Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 8} \frac{\sqrt{\frac{x^{3}}{x - 2}}}{x}$

Etapa 1

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} \sqrt{\frac{x^{3}}{x - 2}}}{lim_{x \to 8} x}$

Etapa 2

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 8} \frac{x^{3}}{x - 2}}}{lim_{x \to 8} x}$

Etapa 3

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $8$ .

$\frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to 8} x^{3}}{lim_{x \to 8} x - 2}}}{lim_{x \to 8} x}$

Etapa 4

Mova o expoente $3$ de $x^{3}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{\sqrt{\frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{3}}{lim_{x \to 8} x - 2}}}{lim_{x \to 8} x}$

Etapa 5

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $8$ .

$\frac{\sqrt{\frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{3}}{lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 2}}}{lim_{x \to 8} x}$

Etapa 6

Avalie o limite de $2$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $8$ .

$\frac{\sqrt{\frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{3}}{lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 2}}}{lim_{x \to 8} x}$

Etapa 7

Avalie os limites substituindo $8$ por todas as ocorrências de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $8$ por $x$ .

$\frac{\sqrt{\frac{8^{3}}{lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 2}}}{lim_{x \to 8} x}$

Etapa 7.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $8$ por $x$ .

$\frac{\sqrt{\frac{8^{3}}{8 - 1 \cdot 2}}}{lim_{x \to 8} x}$

Etapa 7.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $8$ por $x$ .

$\frac{\sqrt{\frac{8^{3}}{8 - 1 \cdot 2}}}{8}$

Etapa 8

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Eleve $8$ à potência de $3$ .

$\frac{\sqrt{\frac{512}{8 - 1 \cdot 2}}}{8}$

Etapa 8.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{\sqrt{\frac{512}{8 - 2}}}{8}$

Etapa 8.2.2

Subtraia $2$ de $8$ .

$\frac{\sqrt{\frac{512}{6}}}{8}$

Etapa 8.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1

Cancele o fator comum de $512$ e $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1.1

Fatore $2$ de $512$ .

$\frac{\sqrt{\frac{2 (256)}{6}}}{8}$

Etapa 8.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1.2.1

Fatore $2$ de $6$ .

$\frac{\sqrt{\frac{2 \cdot 256}{2 \cdot 3}}}{8}$

Etapa 8.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{\sqrt{\frac{2 \cdot 256}{2 \cdot 3}}}{8}$

Etapa 8.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{\sqrt{\frac{256}{3}}}{8}$

Etapa 8.3.2

Reescreva $\sqrt{\frac{256}{3}}$ como $\frac{\sqrt{256}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{256}}{\sqrt{3}}}{8}$

Etapa 8.3.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.3.1

Reescreva $256$ como $16^{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{16^{2}}}{\sqrt{3}}}{8}$

Etapa 8.3.3.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{\frac{16}{\sqrt{3}}}{8}$

Etapa 8.3.4

Multiplique $\frac{16}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\frac{16}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}}{8}$

Etapa 8.3.5

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.5.1

Multiplique $\frac{16}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\frac{16 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}}{8}$

Etapa 8.3.5.2

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$\frac{\frac{16 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}}{8}$

Etapa 8.3.5.3

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$\frac{\frac{16 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}}{8}$

Etapa 8.3.5.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\frac{16 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}}{8}$

Etapa 8.3.5.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{\frac{16 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}}{8}$

Etapa 8.3.5.6

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.5.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{16 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{8}$

Etapa 8.3.5.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\frac{16 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{8}$

Etapa 8.3.5.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{\frac{16 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}}{8}$

Etapa 8.3.5.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.5.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\frac{16 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}}{8}$

Etapa 8.3.5.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{\frac{16 \sqrt{3}}{3^{1}}}{8}$

Etapa 8.3.5.6.5

Avalie o expoente.

$\frac{\frac{16 \sqrt{3}}{3}}{8}$

Etapa 8.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{16 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{8}$

Etapa 8.5

Cancele o fator comum de $8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.5.1

Fatore $8$ de $16 \sqrt{3}$ .

$\frac{8 (2 \sqrt{3})}{3} \cdot \frac{1}{8}$

Etapa 8.5.2

Cancele o fator comum.

$\frac{8 (2 \sqrt{3})}{3} \cdot \frac{1}{8}$

Etapa 8.5.3

Reescreva a expressão.

$\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Etapa 9

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Forma decimal:

$1.15470053 \dots$