Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 8} \frac{1 - (\cos^{2} (3 x))}{x \sin (5 x)}$

Etapa 1

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} 1 - (\cos^{2} (3 x))}{lim_{x \to 8} x \sin (5 x)}$

Etapa 2

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} 1 - lim_{x \to 8} \cos^{2} (3 x)}{lim_{x \to 8} x \sin (5 x)}$

Etapa 3

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $8$ .

$\frac{1 - lim_{x \to 8} \cos^{2} (3 x)}{lim_{x \to 8} x \sin (5 x)}$

Etapa 4

Mova o expoente $2$ de $\cos^{2} (3 x)$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{1 - {(lim_{x \to 8} \cos (3 x))}^{2}}{lim_{x \to 8} x \sin (5 x)}$

Etapa 5

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\frac{1 - \cos^{2} (lim_{x \to 8} 3 x)}{lim_{x \to 8} x \sin (5 x)}$

Etapa 6

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1 - \cos^{2} (3 lim_{x \to 8} x)}{lim_{x \to 8} x \sin (5 x)}$

Etapa 7

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $8$ .

$\frac{1 - \cos^{2} (3 lim_{x \to 8} x)}{lim_{x \to 8} x \cdot lim_{x \to 8} \sin (5 x)}$

Etapa 8

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$\frac{1 - \cos^{2} (3 lim_{x \to 8} x)}{lim_{x \to 8} x \cdot \sin (lim_{x \to 8} 5 x)}$

Etapa 9

Mova o termo $5$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1 - \cos^{2} (3 lim_{x \to 8} x)}{lim_{x \to 8} x \cdot \sin (5 lim_{x \to 8} x)}$

Etapa 10

Avalie os limites substituindo $8$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 10.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $8$ por $x$ .

$\frac{1 - \cos^{2} (3 \cdot 8)}{lim_{x \to 8} x \cdot \sin (5 lim_{x \to 8} x)}$

Etapa 10.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $8$ por $x$ .

$\frac{1 - \cos^{2} (3 \cdot 8)}{8 \cdot \sin (5 lim_{x \to 8} x)}$

Etapa 10.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $8$ por $x$ .

$\frac{1 - \cos^{2} (3 \cdot 8)}{8 \cdot \sin (5 \cdot 8)}$

Etapa 11

Simplifique a resposta.

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Etapa 11.1

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\frac{\sin^{2} (3 \cdot 8)}{8 \cdot \sin (5 \cdot 8)}$

Etapa 11.2

Fatore $\sin (3 \cdot 8)$ de $\sin^{2} (3 \cdot 8)$ .

$\frac{\sin (3 \cdot 8) \sin (3 \cdot 8)}{8 \cdot \sin (5 \cdot 8)}$

Etapa 11.3

Separe as frações.

$\frac{\sin (3 \cdot 8)}{8} \cdot \frac{\sin (3 \cdot 8)}{\sin (5 \cdot 8)}$

Etapa 11.4

Reescreva $\frac{\sin (3 \cdot 8)}{\sin (5 \cdot 8)}$ como um produto.

$\frac{\sin (3 \cdot 8)}{8} (\sin (3 \cdot 8) \frac{1}{\sin (5 \cdot 8)})$

Etapa 11.5

Escreva $\sin (3 \cdot 8)$ como uma fração com denominador $1$ .

$\frac{\sin (3 \cdot 8)}{8} (\frac{\sin (3 \cdot 8)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (5 \cdot 8)})$

Etapa 11.6

Simplifique.

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Etapa 11.6.1

Divida $\sin (3 \cdot 8)$ por $1$ .

$\frac{\sin (3 \cdot 8)}{8} (\sin (3 \cdot 8) \frac{1}{\sin (5 \cdot 8)})$

Etapa 11.6.2

Converta de $\frac{1}{\sin (5 \cdot 8)}$ em $\csc (5 \cdot 8)$ .

$\frac{\sin (3 \cdot 8)}{8} (\sin (3 \cdot 8) \csc (5 \cdot 8))$

Etapa 11.7

Simplifique o numerador.

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Etapa 11.7.1

Multiplique $3$ por $8$ .

$\frac{\sin (24)}{8} (\sin (3 \cdot 8) \csc (5 \cdot 8))$

Etapa 11.7.2

Avalie $\sin (24)$ .

$\frac{0.40673664}{8} (\sin (3 \cdot 8) \csc (5 \cdot 8))$

Etapa 11.8

Divida $0.40673664$ por $8$ .

$0.05084208 (\sin (3 \cdot 8) \csc (5 \cdot 8))$

Etapa 11.9

Multiplique $3$ por $8$ .

$0.05084208 (\sin (24) \csc (5 \cdot 8))$

Etapa 11.10

Avalie $\sin (24)$ .

$0.05084208 (0.40673664 \csc (5 \cdot 8))$

Etapa 11.11

Multiplique $5$ por $8$ .

$0.05084208 (0.40673664 \csc (40))$

Etapa 11.12

Avalie $\csc (40)$ .

$0.05084208 (0.40673664 \cdot 1.55572382)$

Etapa 11.13

Multiplique $0.05084208 (0.40673664 \cdot 1.55572382)$ .

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Etapa 11.13.1

Multiplique $0.40673664$ por $1.55572382$ .

$0.05084208 \cdot 0.63276988$

Etapa 11.13.2

Multiplique $0.05084208$ por $0.63276988$ .

$0.03217133$