Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{3} (x) d x$

Etapa 1

Fatore $\sin^{2} (x)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{2} (x) \sin (x) d x$

Etapa 2

Usando a fórmula de Pitágoras, reescreva $\sin^{2} (x)$ como $1 - \cos^{2} (x)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} (1 - \cos^{2} (x)) \sin (x) d x$

Etapa 3

Deixe $u = \cos (x)$ . Depois, $d u = - \sin (x) d x$ , então, $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 3.1

Deixe $u = \cos (x)$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 3.1.1

Diferencie $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Etapa 3.1.2

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Etapa 3.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = \cos (x)$ .

$u_{lower} = \cos (0)$

Etapa 3.3

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$u_{lower} = 1$

Etapa 3.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = \cos (x)$ .

$u_{upper} = \cos (\frac{π}{2})$

Etapa 3.5

O valor exato de $\cos (\frac{π}{2})$ é $0$ .

$u_{upper} = 0$

Etapa 3.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 0$

Etapa 3.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\int_{1}^{0} - 1 + u^{2} d u$

Etapa 4

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{1}^{0} - 1 d u + \int_{1}^{0} u^{2} d u$

Etapa 5

Aplique a regra da constante.

$- u]_{1}^{0} + \int_{1}^{0} u^{2} d u$

Etapa 6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{2}$ com relação a $u$ é $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$- u]_{1}^{0} + \frac{1}{3} u^{3}]_{1}^{0}$

Etapa 7

Combine $- u]_{1}^{0}$ e $\frac{1}{3} u^{3}]_{1}^{0}$ .

$- u + \frac{1}{3} u^{3}]_{1}^{0}$

Etapa 8

Substitua e simplifique.

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Etapa 8.1

Avalie $- u + \frac{1}{3} u^{3}$ em $0$ e em $1$ .

$(- 0 + \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Etapa 8.2

Simplifique.

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Etapa 8.2.1

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$0 + \frac{1}{3} \cdot 0^{3} - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Etapa 8.2.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$0 + \frac{1}{3} \cdot 0 - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Etapa 8.2.3

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $0$ .

$0 + 0 - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Etapa 8.2.4

Some $0$ e $0$ .

$0 - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Etapa 8.2.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$0 - (- 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Etapa 8.2.6

Um elevado a qualquer potência é um.

$0 - (- 1 + \frac{1}{3} \cdot 1)$

Etapa 8.2.7

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $1$ .

$0 - (- 1 + \frac{1}{3})$

Etapa 8.2.8

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$0 - (- 1 \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3})$

Etapa 8.2.9

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$0 - (\frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{1}{3})$

Etapa 8.2.10

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$0 - \frac{- 1 \cdot 3 + 1}{3}$

Etapa 8.2.11

Simplifique o numerador.

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Etapa 8.2.11.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$0 - \frac{- 3 + 1}{3}$

Etapa 8.2.11.2

Some $- 3$ e $1$ .

$0 - \frac{- 2}{3}$

Etapa 8.2.12

Mova o número negativo para a frente da fração.

$0 - - \frac{2}{3}$

Etapa 8.2.13

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$0 + 1 (\frac{2}{3})$

Etapa 8.2.14

Multiplique $\frac{2}{3}$ por $1$ .

$0 + \frac{2}{3}$

Etapa 8.2.15

Some $0$ e $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3}$

Etapa 9

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{2}{3}$

Forma decimal:

$0.\overline{6}$