \cdot - 12 + x (8 x) + x \cdot - 12 - x^{2} (8 x) - x^{2} \cdot - 12}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Etapa 3.3.20.4.6

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.3.20.4.6.1

Multiplique $8$ por $6$ .

$lim_{x \to 3} \frac{28 x^{2} - 8 x - 2 - 8 x^{3} + 48 x + 6 \cdot - 12 + x (8 x) + x \cdot - 12 - x^{2} (8 x) - x^{2} \cdot - 12}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Etapa 3.3.20.4.6.2

Multiplique $6$ por $- 12$ .

$lim_{x \to 3} \frac{28 x^{2} - 8 x - 2 - 8 x^{3} + 48 x - 72 + x (8 x) + x \cdot - 12 - x^{2} (8 x) - x^{2} \cdot - 12}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Etapa 3.3.20.4.6.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$lim_{x \to 3} \frac{28 x^{2} - 8 x - 2 - 8 x^{3} + 48 x - 72 + 8 x \cdot x + x \cdot - 12 - x^{2} (8 x) - x^{2} \cdot - 12}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Etapa 3.3.20.4.6.4

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 3.3.20.4.6.4.1

Mova $x$ .

$lim_{x \to 3} \frac{28 x^{2} - 8 x - 2 - 8 x^{3} + 48 x - 72 + 8 (x \cdot x) + x \cdot - 12 - x^{2} (8 x) - x^{2} \cdot - 12}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Etapa 3.3.20.4.6.4.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$lim_{x \to 3} \frac{28 x^{2} - 8 x - 2 - 8 x^{3} + 48 x - 72 + 8 x^{2} + x \cdot - 12 - x^{2} (8 x) - x^{2} \cdot - 12}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Etapa 3.3.20.4.6.5

Mova $- 12$ para a esquerda de $x$ .

$lim_{x \to 3} \frac{28 x^{2} - 8 x - 2 - 8 x^{3} + 48 x - 72 + 8 x^{2} - 12 \cdot x - x^{2} (8 x) - x^{2} \cdot - 12}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Etapa 3.3.20.4.6.6

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$lim_{x \to 3} \frac{28 x^{2} - 8 x - 2 - 8 x^{3} + 48 x - 72 + 8 x^{2} - 12 x - 1 \cdot 8 x^{2} x - x^{2} \cdot - 12}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Etapa 3.3.20.4.6.7

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 3.3.20.4.6.7.1

Mova $x$ .

$lim_{x \to 3} \frac{28 x^{2} - 8 x - 2 - 8 x^{3} + 48 x - 72 + 8 x^{2} - 12 x - 1 \cdot 8 (x \cdot x^{2}) - x^{2} \cdot - 12}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Etapa 3.3.20.4.6.7.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

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Etapa 3.3.20.4.6.7.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{28 x^{2} - 8 x - 2 - 8 x^{3} + 48 x - 72 + 8 x^{2} - 12 x - 1 \cdot 8 (x^{1} x^{2}) - x^{2} \cdot - 12}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Etapa 3.3.20.4.6.7.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$lim_{x \to 3} \frac{28 x^{2} - 8 x - 2 - 8 x^{3} + 48 x - 72 + 8 x^{2} - 12 x - 1 \cdot 8 x^{1 + 2} - x^{2} \cdot - 12}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Etapa 3.3.20.4.6.7.3

Some $1$ e $2$ .

$lim_{x \to 3} \frac{28 x^{2} - 8 x - 2 - 8 x^{3} + 48 x - 72 + 8 x^{2} - 12 x - 1 \cdot 8 x^{3} - x^{2} \cdot - 12}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Etapa 3.3.20.4.6.8

Multiplique $- 1$ por $8$ .

$lim_{x \to 3} \frac{28 x^{2} - 8 x - 2 - 8 x^{3} + 48 x - 72 + 8 x^{2} - 12 x - 8 x^{3} - x^{2} \cdot - 12}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Etapa 3.3.20.4.6.9

Multiplique $- 12$ por $- 1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{28 x^{2} - 8 x - 2 - 8 x^{3} + 48 x - 72 + 8 x^{2} - 12 x - 8 x^{3} + 12 x^{2}}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Etapa 3.3.20.4.7

Subtraia $12 x$ de $48 x$ .

$lim_{x \to 3} \frac{28 x^{2} - 8 x - 2 - 8 x^{3} + 36 x - 72 + 8 x^{2} - 8 x^{3} + 12 x^{2}}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Etapa 3.3.20.4.8

Some $8 x^{2}$ e $12 x^{2}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{28 x^{2} - 8 x - 2 - 8 x^{3} + 36 x - 72 - 8 x^{3} + 20 x^{2}}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Etapa 3.3.20.5

Some $28 x^{2}$ e $20 x^{2}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{48 x^{2} - 8 x - 2 - 8 x^{3} + 36 x - 72 - 8 x^{3}}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Etapa 3.3.20.6

Some $- 8 x$ e $36 x$ .

$lim_{x \to 3} \frac{48 x^{2} + 28 x - 2 - 8 x^{3} - 72 - 8 x^{3}}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Etapa 3.3.20.7

Subtraia $72$ de $- 2$ .

$lim_{x \to 3} \frac{48 x^{2} + 28 x - 8 x^{3} - 74 - 8 x^{3}}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Etapa 3.3.20.8

Subtraia $8 x^{3}$ de $- 8 x^{3}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{48 x^{2} + 28 x - 16 x^{3} - 74}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Etapa 3.3.21

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{48 x^{2} + 28 x - 16 x^{3} - 74}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Etapa 3.3.22

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{48 x^{2} + 28 x - 16 x^{3} - 74}{1 + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Etapa 3.3.23

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{48 x^{2} + 28 x - 16 x^{3} - 74}{1 + 0}$

Etapa 3.3.24

Some $1$ e $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{48 x^{2} + 28 x - 16 x^{3} - 74}{1}$

Etapa 3.4

Divida $48 x^{2} + 28 x - 16 x^{3} - 74$ por $1$ .

$lim_{x \to 3} 48 x^{2} + 28 x - 16 x^{3} - 74$

Etapa 4

Avalie o limite.

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Etapa 4.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $3$ .

$lim_{x \to 3} 48 x^{2} + lim_{x \to 3} 28 x - lim_{x \to 3} 16 x^{3} - lim_{x \to 3} 74$

Etapa 4.2

Mova o termo $48$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$48 lim_{x \to 3} x^{2} + lim_{x \to 3} 28 x - lim_{x \to 3} 16 x^{3} - lim_{x \to 3} 74$

Etapa 4.3

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$48 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} + lim_{x \to 3} 28 x - lim_{x \to 3} 16 x^{3} - lim_{x \to 3} 74$

Etapa 4.4

Mova o termo $28$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$48 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 28 lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 16 x^{3} - lim_{x \to 3} 74$

Etapa 4.5

Mova o termo $16$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$48 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 28 lim_{x \to 3} x - 16 lim_{x \to 3} x^{3} - lim_{x \to 3} 74$

Etapa 4.6

Mova o expoente $3$ de $x^{3}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$48 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 28 lim_{x \to 3} x - 16 {(lim_{x \to 3} x)}^{3} - lim_{x \to 3} 74$

Etapa 4.7

Avalie o limite de $74$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $3$ .

$48 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 28 lim_{x \to 3} x - 16 {(lim_{x \to 3} x)}^{3} - 1 \cdot 74$

Etapa 5

Avalie os limites substituindo $3$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 5.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $3$ por $x$ .

$48 \cdot 3^{2} + 28 lim_{x \to 3} x - 16 {(lim_{x \to 3} x)}^{3} - 1 \cdot 74$

Etapa 5.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $3$ por $x$ .

$48 \cdot 3^{2} + 28 \cdot 3 - 16 {(lim_{x \to 3} x)}^{3} - 1 \cdot 74$

Etapa 5.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $3$ por $x$ .

$48 \cdot 3^{2} + 28 \cdot 3 - 16 \cdot 3^{3} - 1 \cdot 74$

Etapa 6

Simplifique a resposta.

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Etapa 6.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.1.1

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$48 \cdot 9 + 28 \cdot 3 - 16 \cdot 3^{3} - 1 \cdot 74$

Etapa 6.1.2

Multiplique $48$ por $9$ .

$432 + 28 \cdot 3 - 16 \cdot 3^{3} - 1 \cdot 74$

Etapa 6.1.3

Multiplique $28$ por $3$ .

$432 + 84 - 16 \cdot 3^{3} - 1 \cdot 74$

Etapa 6.1.4

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$432 + 84 - 16 \cdot 27 - 1 \cdot 74$

Etapa 6.1.5

Multiplique $- 16$ por $27$ .

$432 + 84 - 432 - 1 \cdot 74$

Etapa 6.1.6

Multiplique $- 1$ por $74$ .

$432 + 84 - 432 - 74$

Etapa 6.2

Some $432$ e $84$ .

$516 - 432 - 74$

Etapa 6.3

Subtraia $432$ de $516$ .

$84 - 74$

Etapa 6.4

Subtraia $74$ de $84$ .

$10$